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微积分基本定理的运用技巧
用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足F’(x)=f(x)的函数F(x)，即找到被积函数的原函数，利用求导运算与求原函数运算是互为逆运算的关系，运用基本初等函数求导公式和导数的四则运算法则，从反方向上求出F(x)。但在求原函数时会遇到困难或计算复杂，下面介绍几种简化求解的方法，供参考。
一、先化简，再积分。
例1 计算dx
解析：==(+2x－lnx)|=－ln2
点评：若被积函数f（x）比较复杂时，应先进行化简，以方便找到被积函数的原函数，再用基本定理求积分。
二、先分段，再积分。
例2 计算(|x+1|+|1－x|)dx
解析：由于y=|x+1|+|1－x|=
∴原式=++=(－x2)|+(2x)|+(x2)|=20
点评：这类积分不能直接求解，需要变换被积函数，去掉被积函数的绝对值，应用定积分的可加性，对积分区间分类讨论。
三、抓住几何意义
例3 计算dx
分析：若直接求被积函数y=的原函数比较困难，但由定积分的几何意义知，本题中即求半个单位的面积，故而dx=π
点评：充分挖掘被积函数的几何事实，正确理解定积分的几何意义，也是解决定积分问题的重要手段之一。
四、换元转化
例4 计算
解析：由于d(sinx)=cosxdx，故而令sinx=t，当x：0→时，t：0→1，则=(t+1)dt=(t2+t)|=。
点评：通过换元转化，可将复杂的定积分问题转化简单熟悉的问题，达到简化、优化解题的目的。
五、改变积分变量
例5 求抛物线y2=2x与直线y=x－4围成的平面图形的面积。
解析：解由y2=2x及y=x－4联立所得的方程组得两曲线的交点为(2,－2)、(8,4)，若取横坐标x为积分变量，则应对图中阴影部分进行分割，变为两部分面积之和，S=2+=……=18.若以y为积分变量，则图中阴影部分的面积可根据积分公式求得，即S==(+4y－y3)|=18
点评：由此可见，在求平面图形面积时，要注意选择适当的积分变量，使计算简便。
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