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10.1 两个计数原理、排列与组合、二项式定理
一、整合教材知识，落实基本能力
1．两个计数原理
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
条件 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法
结论 完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法 完成这件事共有N＝mn种不同的方法
2.排列、组合的定义
排列的定义 从n个不同元素中 取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列
组合的定义 合成一组
3.排列数、组合数的定义、公式、性质
排列数A 组合数C
定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数A 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数C
公式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ C＝＝
性质 A＝n！； 0！＝1 C＝1；C＝C ； C＋C＝C
4．二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)；
(2)通项公式：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C，C，…，C．
5．二项式系数的性质
(1)对称性：当0≤k≤n时，C＝C．
(2)二项式系数的最值：二项式系数先增后减，中间项最大；且n为偶数时，第＋1项的二项式系数最大，最大值为C；当n为奇数时，第项和项的二项式系数最大，最大值为C或C．
(3)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n，
(4)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即
C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1．
二、精研高考题点，提升备考知能
考点一 两个计数原理的综合应用
计数原理很少单独命题，多与分类加法计数原理、排列、组合或概率等内容相结合考查，题型为选择题或填空题，难度适中，属于中档题.
　利用两个基本计数原理解决问题的步骤
第一步，审清题意，弄清要完成的事件是怎样的．
第二步，分析完成这件事应采用分类、分步、先分类后分步、先分步后分类这四种方法中的哪一种．
第三步，弄清在每一类或每一步中的方法种数．
第四步，根据两个基本计数原理计算出完成这件事的方法种数．
1．图书馆的一个书架有三层，第一层有3本不同的数学书，第二层有5本不同的语文书，第三层有8本不同的英语书，现从中任取1本书，不同的取法有(　　)
A．12　　　　　　B．16　　　　　　C．64　　　　　　D．120
解析：B　[书架上共有3＋5＋8＝16本不同的书，从中任取一本共有16种不同的取法，故选B.]
2．(2016·昆明模拟)某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)，有车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有(　　)
A．180种 B．360种 C．720种 D．960种
解析：选D　按照车主的要求，从左到右第一个号码有5种选法，第二个号码有3种选法，其余三个号码各有4种选法．因此车牌号码可选的所有可能情况有5×3×4×4×4＝960(种)．
3．(2020·重庆诊断)将3张不同的冬奥会门票分给10名同学中的3人，每人1张，不同的分法种数为(　　)
A．720 　　　 B．240 　　　 C．120 　　　D．60
答案　A
解析　将3张不同的门票分给10名同学中的3人，每人1张，可分三步：第一步，第1张门票有10种不同的分法；第二步，第2张门票有9种不同的分法；第三步，第3张门票有8种不同的分法，由分步乘法计数原理得，共有10×9×8＝720种不同分法．
4．(2016·全国卷Ⅱ)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(　　)
A．24 B．18 C．12 D．9
解析：选B　分两步，第一步，从E→F，有6条可以选择的最短路径；第二步，从F→G，有3条可以选择的最短路径．由分步乘法计数原理可知有6×3＝18条可以选择的最短路程．
5．(2021·武汉模拟)中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有(　　)
A．30种　　　B．50种　　　C．60种　　　D．90种
答案　B
解析　①若甲同学选择牛，则乙有2种选择，丙有10种选择，选法有1×2×10＝20种；
②若甲同学选择马，则乙有3种选择，丙有10种选择，选法有1×3×10＝30种，
所以共有20＋30＝50种选法．故选B.
6．(2021·石家庄模拟)将“福”、“禄”、“寿”填入到如图所示的4×4小方格内，每格内只填入一个汉字，且任意的两个汉字既不同行也不同列，则不同的填写方法有(　　)
A．288种 　　　 B．144种 　　　 C．576种 　　　 D．96种
答案　C
解析　第一步，先从16个格子中任选一格放一个汉字有16种方法，
第二步，任意的两个汉字既不同行也不同列，剩下的只有9个格子可以放，有9种方法，
第三步，第三个汉字只有4个格子可以放，有4种方法，
由分步乘法计数原理知共有16×9×4＝576(种)．
考点二 排列问题
排列问题是高考的常考内容，且多与两个计数原理、组合等内容综合考查，题型为选择题或填空题，难度适中，属于中档题．
　求解排列应用问题的6种常用方法
直接法：把符合条件的排列数直接列式计算
优先法：优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法：相隔问题把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法：对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中
定序问题除法处理：对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
间接法：正难则反、等价转化的方法
1．有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．
(1)选5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；
(4)全体排成一排，女生必须站在一起；
(5)全体排成一排，男生互不相邻．
[解]　(1)从7人中选5人排列，有A＝7×6×5×4×3＝2 520(种)．
(2)分两步完成，先选3人站前排，有A种方法，余下4人站后排，有A种方法，共有A·A＝5 040(种)．
(3)法一：(特殊元素优先法)先排甲，有5种方法，其余6人有A种排列方法，共有5×A＝3 600(种)．
法二：(特殊位置优先法)首尾位置可安排另6人中的两人，有A种排法，其他有A种排法，共有AA＝3 600(种)．
(4)(捆绑法)将女生看作一个整体与3名男生一起全排列，有A种方法，再将女生全排列，有A种方法，共有A·A＝576(种)．
(5)(插空法)先排女生，有A种方法，再在女生之间及首尾5个空位中任选3个空位安排男生，有A种方法，共有A·A＝1 440(种)．
2．(2021·福州调研)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为(　　)
A．144　　　　B．120　　　　C．72　　　　D．24
答案　D
解析　“插空法”，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为A＝4×3×2＝24.
3．(2018·兰州模拟)某国际会议结束后，中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人也站前排并与中国领导人相邻，如果对其他国家领导人所站位置不做要求，那么不同的站法共有(　　)
A．A种　　　　B．A种　　　　C．AAA种　　　　D．AA种
解析：选D　中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人站前排并与中国领导人相邻，有A种站法；其他18国领导人可以任意站，因此有A种站法．根据分步计数原理，共有AA种站法．故选D.
4．(2018·东北四市联考)甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有(　　)
A．10种　　　　B．16种　　　　C．20种　　　　D．24种
解析：选C　一排共有8个座位，现有两人就坐，故有6个空座．∵要求每人左右均有空座，∴在6个空座的中间5个空中插入2个座位让两人就坐，即有A＝20种坐法．
5．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有(　　)
A．34种　　　　B．48种　 C．96种 D．144种
解析：程序A的顺序有A＝2种结果，将程序B和C看作一个元素与除A外的元素排列有AA＝48种结果，由分步乘法计数原理，实验编排共有2×48＝96种方法．
6．用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为(　　)
A．8　　　　B．24　　　　C．48　　　　D．120
答案　C
解析　末位数字排法有A种，其他位置排法有A种，共有AA＝48种．
7．(多选题)(2021·烟台调研)若3男3女排成一排，则下列说法错误的是(　　)
A．共计有720种不同的排法 B．男生甲排在两端的共有120种排法
C．男生甲、乙相邻的排法总数为120种 D．男女生相间排法总数为72种
答案　BC
解析　3男3女排成一排共计有A＝720种；男生甲排在两端的共有2A＝240种；男生甲、乙相邻的排法总数AA＝240种；男女生相间排法总数2AA＝72种，故选BC.
8．(2020·新高考海南卷)3名大学生利用假期到2个山村参加扶贫工作，每名大学生只去1个村，每个村至少1人，则不同的分配方案共有(　　)
A．4种 B．5种 C．6种 D．8种
答案　C
解析　先将3名大学生分成2组有C·C种分法，再分配到2个村有A种分法，则不同的分配方案共有C·C·A＝6种．故选C.
9．(2020·湛江高二期末调研卷)某城市新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有________种．填数字
【答案】56
【解析】本题使用插空法，先将亮的9盏灯排成一排，由题意，两端的灯不能熄灭，则有8个符合条件的空位，进而在8个空位中，任取3个插入熄灭的3盏灯，有种方法，故答案为56．
考点三 组合问题
组合问题是高考的常考内容，多与两个计数原理、排列、概率等内容综合考查，题型为选择题或填空题，难度适中，属于中档题.
　组合问题的常见类型与处理方法
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取．
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解．
1．某课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长．现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？
(1)只有一名女生当选； (2)两队长当选； (3)至少有一名队长当选； (4)至多有两名女生当选．
解析：(1)只有一名女生当选等价于有一名女生和四名男生当选．故共有C·C＝350种．
(2)两队长当选，共有C·C＝165种．
(3)至少有一名队长当选含有两类：只有一名队长当选，有两名队长当选．故共有C·C＋C·C＝825种．(或采用排除法：C－C＝825(种))．
(4)至多有两名女生当选含有三类：有两名女生当选，只有一名女生当选，没有女生当选．故选法共有C·C＋C·C＋C＝966种．
2．(2018·银川质检)某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、外语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科，要求物理、化学、生物三科至少选一科，政治、历史、地理三科至少选一科，则考生选考方法种数共有(　　)
A．6 B．12 C．18 D．24
解析：法一：所有选考方法可分两类：第一类可分两步，第一步，考生从物理、化学、生物三科中任选一科有C种不同的选法，第二步，考生从政治、历史、地理三科中任选二科有C种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有CC种不同的选法；第二类可分两步，第一步，考生从物理、化学、生物三科中任选二科有C种不同的选法，第二步，从政治、历史、地理三科中任选一科有C种不同的选法，根据分步乘法计数原理，共有CC种不同的选法．根据分类加法计数原理，考生共有CC＋CC＝18种不同的选考方法，故选C．
法二：依题意，考生共有C－2C＝18种不同的选考方法，故选C．
3．某学校为了迎接市春季运动会，从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为(　　)
A．85 B．86 C．91 D．90
解析：选B　法一：(直接法)：由题意，可分三类考虑：第1类，男生甲入选，女生乙不入选的方法种数为：CC＋CC＋C＝31；
第2类，男生甲不入选，女生乙入选的方法种数为：CC＋CC＋C＝34；
第3类，男生甲入选，女生乙入选的方法种数为：C＋CC＋C＝21.
所以男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为31＋34＋21＝86.
法二：(间接法)：从5名男生和4名女生中任意选出4人，男、女生都有的选法有C－C－C＝120种；男、女生都有，且男生甲与女生乙都没有入选的方法有C－C＝34种．所以男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为120－34＝86.
4．(2020·新高考山东卷)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有(　　)
A．120种　　　　B．90种　　　　C．60种　　　　D．30种
答案　C
解析　先从6名同学中选1名安排到甲场馆，有C种选法，再从剩余的5名同学中选2名安排到乙场馆，有C种选法，最后将剩下的3名同学安排到丙场馆，有C种选法，由分步乘法计数原理知，共有C·C·C＝60(种)不同的安排方法．故选C.
5．(2020·全国Ⅱ卷)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有________种．
答案　36
解析　将4名同学分成人数为2，1，1的3组有C＝6种分法，再将3组同学分到3个小区共有A＝6种分法，由分步乘法计数原理可得不同的安排方法共有6×6＝36种．
6．(多选题)(2021·青岛调研)在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理6门．学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是(　　)
A．若任意选科，选法总数为C
B．若化学必选，选法总数为CC
C．若政治和地理至少选一门，选法总数为CCC
D．若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为CC＋1
答案　BD　
解析　若任意选科，选法总数为CC，A错误；若化学必选，选法总数为CC，B正确；若政治和地理至少选一门，选法总数为C(CC＋1)，C错误；若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为CC＋1，D正确．
考点四 二项展开式中特定项或系数问题
二项式定理是高中数学中的一个重要知识点，也是高考命题的热点，多以选择题、填空题的形式呈现，试题难度不大，多为中低档题．常见的命题角度有：
(1)求解形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量；
(2)求解形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量；
(3)求解形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量．
角度1　求解形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量
　求二项展开式中的项的3种方法
求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项一般需要建立方程求r，再将r的值代回通项求解，注意r的取值范围(r＝0，1，2，…，n)．
(1)第m项：此时r＋1＝m，直接代入通项；
(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程；
(3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程．
1．(2020·全国Ⅲ卷)的展开式中常数项是________(用数字作答)．
解析：的展开式的通项为Tr＋1＝C(x2)6－r·＝C2rx12－3r，令12－3r＝0，解得r＝4，得常数项为C24＝240．
2．(2021·天津卷)在的展开式中，的系数是__________．
【答案】160
【详解】的展开式的通项为，
令，解得，所以的系数是.故答案为：160.
3．(2016·潍坊联考)在6的二项展开式中常数项是(　　)
A．－120 B．－60 C．120 D．60
解析：选D　二项展开式的通项公式为Tr＋1＝C()6－r·r＝C(－2)rx，令3－r＝0，得r＝2，所以常数项为C(－2)2＝60．
4．(2014·湖南高考)5的展开式中x2y3的系数是(　　)
A．－20 B．－5 C．5 D．20
解析：选A　由二项展开式的通项可得，第四项T4＝C2(－2y)3＝－20x2y3，故x2y3的系数为－20，选A．
5．已知5的展开式中含x的项的系数为30，则a＝(　　)
A． B．－ C．6 D．－6
解析：选D　Tr＋1＝C()5－r·r＝C(－a)rx，由＝，解得r＝1．由C(－a)＝30，得a＝－6．
6．8的展开式中的有理项共有________项．
解析：8的展开式的通项为Tr＋1＝C·()8－rr＝rCx (r＝0,1,2，…，8)，为使Tr＋1为有理项，r必须是4的倍数，所以r＝0,4,8，故共有3个有理项．
答案：3
7．(多选题)(2021·威海调研)若的展开式中x3的系数是－160，则(　　)
A．a＝－ B．所有项系数之和为1
C．二项式系数之和为64 D．常数项为－320
答案　ABC
解析　对选项A，的展开式中x3项为C(x2)3·，
所以C·＝－160，解得a＝－，故A正确；
由A知：＝，
令x＝1，所有项系数之和为(1－2)6＝1，故B正确；
对选项C，二项式系数之和为26＝64，故C正确；
对选项D，的常数项为C(x2)2·＝24C＝240，故D错误．
角度2　求解形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量
　求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路
(1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解．
(2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2．
(3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑．
1．(2020·全国Ⅰ卷)(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．5 B．10 C．15 D．20
解析　(1)法一　∵(x＋y)5＝(x5＋5x4y＋10x3y2＋10x2y3＋5xy4＋y5)，
∴x3y3的系数为10＋5＝15．
法二　当x＋中取x时，x3y3的系数为C，
当x＋中取时，x3y3的系数为C，
∴x3y3的系数为C＋C＝10＋5＝15．故选C．
2．(2017·全国卷Ⅲ)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为(　　)
A．－80 B．－40 C．40 D．80
解析：选C　当第一个括号内取x时，第二个括号内要取含x2y3的项，即C(2x)2(－y)3，当第一个括号内取y时，第二个括号内要取含x3y2的项，即C(2x)3(－y)2，所以x3y3的系数为C×23－C×22＝10×(8－4)＝40．
3．(2017·全国卷Ⅰ)(1＋x)6展开式中x2的系数为(　　)
A．15 B．20 C．30 D．35
解析：选C　(1＋x)6展开式的通项Tr＋1＝Cxr，所以(1＋x)6的展开式中x2的系数为1×C＋1×C＝30．
4．(2014·全国卷Ⅰ)(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________．(用数字表示)
解析：(x＋y)8中，Tr＋1＝Cx8－ryr，令r＝7，再令r＝6，得x2y7的系数为C－C＝8－28＝－20．
5．已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝(　　)
A．－4 B．－3 C．－2 D．－1
解析：选D　展开式中含x2的系数为C＋aC＝5，解得a＝－1．
6．(2017·浙江高考)已知多项式(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，则a4＝________，a5＝________．
解析：由题意知a4为含x的项的系数，根据二项式定理得a4＝C×12×C×22＋C×13×C×2＝16，a5是常数项，所以a5＝C×13×C×22＝4． 答案：16　4
角度3　求解形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量
　求三项展开式中某些特定项的系数的方法
(1)通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解．
(2)两次利用二项式定理的通项公式求解．
(3)由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量．
1．(2015·全国卷Ⅰ) (x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数为(　　)
A．10 B．20 C．30 D．60
解析：选C　(x2＋x＋y)5的展开式的通项为Tr＋1＝C(x2＋x)5－r·yr，令r＝2，则T3＝C(x2＋x)3y2，又(x2＋x)3的展开式的通项为Tk＋1＝C(x2)3－k·xk＝Cx6－k，令6－k＝5，则k＝1，所以(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为CC＝30，故选C．
2．(2015·皖南八校联考)(x2－4x＋4)5的展开式中x的系数是________．
解析：由(x2－4x＋4)5＝(x－2)10，得二项展开式的通项为Tr＋1＝Cx10－r(－2)r，所以x的系数为(－2)9C＝－5 120．答案： －5 120
3．将3展开后，常数项是________．
解析：3＝6展开式的通项是C()6－k·k＝(－2)k·Cx．
令6－2k＝0，得k＝3．所以常数项是C(－2)3＝－160．答案：－160
求形如(a＋b＋c)n展开式中特定项的4步骤
4．5(x>0)的展开式中的常数项为________．
解析：5(x>0)可化为10，因而Tr＋1＝C10－r()10－2r，令10－2r＝0，则r＝5，故展开式中的常数项为C·5＝．答案：
考点五 二项式系数的性质及各项系数的和
二项式系数的性质及各项系数的和是高考的常考内容，题型为选择题或填空题，难度较小，属基础题．
　赋值法在求各项系数和中的应用
二项式定理给出的是一个恒等式，对于x，y的一切值都成立．因此，可将x，y设定为一些特殊的值．在使用赋值法时，令x，y等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”．
二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法
若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)的展开式中(1)各项系数之和为f(1)．
(1)奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝．
(2)偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝．
二项式系数最大项的确定方法
(1)如果n是偶数，则中间一项的二项式系数最大；
(2)如果n是奇数，则中间两项 的二项式系数相等并最大．
1．在(1＋x)n(x∈N*)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n＝(　　)
A．8 B．9 C．10 D．11
解析：选C　二项式中仅x5项系数最大，其最大值必为Cn，即得＝5，解得n＝10．
2．二项式n的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中常数项是(　　)
A．180 B．90 C．45 D．360
解析：选A　由二项式系数的性质，得n＝10，∴Tr＋1＝C()10－rr＝2rC·x，
令5－r＝0，则r＝2，从而T3＝4C＝180．
3．若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为(　　)
A．10 B．20 C．30 D．120
答案　B
解析　由2n＝64，得n＝6，∴Tr＋1＝Cx6－r＝Cx6－2r(0≤r≤6，r∈N)．
由6－2r＝0，得r＝3．∴T4＝C＝20．
4．(2018·湖南联考)若n的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是________．
解析：令x＝1，得n的展开式中各项系数之和为(3－1)n＝128＝27，故n＝7．则二项式的通项Tr＋1＝C(3x)7－r·(－x)r＝(－1)r·37－rCx，令7－r＝－3，得r＝6，故展开式中的系数是(－1)6·37－6C＝21．答案：21
5．(2018·山西联考)在二项式(1－2x)n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为(　　)
A．－960 B．960 C．1 120 D．1 680
解析：选C　根据题意，奇数项的二项式系数之和也应为128，所以在(1－2x)n的展开式中，二项式系数之和为256，即2n＝256，n＝8，则(1－2x)8的展开式的中间项为第5项，且T5＝C(－2)4x4＝1 120x4，即展开式的中间项的系数为1 120．
6．(2015·湖北高考)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(　　)
A．29　 B．210 C．211 D．212
解析：选A　由C＝C，得n＝10，故奇数项的二项式系数和为29．
7．若n的展开式中含x的项为第6项，设(1－3x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则a1＋a2＋…＋an的值为________．
解析：展开式n的通项为Tr＋1＝C(x2)n－r·r＝C(－1)rx2n－3r，
因为含x的项为第6项，所以r＝5,2n－3r＝1，解得n＝8，
令x＝1，得a0＋a1＋…＋a8＝(1－3)8＝28，
又a0＝1，所以a1＋…＋a8＝28－1＝255．
答案：255
8．若(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，且a1＋a2＋…＋a6＝63，则实数m的值为(　　)
A．1或3 B．－3 C．1 D．1或－3
解析：选D　令x＝0，得a0＝(1＋0)6＝1．
令x＝1，得(1＋m)6＝a0＋a1＋a2＋…＋a6．
又a1＋a2＋a3＋…＋a6＝63，
∴(1＋m)6＝64＝26，∴m＝1或m＝－3．
9．(2020·浙江卷)二项展开式(1＋2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a4＝__________，a1＋a3＋a5＝__________．
答案　80　122
解析　由题意，得a4＝C×24＝5×16＝80．
当x＝1时，(1＋2)5＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝35＝243，①
当x＝－1时，(1－2)5＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝－1．②
由①－②，得2(a1＋a3＋a5)＝243－(－1)＝244，
可得a1＋a3＋a5＝122．
10．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为(　　)
A．9 B．8 C．7 D．6
答案　B
解析　令x＝1，则a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝0，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋a4＝16，两式相加得a0＋a2＋a4＝8．
11．若(1－x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a9|＝(　　)
A．1 B．513 C．512 D．511
答案　D
解析　令x＝0，得a0＝1，令x＝－1，得|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a9|＝[1－(－1)]9－1＝29－1＝511．10.1 两个计数原理、排列与组合、二项式定理
一、整合教材知识，落实基本能力
1．两个计数原理
分类加法计数原理 分步乘法计数原理
条件 完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法 完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法
结论 完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法 完成这件事共有N＝mn种不同的方法
2.排列、组合的定义
排列的定义 从n个不同元素中 取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列
组合的定义 合成一组
3.排列数、组合数的定义、公式、性质
排列数A 组合数C
定义 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数A 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数C
公式 A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝ C＝＝
性质 A＝n！； 0！＝1 C＝1；C＝C ； C＋C＝C
4．二项式定理
(1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)；
(2)通项公式：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项；
(3)二项式系数：二项展开式中各项的系数为C，C，…，C．
5．二项式系数的性质
(1)对称性：当0≤k≤n时，C＝C．
(2)二项式系数的最值：二项式系数先增后减，中间项最大；且n为偶数时，第＋1项的二项式系数最大，最大值为C；当n为奇数时，第项和项的二项式系数最大，最大值为C或C．
(3)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n，
(4)偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即
C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1．
二、精研高考题点，提升备考知能
考点一 两个计数原理的综合应用
计数原理很少单独命题，多与分类加法计数原理、排列、组合或概率等内容相结合考查，题型为选择题或填空题，难度适中，属于中档题.
　利用两个基本计数原理解决问题的步骤
第一步，审清题意，弄清要完成的事件是怎样的．
第二步，分析完成这件事应采用分类、分步、先分类后分步、先分步后分类这四种方法中的哪一种．
第三步，弄清在每一类或每一步中的方法种数．
第四步，根据两个基本计数原理计算出完成这件事的方法种数．
1．图书馆的一个书架有三层，第一层有3本不同的数学书，第二层有5本不同的语文书，第三层有8本不同的英语书，现从中任取1本书，不同的取法有(　　)
A．12　　　　　　B．16　　　　　　C．64　　　　　　D．120
2．(2016·昆明模拟)某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B，C，D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)，有车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择，其他号码只想在1,3,6,9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有(　　)
A．180种 B．360种 C．720种 D．960种
3．(2020·重庆诊断)将3张不同的冬奥会门票分给10名同学中的3人，每人1张，不同的分法种数为(　　)
A．720 　　　 B．240 　　　 C．120 　　　D．60
4．(2016·全国卷Ⅱ)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(　　)
A．24 B．18 C．12 D．9
5．(2021·武汉模拟)中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物(鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪)中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，三位同学依次选一个作为礼物，甲同学喜欢牛和马，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学哪个吉祥物都喜欢，如果让三位同学选取礼物都满意，则选法有(　　)
A．30种　　　B．50种　　　C．60种　　　D．90种
6．(2021·石家庄模拟)将“福”、“禄”、“寿”填入到如图所示的4×4小方格内，每格内只填入一个汉字，且任意的两个汉字既不同行也不同列，则不同的填写方法有(　　)
A．288种 　　　 B．144种 　　　 C．576种 　　　 D．96种
考点二 排列问题
排列问题是高考的常考内容，且多与两个计数原理、组合等内容综合考查，题型为选择题或填空题，难度适中，属于中档题．
　求解排列应用问题的6种常用方法
直接法：把符合条件的排列数直接列式计算
优先法：优先安排特殊元素或特殊位置
捆绑法：相隔问题把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列
插空法：对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中
定序问题除法处理：对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列
间接法：正难则反、等价转化的方法
1．有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数．
(1)选5人排成一排； (2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾； (4)全体排成一排，女生必须站在一起；
(5)全体排成一排，男生互不相邻．
2．(2021·福州调研)6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为(　　)
A．144　　　　B．120　　　　C．72　　　　D．24
3．(2018·兰州模拟)某国际会议结束后，中、美、俄等21国领导人合影留念，他们站成两排，前排11人，后排10人，中国领导人站在前排正中间位置，美、俄两国领导人也站前排并与中国领导人相邻，如果对其他国家领导人所站位置不做要求，那么不同的站法共有(　　)
A．A种　　　　B．A种　　　　C．AAA种　　　　D．AA种
4．(2018·东北四市联考)甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有(　　)
A．10种　　　　B．16种　　　　C．20种　　　　D．24种
5．在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有(　　)
A．34种　　　　B．48种　 C．96种 D．144种
6．用数字1，2，3，4，5组成的无重复数字的四位偶数的个数为(　　)
A．8　　　　B．24　　　　C．48　　　　D．120
7．(多选题)(2021·烟台调研)若3男3女排成一排，则下列说法错误的是(　　)
A．共计有720种不同的排法 B．男生甲排在两端的共有120种排法
C．男生甲、乙相邻的排法总数为120种 D．男女生相间排法总数为72种
8．(2020·新高考海南卷)3名大学生利用假期到2个山村参加扶贫工作，每名大学生只去1个村，每个村至少1人，则不同的分配方案共有(　　)
A．4种 B．5种 C．6种 D．8种
9．(2020·湛江高二期末调研卷)某城市新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的3盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的两盏灯，则熄灯的方法有________种．填数字
考点三 组合问题
组合问题是高考的常考内容，多与两个计数原理、排列、概率等内容综合考查，题型为选择题或填空题，难度适中，属于中档题.
　组合问题的常见类型与处理方法
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中选取．
(2)“至少”或“至多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解．
1．某课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长．现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？
(1)只有一名女生当选； (2)两队长当选； (3)至少有一名队长当选； (4)至多有两名女生当选．
2．(2018·银川质检)某地实行高考改革，考生除参加语文、数学、外语统一考试外，还需从物理、化学、生物、政治、历史、地理六科中选考三科，要求物理、化学、生物三科至少选一科，政治、历史、地理三科至少选一科，则考生选考方法种数共有(　　)
A．6 B．12 C．18 D．24
3．某学校为了迎接市春季运动会，从5名男生和4名女生组成的田径运动队中选出4人参加比赛，要求男、女生都有，则男生甲与女生乙至少有1人入选的方法种数为(　　)
A．85 B．86 C．91 D．90
4．(2020·新高考山东卷)6名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去1个场馆，甲场馆安排1名，乙场馆安排2名，丙场馆安排3名，则不同的安排方法共有(　　)
A．120种　　　　B．90种　　　　C．60种　　　　D．30种
5．(2020·全国Ⅱ卷)4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有________种．
6．(多选题)(2021·青岛调研)在新高考方案中，选择性考试科目有：物理、化学、生物、政治、历史、地理6门．学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，首先在物理、历史2门科目中选择1门，再从政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门，考试成绩计入考生总分，作为统一高考招生录取的依据．某学生想在物理、化学、生物、政治、历史、地理这6门课程中选三门作为选考科目，下列说法正确的是(　　)
A．若任意选科，选法总数为C
B．若化学必选，选法总数为CC
C．若政治和地理至少选一门，选法总数为CCC
D．若物理必选，化学、生物至少选一门，选法总数为CC＋1
考点四 二项展开式中特定项或系数问题
二项式定理是高中数学中的一个重要知识点，也是高考命题的热点，多以选择题、填空题的形式呈现，试题难度不大，多为中低档题．常见的命题角度有：
(1)求解形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量；
(2)求解形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量；
(3)求解形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量．
角度1　求解形如(a＋b)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量
　求二项展开式中的项的3种方法
求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项一般需要建立方程求r，再将r的值代回通项求解，注意r的取值范围(r＝0，1，2，…，n)．
(1)第m项：此时r＋1＝m，直接代入通项；
(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程；
(3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程．
1．(2020·全国Ⅲ卷)的展开式中常数项是________(用数字作答)．
2．(2021·天津卷)在的展开式中，的系数是__________．
3．(2016·潍坊联考)在6的二项展开式中常数项是(　　)
A．－120 B．－60 C．120 D．60
4．(2014·湖南高考)5的展开式中x2y3的系数是(　　)
A．－20 B．－5 C．5 D．20
5．已知5的展开式中含x的项的系数为30，则a＝(　　)
A． B．－ C．6 D．－6
6．8的展开式中的有理项共有________项．
7．(多选题)(2021·威海调研)若的展开式中x3的系数是－160，则(　　)
A．a＝－ B．所有项系数之和为1
C．二项式系数之和为64 D．常数项为－320
角度2　求解形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展开式中与特定项相关的量
　求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式问题的思路
(1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m，然后展开分别求解．
(2)观察(a＋b)(c＋d)是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2．
(3)分别得到(a＋b)n，(c＋d)m的通项公式，综合考虑．
1．(2020·全国Ⅰ卷)(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　
A．5 B．10 C．15 D．20
2．(2017·全国卷Ⅲ)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为(　　)
A．－80 B．－40 C．40 D．80
3．(2017·全国卷Ⅰ)(1＋x)6展开式中x2的系数为(　　)
A．15 B．20 C．30 D．35
4．(2014·全国卷Ⅰ)(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________．(用数字表示)
5．已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a＝(　　)
A．－4 B．－3 C．－2 D．－1
6．(2017·浙江高考)已知多项式(x＋1)3(x＋2)2＝x5＋a1x4＋a2x3＋a3x2＋a4x＋a5，则a4＝________，a5＝________．
角度3　求解形如(a＋b＋c)n(n∈N*)的展开式中与特定项相关的量
　求三项展开式中某些特定项的系数的方法
(1)通过变形先把三项式转化为二项式，再用二项式定理求解．
(2)两次利用二项式定理的通项公式求解．
(3)由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量．
1．(2015·全国卷Ⅰ) (x2＋x＋y)5的展开式中x5y2的系数为(　　)
A．10 B．20 C．30 D．60
2．(2015·皖南八校联考)(x2－4x＋4)5的展开式中x的系数是________．
3．将3展开后，常数项是________．
求形如(a＋b＋c)n展开式中特定项的4步骤
4．5(x>0)的展开式中的常数项为________．
考点五 二项式系数的性质及各项系数的和
二项式系数的性质及各项系数的和是高考的常考内容，题型为选择题或填空题，难度较小，属基础题．
　赋值法在求各项系数和中的应用
二项式定理给出的是一个恒等式，对于x，y的一切值都成立．因此，可将x，y设定为一些特殊的值．在使用赋值法时，令x，y等于多少，应视具体情况而定，一般取“1，－1或0”．
二项展开式各项系数和、奇数项系数和与偶数项系数和的求法
若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)的展开式中(1)各项系数之和为f(1)．
(1)奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝．
(2)偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝．
二项式系数最大项的确定方法
(1)如果n是偶数，则中间一项的二项式系数最大；
(2)如果n是奇数，则中间两项 的二项式系数相等并最大．
1．在(1＋x)n(x∈N*)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n＝(　　)
A．8 B．9 C．10 D．11
2．二项式n的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中常数项是(　　)
A．180 B．90 C．45 D．360
3．若展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为(　　)
A．10 B．20 C．30 D．120
4．(2018·湖南联考)若n的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是________．
5．(2018·山西联考)在二项式(1－2x)n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为(　　)A．－960 B．960 C．1 120 D．1 680
6．(2015·湖北高考)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(　　)A．29　 B．210 C．211 D．212
7．若n的展开式中含x的项为第6项，设(1－3x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则a1＋a2＋…＋an的值为________．
8．若(1＋mx)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，且a1＋a2＋…＋a6＝63，则实数m的值为(　　)
A．1或3 B．－3 C．1 D．1或－3
9．(2020·浙江卷)二项展开式(1＋2x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a4＝__________，a1＋a3＋a5＝__________．
10．若(x－1)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，则a0＋a2＋a4的值为(　　)
A．9 B．8 C．7 D．6
11．若(1－x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a9|＝(　　)
A．1 B．513 C．512 D．511

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