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2020-2021学年福建省福州市仓山区九年级（上）期中数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．下列图形中，是中心对称图形的是（　　）
A．
B．
C．
D．
2．将方程（x﹣2）2＝5化成一元二次方程的一般形式，正确的是（　　）
A．x2﹣4x﹣1＝0
B．x2﹣4x+1＝0
C．x2+4x﹣9＝0
D．x2+4x+9＝0
3．若x＝3是方程x2﹣x+2a＝0的一个根，则a的值是（　　）
A．a＝﹣3
B．a＝﹣2
C．a＝2
D．a＝3
4．参加足球友谊赛的每两支球队之间都要进行一场比赛，共比赛了45场，设参加比赛的球队有x支，根据题意，下面列出的方程正确的是（　　）
A．x（x+1）＝45
B．x（x﹣1）＝45
C．x（x+1）＝45
D．x（x﹣1）＝45
5．将二次函数y＝（x﹣3）2+1的图象向上平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为（　　）
A．y＝x2+1
B．y＝（x﹣6）2+1
C．y＝（x﹣3）2﹣2
D．y＝（x﹣3）2+4
6．抛物线y＝a（x﹣1）2+k与x轴的一个交点坐标为（1，0），则此抛物线与x轴的另一个交点坐标为（　　）
A．（，0）
B．（3，0）
C．（，0）
D．（2，0）
7．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是（﹣3，2），接OA，将线段OA绕原点O旋转180°，得到对应线段OA'，则点A′的坐标为（　　）
A．（3，﹣2）
B．（3，2）
C．（2，﹣3）
D．（﹣3，﹣2）
8．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，AB⊥CD，连接CO，AD，∠BAD＝α，则∠OCD的度数（　　）
A．2α
B．3α
C．90°﹣α
D．90°﹣2α
9．如图，在△ABC中，∠ABC＝α，将△ABC绕点B逆时针旋转得到△A′BC′，使点C的对应点C′恰好落在边AB上，若CA＝CB，则∠CAA′的度数是（　　）
A．90°﹣α
B．90°α
C．90°α
D．90°+α
10．若二次函数y＝（x﹣3）2+2m，在自变量x满足m≤x≤m+2的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则m的值为（　　）
A．﹣2或2
B．﹣2或
C．2或
D．﹣2或2或
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分
11．抛物线y＝2（x﹣6）2+9的顶点坐标为
　
　．
12．如图是一个中心对称图形，A为对称中心，若∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，则BB′的长为
　
　．
13．若x1，x2是一元二次方程4x2﹣5x+1＝0的两个根，则x1+x2+x1 x2的值为
　
　．
14．如图，在⊙O中，直径AB垂直弦CD于点E，若AE＝4，OE＝1，则CD的长为
　
　．
15．若（a2+b2）（a2+b2﹣4）＝7，则a2+b2的值为
　
　．
16．如图，在⊙O中，直径AB＝2，延长AB至c，使BC＝OB，点D在⊙O上运动，连接CD，将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE，其中点D和点E是对应点，连接OE，则线段OE的最大值为
　
　．
三、解答题：本题共9小题，共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．x（x﹣3）+x﹣3＝0．
18．已知关于x的一元二次方程mx2+4x+2＝0有两个不相等的实数根，求m的取值范围．
19．已知抛物线y＝ax2+bx+c过A（0，0），B（1，9），C（2，26）三点，求该抛物线的解析式．
20．如图，四边形ABCD是矩形．求证：A，B，C，D四点在同一个圆上．
21．如图，点M是等边三角形ABC内的一点，连接AM，CM．
（1）尺规作图：作出△ACM绕点A顺时针旋转60°得到的△ABN；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，若∠ACM+∠CAM＝60°，求证：C，M，N三点共线．
22．如图，在⊙O中，直径AB和弦CD相交于点E，∠A＝30°，∠AEC＝∠OCE+30°．
（1）求证：AC＝AE；
（2）若AC＝2，求CD的长．
23．某商品现在的售价为每件50元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如果调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出5件；每降价1元，每星期可多卖出25件．已知商品的进价为每件30元，问如何定价才能使一星期利润最大？最大利润是多少？
24．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，点D是BC边上一动点，连接AD，把AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，连接CE，DE．
（1）求∠ECD的度数；
（2）取DE的中点F，连接CF．分别延长CF，BA，相交于点G，如备用图所示．
①求证：GF＝CF；
②当BD＝3CD时，求AG的长．
25．已知二次函数y＝x2+bx+b﹣1，其中b为常数．
（1）当y＝0时，求x的值；（用含b的式子表示）
（2）抛物线y＝x2+bx+b﹣1与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），过点E（4，2）作直线交抛物线于P，Q两点，其中点P在第一象限，点Q在第四象限，连接AP，AQ分别交y轴于点M（0，m），N（0，n）．
①当b＜2时，求点P的横坐标xp的值；（用含m，b的式子表示）
②当b＝﹣3时，求证：OM ON是一个定值．

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