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圆锥曲线
一、选择题部分
1.(2021 新高考全国Ⅰ卷 T5)已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（）
A.
13
B.
12
C.
9
D.
6
2.(2021 高考全国甲卷 理T5)
已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（）
A.
B.
C.
D.
3.(2021 高考全国乙卷 文T11)设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（）
A.
B.
C.
D.
2
4.(2021 浙江卷 T9)
已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（）
A.
直线和圆
B.
直线和椭圆
C.
直线和双曲线D.
直线和抛物线
5.(2021 江苏盐城三模 T7)设双曲线C：0)的焦距为2，若以点P(m，n)(m＜a)为圆心的圆P过C的右顶点且与C的两条渐近线相切，则OP长的取值范围是
A．(0，)
B．(0，1)
C．(，1)
D．(，)
6.(2021 河南郑州三模 理T10)已知A，B是椭圆＝1（a＞b＞0）长轴的两个端点，P、Q是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2（k1k2≠0）．若椭圆的离心率为，则|k1|+|k2|的最小值为（　　）
A．1
B．
C．
D．
7.(2021 河南开封三模 文理T12)已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）．若椭圆C上存在一点P，使得，则椭圆C的离心率的取值范围为（　　）
A．
B．
C．
D．
8.(2021 河南开封三模 文理T3)“方程表示双曲线”的一个必要不充分条件为（　　）
A．m∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
B．m∈（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）
C．m∈（﹣∞，﹣2）
D．m∈（1，+∞）
9.(2021 河南焦作三模 理T12)已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）过第一、三象限的渐近线为l，过右焦点F作l的垂线，垂足为A，线段AF交双曲线于B，若|BF|＝2|AB|，则此双曲线的离心率为（　　）
A．
B．
C．
D．
10.(2021 河北张家口三模 T9)已知方程表示的曲线是双曲线，其离心率为e，则（　　）
A．
B．点（2，0）是该双曲线的一个焦点
C．
D．该双曲线的渐近线方程可能为x±2y＝0
11.(2021 山东聊城三模 T8.)已知A，B，C是双曲线上的三点，直线AB经过原点O，AC经过右焦点F，若，且，则该双曲线的离心率为（）
A.B.C.D.
12.(2021 四川内江三模 理T11．)已知椭圆C：的右焦点F，点P在椭圆C上（x+3）2+（y﹣4）2＝4上，且圆E上的所有点均在椭圆C外，若|PQ|﹣|PF|的最小值为2，且椭圆C的长轴长恰与圆E的直径长相等，则椭圆C的标准方程为（　　）
A．
B．
C．
D．
13.(2021 四川内江三模 理T7．)已知点A为抛物线C：x2＝4y上的动点（不含原点），过点A的切线交x轴于点B，设抛物线C的焦点为F（　　）
A．一定是直角
B．一定是锐角
C．一定是钝角
D．上述三种情况都可能
14.(2021 重庆名校联盟三模 T7．)已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点为F1、F2，虚轴长为2，若其渐近线上横坐标为1的点P恰好满足 ＝0，则双曲线的离心率为（　　）
A．2
B．
C．4
D．
15.(2021 安徽蚌埠三模 文T12．)已知圆C：（x+）2+y2＝（p＞0），若抛物线E：y2＝2px与圆C的交点为A，B，且sin∠ABC＝，则p＝（　　）
A．6
B．4
C．3
D．2
16.(2021 上海嘉定三模 T14．)设抛物线y2＝8x的焦点为F，过点F作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点E到y轴的距离为3，则弦AB的长为（　　）
A．等于10
B．大于10
C．小于10
D．与l的斜率有关
17.(2021 贵州毕节三模 文T11．)已知点F为双曲线的右焦点，过点F的直线l与曲线C的一条渐近线垂直，垂足为N，与C的另一条渐近线的交点为M，若，则双曲线C的离心率e的值为（　　）
A．
B．
C．2
D．
18.(2021 辽宁朝阳三模 T5．)明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廓均为椭圆．已知图（1），（2），（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别为，设图（1），（2），（3）中椭圆的离心率分别为e1，e2，e3，则（　　）
A．e1＞e3＞e2
B．e2＞e3＞e1
C．e1＞e2＞e3
D．e2＞e1＞e3
19.(2021 河南济源平顶山许昌三模 文T10．)设F1，F2分别为双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，O为坐标原点，过F1的直线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，且满足，，则该双曲线的离心率为（　　）
A．
B．
C．2
D．2
20.(2021 河南济源平顶山许昌三模 文T8．)设P，Q分别为圆（x﹣1）2+y2＝2和椭圆上的点，则P，Q两点间的最短距离是（　　）
A．
B．
C．
D．
21.(2021 安徽马鞍山三模 理T9．)已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C的渐近线上， ，且PF1与x轴垂直，则双曲线的离心率为（　　）
A．
B．
C．2
D．
22.(2021 安徽马鞍山三模 文T11．)已知椭圆经过点（3，1），当该椭圆的四个顶点构成的四边形的周长最小时，其标准方程为（　　）
A．
B．
C．
D．
23.(2021 四川泸州三模 理T7．)“m＝5”是“双曲线C：＝1的虚轴长为2”的（　　）
A．充分但不必要条件
B．必要但不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
24.(2021 上海浦东新区三模 T15．)已知两定点A（﹣1，0）、B（1，0），动点P（x，y）满足tan∠PAB tan∠PBA＝2，则点P的轨迹方程是（　　）
A．x2﹣＝1
B．x2﹣＝1（y≠0）
C．x2+＝1
D．x2+＝1（y≠0）
25.(2021 湖南三模 T4．)已知抛物线C：y＝mx2（m＞0）上的点A（a，2）到其准线的距离为4，则m＝（　　）
A．
B．8
C．
D．4
26.(2021 湖南三模 T7．)P为双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）上一点，F1，F2分别为其左、右焦点，O为坐标原点．若|OP|＝b，且sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，则C的离心率为（　　）
A．
B．
C．2
D．
27.(2021 福建宁德三模 T4)
如图，抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射，通过聚光获取热量进行炊事烹饪食物的一种装置.由于太阳光基本上属于平行光线，所以当太阳灶旋转抛物面的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，在这里形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点就在它的主光轴上.现有一抛物线型太阳灶，灶口直径AB为，灶深CD为，则焦点到灶底抛物线的顶点的距离为
A.
3m
B.
C.
1m
D.
28.(2021 江西南昌三模 理T10．)如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在P点处变轨进以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则下列结论中正确的序号为（　　）
①轨道Ⅱ的焦距为R﹣r；
②若R不变，r越大，轨道Ⅱ的短轴长越小；
③轨道Ⅱ的长轴长为R+r；
④若r不变，R越大，轨道Ⅱ的离心率越大．
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
29.(2021 江西上饶三模 理T7．)已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，则点M（3，0）到双曲线C的渐近线距离为（　　）
A．2
B．
C．
D．2
30.(2021 安徽宿州三模 理T10．)已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，圆x2+y2＝a2+b2与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为A，B，四边形AF1BF2的周长p与面积S满足＝，则该双曲线的离心率为（　　）
A．
B．
C．
D．
31.(2021 安徽宿州三模 文T11．)已知F1，F2是双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，焦距为2c，以原点O为圆心，|OF2|为半径的圆与双曲线的左支交于A，B两点，且|AB|＝c，则该双曲线的离心率为（　　）
A．
B．
C．
D．
32.(2021 安徽宿州三模 文T9．)抛物线C：y2＝8x的焦点为F，其准线l与x轴交于点K，点M在抛物线C上，当|MK|＝|MF|时，△MFK的面积为（　　）
A．4
B．4
C．8
D．8
33.(2021 河北邯郸二模 理T8．)设双曲线C：的焦距为2c（c＞0），左、右焦点分别是F1，F2，点P在C的右支上，且c|PF2|＝a|PF1|，则C的离心率的取值范围是（　　）
A．（1，）
B．（，+∞）
C．（1，1+]
D．[1+，+∞）
34.(2021 江西鹰潭二模 理T11．)已知A，B分别为椭圆的左、右顶点，P为椭圆C上一动点，PA，PB与直线x＝3交于M，N两点，△PMN与△PAB的外接圆的周长分别为L1，L2，则的最小值为（　　）
A．
B．
C．
D．
35.(2021 江西上饶二模 理T11．)双曲线E：的右焦点为F2，A和B为双曲线上关于原点对称的两点，且A在第一象限．连结AF2并延长交双曲线于点P，连结BF2、BP，若△BF2P是等边三角形，则双曲线E的离心率为（　　）
A．
B．
C．
D．
36.(2021 河北秦皇岛二模 理T11．)已知方程C：＝1，n∈N
，则下列选项正确的是（　　）
A．当n＝1时，|x|+|y|的最小值为
B．当n＝1时，方程C所表示的曲线围成封闭图形的面积为S，则S＜2
C．当n＝3时，|x| |y|的最小值为
D．当n＝3时，方程C所表示的曲线围成封闭图形的面积为S，则2＜S＜π
37.(2021 河北秦皇岛二模 理T8．)椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交椭圆C于A，B两点，已知，，则椭圆C的离心率为（　　）
A．
B．
C．
D．
38.(2021 浙江杭州二模 理T7．)已知F1，F2是双曲线C：的两个焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线C的离心率为（　　）
A．4+2
B．﹣1
C．
D．
39.(2021 北京门头沟二模 理T9)
已知抛物线C：的焦点为F，过F且斜率为的直线与抛物线C上相交于P，Q两点，且P，Q两点在准线上的投影分别为M，N两点，则的面积为
A.
B.
C.
D.
40.(2021 江西九江二模 理T12．)已知双曲线＝1（a，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1且倾斜角为的直线1与双曲线的左、右支分别交于点A，B，且|AF2|＝|BF2|，则该双曲线的离心率为（　　）
A．
B．
C．2
D．2
41.(2021 江西九江二模 理T8．)已知抛物线E：y2＝2px（p＞0），斜率为1的直线l过抛物线E的焦点，若抛物线E上有且只有三点到直线l的距离为，则p＝（　　）
A．4
B．2
C．1
D．
42.(2021 山东潍坊二模 T11．)已知双曲线C：x2﹣＝1，其左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作一直线与双曲线C的右支交于点P，Q，且＝0，则下列结论正确的是（　　）
A．△PF1Q的周长为4
B．△PF1F2的面积为3
C．|PF1|＝+1
D．△PF1Q的内切圆半径为﹣1
43.(2021 辽宁朝阳二模 T8．)已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F，点A，B是C的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB为直径的圆过F且交C的左支于M，N两点，若|MN|＝2，△ABF的面积为8，则C的渐近线方程为（　　）
A．y＝
B．y＝
C．y＝±2x
D．y＝
44.(2021 辽宁朝阳二模 T3．)过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线交抛物线C于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，且x1+x2＝，则弦AB的长为（　　）
A．
B．4
C．
D．
45.(2021 广东潮州二模 T5．)已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：x+2y+5＝0，则双曲线的离心率为（　　）
A．2
B．
C．
D．
46.(2021 天津南开二模 T7．)已知双曲线C：的离心率为2，左、右焦点分别为F1，F2点A在双曲线C上，若△AF1F2的周长为10，则△AF1F2的面积为（　　）
A．
B．
C．15
D．30
47.(2021 吉林长春一模 文T10.)已知抛物线，过其焦点的直线与抛物线分别交于、两点(点在第一象限)，且则直线的倾斜角为
A.
B.
C.
D.
48.(2021 吉林长春一模 文T4.)已知双曲线的渐近线方程为则其离心率为
A.
B.
C.
D.
49.(2021 新疆乌鲁木齐二模 文T11．)已知双曲线＝1的右焦点为F，点M在双曲线上且在第一象限，若线段MF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线MF的斜率是（　　）
A．
B．
C．
D．
50.(2021 新疆乌鲁木齐二模 文T7．)已知F1，F2是椭圆的两个焦点，B1，B2是椭圆短轴的两个端点，若四边形F1B1F2B2的面积是8，则椭圆长轴长的最小值为（　　）
A．2
B．4
C．4
D．8
51.(2021 安徽淮北二模 文T10．)如图，F1，F2是双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A，B为双曲线上关于原点对称的两点，且满足|AB|＝2|OF1|，∠ABF1＝，则双曲线的离心率为（　　）
A．
B．
C．
D．
52.(2021 宁夏银川二模 文T9．)已知抛物线y2＝8x的焦点为F，经过点P（1，1）的直线l与该曲线交于A，B两点，且点P恰为AB的中点，则|AF|+|BF|＝（　　）
A．4
B．6
C．8
D．12
53.(2021 山西调研二模 文T11)已知F为双曲线C：的右焦点，以点F为圆心，1为半径的圆与C的渐近线相切于点，则C的离心率为
A.
B.
C.
2
D.
3
54.(2021 山西调研二模 文T5.)若椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数m的值为
A.
3
B.
6
C.
12
D.
15
55.(2021 河南郑州二模 文T9．)已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）（c＞0），过点P（，0）的直线与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，且＝﹣3，则双曲线的离心率为（　　）
A．
B．
C．
D．
二、填空题部分
56.(2021 新高考全国Ⅰ卷 T14)
已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______.
57.(2021 高考全国甲卷 理T15)
已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．
58.(2021 高考全国乙卷 文T14)
双曲线的右焦点到直线的距离为________．
59.(2021 浙江卷 T16)
已知椭圆，焦点，，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且轴，则该直线的斜率是___________，椭圆的离心率是___________.
60.(2021 江西上饶三模 理T16．)某中学张燕同学不仅学习认真，而且酷爱体育运动，经过艰苦的训练，终于在校运会的投铅球比赛中创造佳绩．已知张燕所投铅球的轨迹是一段抛物线（人的身高不计，铅球看成一个质点），如图所示，设初速度为定值v0，且与水平方向所成角为变量θ，已知张燕投铅球的最远距离为10m．当她投得最远距离时，铅球轨迹抛物线的焦点到准线的距离为　
　m．（空气阻力不计，重力加速度为10m/s2）
61.(2021 河南郑州三模 理T15)已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）右顶点、右焦点为A、F，过点A的直线l与C的一条渐近线交于点Q，直线QF与C的一个交点为B， ＝ ，且＝4，则双曲线离心率e为　　．
62.(2021 河北张家口三模 T16)已知为椭圆的右焦点，B两点，P为AB的中点，且△OFP外接圆的面积为，则椭圆C的长轴长为　　．
63.(2021 安徽宿州三模 理T16．)已知A，B分别为抛物线C1：y2＝8x与圆C2：x2+y2﹣6x﹣4y+16＝0上的动点，抛物线的焦点为F，P、Q为平面内两点，且当|AF|+|AB|取得最小值时，点A与点P重合；当|AF|﹣|AB|取得最大值时，点A与点Q重合，则△FPQ
的面积为　　．
64.(2021 山东聊城三模 T15.)已知点，过抛物线．上一点P作的垂线，垂足为B，若，则
________．
65.(2021 四川内江三模 理T16．)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如图：四叶草曲线C就是其中一种，其方程为（x2+y2）3＝x2y2．给出下列四个结论：
①曲线C有四条对称轴；
②曲线C上的点到原点的最大距离为；
③在第一象限内，过曲线C上一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积的最大值为；
④四叶草面积小于．
其中，所有正确结论的序号是　　．
66.(2021 重庆名校联盟三模 T15．)已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M（x0，2）（）是抛物线C上一点，以点M为圆心的圆与直线x＝交于E，G两点，若sin∠MFG＝，则抛物线C的方程是　．
67.(2021 安徽蚌埠三模 文T14．)“天问一号”推开了我国行星探测的大门，通过一次发射，将实现火星环绕、着陆、巡视，是世界首创，也是我国真正意义上的首次深空探测．2021年2月10日，天问一号探测器顺利进入火星的椭圆环火轨道（将火星近似看成一个球体，球心为椭圆的一个焦点）．2月15日17时，天问一号探测器成功实施捕获轨道“远火点（椭圆轨迹上距离火星表面最远的一点）平面机动”，同时将近火点高度调整至约265公里．若此时远火点距离约为11945公里，火星半径约为3400公里，则调整后“天问一号”的运行轨迹（环火轨道曲线）的离心率约为　．（精确到0.1）
68.(2021 上海嘉定三模 T9．)设椭圆Γ：＝1（a＞1），直线l过Γ的左顶点A交y轴于点P，交Γ于点Q，若△AOP为等腰三角形（O为坐标原点），且Q是AP的中点，则Γ的长轴长等于　　．
69.(2021 贵州毕节三模 文T16．)由集合P＝{（x，y）|（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝9，π≤θ≤2π}中所有点组成的图形如图阴影部分所示，其外廓形如“心脏”，中间白色部分形如倒立的“水滴”．则阴影部分与y轴相交的两条线段长度和为　　．
70.(2021 辽宁朝阳三模 T14．)已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，M为C左支上一点，N为线段MF2上一点，且|MN|＝|MF1|，P为线段NF1的中点．若|F1F2|＝4|OP|（O为坐标原点），则C的渐近线方程为　　．
71.(2021 四川泸州三模 理T16．)关于曲线C：3x2+2xy+3y2＝1有如下四个命题：
①曲线C关于原点对称；
②直线x＝1与曲线C有公共点；
③曲线C上任一点的纵坐标的范围是[﹣，]；
④曲线C上任一点与原点距离的范围是[，]．
其中所有真命题的序号是　　（填上所有正确的序号）．
72.(2021 江苏常数三模 T15．)如图，一个酒杯的内壁的轴截面是抛物线的一部分，杯口宽4cm，杯深8cm，称为抛物线酒杯．
①在杯口放一个表面积为36πcm2的玻璃球，则球面上的点到杯底的最小距离为　　cm；
②在杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径的取值范围为　　（单位：cm）．
73.(2021 福建宁德三模 T16)
已知动点P在圆上，双曲线的右焦点为，若C的渐近线上存在点Q满足，则C的离心率的取值范围是______
.
74.(2021 宁夏中卫三模 理T16．)已知椭圆与双曲线共焦点，过椭圆C上一点P的切线l与x轴、y轴分别交于A，B两点（F1，F2为椭圆C的两个焦点）．又O为坐标原点，当△ABO的面积最小时，下列说法所有正确的序号是　　．
①b＝1；
②当点P在第一象限时坐标为；
③直线OP的斜率与切线l的斜率之积为定值；
④∠F1PF2的角平分线PH（点H在F1F2上）长为．
75.(2021 江西南昌三模 理T15．)设双曲线的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），圆（x﹣c）2+y2＝4c2与双曲线C在第一象限的交点为A，若AF1与双曲线C的一条渐近线l垂直，则l的方程为　　．
76.(2021 北京门头沟二模 理T13)是双曲线C：上的一点，，，设，，的面积为S，则的值为______
.
77.(2021 浙江杭州二模 理T17．)已知F为抛物线y2＝4x的焦点，过F作斜率为k1的直线和抛物线交于A，B两点，延长AM，BM交抛物线于C，D两点，直线CD的斜率为k2．若M（4，0），则＝　　．
78.(2021 河北秦皇岛二模 理T15．)已知双曲线C：x2﹣＝1的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2与双曲线C的左、右两支分别交于A、B两点，已知∠F1AF2＝90°，且△ABF1内切圆半径为1，则|AB|＝　　．
79.(2021 江西上饶二模 理T15．)过抛物线y2＝2x的焦点作两条相互垂直的弦AB，CD，且|AB|+|CD|＝λ|AB| |CD|，则实数λ的值为．
80.(2021 江西鹰潭二模 理T14．)已知方程﹣＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是　　．
81.(2021 山东潍坊二模 T)
15．已知一张纸上画有半径为2的圆O，在圆0内有一个定点A，且OA＝1，折叠纸片，使圆上某一点A'刚好与A点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当A'取遍圆上所有点时，所有折痕与OA'的交点形成的曲线记为C，则曲线C上的点到圆O上的点的最大距离为　　．
82.(2021 河北邯郸二模 理T16．)过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作不垂直于x轴的直线，交抛物线于M，N两点，线段MN的中垂线交x轴于R，则＝　　．
83.(2021 广东潮州二模 T14．)若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是　　．
84.(2021 辽宁朝阳二模 T14．)已知|z+i|+|z﹣i|＝6，则复数z在复平面内所对应点P（x，y）的轨迹方程为　　．
85.(2021 浙江丽水湖州衢州二模 T17．)已知F1，F2是双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F2的直线交双曲线的右支于A，B两点，且|AF1|＝2|AF2|，∠AF1F2＝∠F1BF2，则下列结论正确的有　　．
①双曲线C的离心率e＝；
②双曲线C的一条渐近线斜率是；
③线段|AB|＝6a；
④△AF1F2的面积是a2．
86.(2021 浙江丽水湖州衢州二模 T16．)已知平面向量，，，，若||＝||＝，＝0，||+||＝4，||＝1，则||的最大值是　　．
87.(2021 宁夏银川二模 文T16．)已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，左顶点为A，过点F作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，若tan∠MAF＝，则双曲线的离心率等于　　．
88.(2021 安徽淮北二模 文T15．)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F（O为坐标原点），过点F的直线l交抛物线C于点A，B，若|FA|﹣|FB|＝，则△OAB的面积为　　．
三、解答题部分
89.(2021 新高考全国Ⅰ卷 T21)
在平面直角坐标系中，已知点、，点的轨迹为.
（1）求的方程；
（2）设点在直线上，过的两条直线分别交于、两点和，两点，且，求直线的斜率与直线的斜率之和.
90.(2021 高考全国甲卷 理T20)
抛物线C的顶点为坐标原点O．焦点在x轴上，直线l：交C于P，Q两点，且．已知点，且与l相切．
（1）求C，的方程；
（2）设是C上的三个点，直线，均与相切．判断直线与的位置关系，并说明理由．
91.(2021 高考全国乙卷 文T20)
已知抛物线的焦点F到准线的距离为2．
（1）求C的方程;
（2）已知O为坐标原点，点P在C上，点Q满足，求直线斜率的最大值.
92.(2021 浙江卷 T21)
如图，已知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且，
（1）求抛物线的方程；
（2）设过点F的直线交抛物线与A B两点，斜率为2的直线l与直线，x轴依次交于点P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围.
93.(2021 江苏盐城三模 T20)(12分)如图，在平面直角坐标系中，已知点P是抛物线上的一个点，其横坐标为x0，过点P作抛物线的切线l．
(1)求直线l的斜率(用x0与p表示)；
(2)若椭圆过点P，l与的另一个交点为A，OP与的另一个交点为B，求证：AB⊥PB．
(
O
)
(
y
)
(
x
)
(
P
)
(
B
)
(
A
)
【考点】圆锥曲线中抛物线与椭圆的综合应用：斜率表示、证明垂直问题
94.(2021 河南郑州三模 理T20)已知抛物线C：x2＝4y和圆E：x2+（y+1）2＝1，过抛物线上一点P（x0，y0），作圆E的两条切线，分别与x轴交于A、B两点．
（Ⅰ）若切线PB与抛物线C也相切，求直线PB的斜率；
（Ⅱ）若y0≥2，求△PAB面积的最小值．
95.(2021 河南开封三模 理T20)已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P是抛物线C上一点，且满足．
（1）求抛物线C的方程；
（2）已知直线l与抛物线C交于A，B两点，且|AB|＝15，线段AB的中点M在直线x＝1上．
（ⅰ）求直线l的方程；
（ⅱ）证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．
96.(2021 河南开封三模 文T20．)已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P是抛物线C上一点，且满足．
（1）求抛物线C的方程；
（2）已知斜率为2的直线l与抛物线C交于A，B两点，若，，成等差数列，求该数列的公差．
97.(2021 河南焦作三模 理T20)已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线与C交于A，B两点，△AOB（点O为坐标原点）的面积为2．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若过点E（0，a）（a＞0）的两直线l1，l2的倾斜角互补，直线l1与抛物线C交于M，N两点，直线l2与抛物线C交于P，Q两点，△FMN与△FPQ的面积相等，求实数a的取值范围．
98.(2021 河北张家口三模 T21)已知抛物线C：y2＝4px（p＞0）的焦点为F，且点M（1，2）
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线l：x﹣m（y+2）﹣5＝0与抛物线C交于A，B两点？若存在，求出m的值，请说明理由．
99.(2021 山东聊城三模 T21.)已知圆，圆，．当r变化时，圆与圆的交点P的轨迹为曲线C，
（1）求曲线C的方程；
（2）已知点，过曲线C右焦点的直线交曲线C于A、B两点，与直线交于点D，是否存在实数m，，使得成立，若存在，求出m，；若不存在，请说明理由．
100.(2021 四川内江三模 理T20．)已知椭圆过点P（2，1）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求其离心率；
（Ⅱ）过点P作x轴的垂线l，设点A为第四象限内一点且在椭圆C上（点A不在直线l上），点A关于l的对称点为A'，判断直线AB与直线OP的位置关系，并说明理由．
101.(2021 重庆名校联盟三模 T21．)设椭圆＝1（a＞b＞0）的离心率e＝，焦距为4．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过椭圆右焦点F的动直线l交椭圆于A、B两点，P为直线x＝3上的一点，是否存在直线l与点P，使得△ABP恰好为等边三角形，若存在求出△ABP的面积，若不存在说明理由．
【解析】（1）因为焦距为4，所以2c＝4，解得c＝2，因为椭圆的离心率e＝，即＝，解得a＝，所以b2＝a2﹣c2＝6﹣4＝2，所以椭圆的方程为+＝1．
102.(2021 安徽蚌埠三模 文T20．)已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的虚轴长为4，直线2x﹣y＝0为双曲线C的一条渐近线．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）记双曲线C的左、右顶点分别为A，B，过点T（2，0）的直线l交双曲线C于点M，N（点M在第一象限），记直线MA斜率为k1，直线NB斜率为k2，求证：为定值．
103.(2021 上海嘉定三模 T20．)（16分）在直角坐标系xOy中，直线y＝2x是双曲线的一条渐近线，点A（1，0）在双曲线C上，设M（m，n）（n≠0）为双曲线上的动点，直线AM与y轴相交于点P，点M关于y轴的对称点为N，直线AN与y轴相交于点Q．
（1）求双曲线C的方程；
（2）在x轴上是否存在一点T？使得，若存在，求T点的坐标；若不存在，说明理由；
（3）求M点的坐标，使得△MPQ的面积最小．
104.(2021 贵州毕节三模 文T20．)已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝4，A为椭圆上一点（不在x轴上），满足．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过椭圆内一点P（t，0）（t≠0）且斜率为的直线l交椭圆C于M，N两点，设直线OM，ON（O为坐标原点）的斜率分别为k1，k2，若对任意非零实数m，存在实数λ，使得，求实数λ的取值范围．
105.(2021 辽宁朝阳三模 T22．)已知F为抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点，直线l：y＝2x+1与C交于A，B两点，且|AF|+|BF|＝20．
（1）求C的方程；
（2）若直线m：y＝2x+t（t≠1）与C交于M，N两点，且AM与BN相交于点T，证明：点T在定直线上．
106.(2021 河南济源平顶山许昌三模 文T20．)已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，过点F且斜率为的直线与抛物线C交于A，B两点，|AB|＝9．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）过点F的直线l交抛物线C于D，E两点．过D，E分别作抛物线C的切线，两切线交于点M，若直线l与抛物线C的准线交于第四象限的点N，且|MN|＝|DE|，求直线l的方程．
107.(2021 四川泸州三模 理T21．)从抛物线y2＝4x上各点向x轴作垂线段，记垂线段中点的轨迹为曲线P．
（Ⅰ）求曲线P的方程，并说明曲线P是什么曲线；
（Ⅱ）过点M（2，0）的直线l交曲线P于两点A、B，线段AB的垂直平分线交曲线P于两点C、D，探究是否存在直线l使A、B、C、D四点共圆？若能，请求出圆的方程；若不能，请说明理由．
108.(2021 江苏常数三模 T21．)椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，E是椭圆C上一点，且|F1F2|＝2，|EF1|+|EF2|＝4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）M，N是y轴上的两个动点（点M与点E位于x轴的两侧），∠MF1N＝∠MEN＝90°，直线EM交x轴于点P，求的值．
109.(2021 上海浦东新区三模 T20．)已知直线l：y＝x+t与椭圆C：＝1交于A、B两点（如图所示），且P（3，）在直线l的上方．
（1）求常数t的取值范围；
（2）若直线PA、PB的斜率分别为k1、k2，求k1+k2的值；
（3）若△APB的面积最大，求∠APB的大小．
110.(2021 湖南三模 T22．)已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），离心率e＝．
（1）若P为椭圆C上一动点，证明P到F的距离与P到直线x＝的距离之比为定值，并求出该定值；
（2）设c＝1，过定点（0，c）且斜率为k的直线l与椭圆C交于M，N两点，在y轴上是否存在一点Q，使得y轴始终平分∠MQN？若存在，出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．
(2021 福建宁德三模 T21)
已知，为椭圆C：的左、右顶点，点在C上，且直线，的斜率之积为
求C的方程；
直线l：交C于A，B两点，直线MA，MB与直线分别交于P，Q，线段PQ的中点为N，求证：直线MN的斜率为定值.
112.(2021 宁夏中卫三模 理T20．)已知抛物线Γ：y2＝2px的焦点为F（2，0），点P在抛物线Γ上．
（1）求抛物线Γ的方程；
（2）若|PF|＝5，求点P的坐标；
（3）过点T（t，0）（t＞0）作两条互相垂直的直线分别交抛物线Γ于A、B、C、D四点，且点M、N分别为线段AB、CD的中点，求△TMN的面积的最小值．
113.(2021 江西南昌三模 理T19．)已知抛物线C：x2＝4y，过点P（1，﹣2）作斜率为k（k＞0）的直线l与抛物线C相交于A，B两点．
（Ⅰ）求k的取值范围；
（Ⅱ）记P点关于x轴的对称点为Q点，若△QAB的面积为16，求直线l的方程．
114.(2021 江西上饶三模 理T20．)已知椭圆＝1（a＞b＞0）的两个顶点在直线x+y＝1上，直线l经过椭圆的右焦点F，与椭圆交于A、B两点，点P（1，）（P不在直线l上）．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）直线l与x＝2交于点M．设PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3．试问：是否存在常数λ使得k1+k2＝λk3？若存在，请求出λ的值；若不存在，请说明理由．
115.(2021 安徽宿州三模 理T19．)已知椭圆C：＝1（a＞b＞0），若抛物线y2＝4x的焦点F恰好为椭圆C的右焦点，且该抛物线与椭圆C在第一象限的交点为P（，）．
（Ⅰ）求C的标准方程；
（Ⅱ）设A、B是椭圆C的左、右顶点，过点F作直线l与椭圆交于P、Q（不同于A、B）两点，设直线AP与直线BQ交于E点，求证：点E在定直线上．
116.(2021 安徽宿州三模 文T20．)已知点A（﹣1，0），B（1，0），动点P满足|PA|+|PB|＝4，P点的轨迹为曲线C．
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）已知圆x2+y2＝R2上任意一点P（x0，y0）处的切线方程为：x0x+y0y＝R2，类比可知椭圆：＝1上任意一点P（x0，y0）处的切线方程为：＝1．记l1为曲线C在任意一点P处的切线，过点B作BP的垂线l2，设l1与l2交于Q，试问动点Q是否在定直线上？若在定直线上，求出此直线的方程；若不在定直线上，请说明理由．
117.(2021 安徽马鞍山三模 理T21．)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝x﹣2与抛物线C交于A，B两点．
（1）求△FAB的面积；
（2）过抛物线C上一点P作圆M：（x﹣3）2+y2＝4的两条斜率都存在的切线，分别与抛物线C交于异于点P的两点D，E．证明：直线DE与圆M相切．
118.(2021 安徽马鞍山三模 文T20．)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点与双曲线的右焦点重合．
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若直线l过抛物线焦点F，与抛物线相交于P，Q两点，求证：；
（3）若直线l'与抛物线相交于M，N两点，且，那么直线l'是否一定过焦点F，请说明理由．
119.(2021 河北邯郸二模 理T21．)已知椭圆C：（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交椭圆于A，B两点，交y轴于点M，若|F1F2|＝2，△ABF2的周长为8．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）＝λ，＝μ，试分析λ+μ是否为定值，若是，求出这个定值，否则，说明理由．
120.(2021 江西鹰潭二模 理T20．)如图，O为坐标原点，抛物线C1：y2＝2px（p＞0）的焦点是椭圆C2：+＝1（a＞b＞0）的右焦点，A为椭圆C2的右顶点，椭圆C2的长轴AB＝8，离心率e＝．
（1）求抛物线C1椭圆C2的方程；
（2）过A点作直线l交C1于C，D两点，射线OC，OD分别交C2于E，F两点，记△OEF和△OCD的面积分别为S1和S2，问是否存在直线l，使得S1：S2＝3：13？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
121.(2021 江西上饶二模 理T20．)如图，在平面直角坐标系xOy中，AB为半圆ADB的直径，O为圆心，且A（﹣4，0），B（4，0），G为线段OD的中点；曲线C过点G，动点P在曲线C上运动且保持|PA|+|PB|的值不变．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点B的直线l与曲线C交于M、N两点，与OD所在直线交于E点，＝λ1，＝λ2，求证：λ1+λ2为定值．
122.(2021 河北秦皇岛二模 理T20．)已知点P（﹣2，y0）为抛物线C：x2＝2py（p＞0）上一点，F为抛物线C的焦点，抛物线C在点P处的切线与y轴相交于点Q，且△FPQ面积为2．
（1）求抛物线C的方程；
（2）设直线l经过（2，5）交抛物线C于M，N两点（异于点P），求证：∠MPN的大小为定值．
123.(2021 浙江杭州二模 理T21．)如图，已知抛物线C1：x2＝y在点A处的切线l与椭圆C2：＝1相交，过点A作l的垂线交抛物线C1于另一点B，直线OB（O为直角坐标原点）与l相交于点D，记A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＞0．
（1）求x1﹣x2的最小值；
（2）求的取值范围．
(2021 北京门头沟二模 理T19)、分别为椭圆C：的左、右焦点，过右焦点的直线l与椭圆C交于A，B两点，且AB不为长轴，的周长为8，椭圆C的离心率为
求此椭圆C的方程；
为其右顶点，求证：直线，两直线的斜率之积为定值，并求出此定值.
125.(2021 江西九江二模 理T19．)已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，M为椭圆C上位于x轴上方一点，线段MF1与圆x2+y2＝1相切于该线段的中点，且△MF1F2的面积为2．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过点F2的直线l与椭圆C交于A，B两点，且∠AMB＝90°，求直线l的方程．
126.(2021 天津南开二模 T19．)已知抛物线C1：y2＝2px（p＞0）与离心率为的椭圆C2：的一个交点为P（1，t），点P到抛物线C1的焦点的距离为2．
（Ⅰ）求C1与C2的方程；
（Ⅱ）设O为坐标原点，在第一象限内，椭圆C2上是否存在点A，使过O作OA的垂线交抛物线C1于点B，直线AB交y轴于点E，且∠OAE＝∠EOB？若存在；若不存在，请说明理由．
127.(2021 广东潮州二模 T21．)已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）经过点（1，），且椭圆C的离心率e＝．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若点M，N是椭圆C上的两个动点，k1，k2分别为直线OM，ON的斜率且k1k2＝﹣，试探究△OMN的面积是否为定值．
128.(2021 辽宁朝阳二模 T22．)已知椭圆E：＝1（a＞b＞1）的离心率e＝，其左、右顶点分别为点A，B，且点A关于直线y＝x对称的点在直线y＝3x﹣2上．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若点M在椭圆E上，点N在圆O：x2+y2＝b2上，且M，N都在第一象限，MN⊥y轴，若直线MA，MB与y轴的交点分别为C，D，判断sin∠CND是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，说明理由．
129.(2021 山东潍坊二模 T21．)已知一个半径为的圆的圆心在抛物线C：y2＝2px（p＞0）上，该圆经过坐标原点且与C的准线l相切．过抛物线C的焦点F的直线AB交C于A，B两点，过弦AB的中点M作平行于x轴的直线与直线OA，OB，l分别相交于P，Q，N三点．
（1）求C的方程；
（2）当|PQ|＝|MN|时，求直线AB的方程．
130.(2021 浙江丽水湖州衢州二模 T21．)已知F1，F2是椭圆E：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，动点P在椭圆上，且|PF1|的最小值和最大值分别为1和3．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）动点M在抛物线C：y2＝4x上，且在直线x＝a的右侧．过点M作椭圆E的两条切线分别交直线x＝﹣a于A，B两点．当|AB|＝10时，求点M的坐标．
131.(2021 河南郑州二模 文T20．)如图，已知抛物线Γ：y2＝8x的焦点为F，准线为l，O为坐标原点，A为抛物线Γ上一点，直线AO与l交于点C，直线AF与抛物线Γ的另一个交点为B．
（Ⅰ）证明：直线BC∥x轴；
（Ⅱ）设准线l与x轴的交点为E，连接BE，且BE⊥BF．证明：||AF|﹣|BF||＝8．
132.(2021 山西调研二模 文T20.)
已知P为抛物线C：上一动点，F为C的焦点，定点在C的内部，若的最小值为
求C的方程；
不经过原点的直线l与C交于A，B两点其中点A在x轴上方，若以线段AB为直径的圆经过点F，且圆心在直线上.证明：直线l与C在点A处的切线垂直.
133.(2021 宁夏银川二模 文T21．)已知椭圆C1：+＝1（a＞b＞0），其右焦点为F（1，0），圆C2：x2+y2＝a2+b2，过F垂直于x轴的直线被圆和椭圆截得的弦长比值为2．
（1）求曲线C1，C2的方程；
（2）斜率为正数的直线l过右焦点F，与椭圆交于A，B两点，与圆交于C，D两点，O为坐标原点，若|CD|＝，求△OAB的面积．
134.(2021 安徽淮北二模 文T20．)已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0），其短轴为2，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设椭圆E的右焦点为F，过点G（2，0）作斜率不为0的直线交椭圆E于M，N两点，设直线FM和FN的斜率为k1，k2，试判断k1+k2是否为定值，若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．
135.(2021 吉林长春一模 文T20．)已知椭圆,直线分别与轴轴交于两点,与椭圆交于两点.
(I)若求直线的方程;
(Ⅱ)若点的坐标为求面积的最大值.
136.(2021 新疆乌鲁木齐二模 文T19．)已知点M（﹣1，0），N（1，0），动点P满足|PM|＝|PN|．
（Ⅰ）求动点P的轨迹E的方程；
（Ⅱ）过抛物线y2＝2x上一点A（2，2）作曲线E的两条切线分别交抛物线于B，C两点，求直线BC的斜率．
参考答案：
一、选择题部分
1.(2021 新高考全国Ⅰ卷 T5)已知，是椭圆：的两个焦点，点在上，则的最大值为（）
A.
13
B.
12
C.
9
D.
6
【答案】C．
【解析】由题，，则，
所以（当且仅当时，等号成立）．
2.(2021 高考全国甲卷 理T5)
已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（）
A.
B.
C.
D.
【答案】A．
【解析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案.
因为，由双曲线的定义可得，
所以，；
因为,由余弦定理可得，
整理可得，所以，即.故选A．
3.(2021 高考全国乙卷 文T11)设B是椭圆的上顶点，点P在C上，则的最大值为（）
A.
B.
C.
D.
2
【答案】A．
【解析】设点，因为，，所以
，
而，所以当时，的最大值为．故选A．
4.(2021 浙江卷 T9)
已知，函数.若成等比数列，则平面上点的轨迹是（）
A.
直线和圆
B.
直线和椭圆
C.
直线和双曲线D.
直线和抛物线
【答案】C．
【解析】由题意得，即，
对其进行整理变形：
，
，
，
，
所以或，其中为双曲线，为直线.故选C.
5.(2021 江苏盐城三模 T7)设双曲线C：0)的焦距为2，若以点P(m，n)(m＜a)为圆心的圆P过C的右顶点且与C的两条渐近线相切，则OP长的取值范围是
A．(0，)
B．(0，1)
C．(，1)
D．(，)
【答案】B．
【考点】圆锥曲线中双曲线的几何性质应用
【解析】由题意可知，c＝1，渐近线方程为：bx±ay＝0，由圆P与渐近线相切可得，r＝＝，解得n＝0，所以圆的半径r＝a－m＝bm，所以m＝，则m2＝()2＝＝＝－1＋，因为b∈(0，1)，所以－1＋∈(0，1)，则m∈(0，1)，所以OP∈(0，1)，故答案选B．
6.(2021 河南郑州三模 理T10)已知A，B是椭圆＝1（a＞b＞0）长轴的两个端点，P、Q是椭圆上关于x轴对称的两点，直线AP，BQ的斜率分别为k1，k2（k1k2≠0）．若椭圆的离心率为，则|k1|+|k2|的最小值为（　　）
A．1
B．
C．
D．
【答案】B．
【解析】设P（t，s），Q（t，﹣s），t∈[0，a]，s∈[0，b]，A（﹣a，0），B（a，0），
k1＝，k2＝﹣，
|k1|+|k2|＝||+|﹣|≥2＝2，
当且仅当，即t＝0时等号成立．
∵A，B是椭圆＝1（a＞b＞0）长轴的两个端点，P，Q是椭圆上关于x轴对称的两点，P（t，s），Q（t，﹣s），即s＝b，
∴|k1|+|k2|的最小值为，
∵椭圆的离心率为，
∴，即，得a＝b，
∴|k1|+|k2|的最小值为．
7.(2021 河南开封三模 文理T12)已知椭圆（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）．若椭圆C上存在一点P，使得，则椭圆C的离心率的取值范围为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C．
【解析】在△PF1F2中，由正弦定理知＝，
∵，
∴＝e，即|PF1|＝e|PF2|，①
又∵P在椭圆上，∴|PF1|+|PF2|＝2a，②
联立①②得|PF2|＝∈（a﹣c，a+c），
即a﹣c＜＜a+c，
同除以a得，1﹣e＜＜1+e，得﹣1＜e＜1．
∴椭圆C的离心率的取值范围为．
8.(2021 河南开封三模 文理T3)“方程表示双曲线”的一个必要不充分条件为（　　）
A．m∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
B．m∈（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）
C．m∈（﹣∞，﹣2）
D．m∈（1，+∞）
【答案】A．
【解析】方程为双曲线时，（m+2）（m﹣1）＞0
∴m∈（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞），
∵（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞） （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞），
“方程表示双曲线”的一个必要不充分条件为m∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．
9.(2021 河南焦作三模 理T12)已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）过第一、三象限的渐近线为l，过右焦点F作l的垂线，垂足为A，线段AF交双曲线于B，若|BF|＝2|AB|，则此双曲线的离心率为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C．
【解析】由题意可得渐近线l的方程为bx﹣ay＝0，
由，可得A（，），
又BF＝2AB，即＝2，
又F（c，0），
即有B（，），
将B的坐标代入双曲线的方程，可得（）2﹣（）2＝1，
由e＝，可得（+）2﹣（）2＝1，
解得e＝．
10.(2021 河北张家口三模 T9)已知方程表示的曲线是双曲线，其离心率为e，则（　　）
A．
B．点（2，0）是该双曲线的一个焦点
C．
D．该双曲线的渐近线方程可能为x±2y＝0
【答案】AC．
【解析】因为方程表示的曲线是双曲线，
所以（m2﹣2）（m2+2）＜3，解得；
将化为，故选项B错误；
因为2≤m3+2＜4，所以；
因为双曲线的渐近线斜率的平方，所以选项D错误．
11.(2021 山东聊城三模 T8.)已知A，B，C是双曲线上的三点，直线AB经过原点O，AC经过右焦点F，若，且，则该双曲线的离心率为（）
A.B.C.D.
【答案】
D．
【考点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】设双曲线的左焦点为，连接
由题意知
∴四边形为矩形，令
∵，
∴在中，
将带入可得
∴
∴在中，
即．
可得．
故答案为：D．
【分析】设双曲线的左焦点为，连接，根据矩形判定可得四边形为矩形令，根据双曲线定义和勾股定理结合已知可求得，再在中由勾股定理得 进而可得。
12.(2021 四川内江三模 理T11．)已知椭圆C：的右焦点F，点P在椭圆C上（x+3）2+（y﹣4）2＝4上，且圆E上的所有点均在椭圆C外，若|PQ|﹣|PF|的最小值为2，且椭圆C的长轴长恰与圆E的直径长相等，则椭圆C的标准方程为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C．
【解析】由题意可得2a＝2×4，所以a＝2，4），设左焦点F6，则|PF1|＝2a﹣|PF|，所以|PQ|﹣|PF|＝|PQ|﹣（7a﹣|PF1|）＝|PQ|+|PF1|﹣6≥|EF1|﹣r﹣4，
而|EF7|取最小时为E，Q，P，F1三点共线时，且为：|EF1|﹣r﹣5＝﹣6＝3，解得c＝1，所以b2＝a2﹣c2＝4﹣1＝3，所以椭圆的方程为：+＝1．
13.(2021 四川内江三模 理T7．)已知点A为抛物线C：x2＝4y上的动点（不含原点），过点A的切线交x轴于点B，设抛物线C的焦点为F（　　）
A．一定是直角
B．一定是锐角
C．一定是钝角
D．上述三种情况都可能
【答案】A．
【解析】由x2＝4y可得y＝x2，∴y′＝x，
设A（x0，），则
过A的切线方程为y﹣＝x0（x﹣x7），
令y＝0，可得x＝x0，∴B（x0，0），
∵F（5，1），
∴＝（x0，），＝（﹣x0，1），
∴ ＝6，
∴∠ABF＝90°．
14.(2021 重庆名校联盟三模 T7．)已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点为F1、F2，虚轴长为2，若其渐近线上横坐标为1的点P恰好满足 ＝0，则双曲线的离心率为（　　）
A．2
B．
C．4
D．
【答案】A．
【解析】由已知可得2b＝2，则b＝，
不妨设双曲线的一条渐近线方程为y＝，
取x＝1可得P（1，），即P（1，），
＝，，
由 ＝0，得，
又c2＝a2+3，解得a＝1，c＝2，则e＝．
15.(2021 安徽蚌埠三模 文T12．)已知圆C：（x+）2+y2＝（p＞0），若抛物线E：y2＝2px与圆C的交点为A，B，且sin∠ABC＝，则p＝（　　）
A．6
B．4
C．3
D．2
【答案】D．
【解析】设A（，y0），则B（，﹣y0），
由圆C：（x+）2+y2＝（p＞0），得圆心C（﹣，0），半径r＝，
所以CD＝+，因为∠ABC＝∠BAC，
所以sin∠ABC＝sin∠BAC＝＝＝，所以cos∠BAC＝＝＝，
即，解得y0＝3，p＝2．
16.(2021 上海嘉定三模 T14．)设抛物线y2＝8x的焦点为F，过点F作直线l交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点E到y轴的距离为3，则弦AB的长为（　　）
A．等于10
B．大于10
C．小于10
D．与l的斜率有关
【答案】A．
【解析】抛物线方程可知p＝4，
由线段AB的中点E到y轴的距离为3得，，
∴|AB|＝x1+x2+4＝10．
17.(2021 贵州毕节三模 文T11．)已知点F为双曲线的右焦点，过点F的直线l与曲线C的一条渐近线垂直，垂足为N，与C的另一条渐近线的交点为M，若，则双曲线C的离心率e的值为（　　）
A．
B．
C．2
D．
【答案】A．
【解析】设F（c，0），双曲线的渐近线方程为y＝±x，
设直线l与渐近线y＝﹣x垂直，可得直线l的方程为y＝（x﹣c），
联立，可得yN＝﹣，
联立，可得yM＝﹣，
由＝3，可得yN﹣yM＝3yN，
即yM＝﹣2yN，可得＝，
可得2a2﹣2b2＝c2＝a2+b2，即有a2＝3b2，
所以e＝＝＝＝．
18.(2021 辽宁朝阳三模 T5．)明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图（1）所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图（2）所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图（3）所示，这三个椭圆盘的外轮廓均为椭圆．已知图（1），（2），（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别为，设图（1），（2），（3）中椭圆的离心率分别为e1，e2，e3，则（　　）
A．e1＞e3＞e2
B．e2＞e3＞e1
C．e1＞e2＞e3
D．e2＞e1＞e3
【答案】A．
【解析】图（1），（2），（3）中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别为，
图（1），（2），（3）中椭圆的离心率分别为e1，e2，e3，
所以e1＝＝＝＝
e2＝＝＝＝，
e3＝＝＝＝，
因为，所以e1＞e3＞e2．
19.(2021 河南济源平顶山许昌三模 文T10．)设F1，F2分别为双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，O为坐标原点，过F1的直线与双曲线的两条渐近线分别交于A，B两点，且满足，，则该双曲线的离心率为（　　）
A．
B．
C．2
D．2
【答案】C．
【解析】由，，
可得△BOF1为等腰三角形，且A为底边BF1的中点，
由F1（c，0）到渐近线y＝±x的距离为d＝＝b，
由OA⊥BF1，可得|OA|＝＝a，
由∠AOF1＝∠AOB＝∠BOF2＝60°，可得cos60°＝＝，
可得e＝＝2．
20.(2021 河南济源平顶山许昌三模 文T8．)设P，Q分别为圆（x﹣1）2+y2＝2和椭圆上的点，则P，Q两点间的最短距离是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B．
【解析】如图，
圆（x﹣1）2+y2＝2的圆心C（1，0），半径为，
设Q（x，y）是椭圆上的点，
则|QC|＝＝
＝．
∵﹣5≤x≤5，∴当x＝时，，
∴P，Q两点间的最短距离是．
21.(2021 安徽马鞍山三模 理T9．)已知双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C的渐近线上， ，且PF1与x轴垂直，则双曲线的离心率为（　　）
A．
B．
C．2
D．
【答案】C．
【解析】双曲线的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线C的渐近线上， ，不妨设P在第二象限，则P（﹣c，），F1（﹣c，0），F2（c，0），
因为 ，所以（0，﹣） （2c，﹣）＝＝3c2，b2＝3a2，
所以c2＝4a2，可得离心率为：e＝2．
22.(2021 安徽马鞍山三模 文T11．)已知椭圆经过点（3，1），当该椭圆的四个顶点构成的四边形的周长最小时，其标准方程为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D．
【解析】由题意椭圆经过点（3，1），可得：（a＞b＞0），该椭圆的四个顶点构成的四边形的周长l＝4．
∴a2+b2＝（a2+b2）（）＝10+≥10+2＝16，当且仅当a2＝9b2时，即b＝，a＝3取等号．
∴周长l的最小值：4×4＝16．∴椭圆方程：．
23.(2021 四川泸州三模 理T7．)“m＝5”是“双曲线C：＝1的虚轴长为2”的（　　）
A．充分但不必要条件
B．必要但不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A．
【解析】①当m＝5时，双曲线为﹣＝1，∴b＝1，∴虚轴长为2b＝2，∴充分性成立，②若双曲线为+＝1虚轴长为2，
当焦点在x轴上时，则，∴m＝5，
当焦点在y轴上时，则，∴m＝﹣1，∴m＝5或m＝﹣1，∴必要性不成立，
∴m＝5是双曲线+＝1虚轴长为2的充分不必要条件．
24.(2021 上海浦东新区三模 T15．)已知两定点A（﹣1，0）、B（1，0），动点P（x，y）满足tan∠PAB tan∠PBA＝2，则点P的轨迹方程是（　　）
A．x2﹣＝1
B．x2﹣＝1（y≠0）
C．x2+＝1
D．x2+＝1（y≠0）
【答案】D．
【解析】两定点A（﹣1，0）、B（1，0），动点P（x，y）满足tan∠PAB tan∠PBA＝2，
则：＝2，其中y≠0，化简可得，x2+＝1（y≠0）．
25.(2021 湖南三模 T4．)已知抛物线C：y＝mx2（m＞0）上的点A（a，2）到其准线的距离为4，则m＝（　　）
A．
B．8
C．
D．4
【答案】C．
【解析】抛物线C：y＝mx2（m＞0）开口向上，直线方程为y＝﹣，
抛物线C：y＝mx2（m＞0）上的点A（a，2）到其准线的距离为4，
可得：+2＝4，解得m＝．
26.(2021 湖南三模 T7．)P为双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）上一点，F1，F2分别为其左、右焦点，O为坐标原点．若|OP|＝b，且sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，则C的离心率为（　　）
A．
B．
C．2
D．
【答案】B．
【解析】由sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，以及正弦定理可得|PF1|＝3|PF2|，
因为|PF1|﹣|PF2|＝2a，所以|PF1|＝3a，|PF2|＝a，
因为|OF2|＝c，|OP|＝b，所以∠OPF2＝，所以cos∠OF2P＝，
在△F1F2P中，cos∠F1F2P＝＝cos∠OF2P＝．
化简可得c＝a，所以C的离心率e＝＝．
27.(2021 福建宁德三模 T4)
如图，抛物线型太阳灶是利用太阳能辐射，通过聚光获取热量进行炊事烹饪食物的一种装置.由于太阳光基本上属于平行光线，所以当太阳灶旋转抛物面的主光轴指向太阳的时候，平行的太阳光线入射到旋转抛物面表面，经过反光材料的反射，这些反射光线都从它的焦点处通过，在这里形成太阳光线的高密集区，抛物面的焦点就在它的主光轴上.现有一抛物线型太阳灶，灶口直径AB为，灶深CD为，则焦点到灶底抛物线的顶点的距离为
A.
3m
B.
C.
1m
D.
【答案】B．
【解析】由题意建立如图所示的平面直角坐标系：O与C重合，设抛物线的方程为，
由题意可得，将A点坐标代入抛物线的方程可得：，
解得，所以抛物线的方程为：，
焦点的坐标为，即，
所以焦点到灶底抛物线的顶点的距离为
故选：
建立适当的平面直角坐标系，设抛物线的方程，由题意可得A的坐标，将A点的坐标代入求出参数的值，进而求出所求的结果．
本题考查抛物线的性质及建立适当的坐标系的应用，属于基础题．
28.(2021 江西南昌三模 理T10．)如图所示，“嫦娥五号”月球探测器飞行到月球附近时，首先在以月球球心F为圆心的圆形轨道Ⅰ上绕月球飞行，然后在P点处变轨进以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行，最后在Q点处变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行，设圆形轨道Ⅰ的半径为R，圆形轨道Ⅲ的半径为r，则下列结论中正确的序号为（　　）
①轨道Ⅱ的焦距为R﹣r；
②若R不变，r越大，轨道Ⅱ的短轴长越小；
③轨道Ⅱ的长轴长为R+r；
④若r不变，R越大，轨道Ⅱ的离心率越大．
A．①②③
B．①②④
C．①③④
D．②③④
【答案】C．
【解析】由题意可得知，圆形轨道Ⅰ的半径为R，
设轨道Ⅱ的方程为+＝1，则a+c＝R，
因为圆心轨道Ⅲ的半径为r，则a﹣c＝r，
联立，解得2c＝R﹣r，
所以轨道Ⅱ的焦距为2c＝R﹣r，故①正确；
由于a＝，c＝，
故焦距为2c＝R+r，
2b＝2＝2，
所以R不变，r增大，b增大，轨道Ⅱ的短轴长增大，故②不正确；
长轴2a＝R+r，故③正确；
所以离心率e＝＝1﹣，r不变，R越大，e越大，即轨道Ⅱ的离心率越大，故④正确．所以①③④正确，
29.(2021 江西上饶三模 理T7．)已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，则点M（3，0）到双曲线C的渐近线距离为（　　）
A．2
B．
C．
D．2
【答案】C．
【解析】双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的离心率为，
可得a＝b，所以双曲线的渐近线方程为：x±y＝0，
点M（3，0）到双曲线C的渐近线距离为：＝．
30.(2021 安徽宿州三模 理T10．)已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，圆x2+y2＝a2+b2与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为A，B，四边形AF1BF2的周长p与面积S满足＝，则该双曲线的离心率为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A．
【解析】由题知，|AF1|﹣|AF2|＝2a，四边形AF1BF2的是平行四边形，|AF1|+|AF2|＝，
联立解得，|AF1|＝a+，|AF2|＝﹣a，又线段F1F2为圆的直径，
∴由双曲线的对称性可知四边形AF1BF2为矩形，∴S＝|AF1||AF2|＝，
∵＝，∴p2＝S，即p2＝（﹣a2），解得p2＝64a2，
由|AF1|2+|AF2|2＝|F1F2|2，得2a2+＝4c2，即5a2＝2c2，可得e＝．
31.(2021 安徽宿州三模 文T11．)已知F1，F2是双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，焦距为2c，以原点O为圆心，|OF2|为半径的圆与双曲线的左支交于A，B两点，且|AB|＝c，则该双曲线的离心率为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D．
【解析】如图：
设AB与x轴交于点D，
由对称性的AD⊥OF1，且AD＝BD＝，
∴OD＝，∴DF1＝，
∴AF1＝c，AF2＝，
∴AF2﹣AF1＝＝2a，
∴＝．
32.(2021 安徽宿州三模 文T9．)抛物线C：y2＝8x的焦点为F，其准线l与x轴交于点K，点M在抛物线C上，当|MK|＝|MF|时，△MFK的面积为（　　）
A．4
B．4
C．8
D．8
【答案】C．
【解析】作MM1⊥l，垂足为M1，则MM1＝MF，
∴由|MK|＝|MF|得△MM1K为等腰直角三角形，
∴Rt△MM1K≌Rt△MFK，
∴MF⊥FK且MF＝FK＝p＝4，
∴△MFK的面积S＝．
33.(2021 河北邯郸二模 理T8．)设双曲线C：的焦距为2c（c＞0），左、右焦点分别是F1，F2，点P在C的右支上，且c|PF2|＝a|PF1|，则C的离心率的取值范围是（　　）
A．（1，）
B．（，+∞）
C．（1，1+]
D．[1+，+∞）
【答案】C．
【解析】∵c|PF2|＝a|PF1|，∴，∵P在双曲线的右支上，∴可设P的横坐标为x0（x0≥a），由双曲线焦半径公式，可得|PF1|＝a+ex0，|PF2|＝ex0﹣a，
则，∴≥a，即，解得≤e≤．
又e＞1，∴C的离心率的取值范围是（1，1+]．
34.(2021 江西鹰潭二模 理T11．)已知A，B分别为椭圆的左、右顶点，P为椭圆C上一动点，PA，PB与直线x＝3交于M，N两点，△PMN与△PAB的外接圆的周长分别为L1，L2，则的最小值为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A．
【解析】根据题意可得A（﹣2，0），B（2，0），设P（x0，y0），则+y02＝1，
所以kPA kPB＝ ＝＝＝﹣，
设直线PA的方程为y＝k（x+2），直线PB的方程为y＝﹣（x﹣2），
令x＝3得yM＝5k，yN＝﹣，
不妨设k＞0，则MN＝5k+，
设△PMN和△PAB外接圆的半径分别为r1，r2，
由正弦定理得2r1＝，2r2＝，
又∠MPN+∠APB＝180°，
所以＝＝＝＝≥＝．
35.(2021 江西上饶二模 理T11．)双曲线E：的右焦点为F2，A和B为双曲线上关于原点对称的两点，且A在第一象限．连结AF2并延长交双曲线于点P，连结BF2、BP，若△BF2P是等边三角形，则双曲线E的离心率为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】D．
【解析】因为△BF2P是等边三角形，不妨设|BF2|＝|PF2|＝n，
由双曲线的定义知，|BF2|﹣|BF1|＝2a，|PF1|﹣|PF2|＝2a，
所以|BF1|＝n﹣2a，|PF1|＝n+2a，
由双曲线的对称性知，四边形AF1BF2为平行四边形，
所以|AF2|＝|BF1|＝n﹣2a，|AF1|＝|BF2|＝n，∠F1AF2＝∠PF2B＝60°，
所以|AP|＝|AF2|+|PF2|＝n﹣2a+n＝2（n﹣a），
在△PAF1中，由余弦定理知，＝+|AP|2﹣2|AF1| |AP| cos∠F1AF2，
所以（n+2a）2＝n2+4（n﹣a）2﹣2n 2（n﹣a） ，即n＝5a，
在△AF1F2中，由余弦定理知，＝+﹣2|AF1| |AF2| cos∠F1AF2，
所以4c2＝n2+（n﹣2a）2﹣2n（n﹣2a） ，即4c2＝n2﹣2na+4a2＝25a2﹣10a2+4a2＝19a2，
所以c＝a，所以离心率e＝＝．
36.(2021 河北秦皇岛二模 理T11．)已知方程C：＝1，n∈N
，则下列选项正确的是（　　）
A．当n＝1时，|x|+|y|的最小值为
B．当n＝1时，方程C所表示的曲线围成封闭图形的面积为S，则S＜2
C．当n＝3时，|x| |y|的最小值为
D．当n＝3时，方程C所表示的曲线围成封闭图形的面积为S，则2＜S＜π
【答案】ABD．
【解析】当n＝1时，由原方程可得，，
则|x|+|y|，当且仅当|x|＝|y|＝时等号成立，故A正确；
对于B，由方程C所表示的曲线关于原点与坐标轴对称，因此只需考虑0≤x≤1且0≤y≤1的部分即可，此时原方程为，而y＝，
∴曲线位于直线y＝1﹣x的下方，
∴它与坐标轴围成的封闭曲线的面积小于，则方程C表示的曲线的面积S＜，故B正确；当n＝3时，，
∴|x||y|＝，故C错误；对于D，由方程C所表示的曲线关于原点与坐标轴对称，因此只需考虑0≤x≤1且0≤y≤1的部分即可，
此时，即，，
而≥1﹣x，，
∴曲线（0≤x≤1，0≤y≤1）位于直线y＝1﹣x的上方，圆x2+y2＝1（0≤x≤1，0≤y≤1）的下方，它与坐标轴围成的封闭曲线的面积大于小于，
∴当n＝3时，方程C所表示的曲线围成封闭图形的面积为S，则2＜S＜π，故D正确．
37.(2021 河北秦皇岛二模 理T8．)椭圆C：＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交椭圆C于A，B两点，已知，，则椭圆C的离心率为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A．
【解析】设|F1F2|＝2c，
因为（）＝（）＝＝0，
所以|AF2|＝|F1F2|＝2c，所以|AF1|＝2a﹣2c，
因为，所以|BF（a﹣c），所以|BF2|＝，
设AF1的中点为H，则F2H⊥AB，|AH|＝a﹣c，|BH|＝，
|F2A|，即4c，
整理可得7c2﹣12ac+5a2＝0，即7e2﹣12e+5＝0，
解得e＝或1（舍去），所以离心率为．
38.(2021 浙江杭州二模 理T7．)已知F1，F2是双曲线C：的两个焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线C的离心率为（　　）
A．4+2
B．﹣1
C．
D．
【答案】D．
【解析】依题意可知双曲线的焦点为F1（﹣c，0），F2（c，0）．
∴F1F2＝2c，∴三角形高是c．M（0，c）
所以中点N（﹣，c），代入双曲线方程得：＝1，
整理得：b2c2﹣3a2c2＝4a2b2．
∵b2＝c2﹣a2．所以c4﹣a2c2﹣3a2c2＝4a2c2﹣4a4
整理得e4﹣8e2+4＝0．求得e2＝4±2．
∵e＞1，∴e＝+1．
39.(2021 北京门头沟二模 理T9)
已知抛物线C：的焦点为F，过F且斜率为的直线与抛物线C上相交于P，Q两点，且P，Q两点在准线上的投影分别为M，N两点，则的面积为
A.
B.
C.
D.
【答案】D．
【解析】抛物线C：的焦点坐标为，由题意可得直线PQ：，
联立，得：，
解得：，，
则，
在中，MN边上的高，
则故选：
求出直线PQ的方程，与抛物线联立，求出P，Q的坐标，得到MN，然后求解三角形的面积．本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力，是中档题．
40.(2021 江西九江二模 理T12．)已知双曲线＝1（a，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1且倾斜角为的直线1与双曲线的左、右支分别交于点A，B，且|AF2|＝|BF2|，则该双曲线的离心率为（　　）
A．
B．
C．2
D．2
【答案】A．
【解析】过F2作F2N⊥AB于点N，设|AF2|＝|BF2|＝m，因为直线l的倾斜角为，
所以在直角三角形F1F2N中，|NF2|＝c，|NF1|＝c，由双曲线的定义可得|BF1|﹣|BF2|＝2a，所以|BF1|＝2a+m，同理可得|AF1|＝m﹣2a，所以|AB|＝|BF1|﹣|AF1|＝4a，
即|AN|＝2a，所以|AF1|＝c﹣2a，因此m＝c，
在直角三角形ANF2中，|AF2|2＝|NF2|2+|AN|2，
所以（c）2＝4a2+c2，所以c＝a，
则e＝＝．
41.(2021 江西九江二模 理T8．)已知抛物线E：y2＝2px（p＞0），斜率为1的直线l过抛物线E的焦点，若抛物线E上有且只有三点到直线l的距离为，则p＝（　　）
A．4
B．2
C．1
D．
【答案】B．
【解析】设l：y＝x﹣，设l1：y＝x+m与抛物线E相切，
由，可得x2+2（m﹣p）x+m2＝0，
△＝4（m﹣p）2﹣4m2＝0，解得p＝2m，且m＞0，
平行线l1与l的距离为：d＝＝＝，所以p＝2．
42.(2021 山东潍坊二模 T11．)已知双曲线C：x2﹣＝1，其左、右焦点分别为F1，F2，过点F2作一直线与双曲线C的右支交于点P，Q，且＝0，则下列结论正确的是（　　）
A．△PF1Q的周长为4
B．△PF1F2的面积为3
C．|PF1|＝+1
D．△PF1Q的内切圆半径为﹣1
【答案】BCD．
【解析】如图，
由双曲线方程x2﹣＝1，得a2＝1，b2＝3，
可得，则|F1F2|＝4，
由双曲线定义可得：|PF1|﹣|PF2|＝|QF1|﹣|QF2|＝2，
∵＝0，∴∠F1PQ＝90°，则＝16，
∴|PF1|+|PF2|＝
＝．
从而Rt△F1PQ的内切圆半径：r＝
＝＝．
故△PF1Q的内切圆半径为，故D正确；
联立，解得|PF1|＝+1，|PF2|＝﹣1，故C正确；
＝，故B正确；
由|PF1|﹣|PF2|＝|QF1|﹣|QF2|＝2，，
且|PF1|＝+1，|PF2|＝﹣1，解得：，．
∴△PF1Q的周长为，故A错误．
43.(2021 辽宁朝阳二模 T8．)已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的一个焦点为F，点A，B是C的一条渐近线上关于原点对称的两点，以AB为直径的圆过F且交C的左支于M，N两点，若|MN|＝2，△ABF的面积为8，则C的渐近线方程为（　　）
A．y＝
B．y＝
C．y＝±2x
D．y＝
【答案】B．
【解析】设双曲线的另一个焦点为F'，由双曲线的对称性，可得四边形AFBF'是矩形，
∴S△ABF＝S△ABF'，即bc＝8，
由，可得y＝±，
则|MN|＝＝2，即b2＝c，∴b＝2，c＝4，∴a＝＝2，
∴C的渐近线方程为y＝±x．
44.(2021 辽宁朝阳二模 T3．)过抛物线C：y2＝4x的焦点F的直线交抛物线C于A（x1，y1）、B（x2，y2）两点，且x1+x2＝，则弦AB的长为（　　）
A．
B．4
C．
D．
【答案】C．
【解析】由题意知，p＝2，由抛物线的定义知，|AB|＝x1+x2+p＝+2＝．
45.(2021 广东潮州二模 T5．)已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：x+2y+5＝0，则双曲线的离心率为（　　）
A．2
B．
C．
D．
【答案】D．
【解析】双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的一条渐近线平行于直线l：x+2y+5＝0，
可得＝，所以e＝＝＝＝．
46.(2021 天津南开二模 T7．)已知双曲线C：的离心率为2，左、右焦点分别为F1，F2点A在双曲线C上，若△AF1F2的周长为10，则△AF1F2的面积为（　　）
A．
B．
C．15
D．30
【答案】A．
【解析】双曲线C：的离心率为2，解得a＝1，
因为点A在双曲线C上，不妨设A在第一象限5F2的周长为10，|F1F3|+|AF1|+|AF2|＝10，|AF7|﹣|AF2|＝2，所以三角形的边长为|F7F2|＝4，|AF8|＝4，|AF2|＝4，
所以三角形的面积为：＝．
47.(2021 吉林长春一模 文T10.)已知抛物线，过其焦点的直线与抛物线分别交于、两点(点在第一象限)，且则直线的倾斜角为
A.
B.
C.
D.
【答案】C．
【解析】如图,过A,B作AA’,BB’垂直准线,垂足为A’,B’，过B作AA’垂线,垂足为C,由抛物线定义知所以,,所以直线倾斜角为,故选C.
48.(2021 吉林长春一模 文T4.)已知双曲线的渐近线方程为则其离心率为
A.
B.
C.
D.
【答案】B．
【解析】由渐近线方程可知故选B.
49.(2021 新疆乌鲁木齐二模 文T11．)已知双曲线＝1的右焦点为F，点M在双曲线上且在第一象限，若线段MF的中点在以原点O为圆心，|OF|为半径的圆上，则直线MF的斜率是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A．
【解析】如图所示，设线段MF的中点为H，连接OH，
设双曲线的右焦点为F，连接MF．双曲线的左焦点为F′，连接MF′，则OH∥MF′．
又|OH|＝|OF|＝c＝3，|FH|＝|MF|＝（2a﹣2c）＝a﹣c＝1．
设∠HFO＝α，在△OHF中，tanα＝＝，∴直线MF的斜率是﹣．
50.(2021 新疆乌鲁木齐二模 文T7．)已知F1，F2是椭圆的两个焦点，B1，B2是椭圆短轴的两个端点，若四边形F1B1F2B2的面积是8，则椭圆长轴长的最小值为（　　）
A．2
B．4
C．4
D．8
【答案】C．
【解析】不妨设椭圆方程，F1，F2是椭圆的两个焦点（±c，0），B1，B2是椭圆短轴的两个端点，若四边形F1B1F2B2的面积是8，因为a2＝b2+c2≥2bc，所以8＝＝2bc≤a2，所以a≥2，当且仅当b＝c时取等号，所以椭圆长轴长的最小值为4．
51.(2021 安徽淮北二模 文T10．)如图，F1，F2是双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A，B为双曲线上关于原点对称的两点，且满足|AB|＝2|OF1|，∠ABF1＝，则双曲线的离心率为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A．
【解析】F1、F2是双曲线＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，在Rt△ABF1中，|OF1|＝c，∴|AB|＝2c，在直角三角形ABF1中，∠ABF1＝α，可得|AF1|＝2csinα，|BF1|＝2ccosα，
连接AF2，BF2，可得四边形AF2BF1为矩形，
∴||BF2|﹣|AF2||＝|AF1|﹣|AF2|＝2c|cosα﹣sinα|＝2a，
∴e＝＝＝，
∵α＝，∴cos（α+）＝cos＝，∴e＝．
52.(2021 宁夏银川二模 文T9．)已知抛物线y2＝8x的焦点为F，经过点P（1，1）的直线l与该曲线交于A，B两点，且点P恰为AB的中点，则|AF|+|BF|＝（　　）
A．4
B．6
C．8
D．12
【答案】B．
【解析】抛物线y2＝8x的焦点为F（2，0），准线方程为x＝﹣2，过A、B、P作准线的垂线段，垂足分别为M、N、R，点P恰为AB的中点，故|PR|是直角梯形AMNB的中位线，故|AM|+|BN|＝2|PR|．由抛物线的定义可得|AF|+|BF|＝|AM|+|BN|＝2|PR|＝2|1﹣（﹣2）|＝6．
53.(2021 山西调研二模 文T11)已知F为双曲线C：的右焦点，以点F为圆心，1为半径的圆与C的渐近线相切于点，则C的离心率为
A.
B.
C.
2
D.
3
【答案】A．
【解析】由题意，，不妨设双曲线的渐近线方程为，
则F到的距离为，
直线FP所在直线方程为，
联立，解得，
，得，则故选：
由F到一条渐近线的距离等于1求得b，写出FP所在直线方程，与已知渐近线方程联立求得P点横坐标，由横坐标的值为求得c，则a可求，离心率可求．
本题考查双曲线的几何性质，考查运算求解能力，是中档题．
54.(2021 山西调研二模 文T5.)若椭圆与双曲线有相同的焦点，则实数m的值为
A.
3
B.
6
C.
12
D.
15
【答案】C．
【解析】解：双曲线的焦点坐标，
椭圆与双曲线有相同的焦点，
所以，
故选：
求出双曲线的焦点坐标，得到椭圆的焦点坐标，然后求解m即可．
本题考查椭圆与双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是基础题．
55.(2021 河南郑州二模 文T9．)已知双曲线＝1（a＞0，b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0）（c＞0），过点P（，0）的直线与双曲线的左、右两支分别交于A，B两点，且＝﹣3，则双曲线的离心率为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A．
【解析】由＝﹣3可知，F1A∥F2B，所以△AF1P∽△BF2P，且，
即，化简可得，即e2＝2，所以e＝（负值舍去）．
二、填空题部分
56.(2021 新高考全国Ⅰ卷 T14)
已知为坐标原点，抛物线：()的焦点为，为上一点，与轴垂直，为轴上一点，且，若，则的准线方程为______.
【答案】．
【解析】抛物线：
()的焦点,∵P为上一点，与轴垂直，
所以P的横坐标为，代入抛物线方程求得P的纵坐标为,不妨设,
因为Q为轴上一点，且，所以Q在F的右侧，
又，
因为，所以,
，所以的准线方程为，故答案为.
57.(2021 高考全国甲卷 理T15)
已知为椭圆C：的两个焦点，P，Q为C上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为________．
【答案】．
【解析】根据已知可得，设，利用勾股定理结合，求出，四边形面积等于，即可求解.因为为上关于坐标原点对称的两点，且，所以四边形为矩形，设，则，所以，
，即四边形面积等于.故答案为.
58.(2021 高考全国乙卷 文T14)
双曲线的右焦点到直线的距离为________．
【答案】．
【解析】由已知，，所以双曲线的右焦点为，
所以右焦点到直线距离为.故答案为．
59.(2021 浙江卷 T16)
已知椭圆，焦点，，若过的直线和圆相切，与椭圆在第一象限交于点P，且轴，则该直线的斜率是___________，椭圆的离心率是___________.
【答案】(1).
(2).
．
【解析】
如图所示：不妨假设，设切点为，
，
所以,
由，所以，，
于是，即，所以．
故答案为：；．
60.(2021 江西上饶三模 理T16．)某中学张燕同学不仅学习认真，而且酷爱体育运动，经过艰苦的训练，终于在校运会的投铅球比赛中创造佳绩．已知张燕所投铅球的轨迹是一段抛物线（人的身高不计，铅球看成一个质点），如图所示，设初速度为定值v0，且与水平方向所成角为变量θ，已知张燕投铅球的最远距离为10m．当她投得最远距离时，铅球轨迹抛物线的焦点到准线的距离为　
　m．（空气阻力不计，重力加速度为10m/s2）
【答案】5．
【解析】设铅球运动时间为t0，t时刻的水平方向位移为x，则x＝v0tcosθ，
由知，，∴，
故当时，，∴v0＝10m/s，∴，
如图建立平面直角坐标系，P（﹣5，﹣2.5），设抛物线方程为x2＝﹣2py，
则抛物线的焦点到准线的距离为．
61.(2021 河南郑州三模 理T15)已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）右顶点、右焦点为A、F，过点A的直线l与C的一条渐近线交于点Q，直线QF与C的一个交点为B， ＝ ，且＝4，则双曲线离心率e为　　．
【答案】．
【解析】易知A（a，0），F（c，0），一条渐近线为，
∵，
∴，则，
不妨设Q在第一象限，则，即点Q的坐标为（a，b），
设B（x，y），则，
由得，，解得，∴点B的坐标为（4c﹣3a，﹣3b），
又点B在椭圆上，故，化简可得（4e﹣3）2＝10，解得，
又e＞1，于是．
62.(2021 河北张家口三模 T16)已知为椭圆的右焦点，B两点，P为AB的中点，且△OFP外接圆的面积为，则椭圆C的长轴长为　　．
【答案】2．
【解析】因为△OFP外接圆的面积为，所以其外接圆半径为．
又△OFP是以OF为底边的等腰三角形，
设∠OFP＝α，则∠OPF＝π﹣2α，
所以，
所以，所以或．
不妨设点P在x轴下方，所以或．
又根据点差法可得，
所以或此时焦点在y轴上．
因为为椭圆，
所以，故椭圆C的长轴长为．
63.(2021 安徽宿州三模 理T16．)已知A，B分别为抛物线C1：y2＝8x与圆C2：x2+y2﹣6x﹣4y+16＝0上的动点，抛物线的焦点为F，P、Q为平面内两点，且当|AF|+|AB|取得最小值时，点A与点P重合；当|AF|﹣|AB|取得最大值时，点A与点Q重合，则△FPQ
的面积为　　．
【答案】4．
【解析】由题意可知C2是以（3，2）为圆心，1为半径的圆，F（2，0），如图：
记C1的准线为l，过点A作l的垂线，垂足为D，过点C2作l的垂线，垂足为D1，连接AC2，则|AF|+|AB|＝|AD|+|AB|≥|AD|+|AC2|﹣1≥|C2D1|﹣1，当且仅当A，C2，D三点共线且点B在线段AC2上时取等号，则点P（1，2），
连接FC2，则|AF|﹣|AB|≤|AF|﹣（|AC2|﹣1）＝|AF﹣|AC2|+1≤|FC2|+1，当且仅当A为线段FC2的延长线与抛物线C1的交点，且点B在线段AC2上时等号成立，
易知点Q在第一象限，由得Q（4，4），
∴|FQ|＝＝6，点P到直线QF的距离为d＝＝，∴．
64.(2021 山东聊城三模 T15.)已知点，过抛物线．上一点P作的垂线，垂足为B，若，则
________．
【答案】
7
【考点】两点间的距离公式，点到直线的距离公式
【解析】【解答】设，，
可得，
，
由，带入可得：，
所以，
故答案为：7.
65.(2021 四川内江三模 理T16．)数学中有许多形状优美、寓意美好的曲线，如图：四叶草曲线C就是其中一种，其方程为（x2+y2）3＝x2y2．给出下列四个结论：
①曲线C有四条对称轴；
②曲线C上的点到原点的最大距离为；
③在第一象限内，过曲线C上一点作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形面积的最大值为；
④四叶草面积小于．
其中，所有正确结论的序号是　　．
【答案】①③④．
【解析】对于①，将x换为﹣x方程不变；将y换为﹣y方程不变；将x换为y，所以曲线关于y＝x轴对称，y换为﹣x方程不变；①正确；
对于②，设距离为d，要求d的最大值4+y2的最大值，显然d＞02+y2≠0，又＝，所以曲线C上的点到原点距离最大值为；
（3）设曲线C第一象限任意一点为（x，y），则（x2+y2）5＝x2y2≥4（xy）3，即，当且仅当x＝y时取得最大值；
（4）易得四叶草曲线在以原点为圆心，为半径的圆内，④正确．
66.(2021 重庆名校联盟三模 T15．)已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点M（x0，2）（）是抛物线C上一点，以点M为圆心的圆与直线x＝交于E，G两点，若sin∠MFG＝，则抛物线C的方程是　．
【答案】y2＝4x．
【解析】由题意可知直线x＝是过焦点F的垂直x轴的直线，
因为sin∠MFG＝，所以cos∠MFG＝，又cos∠MFG＝＝，所以x＝3，则x0＝3﹣，所以M（3﹣，2），代入抛物线方程可得：p2﹣6p+8＝0，
解得：p＝2或4，当p＝2时，x0＝2，当p＝4时，x0＝1＝2，不满足题意，
所以p＝2，此时抛物线方程为y2＝4x．
67.(2021 安徽蚌埠三模 文T14．)“天问一号”推开了我国行星探测的大门，通过一次发射，将实现火星环绕、着陆、巡视，是世界首创，也是我国真正意义上的首次深空探测．2021年2月10日，天问一号探测器顺利进入火星的椭圆环火轨道（将火星近似看成一个球体，球心为椭圆的一个焦点）．2月15日17时，天问一号探测器成功实施捕获轨道“远火点（椭圆轨迹上距离火星表面最远的一点）平面机动”，同时将近火点高度调整至约265公里．若此时远火点距离约为11945公里，火星半径约为3400公里，则调整后“天问一号”的运行轨迹（环火轨道曲线）的离心率约为　．（精确到0.1）
【答案】0.6．
【解析】设椭圆的方程为，
由椭圆的性质可得椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a﹣c，最大值为a+c，
根据题意可得近火点满足a﹣c＝3400+265＝3665，a+c＝3400+11945＝15345，
解得a＝9505，c＝5840，所以椭圆的离心率为e＝．
68.(2021 上海嘉定三模 T9．)设椭圆Γ：＝1（a＞1），直线l过Γ的左顶点A交y轴于点P，交Γ于点Q，若△AOP为等腰三角形（O为坐标原点），且Q是AP的中点，则Γ的长轴长等于　　．
【答案】．
【解析】如图所示，设Q（x0，y0）．由题意可得：A（﹣a，0），P（0，a）．
因为Q是AP的中点，所以，∴（x0，y0﹣a）＝（﹣a﹣x0，﹣y0），∴
代入椭圆方程可得：，解得．∴椭圆Γ的长轴长等于．
69.(2021 贵州毕节三模 文T16．)由集合P＝{（x，y）|（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝9，π≤θ≤2π}中所有点组成的图形如图阴影部分所示，其外廓形如“心脏”，中间白色部分形如倒立的“水滴”．则阴影部分与y轴相交的两条线段长度和为　　．
【答案】2．
【解析】∵（x﹣cosθ）2+（y﹣sinθ）2＝9，π≤θ≤2π，令x＝0，得cos2θ+y2﹣2ysinθ+sin2θ＝9，∴y2﹣2ysinθ＝8，2sinθ＝y﹣，θ∈[π，2π]，sinθ∈[﹣1，0]，2sinθ∈[﹣2，0]，
由y﹣∈[﹣2，0]，解得y∈[﹣4，﹣2]∪[2，2]，阴影部分长度为2﹣2，4﹣2，
∴阴影部分与y轴相交的两条线段长度和为2＝2．
70.(2021 辽宁朝阳三模 T14．)已知双曲线C：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，M为C左支上一点，N为线段MF2上一点，且|MN|＝|MF1|，P为线段NF1的中点．若|F1F2|＝4|OP|（O为坐标原点），则C的渐近线方程为　　．
【答案】y＝±x．
【解析】由双曲线的定义，可得|MF2|﹣|MF1|＝|MF2|﹣|MN|＝|NF2|＝2a，
在△NF1F2中，OP为中位线，可得|OP|＝|NF2|＝a，
又|F1F2|＝4|OP|，可得2c＝4a，即c＝2a，
b＝＝＝a，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±x．
71.(2021 四川泸州三模 理T16．)关于曲线C：3x2+2xy+3y2＝1有如下四个命题：
①曲线C关于原点对称；
②直线x＝1与曲线C有公共点；
③曲线C上任一点的纵坐标的范围是[﹣，]；
④曲线C上任一点与原点距离的范围是[，]．
其中所有真命题的序号是　　（填上所有正确的序号）．
【答案】①④．
【解析】关于曲线C：3x2+2xy+3y2＝1有如下四个命题：
对于①：把点（﹣x，﹣y）代入曲线C：3x2+2xy+3y2＝1仍然成立，故①正确；
对于②③：曲线C：3x2+2xy+3y2＝1可以看做关于x或y的一元二次方程，
故△＝（2y）2﹣4×3×（3y2﹣1）≥0，解得，
同理△＝（2x）2﹣4×3×（3x2﹣1）≥0，解得，故②③错误，
对于④：在第一象限内：2xy＝1﹣3（x2+y2）≤x2+y2，故4（x2+y2）≥1，即，
在第二象限内：﹣2xy＝3（x2+y2）﹣1≤x2+y2，整理得，即，
所以曲线C上任一点与原点距离的范围是[，]．故④正确．
72.(2021 江苏常数三模 T15．)如图，一个酒杯的内壁的轴截面是抛物线的一部分，杯口宽4cm，杯深8cm，称为抛物线酒杯．
①在杯口放一个表面积为36πcm2的玻璃球，则球面上的点到杯底的最小距离为　　cm；
②在杯内放入一个小的玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径的取值范围为　　（单位：cm）．
【答案】6，（0，]．
【解析】①如图以杯子的底部为原点O，建立如图所示的直角坐标系，
则A（﹣2，8），B（2，8），
设抛物线的方程为x2＝2py（p＞0），
可得（2）2＝2p×8，解得p＝，
所以抛物线的方程为x2＝y，
设球的半径为R，由4πR2＝36π，解得R＝3，
由直角三角形DBC1中，C1B＝3，DB＝2，
可得C1D＝＝1，
所以球面上的点到杯底的最小距离为8+1﹣3＝6；
②如图球C2的横截面的圆的方程为x2+（y﹣r）2＝r2，r＞0，
联立，可得y＝0或y＝2r﹣1，
要使球触及酒杯底部，则只需抛物线与圆相切于顶点（0，0），
可得联立抛物线和圆的方程只能有1解y＝0，另一个解为负数或零，
所以y＝2r﹣1≤0，解得0＜r≤，
所以玻璃球的半径的范围为（0，]．
73.(2021 福建宁德三模 T16)
已知动点P在圆上，双曲线的右焦点为，若C的渐近线上存在点Q满足，则C的离心率的取值范围是______
.
【答案】．
【解析】设，，满足，所以，
所以，，
又因为在圆上满足，所以，
整理得，
所以点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，如图所示，
当渐近线与圆有交点时，说明渐近线上存在点Q，使得，
当两条渐近线与圆恰好相切时为临界点，则：
圆心到渐近线的距离，
因为，即，
所以，此时，，
当时，渐近线与圆有交点，则，
故答案为：
设，，代入，得P点坐标，再代入圆的方程可得点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，推出当渐近线与圆有交点时，说明渐近线上存在点Q，使得，求出当两条渐近线与圆恰好相切时，即可得出答案．
本题考查直线与圆，双曲线的位置关系，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
74.(2021 宁夏中卫三模 理T16．)已知椭圆与双曲线共焦点，过椭圆C上一点P的切线l与x轴、y轴分别交于A，B两点（F1，F2为椭圆C的两个焦点）．又O为坐标原点，当△ABO的面积最小时，下列说法所有正确的序号是　　．
①b＝1；
②当点P在第一象限时坐标为；
③直线OP的斜率与切线l的斜率之积为定值；
④∠F1PF2的角平分线PH（点H在F1F2上）长为．
【答案】①④．
【解析】双曲线的焦点为（±，0），
则椭圆的焦点也为（±，0），
∴b2＝3﹣2＝1，得b＝1（b＞0），故①正确；
设P（x0，y0）（x0，y0＞0），则，椭圆在点P处的切线方程为，
求得A（，0），B（0，），
由三角形面积公式可得，，
∵，∴，
则，当且仅当时等号成立，
此时在第一象限的切点坐标为P（，），故②错误；
由对称性，只需考虑点P在第一象限的情况，
由上可知，P（，），则kOP kl＝，故③错误；
计算可得，在∠F1PF2＝90°，
设∠F1PF2的角平分线PH的长为m，根据等面积法可得：
，解得m＝，故④正确．
75.(2021 江西南昌三模 理T15．)设双曲线的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），圆（x﹣c）2+y2＝4c2与双曲线C在第一象限的交点为A，若AF1与双曲线C的一条渐近线l垂直，则l的方程为　　．
【答案】4x+3y＝0．
【解析】设AF1的倾斜角为θ，∵AF1与双曲线C的一条渐近线l垂直，且，
∴tanθ＝，联立，解得cosθ＝，
在△AF1F2中|AF1|＝|AF2|+2a＝2c+2a，|F1F2|＝2c，
由余弦定理可得：（2c）2＝（2c+2a）2+（2c）2﹣2 （2c+2a） 2c cosθ
＝4a2+8c2+8ac﹣8b（a+c），化简得：a+c＝2b，即c＝2b﹣a，又a2+b2＝c2，
∴a2+b2＝（2b﹣a）2+4b2+a2﹣4ab，即，
∴，则直线l的方程为y＝﹣，即4x+3y＝0．
76.(2021 北京门头沟二模 理T13)是双曲线C：上的一点，，，设，，的面积为S，则的值为______
.
【答案】．
【解析】是双曲线C：上的一点，
可得，
，
，
，
所以
故答案为：
将P的坐标代入双曲线的方程可得，运用直线的斜率公式和两角和的正切公式，以及三角形的面积公式，化简整理，可得所求值．
本题考查双曲线的方程和运用，以及两角和的正切公式，考查化简运算能力，属于中档题．
77.(2021 浙江杭州二模 理T17．)已知F为抛物线y2＝4x的焦点，过F作斜率为k1的直线和抛物线交于A，B两点，延长AM，BM交抛物线于C，D两点，直线CD的斜率为k2．若M（4，0），则＝　　．
【答案】4．
【解析】设过点F作斜率为k1的直线方程为：y＝k1（x﹣1），
联立方程，消去x可得：，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
∴y1y2＝﹣4，
设C（x3，y3），D（x4，y4），
则＝，同理，
设AC所在的直线方程为y＝m（x﹣4），
联立方程，消去x得：my2﹣4y﹣16m＝0，
∴y1y3＝﹣16，同理可得y2y4＝﹣16，
则＝＝＝＝4．
78.(2021 河北秦皇岛二模 理T15．)已知双曲线C：x2﹣＝1的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2与双曲线C的左、右两支分别交于A、B两点，已知∠F1AF2＝90°，且△ABF1内切圆半径为1，则|AB|＝　　．
【答案】3．
【解析】双曲线C：x2﹣＝1的a＝1，设|AF1|＝m，|BF1|＝n，
由双曲线的定义可得|AF2|＝|AF1|+2a＝m+2，|BF2|＝|BF1|﹣2a＝n﹣2，
|AB|＝AF2|﹣|BF2|＝m﹣n+4，由切线长定理可得直角三角形的内切圆的半径为两直角边的和与斜边的差的一半，所以，在直角三角形ABF1中，（|AB|+|AF1|﹣|BF1|）＝（m﹣n+4+m﹣n）＝1，可得m﹣n＝﹣1，所以|AB|＝﹣1+4＝3．
79.(2021 江西上饶二模 理T15．)过抛物线y2＝2x的焦点作两条相互垂直的弦AB，CD，且|AB|+|CD|＝λ|AB| |CD|，则实数λ的值为．
【答案】．
【解析】由抛物线的方程可得F（，0），由题意可知直线AB，CD的斜率存在且不为0，设直线AB的方程为：y＝k（x﹣），A（x1，y1），B（x2，y2），
联立方程，消去y整理可得：k2x2﹣（2+k2）+＝0，
所以x，所以|AB|＝x，
直线CD的方程为：y＝﹣），同理可得|CD|＝2+，
所以由|AB|+|CD|＝λ|AB| |CD|可得：
＝．
80.(2021 江西鹰潭二模 理T14．)已知方程﹣＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是　　．
【答案】（﹣1，3）．
【解析】∵双曲线两焦点间的距离为4，∴c＝2，
当焦点在x轴上时，
可得：4＝（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2＝1，
∵方程﹣＝1表示双曲线，
∴（m2+n）（3m2﹣n）＞0，可得：（n+1）（3﹣n）＞0，
解得：﹣1＜n＜3，即n的取值范围是：（﹣1，3）．
当焦点在y轴上时，
可得：﹣4＝（m2+n）+（3m2﹣n），解得：m2＝﹣1，无解．
综上可得m的取值范围是（﹣1，3）．
81.(2021 山东潍坊二模 T)
15．已知一张纸上画有半径为2的圆O，在圆0内有一个定点A，且OA＝1，折叠纸片，使圆上某一点A'刚好与A点重合，这样的每一种折法，都留下一条直线折痕，当A'取遍圆上所有点时，所有折痕与OA'的交点形成的曲线记为C，则曲线C上的点到圆O上的点的最大距离为　　．
【答案】．
【解析】以OA中点为G坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
∴可知O（），A（），设折痕与OA′和AA′分别交于M，N两点，
则MN垂直平分AA′，∴|MA′|＝|MA|，
又∵|A′O|＝|MO|+|A′M|，∴|MO|+|MA|＝2，
∴M的轨迹是以O，A为焦点，2为长轴的椭圆．
∴M的轨迹方程C为，
∴曲线C上的点到点O距离的最大值为d＝1+＝，
∴曲线C上的点到圆O上的点的最大距离为d+r＝．
82.(2021 河北邯郸二模 理T16．)过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点F作不垂直于x轴的直线，交抛物线于M，N两点，线段MN的中垂线交x轴于R，则＝　　．
【答案】．
【解析】设A（x1，y1），B（x2，y2），则根据抛物线的定义得：|AB|＝x1+x2+p，
由y12＝2px1，y22＝2p2x，相减得，y12﹣y22＝2px1﹣2px2，
∴k＝＝，则线段MN的中垂线的方程为：y﹣＝﹣（x﹣）．令y＝0，得R的横坐标为p+，又F（，0），
∴|FR|＝，则＝．
83.(2021 广东潮州二模 T14．)若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是　　．
【答案】9．
【解析】抛物线的准线为x＝﹣1，∵点M到焦点的距离为10，
∴点M到准线x＝﹣1的距离为10，∴点M到y轴的距离为9．
84.(2021 辽宁朝阳二模 T14．)已知|z+i|+|z﹣i|＝6，则复数z在复平面内所对应点P（x，y）的轨迹方程为　　．
【答案】+＝1．
【解析】∵复数z在复平面内所对应点P（x，y），又|z+i|+|z﹣i|＝6，
∴+＝6，即点P（x，y）到点A（0，﹣），和B（0，﹣）的距离之和为：6，且两定点的距离为：2＜6，
故点P的运动轨迹是以点A

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