资源简介

准考证号：
姓名：
n
1（在此卷上答题无效）
宁德市
2021-2022
学年度第一学期九年级第一次质量检测
数
学
试
题
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷
1
至
2
页，第Ⅱ
卷
3
至
6
页，完卷时间
120
分钟，满分
150
分．
注意事项：
1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定位置填写本人准考证号、姓名等信息．考
生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、
姓名是否一致．
2．选择题每小题选出答案后，用
2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题答案用
0.5毫米黑色墨水签字
笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上答题无效．
3．作图可先使用
2B铅笔画出，确定后必须用
0.5毫米黑色墨水签字笔描黑．
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共
10
小题，每小题
4分，共
40
分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1
a
5
a

b．如果

，那么
的值为
b
3
b
A
4．
B
2
3．
C．
D
2．
3
3
5
5
2．如图，四边形
ABCD的对角线
AC，BD相交于点
O，且
AC⊥BD，则下列条件能判定四
边形
ABCD为菱形的是
A．AB＝CD
B．OA＝OC，OB＝OD
C．AC=BD
D．AB∥CD，AD＝BC
3．为增强学生环保意识，某中学举办了环保知识竞赛，某班共有
3名学生（2名男生，1名
女生）获奖．老师若从获奖的
3名学生中任选两名作为班级的“环保小卫士”，则恰好是
一名男生、一名女生的概率为
A
2
B
1
C
4
D
1．
．
．
．
3
2
9
3
数学试题
第
1
页
共
6
页
4．如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝6，D为
BC边上的一点，且
∠BAC＝∠ADC．若△ADC的面积为
a，则△ABC的面积为
A．6a
B．4a
C
7．
a
D
5．
a
2
2
5．若
m是方程
x2

2x

c

0
的一个根，设
p

(m
1)2
，
q

c

2，则
p与
q的大小关系为
A．p＜q
B．p＝q
C．p＞q
D．与
c的取值有关
6．如图，在反映特殊四边形之间关系的知识结构图中，①②③④表示需要添加的条件，则
下列描述错误的是
①
矩形
③
对角线垂直且相等
平行四边形
正方形
②
菱形
④
A．①表示有一个角是直角
B．②表示有一组邻边相等
C．③表示四个角都相等
D．④表示对角线相等
7.
若关于
x的一元二次方程（k﹣1）x2+2x﹣2=0有两个不相等的实数根，则
k的取值范围是
1
1
1
1
A.
k＞
B.
k
≥
C.
k＞
且
k
≠1
D.
k
≥
且
k
≠1
2
2
2
2
8.
三角形两边长分别是
8
和
6，第三边长是一元二次方程
x2﹣16x+60=0
一个实数根，则该三
角形的面积是
A.
24
B.
48
C.
24
或
8
5
D.
8
5
10．如图，△ABC中，AB=6，AC=4，以
BC为对角线作正方形
BDCF，
连接
AD，则
AD长不可能是
A．2
B．
4
C．6
D．8
10．七巧板是中国传统数学文化的重要载体，利用七巧板可以拼出许多有趣的图案．现用图
1所示的一副七巧板拼成如图
2所示的六边形，若图
1中七巧板的总面积为
16，则图
2
中六边形的周长为
图
1
图
2
A．
4

8
2
B．
6

6
2
C．
6

8
2
D．
8

6
2
数学试题
第
2
页
共
6
页
第Ⅱ卷
注意事项：
1．用
0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上相应位置书写作答，在试题卷上作答，答案无
效．
2．作图可先用
2B铅笔画出，确定后必须用
0.5毫米黑色墨水签字笔描黑．
二、填空题：本题共
6小题，每小题
4分，共
24分．
11．如图，在
Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是边
AB的中点，若
AB
＝6，则
CD＝
．
12．方程
x(x

3)

5(x

3)

0的根是
．
13．在一个不透明的布袋中，蓝色，黑色，白色的玻璃球共有
20
个，除颜色外其他完全相
同．将布袋中的球摇匀，从中随机摸出一个球，记下它的颜色再放回去，通过多次摸球试
验后发现，摸到黑色、白色球的频率分别稳定在
10%和
35%，则口袋中蓝色球的个数很
可能是
．
14.
小白有两张卡片，分别标有数字
1，2；小黄有三张卡片，分别标有数字
3，4，5．两人
各自随机地取出一张卡片，取出的两张卡片上数字之积为奇数的概率是______．
15.《算学宝鉴》全称《新集通证古今算学宝鉴》，完成于明嘉靖三年（1524年），王文素著，
全书
12本
42卷，近
50万字，代表了我国明代数学的最高水平．《算学宝鉴》中记载了我
国南宋数学家杨辉提出的一个问题：“直田积八百六十四步，之云阔不及长十二步，问长
阔各几何？”译文：一个矩形田地的面积等于
864平方步，且它的宽比长少
12步，问矩
形
田
地
的
长
与
宽
各
是
多
少
步
？
如
果
设
矩
形
田
地
的
长
为
x
步
，
则
可
列
方
程
为
．
16．如图，在边长为
10的菱形
ABCD中，AC为对角线，
∠ABC=60°，M、N分别是边
BC，CD上的点，BM
=CN，连接
MN交
AC于
P点，当
MN最短时，PC
长度为
．
三、解答题：本题共
9小题，共
86分．
17．（本小题满分
8分）
解方程:
x2

8x

5

0
数学试题
第
3
页
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6
页
（背面还有试题）
18．（本小题满分
8分）已知关于
x
的一元二次方程
x2﹣5x+m＝0．
（1）若方程有实数根，求实数
m
的取值范围；
（2）若方程两实数根为
x1，x2，且满足
3x1﹣2x2＝5，求实数
m
的值．
19.
（本小题满分
9分）如图，在Rt ABC中， BAC

90 ，D是
BC的中点，E是
AD
的中点，过点A作
AF
/
/BC交
BE
的延长线于点
F
．
(1)求证：四边形
ADCF是菱形；
(2)若
AC
12，
AB
16，求菱形
ADCF的面积．
20．（本题满分
8分）
第七次全国人口普查于
2020年
11月
1日开展，某学校积极响应所在社区的号召，
选派部分教师参与普查，其中数学组有
4
位教师志愿报名，分别记为甲、乙、丙、
丁．
（1）若该校从数学组教师志愿者中抽调
1位教师作为普查员，求教师甲被选中的概率.
（2）若该校从数学组教师志愿者中抽调
2位教师作为普查员，请用列表或画树状
图的方法，求出教师甲和乙被选中的概率．
数学试题
第
4
页
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6
页
21．（本题满分
8分）
如图，矩形
ABCD中，AB=6，点
E在
AB上，且
BE=2，四边形
EFGH为菱形，且点
F，
H分别在边
BC，AD上.
（1）当点
F的位置如图
1所示，请用尺规作出菱形
EFGH.（保留作图痕迹，不写作法）
（2）若菱形
EFGH为正方形，求四边形
EFGH的面积.
22．（本题满分
10分）
“中秋节”前，某超市第一次以
80元/盒的进价购进一款月饼礼盒
500盒，以
120元/盒的
售价全部销售完.销售人员根据市场调研发现，该款月饼礼盒每盒的售价在
120元基础上
每降价
5元，销量就会相应增加
100盒，该超市计划第二次购进该款月饼礼盒，但不超
过
650盒．
（1）在进价不变的情况下，第二次实际售价在第一次基础上降了
a元时，
则该超市这款月饼每盒利润为
元，预计销售量为
盒．
（2）在（1）的条件下，若第二次的销售总利润比第一次增加
5%，求
a的值．
23．（本题满分
10分）
四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似(不全等），
我们就把这条对角线称为这个四边形的“理想对角线”.
（1）如图
1，在四边形
ABCD中，∠ABC＝70°，AB=AD，AD∥BC，当∠ADC=145°时．
求证：对角线
BD是四边形
ABCD的“理想对角线”.
（2）如图
2，四边形
ABCD中，AC平分∠BCD，当∠BCD与∠BAD满足什么关系时，
对角线
AC是四边形
ABCD的“理想对角线”，请说明理由.
数学试题
第
5
页
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6
页
24．（本题满分
13分）
已知关于
x的一元二次方程:
ax2

(4a

k
)x

4a

2k

0
(a

0)
.
（1）求证:该方程始终有两个实数根.
（2）已知该方程有一个固定解，求出这个解.
（3）若
4

k

2，设方程两根为
x1
，
x2
，且
x1

n

x2
，当整数
n至少可取到
2
个整数，求
a的取值范围.
24．（本小题满分
12分）
如图，点
E，F在正方形
ABCD的对角线
AC上， EBF

45 ．
（1）当
BE=BF时，求证：AE=CF；
（2）若
AB=4，求
AF
CE的值；
（3）延长
BF交
CD于点
G，连接
EG.判断线段
BE与
EG的数量关系，并说明理由
A
D
E
F
B
C
数学试题
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6
页
共
6
页宁德市
2021-2022学年度第一学期九年级第一次质量检测
数学试题参考答案及评分标准
⑴本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可参照本答案的评
分标准的精神进行评分．
⑵对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的立意，
可酌情给分．
⑶解答右端所注分数表示考生正确作完该步应得的累加分数．
⑷评分只给整数分，选择题和填空题均不给中间分．
一、选择题：（本大题有
10
小题，每小题
4
分，满分
40
分）
1．B；2．B
；3．A；4．B；5．A；6．C；7．C；8．C；9．D；10．D．
二、填空题：（本大题有
6
小题，每小题
4
分，满分
24
分）
1
11．3
12．
x1

3，
x2

5
13．11
14.
3
15．
x
x
12

864
16
5
．
．
2
三、解答题（本大题共
9
小题，共
86
分．请在答．题．卡．的相应位置作答）
17．（本题满分
8分）
解：法一：
x2

8x

5

0
x2

8x

5
··········································································
1分

x

4 2
11
····································································4
分
x

4


11
··········································································6分
x

4

11
x

4

11，
x

4

11
························································
8分
法二：
a
1，
b

8，
c

5
∴
b2

4ac
=
( 8)2

4 1 5

44

0
··························································3分
∴
x
8

44
·······················································································6分
2
∴
x

4

11，
x

4

11
····································································
8分
18．解：（1）∵方程有实数根，
∴△＝25﹣4m≥0，
解得，m≤
；
数学试题参考答案和评分标准
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页
（2）由一元二次方程根与系数的关系可知，x1+x2＝5，x1 x2＝m，
∵3x1﹣2x2＝5，
∴3x1+3x2﹣5x2＝5，
∴﹣5x2＝﹣10，
解得，x2＝2，
把
x＝2
代入原方程得，m＝6．
19.
（1）证明：∵E是
AD的中点，∴AE=DE
，
∵AF∥BC，∴∠AFE=∠DBE，
∵在△AEF和△DEB中，∠AFE=∠DBE，∠AEF=∠DEB，AE=DE，
∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴AF=DB=DC，
∴四边形
ADCF是平行四边形，
∵∠BAC=90°，D是
BC的中点，
1
∴AD=CD=
BC，
2
∴平行四边形
ADCF是菱形；
（2）解：设
AF到
CD的距离为
h，
∵AF∥BC，AF=BD=CD，∠BAC=90°，
1
1
1
∴S
菱形ADCF=CD·h=
BC·h=S2
△ABC
=
AB·AC=
×12×16=96.
2
2
20.（本题满分
8分）
1
1解：（
）教师甲被选中的概率为
.…………………3分
4
（2）
甲
乙
丙
丁
甲
（甲，乙）
（甲，丙）
（甲，丁）
乙
（乙，甲）
（乙，丙）
（乙，丁）
丙
（丙，甲）
（丙，乙）
（丙，丁）
丁
（丁，甲）
（丁，乙）
（丁，丙）
…………………6分
因为由表可知，一共有
12种结果.每种结果出现的可能性相同，其中甲，乙被选中的可能结
数学试题参考答案和评分标准
第
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2
1
果有
2种，分别为（甲，乙），（乙，甲），所以甲，乙被选中的概率为
，即
.……8分
12
6
21．（本题满分
8分）
解：（1）如图四边形
EFGH就是所求作的图形.……3分
(2)∵四边形
ABCD是矩形.
∴∠A=∠B=90°.
∴∠AEH+∠AHE=90°………………………………………………4分
如图，四边形
EFGH为正方形，
EF=GH，∠HEF=90°
.
∴∠AEH+∠BEF=90°.
∴∠BEF=∠AHE.
∴△BEF≌△AHE.
.∴BF=AE.
………………………………………………6分
∵AE=AB-BE=6-2=4,
∴BF=4
在
Rt△BEF中,
∴
EF
2

BE
2

BF
2

20
.
∴四边形
EFGH的面积为
20.…………………………………………8分
22.解：(1)
(40-a)，
500+20a.
………………………………………4分
数学试题参考答案和评分标准
第
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页
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(2)第一次利润为：
(120
80) 500

20000
.
………………………………………5分
依题意可得：
(40

a)(500

20a)

20000
(1
5%)
.
………………………7分
整理得：
a2
15a

50

0
.
解得：
a

5
,
a
10
.
………………………8分
∵
500+20a≤650.
∴a≤7.5.
………………………9分
∴a=5.
答：a的值为
5.
………………………10分
23．（本题满分
10分）
（1）证明：∵AB=AD,
∴∠ABD=∠ADB.
∵AD∥BC,
∴∠ADC+∠BCD=180°;
∴∠ADB
=∠DBC,
∴∠ABD=∠DBC.
………………………2分
∵∠ABC=70°,∠ADC=145°,
∴∠ADB=∠ABD=∠DBC=35°.
∴∠BCD=180°-∠ADC=180°-145°=35°.………………………4分
∴△ABD与△DBC相似，
∴对角线
BD是四边形
ABCD的“理想对角线”.
………………………5分
1
（2）解：当
∠BCD
∠BAD

180 时，
2
对角线
AC是四边形
ABCD的“理想对角线”.………………………7分
理由如下：∵AC平分∠BCD
1
∴∠ACB=∠ACD

∠BCD
2
1
∵
∠BCD
∠BAD

180
2
数学试题参考答案和评分标准
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∴∠ACB+∠BAD=180°
∴∠ACB+∠BAC+∠CAD=180°
∵△ABC中，∠ACB+∠B+∠BAC=180°
∴∠CAD=∠B
………………………9分
∴△ABC∽△DAC
∴对角线
AC是四边形
ABCD的“理想对角线”.
………………10分
24．（本题满分
13分）
（1）解：


(4a

k)2

4a(4a

2k)
………………2分

k
2

0
………………3分
∴该方程始终有两个实数根.
………………4分
（2）法一：∵


0
4a

k

k
∴
x

………………5分2a
x
4a

k

k
2
k
x
4a

k

k∴
1



，
2


2………………7分2a
a
2a
∴方程的固定解为
x=2.
………………8分
法二：
ax2

(4a

k
)x

4a

2k

0
∴
[ax

(2a

k)](x

2)

0
………………6分
∴
ax

(2a

k)

0或x

2

0
∵a≠0
∴
x
2a

k

2
k
x
a
a
，
2

2
∴方程的固定解为
x=2.
………………8分
法三：取
k=3，a=-1，可得方程：
x2

x

2

0，解得：
x1

1，
x

2
;
数学试题参考答案和评分标准
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页
2
取
k=2，a=-2，可得方程：
2x

6x

4

0，解得：
x1

2，
x2
1，
可得：方程的公共解为
x

2
.
………………7分
检验：将
x

2代入
ax2

(4a

k
)x

4a

2k

0，
有左边=
4a

(4a

k)
2

4a

2k

4a
8a

2k

4a

2k

0
右边
∴方程的固定解为
x=2.
………………8分
（备注：没有检验扣
1分）
（3）解：∵
4

k

2，
a

0
k
∴

0a
2
k∴


2a
∵n至少取到
2个整数，
2
k∴


2

2a
k
∴

2
···········································································10分a
∴
k

2a
a
k∴

2
∵
4

k

2
2
k∴



1
····························································································12分2
∴
a

1
∴
1
a

0
······························································································13分
24．（本题满分
12分）
解：（1）证明：∵四边形
ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠BAE=∠BCF=
45
．
····················································1分
∵BE=
BF，
∴∠BEF=∠BFE．
∴∠AEB=∠CFB．
·································································
2分
∴△ABE≌△CBF．
∴AE=CF．
············································································
3分
数学试题参考答案和评分标准
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（2）∵∠BEC=∠BAE+∠ABE
=
45
+∠ABE，
A
D
∠ABF=∠EBF+∠ABE=
45
+∠ABE，
∴∠BEC=∠ABF．·········································4
E分
∵∠BAF=∠BCE=
45
，
∴△ABF∽△CEB．
···································
5分
F
AF
AB
∴

．
B
C
BC
CE
图
1
∴
AF
CE

AB

BC

4
4
=16．
······················································7分
（3）解法一：如图
2
∠EBF=∠GCF=45°,
∠EFB=∠GFC,
A
D
∴△BEF∽△CGF.
········································
8分
E
∴
EF
BF
GF

CF
.
G
EF
GF
F
即
BF

CF
.
∵∠EFG=∠BFC,
B
C
∴△EFG∽△BFC.
·······································10分
图
2
∴∠EGF=∠BCF=45°.
∴∠EBF
=∠EGF.
∴EB=EG.
························································································
12分
解法二：如图
3，过点
E作
HK

CD交
CD于点
K，交
AB于点
H，连接
BD，
∵四边形
ABCD是正方形，
A
D
∴∠BAE=∠BDG=∠ABD=
45
．
H
E
K
∴∠ABD=∠EBF=
45
．
G
F
∴∠ABE=∠DBG．
∴△ABE
∽△DBG．
·······························8分
DG
BD
B
C
∴


2
．
AE
AB
图
3
∴DG

2AE．
在
Rt△AHE中，∠HAE=∠AEH=
45
，
∴
AE

2AH，AH=HE．
∴
DG

2AE

2AH
．
···························
9分
在四边形
AHKD中，
∵∠DAH=∠ADK=∠AHK=
90
，
∴四边形
AHKD是矩形．
∴DK=AH．
∴KG=DG-DK=2AH-AH=AH．
∴HE=KG．
················································································
10分
在
Rt△CEK中，∠KEC=∠KCE=
45
，
∴EK=CK．
数学试题参考答案和评分标准
第
7
页
共
8
页
∵DK=AH，
∴AB-DK=CD-AH．
∴CK=BH．
∴EK=BH．
·····················································································
11分
∵HE=KG，∠BHE=∠EKC=
90
，EK=BH，
∴△BHE≌△EKG．
∴BE=EG．
················································································
12分
解法三：过点
E作HK

CD交
AB于点
H，交
CD于点
K，作
EG


BE交
CD于点
G′,
连接
EG′,
A
D
∴∠BHE=∠EKG′=90°.
E
∴∠BEH+∠EBH=90°
,∠BEH+G′EK=90°
H
K.
G′
G
∴∠EBH=∠G′EK.
F
∵∠KHB=∠HBC=∠BCK=
90
，
∴四边形
HBCK是矩形．
B
C
∴HB=KC
J．
图
4
∵∠KEC=∠KCE=
45
，
∴KE=KC=HB．
∴△BEH≌△EG′K.
··············································································9分
∴BE=EG′.
∵BE⊥EG′，
∴∠EBG′=∠EG′B=45°.
∴∠EBG′=∠EBG=45°.·········································································
11分
∵点
G′与点
G都在
CD上，且在
BE同侧，
∴点
G′与点
G重合.
∴BE=EG.
·························································································12分
数学试题参考答案和评分标准
第
8
页
共
8
页宁德市
2021-2022
学年度第一学期九年级第一次质量检测
18．（本题满分
8分）
20．（本题满分
8分）
考生严禁填涂,监考教师填
数学答题卡
涂,缺考标志
[
]
准考证号:
学校___________________
班级___________________
姓名___________________
贴条形码区域
座号___________________
考场___________________
1.答题前，考生先将自己的学校、班级、姓名、班级座号和准考证号填写清楚。
注2.考生作答时，请将答案写在答题卡上。并按照题号在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的
答案无效。
意3.选择题答案使用
2B
铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案
事使用
0.5
毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
4.做选考题时，考生按照题目要求作答，并用
2B
铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。
项5.保持卡面清洁，不折叠、不破损。考试结束后，将答题卡交回。
一、
01
[A]
[B]
[C]
[D]
06
[A]
[B]
[C]
[D]
02
[A]
[B]
[C]
[D]
07
[A]
[B]
[C]
[D]
03
[A]
[B]
[C]
[D]
08
[A]
[B]
[C]
[D]
04
[A]
[B]
[C]
[D]
09
[A]
[B]
[C]
[D]
19．（本题满分
9分）
05
[A]
[B]
[C]
[D]
10
[A]
[B]
[C]
[D]
21．（本题满分
10分）
二、11.
12.
13.
14.
15.
16.
三、17．（本题满分
8分）
22．（本题满分
10分）
24．（本题满分
13分）
25．（本题满分
12分）
A
D
E
F
B
C
23．（本题满分
10分）

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