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3.2 函数的基本性质
3.2.2 奇偶性
第2课时
复习与回顾
1.什么是奇函数，偶函数？它们的特征各是怎样的？
(1)图象法(直观判断)；
(2)定义法(严格推导)。
2.如何判定一个函数的奇偶性？
3.函数的单调性和奇偶性各反应了函数怎样的性质？
单调性反映的是函数的增减性，奇偶性反映的是函数的对称性;
单调性针对的是定义域下的某一个区间，奇偶性针对的是整个定义域。
新课
2.奇偶函数的特征:
对于奇函数有：f(-x)=-f(x)
一般地，设函数f(x)的定义域为Ⅰ，
如果 x∈Ⅰ,都有-x∈Ⅰ,且
f(-x)=-f(x)
那么函数f(x)就叫做奇函数(evenfunction).
如果 x∈Ⅰ,都有-x∈Ⅰ,且
f(-x)=f(x)
那么函数f(x)就叫做偶函数(evenfunction).
1. 定义
函数的奇偶性
奇函数图象关于原点对称；
(2)代数特征：
(3)几何特征:
(1)定义域特征：
定义域关于原点对称.
（自变量取一对相反数时，函数值也是一对相反数）
返回
(或f(-x)+f(x)=0)
(或f(-x)-f(x)=0)
对于偶函数有：f(-x)=f(x)
偶函数图象关于y轴对称.
（自变量取一对相反数时，函数值相等）
(1)求函数的定义域Ⅰ；
(2)判断定义域Ⅰ是否关于原点对称；
若定义域Ⅰ关于原点对称，则函数不具有奇偶性;
若定义域Ⅰ关于原点对称关于原点对称，则进入第三步.
(3) x∈Ⅰ,计算f(-x)，并判断f(-x)与f(x)的关系；
(4)作结论.
若f(-x)=－f(x)，则函数是奇函数；
若f(-x)=f(x)，则函数是偶函数；
若f(-x)≠f(x)且f(-x)=-f(x) ,则f(x)既非奇函数又非偶函数;
若f(-x)=f(x)且f(-x)=-f(x) ,则f(x)既是奇函数又是偶函数.
用定义法判定函数f(x)的奇偶性的步骤
返回
一求二看
三算
四断
知识探究(一)
y=f(x)
y=f(x)
y=f(x)
结论一
　若奇函数的定义域含有０，则必有
f(０)＝０
又∵f(1)=3，
综上，a=3，b=0
解:
∴由f(-x)=-f(x)得
例析
例1.设函数 是奇函数，且f(1)=3,则求a，b.
∵函数f(x)是奇函数
思考(1)：对于是函数f(x)奇函数这个条件还可以怎样用
由f(x)的定义域含0可知
f(0)=0
解得a=3
思考(1)：若将“f(-x)=-f(x)”换为“f(-x)+f(x)=0”,对应的运算量如何
∴定义域关于原点对称①,
由②得,
∴ b=-2.
综上，a=-1,b=-2。
解: ∵函数f(x)是偶函数
已知函数f(x)=ax2+(b+2)x+3,x∈(2a+1,1)是偶函数，则求a，b.
且f(-x)-f(x=0)②
由①得
∴a=-1，
(2a+1)=-1
[-(-x)2-(b+2)x+3]-
[-x2+(b+2)x+3]=0
即2bx+4x= 0
练习
思考(1):“f(-x)=f(x)②”是否可以特殊化
∵函数的定义域为（-1,1）
f(x)=-x2+(b+2)x+3
∴ b=-2.
思考(2): 利用奇偶性求参数的值，一般可利用的条件哪一些
①定义域的对称性；②f(-x)=±f(x)恒成立；③在定义域内将f(-x)=±f(x)特殊化；④奇函数定义域含0时，f(0)=0.
例2.已知f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)=x2-2x+1。求f(x)的解析式，并画出此函数f(x)图象的大致形状.
例析
思考(1)：”当x>0时，f(x)=x2-2x+1”的言外之意是什么
当x<0或x=0时，f(x)=x2-2x+1就不一定成立了，即
函数f(x)是一个分段函数。
思考(2)：因此，解决本题关键是什么？
求出”当x<0或x=0时f(x)的对应关系”。
当x=0时，f(x)=0
既然要求x<0时f(x)的对应关系，首先就取”x<0”，
但此时x无法代入f(x)=x2-2x+1(x≥0才成立)，接下来作一个对称”-x>0”，
然后将-x代入f(x)=x2-2x+1得到f(-x)，
最后利用f(-x)与f(x)的关系得到x<0时的f(x)。
思考(3)：既然f(x)是定义域为R的奇函数，x=0时，f(x)等于多少？
思考(4)：根据题目中的条件，你认为本题应如何入求当x<0时的对应关系？
例2.已知f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)=x2-2x+1。求f(x)的解析式，并画出此函数f(x)图象的大致形状.
又∵f(x)是奇函数
∴f(-x)=-f(x)
∵当x≥0时，f(x)=x2-2x+1
当x＜0时，
∴f(-x)=
f(x)=-x2-2x-1
其图象右
(-x)2-2(-x)+1
(x＜0)
= x2+2x+1.
解:
-x>0.
思考(4)：你认为本题的易错点有哪些？
当x＜0时,
f(x)=0
由f(x)是R上的奇函数得
x
y
o
-1
1
1
-1
思考(5)：请你再回顾一下本题的解决过程？
例2.已知f(x)是定义域为R的奇函数，当x>0时，f(x)=x2-2x+1。求f(x)的解析式，并画出此函数f(x)图象的大致形状.
利用奇偶性求分段函数解析式的一般过程：
(1)取范围: 将x取在需要求对应关系时的范围；
(2)调范围: 把含有x式子调整到已知对应关系时的范围；
(3)代入: 将调整后式子代入已知的解析式；
(4)求出f(x): 根据奇偶性求出该范围的解析式；
(5)作结论：写成分段函数的形式
已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)=x2-2x+1。
(1)求f(-3); (2)求f(x)的解析式，并画出函数f(x)图象的大致形状.
又∵f(x)是偶函数
∴f(-x)=f(x)=x2+2x+1.
∵当x≥0时，f(x)=x2-2x+1
设x＜0，则
∴f(-x)=
即f(x)=x2+2x+1
其图象右
(-x)2-2(-x)+1
(x＜0)
= x2+2x+1.
解:(1）
-x>0.
x
y
o
-1
1
1
练习
取范围
调范围
代入
求出f(x)
作结论
思考：本题和刚才的例题有何不同？为什么x=0不需单独考虑
∵f(x)是偶函数
∴f(-3)=f(3)
=32-2×3+1
=4
(2）
y=f(x)
问题2：已知偶函数y=f(x)在区间[a,b]单调递增，你能判断y=f(x)在[-b,-a]的单调性吗？
x1, x2∈[-b,-a]，且x1∵f(x)在[a,b]单调递增
又∵f(x)在R上是奇函数
即 f(x1) < f(x2)
∴函数y=f(x)在区间[-b,-a]单调递减
知识探究(二)
a
b
函数y=f(x)在区间[-b,-a]单调递减
-x1, -x2∈[a,b]，且-x1>-x2
∴由-x1, -x2∈[a,b]，且-x1>-x2 得
f(-x1)>f(-x1)
∴f(-x1)=-f(x1)>f(-x2)=-f(x2)
证明：
-b
-a
-x2
-x1
x1
x2
思考：若y=f(x)是奇函数，情况又会怎样？
y=f(x)在[-b,-a]单调递增
结论二
在关于原点的两个对称区间上：
奇函数的单调性相同; 偶函数的单调性相反.
例3.已知函数f(x)是定义域为(-1,1)的奇函数 ,且在[0,1)上是增函数. 解不等式：
又∵奇函数f(x)在[0,1)上是增函数，
∵f(x)在R上是奇函数,
例析
∴f(x)是增函数。
解：
例3.已知函数f(x)是定义域为(-1,1)的奇函数 ,且在[0,1)上是增函数. 解不等式：
思考(1)：若将”[0,1)”改为”(0,1)”,情况会怎样
不等式没法解，因为f(x)不一定还是增函数。
除非加上另加条件，如图象连续不断。
x
y
o
1
-1
x
y
o
1
-1
1.已知函数f(x)是奇函数，且在区间[3,7]上为单调递增，若f(x)在区间[3,7]上的最小值是5，最大值是6，求函数f(x)在区间[-7,-3]最大值。
简析:
由题意知
练习
2.若将上题的奇函数改为偶函数，函数f(x)在区间[-7,-3]最大值为__________.
-7
-3
-5
3
5
x
y
7
o
6
-6
函数f(x)在区间[-7,-3]上单调递增
∵f(x)是奇函数
∴f(x)在区间[-7,-3]上的最大值为
f(-3)
∴f(-3)=-f(3)
由题意知f(3)=5
∴f(-3)=-5
6
即函数f(x)在区间[-7,-3]最大值为-5
3.已知函数y=f(x)是R上的奇函数，g(x)=xf(x)在(0,+∞)上是减函数， 且f(2)=0 . 解不等式g(x)≥0 .
∵函数y=f(x)是R上的偶函数，
∴g(x)=xf(x)在R上是奇函数.
由图象可得不等式g(x)≥0的解集为：
解：
x
y
o
2
-2
(-∞,-2]∪
{0}∪
(0,2]=
(-∞,-2]∪
[0,2]
又∵g(2)=
2f(2)=0,
且g(x)在(0,+∞)上是减函数,
∴g(x)图象的大致形状为
知识探究(三)
结论三
练习
简析：
1. 奇函数的定义域含0时，其图象一定过原点吗？
小结
2.奇函数和偶函数在单调性上有什么性质？
5.通过本节的学习，你对“数形结合的思想方法”，“特殊与
一般”的思想方法有什么认识？
3.如何根据奇偶性求函数的解析式？
在运算上呢？
4.如何解与抽象函数有关的不等式？
作 业
1.教材P86习题3.2第11题
3.已知奇函数f(x)在[0,+∞)单调递减, 解不等式 ：
4.（选做题）教材P86习题3.2第13题
简析：
3.已知奇函数f(x)在[0,+∞)单调递减, 解不等式 ：
∵f(x)是奇函数
∵f(x)在[0,+∞)单调递减
∵f(x)在[0,+∞)单调递减
∴(x)在为减函数

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