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聚焦定积分的五种基本题型
定积分部分是高中数学课程的新增内容，也是与高等数学相衔接的内容，同时该部分又与实际生活联系密切，所以它已成为高考命题的热点，其基本题型主要有以下几种：
利用微积分基本定理求定积分
例1：计算以下定积分：
（1） （2） （3）
解析：（1）函数的一个原函数是，
所以==.
（2）函数的一个原函数是，所以
==.
（3）=+=+=.
评注：本题考查了利用微积分基本定理求定积分，其关键是求出被积函数的原函数.
用定积分的几何意义求定积分
例2：求定积分.
解析：设，则，表示由曲线在上的一段与坐标轴所围成的面积，即在第一象限部分的圆的面积，所以=
.
评注：本题考查了利用定积分的几何意义来求定积分，其关键是将被积函数的图象在坐标系中画出来，再根据积分区间确定图形的范围与大小，利用相关的面积公式求出其面积，即得到定积分的值.
利用定积分求平面图形的面积
例3：求由曲线和直线和所围成的图形的面积.
解析：如图，为了确定图形的范围，先求出这些曲线的交点的坐标A(1, 1)，B(2, 4)，
因此，所求图形的面积为S=+=
+=.
评注：本题考查了定积分的几何意义、微积分基本定理，借助图象，求出两曲线的交点，利用微积分基本定理即可.
定积分求参数
例4：已知直线分抛物线与x轴围成图形面积为相等的两部分，求k的值.
解析：因为抛物线与x轴两交点的横坐标，所以，抛物线与x轴围成图形面积为S===，又，由此可得交点横坐标，所以==，又知S=，所以，所以.
评注：本题考查了利用定积分几何意义及微积分基本定理来求参数这一基本应用，这种题型是近几年高考命题的热点.
利用定积分的物理意义解题
例5：一点在直线上从时刻开始以速度运动，求：
(1)在的位置； (2)在运动的路程.
解析：（1）在时刻时该点的位移为==.即在时刻该点距出发点.（2）=，∴在区间[0，1]及[3，4]上的 ≥0，在区间[1，3]上≤0，所以在时的路程为—+=4.
评注：本题考查了定积分的物理意义在解决物理问题中的应用，是数学知识与生活实际相联系的典例.
例5备用题：
将一弹簧压缩x米需要4x牛顿的力，现将其从自然长度压缩5米，求压力所做的功.
解析：由题意知，弹簧的弹性系数为k=4，根据定积分的物理意义知压力所做的功即为压力F=kx关于x的定积分，所以W===50（焦）.

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