资源简介

问题条件小改动,面积计算大不同
定积分的几何意义是:在区间[a,b]上曲线与x轴所围成的图形的面积的代数和(即x轴上方的面积减去x轴下方的面积).那么,如何利用定积分的几何意义,计算有关几何图形的面积呢 看完下面这几个问题你就明白了.
问题.求曲线y=x2与直线y=2x所围成的图形的面积.
解析:作出函数y=x2与y=2x的图像,显然,曲线y=x2与直线y=2x相交于点O(0,0)和A(2,4).
由定积分的几何意义可知,在区间[0,2]上,曲线y=x2与x轴所围成的图形的面积为S1=,直线y=2x与x轴所围成的图形的面积为S2=.结合图象,可得曲线y=x2与直线y=2x所围成的图形的面积S=S2S1==(2202)()=.
变式1.求曲线y=x2与直线y=2x+1所围成的图形的面积.
分析:仿照上面的解法,要求曲线y=x2与直线y=2x+1所围成的图形的面积,首先要作出函数y=x2与y=2x+1的图像,再进一步计算出曲线y=x2与直线y=2x+1的交点,即积分下限与积分上限,然后利用定积分的几何意义,将所求图形的面积用定积分表示后再进行计算求解.
解:根据题意,作出函数y=x2与y=2x+1的图像,
计算可得,曲线y=x2与直线y=2x+1相交于点A(1,32)和B(1+,3+2).
由定积分的几何意义可知,在区间[1,1+]上,曲线y=x2与x轴所围成的图形的面积为S1=EQ \I\in(1,1+, x2)dx,直线y=2x+1与x轴所围成
的图形的面积为S2=EQ \I\in(1,1+,(2x+1))dx.
结合图象,可知曲线y=x2与直线y=2x+1所围成的图形的面积S=S2S1=EQ \I\in(1,1+,(2x+1))dx
EQ \I\in(1,1+, x2)dx=[(1+)2+(1+)(1)2(1)][eq \f((1+)3,3)eq \f((1)3,3)]=.
变式2.求曲线y=x2+1与直线y=2x+1所围成的图形的面积.
解析:同样地,我们可以利用上述方法将曲线y=x2+1与直线y=2x+1所围成的图形的面积用定积分来表示,再进一步计算求解.
但是作出图像不难发现,将曲线y=x2+1与直线y=2x+1分别向下平移1个单位后,就得到曲线y=x2与直线y=2x的图像,而在平移前后,曲线与直线所围成的图形面积不变,即曲线y=x2+1与直线y=2x+1所围成的图形面积也就等于曲线y=x2与直线y=2x所围成的图形面积.
变式3.求曲线y=x21与直线y=2x+1所围成的图形的面积.
分析:定积分的几何意义是在区间[a,b]上曲线与x轴所围成的图形的面积的代数和,即x轴上方的面积减去x轴下方的面积,而此题中曲线y=x21与直线y=2x+1所围成的图形一部分位于x轴上方,一部分位于x轴下方,故应分别求解.
但是,这样求解的话,计算相当繁琐.于是我们可以考虑将曲线
y=x21与直线y=2x+1分别向上平移1个单位,从而得到曲线y=x2与直线y=2x+2的图像,显然在平移前后,曲线与直线所围成的图形面积不变,即曲线y=x21与直线y=2x+1所围成的图形面积也就等于曲线y=x2与直线y=2x+2所围成的图形面积.
解:根据题意,作出函数y=x2与y=2x+2的图像,
计算可得,曲线y=x21与直线y=2x+1相交于点A(1,42)和B(1+,4+2),
由定积分的几何意义可知,在区间[1,1+]上,曲线y=x2与x轴所围成的图形的面积为S1=EQ \I\in(1,1+, x2)dx,直线y=2x+2与x轴所围成的图形的面积为S2=EQ \I\in(1,1+, (2x+2))dx,
结合图象,可知曲线y=x2与直线y=2x+2所围成的图形的面积为S=S2S1=EQ \I\in(1,1+, (2x+2))dx
EQ \I\in(1,1+, x2)dx=[(1+)2+2(1+)(1)22(1)][eq \f((1+)3,3)eq \f((1)3,3)]=.
以上几个例题,给大家介绍了利用定积分计算几何图形面积的方法,而对于一些比较复杂的面积计算问题,我们则可以巧妙地通过图象平移简化计算.正所谓:问题条件小改动,面积计算大不同.

展开更多......

收起↑