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例析定积分计算的几种方法
一、掌握方法
例1：求定积分的值.
解法1：（用定积分的定义计算定积分）
（1）分割：把区间[0，1]等分成n个小区间[]（i=1，2，…，n）.其长度为△x=，把曲边梯形分成n个小曲边梯形，其面积记为△Si（i=1，2，…，n）.
（2）近似代替：用小矩形面积近似代替小曲边梯形的面积，
△Si=f（）△x=，（i=1，2，…，n）.
（3）求和：.
（4）取极限：S=.
所以 .
解法2：（用微积分基本定理计算定积分）
函数y＝的一个原函数是
所以
解法3：（用定积分的几何意义计算定积分）
表示直线与轴所围梯形（如图所示）的面积．
所以＝
评注：（1）利用定义法求定积分过程较繁琐，一般地，只有当其它方法计算定积分比较困难时考虑采用，同时应注意其四个步骤中的关键环节是求和，体现的思想方法是先分后合，以直代曲；（2）运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的原函数；（3）利用定积分的几何意义计算定积分，一般必须满足被积函数的图象易画，面积较易求出．
二、灵活运用
例2：求定积分的值.
分析：可先求出原函数，再利用微积分基本定理求解．
解：因为，
所以可求得函数的一个原函数是
所以
评注：本题由被积函数的特点考虑运用微积分基本定理进行计算，其关键是找到被积函数的原函数，若直接求不出原函数可先对被积函数变形，然后可求得．同时注意，为保万无一失，可对原函数求导进行检验．
例3：求定积分的值.
分析：本题注意到函数的图象即圆的一部分，故可利用定积分的几何意义求解．
解：表示圆的一部分与直线轴所围成的图形（如图所示）的面积，图中阴影部分面积等于一圆心角为120o，半径为2的扇形与一两直角边分别为1，的直角三角形的面积和．
所以＝
评注：本题如果用定积分的定义或微积分基本定理求解都比较麻烦，由联想到圆的一部分，从而想到用定积分的几何意义求解，从而简化了运算．这也是数形结合思想的又一体现．运用定积分的几何意义计算定积分，需要具备较强的观察能力、分析能力．
　　总之，定积分的计算，在实际解题中应因题而异，注意题目特点，灵活运用解题方法，才能快速而准确地解决问题．

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