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八年级数学上册《第1章
勾股定理》单元测试卷
一．选择题（共10小题，每题3分，共30分）
1．同学们都学习过“赵爽弦图”，如图所示，若大正方形的面积为5，小正方形的面积为1，则每个直角三角形的两直角边的乘积为　　
A．1
B．2
C．
D．
2．一个直角三角形两条直角边的长分别为6，8，则其斜边上的高为　　
A．
B．13
C．
D．25
3．如图，在中，，以的各边为边在外作三个正方形，，，分别表示这三个正方形的面积，若，，则　　
A．5
B．7
C．13
D．15
4．下列各组数中，不是勾股数的是　　
A．3，4，5
B．30，40，50
C．7，14，15
D．5，12，13
5．下列数组中，不能构成直角三角形的一组是　　
A．3，4，5
B．1，，
C．6、8、10
D．2、3、5
6．在中，、、的对边分别为、、，下列条件中，不能判断是直角三角形的是　　
A．，，
B．，
C．
D．，，
7．三个顶点都在网格点上，且有一个角为直角的三角形称为网格直角三角形．在的网格图中，若为网格直角三角形，则满足条件的点个数有　　
A．6
B．7
C．13
D．15
8．《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高二丈，末折抵地，去根九尺，问折高者几何？意思是一根竹子，原高两丈（一丈尺），一阵风将竹子折断，其竹稍恰好抵地，抵地处离竹子底部9尺远，问折断处离地面的高度是多少？设折断处离地面的高度为尺，则可列方程为　　
A．
B．
C．
D．
9．如图，高速公路上有、两点相距，、为两村庄，已知，．于，于，现要在上建一个服务站，使得、两村庄到站的距离相等，则的长是　　．
A．5
B．10
C．15
D．25
10．如图，桌面上的长方体长为8，宽为6，高为4，为的中点．一只蚂蚁从点出发沿长方体的表面到达点，则它运动的最短路程为　　
A．
B．
C．10
D．
二．填空题（共8小题，每题3分，共24分）
11．勾股定理本身就是一个关于，，的方程，显然这个方程有无数解，满足该方程的正整数，，通常叫做勾股数．如果三角形最长边，其中一短边，另一短边为，如果，，是勾股数，则　　（用含的代数式表示，其中为正整数）
12．在中，，、、的对边分别为、、，若，，则　　．
13．如图是“赵爽弦图”，
，，和是四个全等的直角三角形，四边形和都是正方形，如果，，那么　　．
14．如图，的顶点，，都在边长为1的正方形网格的格点上，于点，则的长为
　　．
15．三角形的两边长分别为和，要使这个三角形是直角三角形，则第三条边长是　　．
16．如图所示，是一块由花园小道围成的边长为12米的正方形绿地，在离处5米的绿地旁边处有健身器材，为提醒居住在处的居民爱护绿地，不直接穿过绿地从到，而是沿小道从．小丽想在处树立一个标牌“沿路多走■米，共建美丽家园”请问：小丽在标牌■填上的数字是
　　．
17．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时，水平距离，踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则的长是　　．
18．如图，有互相垂直的两面墙，，梯子，两端点，分别在两面墙上滑动长度不变），为的中点，柱子，底端到墙角的距离为．在此滑动过程中，点到点的距离的最小值为　　．
三．解答题（共6小题，66分）
19．（10分）有一块等腰三角形草地，测得腰，，腰比底边上的高多1米，求该草坪的面积？
20．（10分）已知等腰三角形的底边，是腰上一点，且，．
（1）求证：；
（2）求的面积．
21．（10分）如图，某港口位于东西方向的海岸线上．“综合执法1号”、“综合执法2号”轮船同时离开港口，各自沿一定方向执法巡逻，“综合执法1号”每小时航行，“综合执法2号”每小时航行，它们离开港口一个半小时后分别位于点，处，且相距．
（1）求，的长度；
（2）如果知道“综合执法1号”沿北偏东方向航行，能知道“综合执法2号”沿哪个方向航行吗？
22．（12分）如图，在中，，，，若为直角，如图1，则有结论：；当为锐角（如图或钝角（如图时，请你完成下列探究：
（1）分别猜想为锐角或钝角这两种情况下与的大小关系；
（2）任选（1）中的一个猜想进行证明．
23．（12分）满足的三个正整数，称为勾股数．
（1）请把下列三组勾股数补充完整：
①　　，8，10
②5，　　，13
③8，15，　　．
（2）小敏发现，很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个数是偶数，如果将它写成，那么另外两个数可以写成，，如，，．请你帮小敏证明这三个数，，是勾股数组．
（3）如果21，72，75是满足上述小敏发现的规律的勾股数组，求的值．
24．（12分）用四个完全相同的直角三角形（如图拼成一大一小两个正方形（如图，直角三角形的两条直角边分别是、，斜边长为，请解答：
（1）图2中间小正方形的周长　　，大正方形的边长为　　．
（2）用两种方法表示图2正方形的面积．（用含，，
①　　；
②　　；
（3）利用（2）小题的结果写出、、三者之间的一个等式　　．
（4）根据第（3）小题的结果，解决下面的问题：
已知直角三角形的两条直角边长分为是，，求斜边的值．
参考答案
一．选择题（共10小题）
1．解：如图，设两直角边为，，
大正方形的面积为5，
，
由题意，
，
，
故选：．
2．解：设为斜边上的高，
直角三角形的两条直角边的长分别为6和8，
斜边为，
三角形的面积，
．
故选：．
3．解：由勾股定理得，，
，
，
故选：．
4．解：、，能构成直角三角形，是整数，故是勾股数，此选项不符合题意；
、，三边是整数，同时能构成直角三角形，故是勾股数，此选项不符合题意；
、，不是勾股数，此选项符合题意；
、，是正整数，故是勾股数，此选项不符合题意．
故选：．
5．解：、，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
、，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
、，能构成直角三角形，故本选项不符合题意；
、，不能构成直角三角形，故本选项符合题意；
故选：．
6．解：、由题意知，，则是直角三角形，故本选项不符合题意；
、由题意知，，则不是直角三角形，故本选项符合题意；
、由题意知，，，是直角三角形，故本选项不符合题意；
、由题意知，，则是直角三角形，故本选项不符合题意．
故选：．
7．解：由勾股定理得：，
如图所示：
故有13个，
故选：．
8．解：如图，设折断处离地面的高度为尺，则尺，尺，
在中，，即．
故选：．
9．解：设，则，
由勾股定理得：
在中，
，
在中，
，
由题意可知：，
所以：，
解得：，
所以，，
故选：．
10．解：如图1所示，
则；
如图2所示，
，
故它运动的最短路程为10，
故选：．
二．填空题（共8小题）
11．解：，
，
故答案为：
12．解：，
设，，
，
由勾股定理可得，
解得，
，
故答案为．
13．解：，
，
四边形都是正方形，
在直角三角形中，由勾股定理得到：．
，
故答案为：4．
14．解：由勾股定理得：，
，
，
故答案为：．
15．解：三角形的两边长分别为和，
可设第三边为，
此三角形是直角三角形，
当是斜边时，，解得；
当是直角边时，，解得．
故答案为：或．
16．解：在中，为斜边，
米，
少走的距离为
（米米
答：小明在标牌■填上的数字是4．
故答案为：4．
17．解：设秋千绳索的长度为，
由题意可得，
四边形为矩形，，，，，
，，
在中，，
即，
解得，
即的长度为，
故答案为：7.5．
18．解：木棍的中点为，为直角三角形，
，即点到点的距离为，
点的轨迹为以为圆心，为半径的弧上，如图，
连接交于，则到的距离最小．
在弧上任取一点，连接，，
，，
，
为最小值，
在中，，，
，
，
故答案为：．
三．解答题（共6小题）
19．解：过点作于点，
，
设为，则，
在中，
，
即，
解得：，
，
，
该草坪的面积为．
20．（1）证明：，，，
，，，
，
三角形是直角三角形，，
．
（2）解：设，则，
为等腰三角形，且，
，
在中，，
，
解得：，
，
．
21．解：（1）由题意可得：（海里），（海里）；
（2）能，
理由：海里，海里，海里，
，
是直角三角形，
，
“综合执法1号”沿北偏东方向航行，
，
，
“综合执法2号”沿北偏西方向航行方向航行．
22．解：（1）猜想：若为锐角时，，若为钝角时，；
（2）当为锐角时，，证明如下：
如图，过点作于点，设，则，
在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
，即，
，，
，
当为钝角时，，证明如下：
如图，过点作的垂线交的延长线于点，，则，
在直角三角形中，，
在直角三角形中，，
，即，
，，
．
23．解：（1）①6，8，10；
②5.12，13；③8，15，17．
故答案为：6，12，17；
（2）证明：，
，
，
，，是勾股数；
（3）化简得：7，24，25，
偶数，，，
，，
．
24．解：（1）图2中间小正方形的周长，大正方形的边长为，
故答案为：；；
（2）图2正方形的面积或，
故答案为：或；
（3），
．
故答案为：；
（4），
（负值不合题意，舍去）．

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