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专题6函数的奇偶性
要点一、函数的奇偶性概念及判断步骤
1．函数奇偶性的概念
偶函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)称为偶函数.
奇函数：若对于定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)称为奇函数.
要点诠释：
（1）奇偶性是整体性质；
（2）x在定义域中，那么-x在定义域中吗？
----具有奇偶性的函数，其定义域必定是关于原点对称的；
（3）f(-x)=f(x)的等价形式为：，
f(-x)=-f(x)的等价形式为：；
（4）由定义不难得出若一个函数是奇函数且在原点有定义，则必有f(0)=0；
（5）若f(x)既是奇函数又是偶函数，则必有f(x)=0.
2.奇偶函数的图象与性质
（1）如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.
（2）如果一个函数为偶函数，则它的图象关于轴对称；反之，如果一个函数的图像关于轴对称，则这个函数是偶函数.
（3）注意到偶函数的性质：，可避免讨论．
3.用定义判断函数奇偶性的步骤
（1）求函数的定义域，判断函数的定义域是否关于原点对称，若不关于原点对称，则该函数既不是奇函数，也不是偶函数，若关于原点对称，则进行下一步；
（2）结合函数的定义域，化简函数的解析式；
（3）求，可根据与之间的关系，判断函数的奇偶性.
若=-，则是奇函数；若=，则是偶函数；
要点二、判断函数奇偶性的常用方法
（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断与之一是否相等.
（2）验证法：在判断与的关系时，只需验证=0及是否成立即可.
（3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（轴）对称.
（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数.
（5）分段函数奇偶性的判断
判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断.分段函数不是几个函数，而是一个函数.因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断与的关系.首先要特别注意与的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，与对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较.
例1.
判断下列函数的奇偶性：
(1)；
(2)f(x)=x2-4|x|+3
；
(3)f(x)=|x+3|-|x-3|；
【解析】(1)∵f(x)的定义域为，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数；
(2)对任意x∈R，都有-x∈R，且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x2-4|x|+3为偶函数
；
(3)∵x∈R，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)为奇函数；
(4)；
(5)；
(6)
(4)
，∴f(x)为奇函数；
(5)∵x∈R，f(x)=-x|x|+x
∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)为奇函数；
(6)，∴f(x)为奇函数.
举一反三：
【变式1】判断下列函数的奇偶性：
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
【解析】(1)的定义域是，又，是奇函数．
（2）的定义域是，又，∴是偶函数
（3），，∴为非奇非偶函数
（4）任取x>0则-x<0，∴f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x)
任取x<0，则-x>0
f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x)
x=0时，f(0)=-f(0)
∴x∈R时，f(-x)=-f(x)
∴f(x)为奇函数.
【变式2】函数的图象(
)
A．关于原点对称
B．关于轴对称
C．关于轴对称
D．不具有对称轴
【答案】B.【解析】因为，偶函数，图象关于轴对称
【变式3】已知函数为偶函数，则的值是(
)
B.
C.
D.
【答案】B.【解析】
奇次项系数为
【变式4】（多选题）下列判断不正确的是（
）
A．函数f（x）=是奇函数
B．函数f（x）=是偶函数
C．函数f（x）=x+是非奇非偶函数
D．函数f（x）=1既是奇函数又是偶函数
【答案】ABD【详解】
A中函数的定义域为{x|x≠2}，不关于原点对称，故f（x）不是奇函数，故A错误；
B中函数的定义域为{x|x≠-1}，不关于原点对称，故f（x）不是偶函数，故B错误；
C中函数的定义域为{x|x≤-1，或x≥1}，
f（-x）=-x+≠f（x），f（-x）=-x+≠-f（x），
故f（x）是非奇非偶函数，故C正确；
D中函数是偶函数，但不是奇函数，故D错误.
【变式5】已知偶函数与奇函数的定义域都是，它们在，上的图象如图所示，则使关于的不等式成立的的取值范围为（
）
A．，，
B．，，
C．，，
D．，，
【答案】C【详解】
如图所示：当时，，，；当时，，，，故当时，其解集为，∵是偶函数，是奇函数，∴是奇函数，由奇函数的对称性可得：当时，其解集为，综上：不等式的解集是
，故选：C.
例2.
f(x)，g(x)均为奇函数，在上的最大值为5，
则在（-）上的最小值为
．
【解析】+=
，
．
当时，，
而，，
在上的最小值为-1．
举一反三：
【变式1】已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).
【解析】法一：∵f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10
∴8a-2b=-50
∴f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26
法二：令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数
∴g(-2)=-g(2)
∴f(-2)+8=-f(2)-8
∴f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.
【变式2】设函数，且则等于（
）
A.-3
B.3
C.-5
D.
5
【答案】C.【解析】因为是奇函数，所以，
所以，.
【变式3】如果奇函数在区间
上是增函数且最大值为，那么在区间上是(
)
A．增函数且最小值是
B．增函数且最大值是
C．减函数且最大值是
D．减函数且最小值是
【答案】A.【解析】
奇函数关于原点对称，左右两边有相同的单调性.
【变式4】若函数为奇函数，且g（x）=f（x）+2，若f（1）=1，则g（－1）的值为（
）
A．－1
B．－3
C．2
D．－2
【答案】A【解析】∵函数为奇函数，
∴F（－X）=－F（x）．由f（1）=1，则F（1）=2，
∴F（－1）=－2，即f（－1）+1=－2，∴f（－1）=－3，
∴g（－1）=f（－1）+2=－1
【变式5】已知函数是奇函数，则a=____，f（f（1））=____．
【答案】－1，1【解析】若函数f（x）是奇函数，
则f（－1）=－f（1），即a+2=－（1－2）=1，则a=－1，
则f（1）=1－2=－1，f（－1）=a+2=－1+2=1，
【变式6】函数为偶函数，其定义域为，则的值域
．
【答案】【解析】因为函数为上的偶函数，
所以即
即，所以函数在上的值域为．
【变式7】已知函数，为定义在上的奇函数且单调递减.若，则实数的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】D【详解】令，
因为为定义在上的奇函数，所以，
由，在上单调递减，
所以在上单调递减，
，
所以，解得.
故选：D.
例3．（1）已知f(x)是R上的奇函数，且当x＞0时，,求f(x)的解析式.
【解析】设x＜0，则–x＞0，∴
又∵函数f(x)为奇函数，∴f(－x)=
－f(x)，∴
当x=0时，由f(0)=–
f(0)，∴f(0)=0，
∴
（2）为奇函数，为偶函数，且，则的值为（
）
A．1
B．3
C．4
D．6
【答案】B
【详解】由题意得:，
所以，当时，，
故选：B．
举一反三：
【变式1】偶函数的定义域是R，当时，求的解析式.
【答案】（1）；
【变式2】已知奇函数的定义域是R，当时，求的解析式.
【答案】（2）
例4.(1)
定义域在区间[－2，2]上的偶函数，当x≥0时，是单调递减的，若成立，求m的取值范围．
【解析】
注意到偶函数的性质：，可避免讨论．
由于为偶函数，所以，．
因为x≥0时，是单调递减的，故，所以，解得．故m的取值范围是．
(2)奇函数在（-1，1）上是减函数，求满足的实数的取值范围．
【解析】由已知，由为奇函数，所以，
又在上是减函数，
解得
（3）．已知函数，，则不等式的解集为（
）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A【详解】，
当时，，
所以，函数在区间上为增函数，
由可得，即，解得.
因此，不等式的解集为.故选：A.
（4）（多选题）已知函数是定义在R上的偶函数，且对任意的，总有，则下列结论正确的是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】BD【详解】
因为对任意的，有，不妨设，则有
因为，所以，即，
所以在上是增函数，所以在上是增函数.
因为是偶函数,所以的图象关于y轴对称,
所以由在上是增函数,
可得：，所以.
故选：BD
【变式1】定义在[－1，1]上的函数y=f（x）是增函数且是奇函数，若f（－a+1）+f（4a－5）＞0．求实数a的取值范围．
【解析】由f（－a+1）+f（4a－5）＞0得f（4a－5）＞－f（－a+1），
∵定义在[－1，1]上的函数y=f（x）是增函数且是奇函数，
∴不等式等价为f（4a－5）＞f（a－1），
则满足，得，即，即实数a的取值范围是．
【变式2】已知偶函数在区间上单调递增，则满足的的取值范围是（
）
A．
B．
C．
D．
【答案】A【详解】
因为是偶函数，所以，
所以等价于，
因为在区间上单调递增，
所以，即，解得：，
所以原不等式的解集为，故选：A.
【变式3】已知奇函数在定义域上递减，且，则实数的取值范围是______.
【答案】【详解】
由于是定义在上单调递减的奇函数，
所以由，得，
所以，解得，
所以实数的取值范围是.
故答案为：.
【变式4】已知奇函数在定义域上是减函数，且，则实数的取值范围__________．
【答案】【详解】由已知可得，解得，
故定义域为，
又因为奇函数在定义域上是减函数，
所以，等价于，
所以，解得，
即实数的取值范围是，．
故答案为：，．
例题5（1）
已知函数是定义在上的奇函数，且.
（1）求实数和的值；
（2）判断函数在上的单调性，并证明你的结论；
（3）若对上，都有成立，求实数的取值范围.
【答案】（1），；（2）函数在上是增函数，证明见解析；（3）.
【详解】
（1）因为，函数是定义在上的奇函数
，
所以得，
又因为，所以，
（2）由（1）可知，设
所以
=
因为，所以，
所以，，即，
所以，函数在上是增函数
（3）由（2）可知函数在上是增函数，且是奇函数
要使“对上，都有成立”
即
则
不等式组对恒成立，
所以对恒成立，
所以
因为，所以，，所以，
，所以，所以，所以实数的取值范围是.
（2）已知定义域为的奇函数，当时，.
（1）求函数的解析式；
（2）求不等式的解集.
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）当时，，，
为上的奇函数，，又，
；
（2）由（1）可得图象如下图所示：
由图象可知：在上单调递增，
由得：，
；
当时，，解得：，；
当时，，解得：或，；
综上所述：不等式的解集为.
【变式1】已知定义域为的单调减函数是奇函数，当时，.
（1）求的值；（2）求的解析式；
（3）若任意，不等式恒
成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【详解】（1）因为定义域为的函数是奇函数，
所以.
（2）因为当时，，所以，
又因为函数是奇函数，所以，所以，
综上，
（3）由，得，
因为是奇函数，所以，
又在上是减函数，所以，
即对任意恒成立，
令，则，由，解得，故实数的取值范围为.
【变式2】已知是定义在R上的奇函数，且（a为常数），且．
（1）求的解析式；
（2）若存在，使得不等式成立，求m的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【详解】（1）因为是定义在R上的奇函数，所以．
因为，
所以，所以．
因为，所以，解得．故．
（2）由（1）可知，
则等价于，
因为，所以，因为，
所以，
令，得．
因为，所以，当且仅当，即时，等号成立．
则，即m的取值范围为．
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精品试卷·第
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