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8．3 双曲线
一、整合教材知识，落实基本能力
1．双曲线的定义:平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．集合P＝，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0．
(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；
(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；
(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上
图形
标准方程
范围 或， 或，
顶点 、 、
焦点 、 、
焦距
对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称
离心率
准线方程
渐近线方程
实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝； 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝； a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
3．等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率e＝．
双曲线中的几个常用结论
(1)焦点到渐近线的距离为b．
(2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．
(3)双曲线为等轴双曲线 双曲线的离心率e＝ 双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．
(4)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为．
(5)双曲线的离心率公式可表示为e＝．
[知识拓展]　三种常见双曲线方程的设法
(1)若已知双曲线过两点，焦点位置不能确定，可设方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．
(2)当已知双曲线的渐近线方程bx±ay＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b2x2－a2y2＝λ(λ≠0)．
(3)与双曲线－＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．
二、精研高考题点，提升备考知能
考点一 双曲线的标准方程
高考对双曲线标准方程的考查主要有两个方面：一是根据题设条件求双曲线的标准方程；二是通过双曲线的标准方程求解双曲线的基本量，在选择题、填空题和解答题中均有体现，难度中等偏上．
1．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于，则双曲线C的方程是(　　)
A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1
【解析】　右焦点为F(3,0)说明两层含义：双曲线的焦点在x轴上；c＝3．又离心率为＝，故a＝2，b2＝c2－a2＝32－22＝5，故双曲线C的方程为－＝1，选B．
【答案】　B
2．(2015·广东高考)已知双曲线C：－＝1的离心率e＝，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C的方程为(　　)
A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1
解析：选C　∵e＝＝，F2(5,0)，∴c＝5，a＝4，b2＝c2－a2＝9，∴双曲线的标准方程为－＝1．
3．焦点在x轴上，焦距为10，且与双曲线－x2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是___________．
解析：设所求双曲线的标准方程为－x2＝－λ(λ>0)，即－＝1，则有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求双曲线的标准方程为－＝1．
答案：－＝1
4．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为(　　)
A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1
解析：由y＝x可得＝．①
由椭圆＋＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，可得a2＋b2＝9．②
由①②可得a2＝4，b2＝5．所以C的方程为－＝1．故选B．
5．与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是(　　)
A．－y2＝1 B．－y2＝1 C．－＝1 D．x2－＝1
解析：选B　法一：椭圆＋y2＝1的焦点坐标是(±，0)．
设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，因为双曲线过点P(2,1)，
所以－＝1，又a2＋b2＝3，解得a2＝2，b2＝1，所以所求双曲线方程是－y2＝1．
6．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为(　　)
A．－y2＝1 B．x2－＝1 C．－＝1 D．－＝1
解析：选A　由焦距为2，得c＝．因为双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，所以＝．又c2＝a2＋b2，解得a＝2，b＝1，所以双曲线的方程为－y2＝1．
7．双曲线的实轴长和虚轴长之和等于焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为________．
解析：由题意知双曲线焦点在y轴上，设双曲线方程为－＝1，
则有解得故双曲线的标准方程为－＝1．
8．(2019·大连模拟)已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF2与x轴垂直，∠PF1F2＝30°，且虚轴长为2，则双曲线的标准方程为(　　)
A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．x2－＝1
解析：由题意可知|PF1|＝，|PF2|＝，2b＝2，由双曲线的定义可得－＝2a，
即c＝a．又b＝，c2＝a2＋b2，∴a＝1，
∴双曲线的标准方程为x2－＝1，故选D．
9．(2019·荆州模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)过点(，)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点构成一个等边三角形，则双曲线C的标准方程是(　　)
A．－y2＝1 B．－＝1 C．x2－＝1 D．－＝1
解析：C　[由双曲线C：－＝1(a>0，b>0)过点(，)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点构成一个等边三角形，可得解得∴双曲线C的标准方程是x2－＝1，故选C．]
10．(2021·北京卷)已知双曲线过点，且离心率为，则该双曲线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，则，，则双曲线的方程为，
将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，
因此，双曲线的方程为.故选：A.
求双曲线标准方程的2种方法
(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线－＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．
(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值．
[注意]　求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要注意分类讨论．也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)求解．
考点二　双曲线定义的应用
双曲线定义的应用主要有两个考查方向：一是直接考双曲线的定义；二是利用双曲线上点P与两焦点的距离的差的绝对值||PF1|－|PF2||＝2a其中0＜2a＜|F1F2|与正弦定理、余弦定理结合，解决焦点三角形问题。高考对本考点的考查常以选择题、填空题的形式出现，难度中等．
角度1 直接考双曲线的定义
1．(2015福建高考)若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于(　　)
A．11 B．9 C．5 D．3
解析：选B　由双曲线的定义有||PF1|－|PF2||＝|3－|PF2||＝2a＝6，∴|PF2|＝9或|PF2|＝－3(舍去)．
2．设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为__________．
解析：由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(－5,0)，F2(5,0)，设曲线C2上的一点P，则||PF1|－|PF2||＝8．
由双曲线的定义知：a＝4，b＝3．故曲线C2的标准方程为－＝1，即－＝1．
3．已知点F1(－3,0)和F2(3,0)，动点P到F1，F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为(　　)
A．－＝1(y>0) B．－＝1(x>0) C．－＝1(y>0) D．－＝1(x>0)
解析：选B　由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上的双曲线的右支，设其方程为－＝1(x>0，a>0，b>0)，由题设知c＝3，a＝2，b2＝9－4＝5，所以点P的轨迹方程为－＝1(x>0)．
4．已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．
解析：如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B．
根据两圆外切的条件，得|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2，
所以点M到两定点C1，C2的距离的差是常数且小于|C1C2|．
根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a＝1，c＝3，则b2＝8． 故点M的轨迹方程为x2－＝1(x≤－1)．
角度2 焦点三角形问题
1．设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于(　　)
A．4 B．8 C．24 D．48
解析：选C　由解得
又由|F1F2|＝10可得△PF1F2是直角三角形，则S＝|PF1|·|PF2|＝24，故选C．
2．已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上．若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1＝(　　)
A． B． C． D．
解析：A　[由e＝＝2得c＝2a，如图，由双曲线的定义得|F1A|－|F2A|＝2a．
又|F1A|＝2|F2A|，故|F1A|＝4a，
|F2A|＝2a，∴cos∠AF2F1＝＝．]
3．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
解析：选B　由双曲线的方程得a＝1，c＝，由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2．
在△PF1F2中，由余弦定理得|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos 60°，
即(2)2＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|＝22＋|PF1|·|PF2|，
解得|PF1|·|PF2|＝4．
4．设F1，F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为________．
解析：由题设条件得|PF1|＋|PF2|＝3b，由双曲线的定义得||PF1|－|PF2||＝2a，两个式子平方相减得|PF1|·|PF2|＝，则＝ab，整理得(3b－4a)·(3b＋a)＝0，即＝，所以e＝ ＝．
答案：
5．设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为________．
解析：由双曲线的标准方程为－＝1，得a＝2，由双曲线的定义可得|AF2|－|AF1|＝4，|BF2|－|BF1|＝4，所以|AF2|－|AF1|＋|BF2|－|BF1|＝8．因为|AF1|＋|BF1|＝|AB|，当AB是双曲线的通径时，|AB|最小，所以(|AF2|＋|BF2|)min＝|AB|min＋8＝＋8＝10．答案：10
考点三 双曲线的几何性质
双曲线几何性质是高考考查的热点，其中离心率和渐近线是双曲线的两个重要性质，解决此类问题的关键在于构造含有a，b，c的等式或不等式，一般以选择题或填空题形式考查，解答题不单独求解，穿插于其中，难度中等偏上．常见的命题角度有：(1)求双曲线的离心率(或范围)；(2)求双曲线的渐近线方程；
(3)求双曲线的方程．
角度1　求双曲线的离心率
　求双曲线的离心率或其范围的方法
(1)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e．
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．
1．（2018浙江卷）双曲线的焦点坐标是(　　)
A．( ，0)，(，0) B．( 2，0)，(2，0) C．(0， )，(0，) D．(0， 2)，(0，2)
【解析】因为双曲线方程为，所以焦点坐标可设为，
因为，所以焦点坐标为，选B．
2．(2014·全国卷Ⅰ)已知双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则a＝(　　)
A．2　　　　　B．　　　　　　C． D．1
解析：选D　因为双曲线的方程为－＝1，所以e2＝1＋＝4，因此a2＝1，a＝1．选 D．
3．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与圆(x－3)2＋y2＝9相交于A，B两点，若|AB|＝2，则该双曲线的离心率为(　　)
A．8 B．2 C．3 D．
【解答】双曲线的一条渐近线方程为bx－ay＝0，∵圆心为(3,0)，半径为3，由|AB|＝2，可知圆心到直线AB的距离为2，于是＝2，解得b2＝8a2，于是c＝＝3a，∴e＝＝3．
【答案】　C
4．(2021·长沙调研)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的顶点到渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为(　　)
A．2 B．2 C． D．
解析　由题意，知点(a，0)到直线bx－ay＝0的距离为，所以＝，
＝，所以e＝＝．
5．(2018·长沙模拟(二))已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝相切，则该双曲线的离心率为(　　)
A． B． C． D．3
解析：由双曲线的渐近线y＝x，即bx－ay＝0与圆相切得＝＝，即c＝b，则c2＝3b2＝3(c2－a2)，化简得c＝a，则该双曲线的离心率为e＝＝＝，故选A．
6．(2020·全国Ⅰ卷)已知F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为________．
解析：点B为双曲线的通径位于第一象限的端点，其坐标为，点A的坐标为(a，0)，
∵AB的斜率为3，∴＝3，即＝＝e＋1＝3，∴e＝2．
7．(2017·全国卷Ⅰ理)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为________．
解析：双曲线的右顶点为A(a,0)，设点M，N在渐近线y＝x，即bx－ay＝0上，则圆心A到此渐近线的距离d＝＝．又因为∠MAN＝60°，圆的半径为b，所以b·sin 60°＝，即＝，所以e＝＝． 答案：
【解析】如图所示，由题意可得|OA|=a，|AN|=|AM|=b，∵∠MAN=60°，∴|AP|=b，∴|OP|=．
设双曲线C的一条渐近线y=x的倾斜角为θ，则tan θ=．
又tan θ=，∴，解得a2=3b2，∴e=．答案：
8．（2018全国Ⅲ卷理）设,是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为(　　)
A． B． C． D．
【解析】由题可知 在中，
在中, 故选B．
9．（2017年全国2卷理）若双曲线 （，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为 （ ）
A． 2 B． C． D．
【解析】由几何关系可得，双曲线的渐近线方程为，圆心到渐近线距离为，则点到直线的距离为，即，整理可得，双曲线的离心率．故选A．
10．设双曲线的右焦点为，点在双曲线上， 是坐标原点，若四边行为平行四边形，且四边形的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． 2 C． D．
解析：设，因为OFMN为平行四边形，所以，因为OFMN的面积为bc，所以，选C．
11．已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________．
解析　由已知得|AB|＝，|BC|＝2c，∴2×＝3×2c，又∵b2＝c2－a2，整理得：2c2－3ac－2a2＝0，两边同除以a2得2－3－2＝0，即2e2－3e－2＝0，解得e＝2或e＝－1(舍去)．答案　2
12．（2018江苏）在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是________．
【答案】2
【解析】因为双曲线的焦点到渐近线即的距离为所以，因此
13．(2021·天津卷)已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】A
【详解】设双曲线与抛物线的公共焦点为，
则抛物线的准线为，
令，则，解得，所以,
又因为双曲线的渐近线方程为，所以，
所以，即，所以，所以双曲线的离心率.故选：A.
角度2　求双曲线的离心率或参数的取值范围
1．(2017·全国卷Ⅱ)若a>1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是(　　)
A．(，＋∞) B．(，2) C．(1，) D．(1,2)
解析：由题意得双曲线的离心率e＝．∴e2＝＝1＋．
∵a＞1，∴0＜＜1，∴1＜1＋＜2，∴1＜e＜．故选C．
2．若双曲线－＝1的离心率e∈(1,2)，则m的取值范围为________．
解析：∵e＝＝ ，∴1< <2，即5<5＋m<20，故03．(2016·洛阳统考)已知点F是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞) B．(1,2) C．(2,1＋) D．(1,1＋)
解析：选B　若△ABE是锐角三角形，只需∠AEF＜45°，在Rt△AFE中，|AF|＝，|FE|＝a＋c，则＜a＋c b2＜a2＋ac 2a2－c2＋ac＞0 e2－e－2＜0 －1＜e＜2，又e＞1，则1＜e＜2，故选 B．
4．已知点F是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞)　 B．(1，2) C．(2，1＋) D．(1，1＋)
解析：若△ABE是锐角三角形，只需∠AEF＜45°，在Rt△AFE中，|AF|＝，|FE|＝a＋c，则＜a＋c，即b2＜a2＋ac，即2a2－c2＋ac＞0，则e2－e－2＜0，解得－1＜e＜2，又e＞1，则1＜e＜2，故选B．
5．已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是双曲线C的两个焦点．若·<0，则y0的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
解析：选A　由题意知a＝，b＝1，c＝，设F1(－，0)，F2(，0)，
则＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)．∵·<0，
∴(－－x0)(－x0)＋y<0，即x－3＋y<0．
∵点M(x0，y0)在双曲线C上，∴－y＝1，即x＝2＋2y，∴2＋2y－3＋y<0，∴－角度3　双曲线的渐近线问题
1．双曲线－＝1的渐近线方程为(　　)
A．3x±4y＝0 B．4x±3y＝0 C．9x±16y＝0 D．16x±9y＝0
解析　A 由－＝1得a2＝16，b2＝9，∴渐近线方程为y＝±x，即3x±4y＝0．
2．双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为(　　)
A．2 B．2 C． D．1
解析　∵双曲线－＝1的一个焦点为F(4,0)，其中一条渐近线方程为y＝x，∴点F到x－y＝0的距离为＝2．答案　A
3．双曲线－＝1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为(　　)
A．2 B． C． D．
解析：选C　由渐近线互相垂直可知·＝－1，即a2＝b2，即c2＝2a2，即c＝a，所以e＝．
4．(2017·全国卷Ⅲ)双曲线－＝1(a＞0)的一条渐近线方程为y＝x，则a＝________．
解析：5　[∵双曲线的标准方程为－＝1(a>0)，∴双曲线的渐近线方程为y＝±x．
又双曲线的一条渐近线方程为y＝x，∴a＝5．]
5．已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则双曲线C的方程为(　　)
A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1
解析　双曲线C的渐近线方程为－＝0，点P(2,1)在渐近线上，∴－＝0，即a2＝4b2，
又a2＋b2＝c2＝25，解得b2＝5，a2＝20，故选A．
6．（2018全国Ⅲ卷文）已知双曲线的离心率为，则点到的渐近线的距离为(　　)
A． B． C． D．
【解析】 所以双曲线的渐近线方程为
所以点（4，0）到渐近线的距离 故选D
7．（2018年全国II卷理）双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则其渐近线方程为(　　)
A． B． C． D．
【解析】
因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，选A．
8．（2021全国Ⅱ卷）已知双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为_______________
【答案】
【详解】因为双曲线的离心率为2，所以，
所以，所以该双曲线的渐近线方程为.故答案为：.
9．已知双曲线C的焦点、顶点恰好分别是椭圆＋＝1的长轴端点、焦点，则双曲线C的渐近线方程为(　　)
A．4x±3y＝0 B．3x±4y＝0 C．4x±5y＝0 D．5x±4y＝0
答案　A
解析　由椭圆＋＝1知，长轴端点分别为(－5,0)和(5,0)，焦点是(－3,0)，(3,0)，
由此可知，双曲线的焦点为(－5,0)，(5,0)，顶点为(－3,0)，(3,0)，
所以双曲线方程为－＝1，∴渐近线方程为4x±3y＝0．
10．已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则双曲线C2的渐近线方程为(　　)
A．x±y＝0　　　　B．x±y＝0 C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
解析：选A　椭圆C1的离心率为，双曲线C2的离心率为，所以·＝，所以a4－b4＝a4，即a4＝4b4，所以a＝b，所以双曲线C2的渐近线方程是y＝± x，即x±y＝0．
11．设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1，A2的垂线与双曲线交于B，C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x　　　　　B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x
解析：选C　如图，不妨令B在x轴上方，因为BC过右焦点F(c,0)，且垂直于x轴，所以可求得B，C两点的坐标分别为，．又A1，A2的坐标分别为(－a,0)，(a,0)．
所以＝，＝．
因为A1B⊥A2C，所以·＝0，即(c＋a)(c－a)－·＝0，
即c2－a2－＝0，所以b2－＝0，故＝1，即＝1．
又双曲线的渐近线的斜率为±，故该双曲线的渐近线的方程为y＝±x．
角度4　双曲线性质的综合应用
1．(多选题)(2021·青岛模拟)已知双曲线C的方程为－＝1，则下列说法正确的是(　　)
A．双曲线C的实轴长为8 B．双曲线C的渐近线方程为y＝±x
C．双曲线C的焦点到渐近线的距离为3 D．双曲线C上的点到焦点距离的最小值为
答案　ABC
解析　由题意知，a＝4，b＝3，所以c＝＝＝5，对于A，双曲线C的实轴长为2a＝8，故A正确；
对于B，双曲线C的渐近线方程为y＝±x＝±x，故B正确；
对于C，双曲线C的焦点为(±5，0)，其到渐近线的距离为＝3，故C正确；
对于D，当双曲线的顶点与焦点位于y轴的同侧时，该顶点到焦点的距离即双曲线C上的点到焦点距离的最小值，为1，故D错误．
2．与椭圆共焦点，且渐近线为的双曲线方程是（ ）
A． B． C． D．
解析：因为椭圆的焦点为、，设双曲线的方程为
，，依题意可知，所以，解得，所以双曲线的方程为，故选A．
3．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为(　　)
A．－y2＝1 B．x2－＝1 C．－＝1 D．－＝1
解析：由题意可得解得a＝2，则b＝1，所以双曲线的方程为－y2＝1，故选A．
4．(2017·天津高考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，离心率为．若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为(　　)
A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1
解析：选B　由离心率为，可知a＝b，c＝a，所以F(－a,0)，
由题意知kPF＝＝＝1，所以a＝4，解得a＝2，
所以双曲线的方程为－＝1．
5．(2017·武汉调研)双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，焦点到渐近线的距离为3，则C的实轴长等于________．
解析：因为e＝＝，所以c＝a，设双曲线的一条渐近线方程为y＝x，即ax－by＝0，焦点为(0，c)，所以＝b＝3，所以a＝＝，所以a2＝16，即a＝4，故2a＝8．
6．（陕西省西安市长安区第一中学上学期期末考）已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
【解析】，解得：，双曲线方程为：．选择D．
7．(2016·全国卷Ⅰ)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(　　)
A．(－1,3) B．(－1，) C．(0,3) D．(0，)
解析：若双曲线的焦点在x轴上，则
又∵(m2＋n)＋(3m2－n)＝4，∴m2＝1，∴∴－1若双曲线的焦点在y轴上，则双曲线的标准方程为－＝1，即
即n>3m2且n<－m2，此时n不存在．故选A．
8．(2017·全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为(　　)
A． B． C． D．
解析：D　[因为F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，所以F(2,0)．
因为PF⊥x轴，所以可设P的坐标为(2，yP)．
因为P是C上一点，所以4－＝1，解得yP＝±3，所以P(2，±3)，|PF|＝3．
又因为A(1,3)，所以点A到直线PF的距离为1，
所以S△APF＝×|PF|×1＝×3×1＝．故选D．
9．(2020·全国Ⅰ卷)设F1，F2是双曲线C：x2－＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A． B．3 C． D．2
答案　B
解析　法一　
由题知a＝1，b＝，c＝2，F1(－2，0)，F2(2，0)，
如图，因为|OF1|＝|OF2|＝|OP|＝2，所以点P在以F1F2为直径的圆上，故PF1⊥PF2，则|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2＝16．
由双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2a＝2，所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|＝4，所以|PF1||PF2|＝6，
所以△PF1F2的面积为|PF1||PF2|＝3．故选B．
法二　由双曲线的方程可知，双曲线的焦点F1，F2在x轴上，且|F1F2|＝2＝4．设点P的坐标为(x0，y0)，则解得|y0|＝．
所以△PF1F2的面积为|F1F2|·|y0|＝×4×＝3．故选B．
10．(2020·全国Ⅲ卷)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a＝(　　)
A．1 B．2 C．4 D．8
法一　设|PF1|＝m，|PF2|＝n，P为双曲线右支上一点，则S△PF1F2＝mn＝4，m－n＝2a，m2＋n2＝4c2，又e＝＝，所以a＝1．
法二　由题意得，S△PF1F2＝＝4，得b2＝4，又＝5，c2＝b2＋a2，所以a＝1．
11．已知双曲线－＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P(，y0)在该双曲线上，则·等于(　　)
A．－12 B．－2 C．0 D．4
解析　∵y＝x为渐近线方程，则b＝2，即双曲线方程为x2－y2＝2．
当x＝时，y＝1．又双曲线的半焦距为2，∴F1(－2,0)，F2(2,0)，
∴·＝(－2－，－y0)·(2－，－y0)＝－1＋y＝－1＋1＝0．故选C．
12．（2018全国I卷理）已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N．若OMN为直角三角形，则|MN|=(　　)
A． B． 3 C． D． 4
【解析】根据题意，可知其渐近线的斜率为，且右焦点为，
从而得到，所以直线的倾斜角为或，
根据双曲线的对称性，设其倾斜角为，可以得出直线的方程为，
分别与两条渐近线和联立，求得，
所以，故选B．
13．设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为(　　)
A．4 B．8 C．16 D．32
解析　不妨设D位于第一象限，双曲线的渐近线方程为y＝±x，分别与x＝a联立，可得D(a，b)，E(a，－b)，则|DE|＝2b．
∴S△ODE＝×a×|DE|＝a×2b＝ab＝8，∴c2＝a2＋b2≥2ab＝16．
当且仅当a＝b＝2时，等号成立．∴c2的最小值为16，∴c的最小值为4，
∴C的焦距的最小值为2×4＝8．
考点四 直线与双曲线的位置关系
1．若双曲线E：－y2＝1(a＞0)的离心率等于，直线y＝kx－1与双曲线E的右支交于A，B两点．
(1)求k的取值范围；(2)若|AB|＝6，求k的值．
解：(1)由得故双曲线E的方程为x2－y2＝1．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(1－k2)x2＋2kx－2＝0．①
∵直线与双曲线右支交于A，B两点，
故即所以1＜k＜．
故k的取值范围为(1，)．
(2)由(1)知x1＋x2＝，x1x2＝，
∴|AB|＝·＝2＝6，
整理得28k4－55k2＋25＝0，∴k2＝或k2＝．又1＜k＜，∴k＝．
2．设A，B分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为．
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使＋＝t，求t的值及点D的坐标．
解：(1)由题意知a＝2，又∵一条渐近线为y ＝x，即bx－ay＝0．
∴由焦点到渐近线的距离为，得＝．
又∵c2＝a2＋b2，∴b2＝3，∴双曲线的方程为－＝1．
(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，则x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0．
将直线方程y＝x－2代入双曲线方程－＝1得x2－16x＋84＝0，
则x1＋x2＝16，y1＋y2＝(x1＋x2)－4＝12．
∴解得∴t＝4，点D的坐标为(4，3)．
3．(2015·重庆高考)设双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B, C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为(　　)
A．± B．± C．±1 D．±
解析：选C　由题设易知A1(－a,0)，A2(a,0)，B，C．∵A1B⊥A2C，
∴·＝－1，整理得a＝B．∵渐近线方程为y＝±x，即y＝±x，
∴渐近线的斜率为±1．
4．(2015·全国卷Ⅱ)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为(　　)
A． B．2 C． D．
解析：选D　不妨取点M在第一象限，如图所示，设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则|BM|＝|AB|＝2a，∠MBx＝180°－120°＝60°，∴M点的坐标为．
∵M点在双曲线上，∴－＝1，a＝b，∴c＝a，e＝＝．故选D．
5．(2015·天津高考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上，则双曲线的方程为(　　)
A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1
解析：选D　由双曲线的渐近线y＝x过点(2，)，可得＝×2．①
由双曲线的焦点(－，0)在抛物线y2＝4x的准线x＝－上，可得 ＝．②
由①②解得a＝2，b＝，所以双曲线的方程为－＝1．
6．(2016·唐山统考)“k＜9”是“方程＋＝1表示双曲线”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：选A　∵方程＋＝1表示双曲线，∴(25－k)(k－9)＜0，∴k＜9或k＞25，∴“k＜9”是“方程＋＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A．
7．(2016·大庆质检)双曲线的一个顶点为(2,0)，一条渐近线方程为y＝x，则该双曲线的方程是(　　)
A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1
解析：选B　由双曲线的一个顶点为(2,0)，可设双曲线方程为－＝1(b>0)，则渐近线方程为y＝±x，由双曲线的一条渐近线方程为y＝x，知b＝2，所以双曲线的方程是－＝1．
8．(2016·洛阳统考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为(　　)
A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1
解析：选A　∵－＝1的焦距为10，∴c＝5＝　①，又双曲线的渐近线方程为y＝±x，且P(2,1)在渐近线上，∴＝1，即a＝2b　②，
由①②得a＝2，b＝，∴双曲线的方程为－＝1．
9．(2015·北京高考)已知双曲线－y2＝1(a>0)的一条渐近线为x＋y＝0，则a＝________．
解析：双曲线－y2＝1的渐近线为y＝±，已知一条渐近线为x＋y＝0，即y＝－x，因为a>0，所以＝，所以a＝．
10．(2015·全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为________．
解析：∵双曲线的渐近线方程为y＝±x，∴可设双曲线的方程为x2－4y2＝λ(λ≠0)．
∵双曲线过点(4，)，∴λ＝16－4×()2＝4，∴双曲线的标准方程为－y2＝1．
11．(2016·河北五校联考)若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的离心率为______．
解析：双曲线的一条渐近线方程为bx－ay＝0，一个焦点坐标为(c,0)．根据题意知＝×2c，所以c＝2b，a＝＝b，所以e＝＝＝．
12．已知双曲线的中心在原点，左，右焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．
(1)求双曲线的方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：1·2＝0．
[解]　(1)∵e＝，∴可设双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)．
∵双曲线过点(4，－)，∴16－10＝λ，即λ＝6，
∴双曲线的方程为x2－y2＝6．
(2)证法一：由(1)可知，双曲线中a＝b＝，∴c＝2，∴F1(－2，0)，F2(2，0)，
∴kMF1＝，kMF2＝，∴kMF1·kMF2＝＝－．
∵点M(3，m)在双曲线上，∴9－m2＝6，m2＝3，
故kMF1·kMF2＝－1，∴MF1⊥MF2，即1·2＝0．
证法二：由证法一知1＝(－3－2，－m)，2＝(2－3，－m)，
∴1·2＝(3＋2)×(3－2)＋m2＝－3＋m2，
∵点M在双曲线上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，∴1·2＝0．8．3 双曲线
一、整合教材知识，落实基本能力
1．双曲线的定义:平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．集合P＝，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0．
(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；
(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；
(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
焦点的位置 焦点在轴上 焦点在轴上
图形
标准方程
范围 或， 或，
顶点 、 、
焦点 、 、
焦距
对称性 关于轴、轴对称，关于原点中心对称
离心率
准线方程
渐近线方程
实虚轴 线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝； 线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝； a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
3．等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率e＝．
双曲线中的几个常用结论
(1)焦点到渐近线的距离为b．
(2)实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线．
(3)双曲线为等轴双曲线 双曲线的离心率e＝ 双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)．
(4)过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦的长为．
(5)双曲线的离心率公式可表示为e＝．
[知识拓展]　三种常见双曲线方程的设法
(1)若已知双曲线过两点，焦点位置不能确定，可设方程为Ax2＋By2＝1(AB<0)．
(2)当已知双曲线的渐近线方程bx±ay＝0，求双曲线方程时，可设双曲线方程为b2x2－a2y2＝λ(λ≠0)．
(3)与双曲线－＝1有相同的渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)．
二、精研高考题点，提升备考知能
考点一 双曲线的标准方程
高考对双曲线标准方程的考查主要有两个方面：一是根据题设条件求双曲线的标准方程；二是通过双曲线的标准方程求解双曲线的基本量，在选择题、填空题和解答题中均有体现，难度中等偏上．
1．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F(3,0)，离心率等于，则双曲线C的方程是(　　)
A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1
2．(2015·广东高考)已知双曲线C：－＝1的离心率e＝，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C的方程为(　　)A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1
3．焦点在x轴上，焦距为10，且与双曲线－x2＝1有相同渐近线的双曲线的标准方程是___________．
4．(2017·全国卷Ⅲ)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为(　　)A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1
5．与椭圆＋y2＝1共焦点且过点P(2,1)的双曲线方程是(　　)
A．－y2＝1 B．－y2＝1 C．－＝1 D．x2－＝1
6．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为(　　)
A．－y2＝1 B．x2－＝1 C．－＝1 D．－＝1
7．双曲线的实轴长和虚轴长之和等于焦距的倍，且一个顶点的坐标为(0,2)，则双曲线的标准方程为________．
8．(2019·大连模拟)已知F1，F2分别为双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P为双曲线上一点，PF2与x轴垂直，∠PF1F2＝30°，且虚轴长为2，则双曲线的标准方程为(　　)
A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．x2－＝1
9．(2019·荆州模拟)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)过点(，)，且实轴的两个端点与虚轴的一个端点构成一个等边三角形，则双曲线C的标准方程是(　　)
A．－y2＝1 B．－＝1 C．x2－＝1 D．－＝1
10．(2021·北京卷)已知双曲线过点，且离心率为，则该双曲线的标准方程为（ ）A． B． C． D．
求双曲线标准方程的2种方法
(1)待定系数法：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值．与双曲线－＝1有相同渐近线时，可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)．
(2)定义法：依定义得出距离之差的等量关系式，求出a的值，由定点位置确定c的值．
[注意]　求双曲线的标准方程时，若焦点位置不确定，要注意分类讨论．也可以设双曲线方程为mx2＋ny2＝1(mn＜0)求解．
考点二　双曲线定义的应用
双曲线定义的应用主要有两个考查方向：一是直接考双曲线的定义；二是利用双曲线上点P与两焦点的距离的差的绝对值||PF1|－|PF2||＝2a其中0＜2a＜|F1F2|与正弦定理、余弦定理结合，解决焦点三角形问题。高考对本考点的考查常以选择题、填空题的形式出现，难度中等．
角度1 直接考双曲线的定义
1．(2015福建高考)若双曲线E：－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|＝3，则|PF2|等于(　　)A．11 B．9 C．5 D．3
2．设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为__________．
3．已知点F1(－3,0)和F2(3,0)，动点P到F1，F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为(　　)
A．－＝1(y>0) B．－＝1(x>0) C．－＝1(y>0) D．－＝1(x>0)
4．已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．
角度2 焦点三角形问题
1．设F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，P是双曲线上的一点，且3|PF1|＝4|PF2|，则△PF1F2的面积等于(　　)A．4 B．8 C．24 D．48
2．已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上．若|F1A|＝2|F2A|，则cos∠AF2F1＝(　　)
A． B． C． D．
3．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则|PF1|·|PF2|等于(　　)A．2 B．4 C．6 D．8
4．设F1，F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|＋|PF2|＝3b，|PF1|·|PF2|＝ab，则该双曲线的离心率为________．
5．设双曲线－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则|BF2|＋|AF2|的最小值为________．
考点三 双曲线的几何性质
双曲线几何性质是高考考查的热点，其中离心率和渐近线是双曲线的两个重要性质，解决此类问题的关键在于构造含有a，b，c的等式或不等式，一般以选择题或填空题形式考查，解答题不单独求解，穿插于其中，难度中等偏上．常见的命题角度有：(1)求双曲线的离心率(或范围)；(2)求双曲线的渐近线方程；
(3)求双曲线的方程．
角度1　求双曲线的离心率
　求双曲线的离心率或其范围的方法
(1)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e．
(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．
1．（2018浙江卷）双曲线的焦点坐标是(　　)
A．( ，0)，(，0) B．( 2，0)，(2，0) C．(0， )，(0，) D．(0， 2)，(0，2)
2．(2014·全国卷Ⅰ)已知双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则a＝(　　)
A．2　　　　　B．　　　　　　C． D．1
3．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与圆(x－3)2＋y2＝9相交于A，B两点，若|AB|＝2，则该双曲线的离心率为(　　) A．8 B．2 C．3 D．
4．(2021·长沙调研)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的顶点到渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为(　　)A．2 B．2 C． D．
5．(2018·长沙模拟(二))已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝相切，则该双曲线的离心率为(　　)A． B． C． D．3
6．(2020·全国Ⅰ卷)已知F为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点，且BF垂直于x轴．若AB的斜率为3，则C的离心率为________．
7．(2017·全国卷Ⅰ理)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为________．
8．（2018全国Ⅲ卷理）设,是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为(　　)
A． B． C． D．
9．（2017年全国2卷理）若双曲线 （，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为 （ ）A． 2 B． C． D．
10．设双曲线的右焦点为，点在双曲线上， 是坐标原点，若四边行为平行四边形，且四边形的面积为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． 2 C． D．
11．已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2|AB|＝3|BC|，则E的离心率是________．
12．（2018江苏）在平面直角坐标系中，若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为，则其离心率的值是________．
13．(2021·天津卷)已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（ ）A． B． C．2 D．3
角度2　求双曲线的离心率或参数的取值范围
1．(2017·全国卷Ⅱ)若a>1，则双曲线－y2＝1的离心率的取值范围是(　　)
A．(，＋∞) B．(，2) C．(1，) D．(1,2)
2．若双曲线－＝1的离心率e∈(1,2)，则m的取值范围为________．
3．(2016·洛阳统考)已知点F是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是(　　)A．(1，＋∞) B．(1,2) C．(2,1＋) D．(1,1＋)
4．已知点F是双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F作垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是(　　)
A．(1，＋∞)　 B．(1，2) C．(2，1＋) D．(1，1＋)
5．已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是双曲线C的两个焦点．若·<0，则y0的取值范围是(　　)
A． B． C． D．
角度3　双曲线的渐近线问题
1．双曲线－＝1的渐近线方程为(　　)
A．3x±4y＝0 B．4x±3y＝0 C．9x±16y＝0 D．16x±9y＝0
2．双曲线－＝1的焦点到渐近线的距离为(　　)A．2 B．2 C． D．1
3．双曲线－＝1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为(　　)
A．2 B． C． D．
4．(2017·全国卷Ⅲ)双曲线－＝1(a＞0)的一条渐近线方程为y＝x，则a＝________．
5．已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则双曲线C的方程为(　　)
A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1
6．（2018全国Ⅲ卷文）已知双曲线的离心率为，则点到的渐近线的距离为(　　)A． B． C． D．
7．（2018年全国II卷理）双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，则其渐近线方程为(　　)
A． B． C． D．
8．（2021全国Ⅱ卷）已知双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为_______________
9．已知双曲线C的焦点、顶点恰好分别是椭圆＋＝1的长轴端点、焦点，则双曲线C的渐近线方程为(　　)A．4x±3y＝0 B．3x±4y＝0 C．4x±5y＝0 D．5x±4y＝0
10．已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则双曲线C2的渐近线方程为(　　)
A．x±y＝0　　　　B．x±y＝0 C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
11．设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1，A2的垂线与双曲线交于B，C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x　　　　　B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x
角度4　双曲线性质的综合应用
1．(多选题)(2021·青岛模拟)已知双曲线C的方程为－＝1，则下列说法正确的是(　　)
A．双曲线C的实轴长为8 B．双曲线C的渐近线方程为y＝±x
C．双曲线C的焦点到渐近线的距离为3 D．双曲线C上的点到焦点距离的最小值为
2．与椭圆共焦点，且渐近线为的双曲线方程是（ ）
A． B． C． D．
3．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为(　　)A．－y2＝1 B．x2－＝1 C．－＝1 D．－＝1
4．(2017·天津高考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，离心率为．若经过F和P(0,4)两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为(　　)
A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1
5．(2017·武汉调研)双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，焦点到渐近线的距离为3，则C的实轴长等于________．
6．（陕西省西安市长安区第一中学上学期期末考）已知双曲线的左焦点为，点在双曲线的渐近线上，是边长为2的等边三角形（为原点），则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
7．(2016·全国卷Ⅰ)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(　　)
A．(－1,3) B．(－1，) C．(0,3) D．(0，)
8．(2017·全国卷Ⅰ)已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1,3)，则△APF的面积为(　　) A． B． C． D．
9．(2020·全国Ⅰ卷)设F1，F2是双曲线C：x2－＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为(　　)　　A． B．3 C． D．2
10．(2020·全国Ⅲ卷)设双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为．P是C上一点，且F1P⊥F2P．若△PF1F2的面积为4，则a＝(　　)
A．1 B．2 C．4 D．8
11．已知双曲线－＝1(b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，其一条渐近线方程为y＝x，点P(，y0)在该双曲线上，则·等于(　　)
A．－12 B．－2 C．0 D．4
12．（2018全国I卷理）已知双曲线C：，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N．若OMN为直角三角形，则|MN|=(　　)
A． B． 3 C． D． 4
13．设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为(　　)
A．4 B．8 C．16 D．32
考点四 直线与双曲线的位置关系
1．若双曲线E：－y2＝1(a＞0)的离心率等于，直线y＝kx－1与双曲线E的右支交于A，B两点．
(1)求k的取值范围；(2)若|AB|＝6，求k的值．
2．设A，B分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的距离为．
(1)求双曲线的方程；
(2)已知直线y＝x－2与双曲线的右支交于M，N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使＋＝t，求t的值及点D的坐标．
3．(2015·重庆高考)设双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B, C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为(　　)
A．± B．± C．±1 D．±
4．(2015·全国卷Ⅱ)已知A，B为双曲线E的左，右顶点，点M在E上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则E的离心率为(　　)
A． B．2 C． D．
5．(2015·天津高考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线过点(2，)，且双曲线的一个焦点在抛物线y2＝4x的准线上，则双曲线的方程为(　　)
A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1
6．(2016·唐山统考)“k＜9”是“方程＋＝1表示双曲线”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．(2016·大庆质检)双曲线的一个顶点为(2,0)，一条渐近线方程为y＝x，则该双曲线的方程是(　　)
A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1
8．(2016·洛阳统考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为(　　)
A．－＝1 B．－＝1 C．－＝1 D．－＝1
9．(2015·北京高考)已知双曲线－y2＝1(a>0)的一条渐近线为x＋y＝0，则a＝________．
10．(2015·全国卷Ⅱ)已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为________．
11．(2016·河北联考)若双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的离心率为______．
12．已知双曲线的中心在原点，左，右焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)．
(1)求双曲线的方程；
(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：1·2＝0．

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