资源简介

4．机械能守恒定律
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"基础认知·自主学习.TIF"
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一、动能和势能的相互转化
1．重力势能与动能的转化：物体沿光滑斜面滑下时，重力对物体做正功，物体的重力势能减小，重力势能转化为动能。
2．弹性势能与动能的转化：被压缩的弹簧具有弹性势能，当弹簧恢复原来的形状时，就把跟它接触的物体弹出去。弹力做正功，弹簧的弹性势能减小，物体得到一定速度，动能增加。
3．机械能：物体的重力势能、弹性势能与动能之和。
跳水运动员从跳板上弹起的过程中，跳板的弹性势能转化为什么能量？
提示：运动员的动能与重力势能。
二、机械能守恒定律
1．推导：
如图所示，如果物体只在重力作用下沿光滑的曲面下滑，重力做的功设为WG，由重力做功和重力势能的变化关系可知WG＝mg(h1－h2)＝Ep1－Ep2。①
由动能定理得
WG＝mv－mv②
①②联立可得mgh1－mgh2＝mv－mv，mgh1＋mv＝mgh2＋mv，由机械能的定义得Ep1＋Ek1＝Ep2＋Ek2。
2．内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能和势能可以发生相互转化，而总的机械能不变。
3．条件：在只有重力或弹力做功的物体或系统。
4．表达式：
(1)mv＋mgh1＝或Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2。
(2)mgh1－mgh2＝mv－mv，
即ΔEp减＝ΔEk增。
滑雪者沿斜面下滑时，如果忽略阻力做功，那么，思考：滑雪者在下滑时，机械能守恒吗？为什么？
提示：机械能守恒。只有重力做功。
学习机械能守恒定律的内容后，我们分析判断下列哪些说法是正确的？
①物体所受合外力为零时，机械能一定守恒。
②做匀速直线运动的物体机械能一定守恒。
③做曲线运动的物体机械能可能守恒。
④物体初、末状态的机械能相等，则物体的机械能守恒。
⑤只有弹簧弹力对物体做功，则物体机械能守恒。
⑥物体向上做匀速直线运动时，物体的机械能增加。
⑦物体在做平抛运动时，机械能守恒。
说法正确的有③⑥⑦。
　如图所示，两位小朋友在蹦床上玩得非常开心，试思考以下问题。
思考1：右边的男孩离开蹦床后飞向空中的过程中，机械能守恒吗？
提示：守恒。忽略空气阻力，男孩离开蹦床后只受重力作用，只有重力做功，机械能守恒。
思考2：左边的女孩若已落在蹦床上，使蹦床下陷，她的机械能守恒吗？
提示：不守恒。因为她的动能减少，重力势能也减少，她的机械能在减少，机械能不守恒。
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"能力形成·合作探究.TIF"
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一、机械能守恒的条件(物理观念——能量观念)
　用细绳把铁锁吊在高处，并把铁锁拉到鼻子尖前释放，保持头的位置不动。
思考：铁锁摆回来时，会打到鼻子吗？请解释原因。
提示：不会打到鼻子。联想伽利略的理想斜面实验，若没有阻力，铁锁刚好能回到初位置，遵循机械能守恒定律。若存在阻力，机械能损失，铁锁速度为零时的高度低于开始下落时的高度，铁锁一定不能到达鼻子的位置。
　
利用机械能守恒定律解决问题首先判断机械能是否守恒。
【典例】(多选)图中物体m机械能守恒的是(均不计空气阻力)(　　)
【解题探究】
(1)机械能包括什么？
提示：重力势能、弹性势能和动能。
(2)机械能守恒的条件是什么？
提示：只有重力(或弹力)做功。
【解析】选C、D。物块沿固定斜面匀速下滑，在斜面上物块受力平衡，重力沿斜面向下的分力与摩擦力平衡，摩擦力做负功，物块机械能减少；物块沿固定斜面上在力F作用下上滑时，力F做正功，物块机械能增加；小球沿光滑半圆形固定轨道下滑，只有重力做功，支持力不做功，小球机械能守恒；用细线拴住的小球绕O点来回摆动，只有重力做功，绳的拉力不做功，小球机械能守恒。选项C、D正确。
机械能守恒的判断
(1)对单个物体，一般从做功的角度去分析，即若只有重力做功，其他力不做功或做功的代数和为零，则该物体的机械能守恒。
(2)对几个物体组成的系统，一般从能量转化的角度去分析，即若系统不存在其他形式的能与机械能之间的相互转化，则该系统的机械能守恒。
1．下列说法正确的是(　　)
A．机械能守恒时，物体一定只受重力和弹力作用
B．物体处于平衡状态时，机械能一定守恒
C．物体所受合外力不为零时，其机械能可能守恒
D．物体机械能的变化等于合外力对物体做的功
【解析】选C。机械能守恒时，只有重力或弹力做功，但可以受其他外力作用，其他外力不做功或做功为零即可，故A错；匀速直线运动为一种平衡状态，但物体处于平衡状态时，机械能不一定守恒，如在竖直方向匀速上升的物体，其机械能一直增大，所以B错；若物体做自由落体运动，只受重力作用，则机械能守恒，故C正确；若外力中仅有重力对物体做功，如在光滑斜面上下滑的物体，不会引起物体机械能的变化，合外力对物体做的功等于动能的变化，而非机械能的变化，据功能关系知D错。
2．(多选)如图所示，下列关于机械能是否守恒的判断正确的是(　　)
A．甲图中，物体A将弹簧压缩的过程中，物体A机械能守恒
B．乙图中，A置于光滑水平面，物体B沿光滑斜面下滑，物体B机械能守恒
C．丙图中，不计任何阻力时A加速下落，B加速上升过程中，A、B组成的系统机械能守恒
D．丁图中，小球沿水平面做匀速圆锥摆运动时，小球的机械能守恒
【解析】选C、D。甲图中重力和弹簧弹力做功，系统机械能守恒，但弹簧的弹性势能增加，A的机械能减少，A错；乙图中B物体下滑，B对A的弹力做功，A的动能增加，B的机械能减少，B错；丙图中A、B组成的系统重力做功，绳子张力对A做负功，对B做正功，代数和为零，机械能守恒，C对；丁图中小球受重力和拉力作用，但都不做功，小球动能不变，重力势能也不变，机械能守恒，D对。
【拔高题组】
1.(多选)如图所示，弹簧固定在地面上，一小球从它的正上方A处自由下落，到达B处开始与弹簧接触，到达C处速度为0，不计空气阻力，则在小球从B到C的过程中(　　)
A．弹簧的弹性势能不断增大
B．弹簧的弹性势能不断减小
C．小球和弹簧组成的系统机械能不断减小
D．小球和弹簧组成的系统机械能保持不变
【解析】选A、D。从B到C，小球克服弹力做功，弹簧的弹性势能不断增加，A正确，B错误；对小球、弹簧组成的系统，只有重力和系统内弹力做功，系统机械能守恒，C错误，D正确。
2.(多选)如图所示，在两个质量分别为m和2m的小球a和b之间，用一根长为L的轻杆连接(杆的质量不计)，两小球可绕穿过杆中心O的水平轴无摩擦地转动。现让轻杆处于水平位置，然后无初速度释放，重球b向下，轻球a向上，产生转动，在杆转至竖直的过程中(　　)
A．b球的重力势能减少，动能增加，轻杆对b球做正功
B．a球的重力势能增加，动能增加，轻杆对a球做正功
C．a球和b球的总机械能守恒
D．a球和b球的总机械能不守恒
【解析】选B、C。a、b两球组成的系统中，只存在动能和重力势能的相互转化，系统的机械能守恒，选项C正确，D错误。其中a球的动能和重力势能均增加，机械能增加，轻杆对a球做正功；b球的重力势能减少，动能增加，总的机械能减少，轻杆对b球做负功，选项B正确，A错误。
二、机械能守恒定律的应用(科学思维——科学推理)
任务驱动：物体自由下落时，考虑空气阻力的影响，减小的重力势能和增加的动能相等吗，若不等，哪一个大？
提示：不相等，减小的重力势能大于增加的动能。
1．对机械能守恒定律的理解：
(1)机械能守恒定律的研究对象一定是系统。因为重力势能是属于物体和地球组成的重力系统的，弹性势能是属于弹簧的弹力系统的，所以，机械能守恒定律的适用对象是系统。另外，动能表达式中的v，也是相对于地面的速度。
(2)“只有重力或弹力做功”不等于“只受重力或弹力作用”。在重力或弹力做功的过程中，物体可以受其他力的作用，只要这些力不做功，或所做的功的代数和为零，就可以认为是“只有重力或弹力做功”。
(3)总的机械能保持不变，是指在动能和势能相互转化的整个过程中，任何时刻、任何位置的机械能的总量保持恒定不变。
2．机械能守恒定律的不同表达式和特点：
表达式
特点
Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2或E初＝E末
初状态的机械能等于末状态的机械能
Ek2－Ek1＝Ep1－Ep2或ΔEk＝－ΔEp
动能(或势能)的增加量等于势能(或动能)的减少量
EA2－EA1＝EB1－EB2或ΔEA＝－ΔEB
系统中，A物体机械能的增加量等于B物体机械能的减少量
【典例】如图所示，质量m＝50
kg的跳水运动员从距水面高h＝10
m的跳台上以v0＝5
m/s的速度斜向上起跳，最终落入水中。若忽略运动员的身高和受到的阻力，取g＝10
m/s2，求：
(1)运动员在跳台上时具有的重力势能(以水面为参考平面)；
(2)运动员起跳时的动能；
(3)运动员入水时的速度大小。
【解题探究】
(1)重力势能的表达式是什么？
提示：Ep＝mgh。
(2)物体只受重力的情况下的抛体运动，机械能守恒吗？
提示：守恒。
【解析】(1)以水面为零重力势能参考平面，则运动员在跳台上时具有的重力势能为Ep＝mgh＝5
000
J。
(2)运动员起跳时的速度为v0＝5
m/s，
则运动员起跳时的动能为Ek＝mv＝625
J。
(3)运动员从起跳到入水过程中，只有重力做功，运动员的机械能守恒，
则mgh＋mv＝mv2，
解得v＝15
m/s。
答案：(1)5
000
J　(2)625
J　(3)15
m/s
　应用机械能守恒定律解题的基本步骤
(1)根据题意，选取研究对象(物体或系统)。
(2)明确研究对象的运动过程，分析研究对象在运动过程中的受力情况，弄清各力的做功情况，判断是否符合机械能守恒的条件。
(3)恰当地选取参考平面，确定研究对象的运动过程的初状态和末状态的机械能(包括动能和势能)。
(4)根据题意选择合适的机械能守恒定律表达式列方程求解。
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"对点训练.TIF"
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1．把一个质量为m＝0.1
kg的小球用细线悬挂起来，让小球在竖直平面内摆动，摆动中小球最高位置与最低位置的高度差为h＝1.25
m。不计阻力，取重力加速度g＝10
m/s2，在小球从最高位置摆到最低位置的过程中，问：
(1)小球的机械能是否守恒？(只需答“守恒”或“不守恒”)
(2)重力对小球所做的功是多少？
(3)小球摆到最低位置时，速度的大小是多少？
【解析】(1)在小球从最高位置摆到最低位置的过程中，细线的拉力与速度始终垂直，拉力对小球不做功，只有重力做功，则小球的机械能守恒。
(2)重力对小球所做的功
W＝mgh＝0.1×10×1.25
J＝1.25
J。
(3)根据机械能守恒定律得：mgh＝mv2
得v＝＝＝5
m/s
答案：(1)守恒
(2)1.25
J　(3)5
m/s
2．如图所示，某大型露天游乐场中过山车的质量为1
t，从轨道一侧的顶点A处由静止释放，到达底部B处后又冲上环形轨道，使乘客头朝下通过C点，再沿环形轨道到达底部B处，最后冲上轨道另一侧的顶端D处，已知D与A在同一水平面上。A、B间的高度差为20
m，圆环半径为5
m，如果不考虑车与轨道间的摩擦和空气阻力，g取10
m/s2。试求：
(1)过山车通过B点时的动能；
(2)过山车通过C点时的速度；
(3)过山车通过D点时的机械能。(取过B点的水平面为零势能面)
【解析】(1)过山车由A点运动到B点的过程中，由机械能守恒定律ΔEk增＝ΔEp减可得过山车在B点时的动能。
mv－0＝mghAB，
EkB＝mv＝mghAB，
解得EkB＝2×105
J；
(2)同理可得，过山车从A点运动到C点时有
mv－0＝mghAC，
得vC＝，
解得vC＝10
m/s；
(3)由机械能守恒定律可知，过山车在D点时的机械能就等于在A点时的机械能，取过B点的水平面为零势能面，则有ED＝EA＝mghAB，
解得ED＝2×105
J。
答案：(1)2×105
J　(2)10
m/s　(3)2×105
J
【拔高题组】
1．如图所示，有一条长为L的均匀金属链条，一半长度在光滑斜面上，另一半长度沿竖直方向下垂在空中，斜面倾角为θ，当链条从静止开始释放后链条滑动，求链条刚好全部滑出斜面时的速度是多大？
【解析】设斜面的最高点所在的水平面为零势能参考面，链条的总质量为m，开始时斜面上的那部分链条的重力势能为Ep1＝－·sin
θ，
竖的那部分链条的重力势能为
Ep2＝－·，
则开始时的机械能为
E1＝Ep1＋Ep2＝－·sin
θ＋(－·)＝－(1＋sin
θ)。
当链条刚好全部滑出斜面时，
重力势能为Ep＝－mg·，
动能为Ek＝mv2，则机械能为
E2＝Ep＋Ek＝(－mgL)＋mv2
因为只有重力做功，所以系统机械能守恒，则由机械能守恒定律得E1＝E2，
即－(1＋sin
θ)＝mv2－mgL
解得v＝)。
答案：
2.如图所示，在竖直平面内有由圆弧AB和圆弧BC组成的光滑固定轨道，两者在最低点B平滑连接。AB弧的半径为R，BC弧的半径为。一小球在A点正上方与A相距处由静止开始自由下落，经A点沿圆弧轨道运动。
(1)求小球在B、A两点的动能之比；
(2)通过计算判断小球能否沿轨道运动到C点。
【解析】(1)设小球的质量为m，小球在A点的动能为EkA，
由机械能守恒定律得EkA＝mg，①
设小球在B点的动能为EkB，
同理有EkB＝mg，②
由①②式得＝。③
(2)若小球能沿轨道运动到C点，
则小球在C点所受轨道的正压力N应满足N≥0，④
设小球在C点的速度大小为vC，
由牛顿第二定律和向心加速度公式有
N＋mg＝m
eq
\f(v,\f(R,2))
，⑤
由④⑤式得，vC应满足mg≤m
eq
\f(2v,R)
⑥
由机械能守恒定律得mg＝mv⑦
由⑥⑦式可知，小球恰好可以沿轨道运动到C点。
答案：(1)5∶1　(2)能沿轨道运动到C点
【拓展例题】考查内容：多物体的机械能守恒
　【典例】如图所示，质量均为m的物体A和B，通过轻绳跨过定滑轮相连。斜面光滑，倾角为θ，不计绳子和滑轮之间的摩擦。开始时A物体离地的高度为h，B物体位于斜面的底端，用手托住A物体，使A、B两物体均静止。现将手撤去。
(1)求A物体将要落地时的速度为多大？
(2)A物体落地后，B物体由于惯性将继续沿斜面向上运动，则B物体在斜面上到达的最高点离地的高度为多大？
【解析】(1)撤去手后，A、B两物体同时运动，并且速率相等，由于两物体构成的系统只有重力做功，故系统的机械能守恒。设A物体将要落地时的速度大小为v，由机械能守恒定律得mgh－mgh
sin
θ＝(m＋m)v2，解得v＝。
(2)A物体落地后，B物体由于惯性将继续沿斜面向上运动，此时绳子对其没有拉力，对B物体而言，只有重力做功，故机械能守恒。设其到达的最高点离地高度为H，由机械能守恒定律得mv2＝mg(H－h
sin
θ)，解得H＝。
答案：(1)　(2)
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"独具b.TIF"
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蹦极
蹦极，也叫机索跳，白话叫笨猪跳，是近些年来新兴的一项非常刺激的户外休闲活动。跳跃者站在约40米以上(相当于10层楼)高度的桥梁、塔顶、高楼、吊车甚至热气球上，把一端固定的一根长长的橡皮条绑在踝关节处然后两臂伸开，双腿并拢，头朝下跳下去。
绑在跳跃者踝部的橡皮条很长，足以使跳跃者在空中享受几秒钟的“自由落体”。当人体落到离地面一定距离时，橡皮条被拉开、绷紧、阻止人体继续下落，当到达最低点时橡皮条再次弹起，人被拉起，随后，又落下，这样反复多次直到橡皮条的弹性消失为止，这就是蹦极的全过程。
在蹦极的过程中如果忽略空气阻力，人的机械能守恒吗？把人和橡皮条看成一个系统，系统机械能守恒吗？
提示：人的机械能不守恒，把人和橡皮条看成一个系统，系统的机械能守恒。
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"学情诊断·课堂测评.TIF"
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"学情诊断·课堂测评.TIF"
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1．(水平1)下列四个选项的图中，木块均在固定的斜面上运动，其中图A、B、C中的斜面是光滑的，图D中的斜面是粗糙的，图A、B中的F为木块所受的外力，方向如图中箭头所示，图A、B、D中的木块向下运动，图C中的木块向上运动，在这四个图所示的运动过程中机械能守恒的是(　　)
【解析】选C。图A、图B中，除重力外，力F对木块做功，机械能不守恒。图C中只有重力做功，机械能守恒。图D中除重力外，摩擦力对木块做功，机械能不守恒，故只有C项符合题意。
2．(水平1)(多选)一物体在做自由落体运动过程中，重力做了2
J的功，则(　　)
A．该物体重力势能减少2
J
B．该物体重力势能增加2
J
C．该物体动能减少2
J
D．该物体动能增加2
J
【解析】选A、D。在自由下落过程中，物体机械能守恒，重力做了2
J的功，重力势能减少2
J。通过重力做功，重力势能转化为动能，则物体动能增加了2
J，故A、D正确，B、C错误。
3．(水平2)质量为1
kg的物体从倾角为30°、长2
m的光滑斜面顶端由静止开始下滑，若选初始位置为零势能点，那么，当它滑到斜面中点时具有的机械能和重力势能分别是(g取10
m/s2)(　　)
A．0，－5
J
B．0，－10
J
C．10
J，5
J
D．20
J，－10
J
【解析】选A。物体下滑时机械能守恒，故它下滑到斜面中点时的机械能等于在初始位置的机械能，初始位置动能为0，重力势能也为0，故机械能为0，下滑到斜面中点时的重力势能Ep＝－mg·sin30°＝－5
J。故选项A正确。
4.(水平2)伽利略曾设计如图所示的一个实验，将摆球拉至M点放开，摆球会达到同一水平高度上的N点，如果在E或F处钉上钉子，摆球将沿不同的圆弧达到同一高度的对应点；反过来，如果让摆球从这些点下落，它同样会达到原水平高度上的M点，这个实验可以说明，物体由静止开始沿不同倾角的光滑斜面(或弧线)下滑时，其末速度的大小(　　)
A．只与斜面的倾角有关
B．只与斜面的长度有关
C．只与下滑的高度有关
D．只与物体的质量有关
【解析】选C。由题意知物体在运动过程中不受阻力，满足机械能守恒的条件，设下落的高度为H，则有mgH＝mv2，v＝，只与高度有关，C正确。
5．(水平2)如图所示，一固定的楔形木块，其斜面的倾角θ＝30°，另一边与地面垂直，顶上有一定滑轮，一柔软的细线跨过定滑轮，两端分别与物块A和B连接，A的质量为4m，B的质量为m。开始时将B按在地面上不动，然后放开手，让A沿斜面下滑而B上升。物块A与斜面间无摩擦，设当A沿斜面下滑l距离后，细线突然断了，求物块B上升的最大高度H。
【解析】设细线断时A、B的速度为v，由机械能守恒得：
4mglsin30°＝mgl＋mv2＋·4mv2
解得v＝
细线断后，B上升的高度为h
由机械能守恒得mgh＝mv2
可得h＝
B物体上升的最大高度
H＝l＋＝l。
答案：l
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