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绝对值不等式
一、自我诊断 知己知彼
1．设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】化简不等式，可知 推不出，
由能推出，
故“”是“”的必要不充分条件，
【名师点睛】本题考查充分必要条件，解题关键是化简不等式，由集合的关系来判断条件.
2.不等式1<|x＋1|<3的解集为(　　)．
A．(0,2) B．(－2,0)∪(2,4)
C．(－4,0) D．(－4，－2)∪(0,2)
【答案】D
【解析】原不等式等价于或 或 03．若不等式|x－2|＋|x＋3|>a，对于x∈R均成立，那么实数a的取值范围是(　　)．
A．(－∞，5) B．[0,5)
C．(－∞，1) D．[0,1]
【答案】A
【解析】由绝对值的几何意义知|x－2|＋|x＋3|表示的是x与数轴上的点A(－3)及B(2)两点距离之和，A、B两点的距离为5，线段AB上任一点到A、B两点距离之和也是5.数轴上其它点到A、B两点距离之和都大于5，∴|x－2|＋|x＋3|≥5，∵x∈R，∴a<5.答案为A.
4．若不等式|x－1|【答案】[3，＋∞)
【解析】由题意得0①0②1综合①，②得|x－1|<3，∴a∈[3，＋∞)．
5．已知a∈R，若关于x的方程x2＋x＋＋|a|＝0有实根，则a的取值范围是________．
【答案】0≤a≤
【解析】∵关于x的方程x2＋x＋＋|a|＝0有实根，∴Δ＝1－4≥0，
∴＋|a|≤.当a≤0时，＋|a|＝－2a≤，∴a＝0；
当0当a>时，＋|a|＝a－＋a＝2a－≤，∴a≤无解．
综上可知0≤a≤.
二、温故知新 夯实基础
1．绝对值三角不等式
（1）性质1：.（2）性质2：.
性质3：.
2．绝对值不等式的解法
（1）含绝对值的不等式与的解集
不等式
（2）和型不等式的解法
①:；
②:.
（3）和型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.
三、典例剖析举一反三
考点一 含有绝对值不等式的解法
（一）典例剖析
例1设，解不等式．
【答案】．
【解析】当x<0时，原不等式可化为，解得x<；
当0≤x≤时，原不等式可化为x+1–2x>2，即x<–1，无解；
当x>时，原不等式可化为x+2x–1>2，解得x>1．
综上，原不等式的解集为．
【易错点】注意取并集交集情况
【方法点拨】以零点为界分类求解，注意取并集交集情况.
例2设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；
(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．
【答案】(1) {x|x≥3或x≤－1}；(2) a＝2.
【解析】(1)当a＝1时，f(x)≥3x＋2可化为|x－1|≥2.由此可得x≥3或x≤－1.
故不等式f(x)≥3x＋2的解集为{x|x≥3或x≤－1}．
(2)由f(x)≤0得|x－a|＋3x≤0.此不等式化为不等式组或
即或因为a>0，所以不等式组的解集为.
由题设可得－＝－1，故a＝2.
【易错点】代入得整个过程.
【方法点拨】以零点为界分类求解，注意取并集交集情况.
（二）举一反三
1、不等式≥1的实数解集为________．
【答案】(－∞，－2)∪
【解析】≥1 |x＋1|≥|x＋2|，x＋2≠0
(x＋1)2≥(x＋2)2，x≠－2 x≤－，x≠－2答案：(－∞，－2)∪
2、若不等式|ax＋2|<6的解集为(－1,2)，则实数a等于(　　)．
A．8 B．2 C．－4 D．－8
【解析】由|ax＋2|<6可知－80时，－∵解集为(－1,2)，∴有，∴矛盾，
故a不可能大于0.当a＝0，则x∈R不符合题意．
当a<0时，3、设函数f(x)＝|x＋1|＋|x－a|(a＞0)．
(1)作出函数f(x)的图象；
(2)若不等式f(x)≥5的解集为(－∞，－2]∪[3，＋∞)，求a的值．
【答案】（1）略；（2）a＝2.
【解析】(1)f(x)＝|x＋1|＋|x－a|＝，
函数f(x)如图所示．
(2)由题设知：|x＋1|＋|x－a|≥5，
如图，在同一坐标系中作出函数y＝5的图象(如图所示)
又解集为(－∞，－2]∪[3，＋∞)．由题设知，当x＝－2或3时，f(x)＝5，
且a＋1＜5即a＜4，由f(－2)＝(－2)×(－2)－1＋a＝5得a＝2.
考点二不等式的证明
（一）典例剖析
例1已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：
（1）；
（2）．
【答案】（1）见解析；（2）见解析．
【解析】（1）因为，又，故有
．所以．
（2）因为为正数且，故有
=24．
所以．
【易错点】容易忽视取等的条件.
【方法点拨】关键在于拼凑积为定值或和为定值.
（二）举一反三
1、设，且．
（1）求的最小值；
（2）若成立，证明：或．
【答案】（1）；（2）见详解．
【解析】（1）由于
，
故由已知得，
当且仅当x=，y=–，时等号成立．
所以的最小值为．
（2）由于
，
故由已知，
当且仅当，，时等号成立．
因此的最小值为．
由题设知，解得或．
2、设函数．
（1）解不等式；
（2）若对于任意，都存在，使得成立，试求实数的取值范围．
【答案】（1）或；（2）
【解析】（1）不等式等价于或或解得或．
（2）对任意，都存在，使得成立，即的值域包含的值域．
，由图可得时，，所以的值域为．
，当且仅当与异号时取等号，
所以的值域为，
由题，所以，解得．
考点三不等式的综合应用
（一）典例剖析
例1　已知
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若时，，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）当a=1时，．
当时，；当时，．
所以，不等式的解集为．
（2）因为，所以．
当，时，．
所以，的取值范围是．
【名师点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，熟记分类讨论的方法求解即可，属于常考题型．
【易错点】忽视取值范围，列式子.
【方法点拨】合理设变量，考虑取值范围，化为基本不等式求最值.
（二）举一反三
1、已知关于x的不等式|ax－1|＋|ax－a|≥1(a＞0)．
(1)当a＝1时，求此不等式的解集；
(2)若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围．
【答案】(1);(2) a≥2.
【解析】(1)当a＝1时，得2|x－1|≥1，∴|x－1|≥，x≥或x≤，
∴不等式的解集为.
(2)∵|ax－1|＋|ax－a|≥|a－1|，∴原不等式解集为R等价于|a－1|≥1，
∴a≥2或a≤0.又∵a＞0，∴a≥2.
2、已知不等式|x＋2|－|x＋3|＞m.
(1)若不等式有解；(2)若不等式解集为R；(3)若不等式解集为 .分别求出m的范围．
【答案】(1)m＜1;(2) m＜－1;(3) m≥1.
【解析】法一　因|x＋2|－|x＋3|的几何意义为数轴上任意一点P(x)与两定点A(－2)，B(－3)距离的差．
即|x＋2|－|x＋3|＝|PA|－|PB|.由图象知(|PA|－|PB|)max＝1，(|PA|－|PB|)min＝－1.即－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.
(1)若不等式有解，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最大值小即可，即m＜1；
(2)若不等式的解集为R，即不等式恒成立，m只要比|x＋2|－|x＋3|的最小值还小，即m＜－1；
(3)若不等式的解集为 ，m只要不小于|x＋2|－|x＋3|的最大值即可，即m≥1.
法二　由|x＋2|－|x＋3|≤|(x＋2)－(x＋3)|＝1，|x＋3|－|x＋2|＋≤|(x＋3)－(x＋2)|＝1，
可得－1≤|x＋2|－|x＋3|≤1.(1)若不等式有解，即m＜1.
(2)若不等式解集为R，即m＜－1.(3)若不等式解集为 ，即m≥1.
四、分层训练能力进阶
【基础】
1、设，解不等式．
【答案】
【解析】或或
或或所以解集为
【点睛】本题考查分类讨论解含绝对值不等式，考查基本分析求解能力，属基础题.
2、函数y＝|x－4|＋|x－6|的最小值为(　　)．
A．2 B.
C．4 D．6
【答案】A
【解析】y＝|x－4|＋|x－6|≥| x－4＋6－x |＝2.
3、不等式|x＋3|－|x－2|≥3的解集为________．
【答案】{x |x≥1}.
【解析】设函数f(x)＝|x＋3|－|x－2|，则
f(x)＝
∴作函数f(x)的图象，如图所示，
并作直线y＝3与函数f(x)交于点A.又令2x＋1＝3，得x＝1，即点A的横坐标为1.故结合图形知，
不等式的解集为{x|x≥1}．
【巩固】
1、设函数f(x)＝|2x－1|＋|2x－3|，x∈R.
(1)解不等式f(x)≤5；
(2)若的定义域为R，求实数m的取值范围．
【答案】(1);(2)m＜－2.
【解析】(1)由题意可得或或不等式的解集为x∈.
(2)若的定义域为R，则f(x)＋m≠0恒成立，即f(x)＋m＝0在R上无解，
又f(x)＝|2x－1|＋|2x－3|≥|2x－1－2x＋3|＝2，f(x)的最小值为2，所以m＜－2.
2、已知函数．
（1）画出的图像；
（2）求不等式的解集．
【答案】（1）详解解析；（2）.
【解析】（1）因为，作出图象，如图所示：
（2）将函数的图象向左平移个单位，可得函数的图象，如图所示：
由，解得．
所以不等式的解集为．
3、已知函数f(x)＝|x＋3|－m，m＞0，f(x－3)≥0的解集为(－∞，－2]∪[2，＋∞)。
(1)求m的值；(2)若 x∈R，f(x)≥|2x－1|－t2＋t＋1成立，求实数t的取值范围.
【答案】(1)m＝2;(2)∪[1，＋∞).
【解析】(1)∵f(x)＝|x＋3|－m，∴f(x－3)＝|x|－m≥0，
∵m＞0，∴x≥m或x≤－m，
又f(x－3)≥0的解集为(－∞，－2]∪[2，＋∞)故m＝2.
(2)f(x)≥|2x－1|－t2＋t＋1等价于不等式|x＋3|－|2x－1|≥－t2＋t＋3，
令g(x)＝|x＋3|－|2x－1|＝故g(x)max＝g＝，
则有≥－t2＋t＋3，即2t2－3t＋1≥0，解得t≤或t≥1，
即实数t的取值范围是∪[1，＋∞).
【拔高】
1、已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a＞0。
(1)当a＝1时，求不等式f(x)＞1的解集；
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.
【答案】(1) {x|＜x＜2};(2) (2，＋∞).
【解析】(1)当a＝1时，f(x)＞1化为|x＋1|－2|x－1|－1＞0。
当x≤－1时，不等式化为x－4＞0，无解；
当－1＜x＜1时，不等式化为3x－2＞0，解得＜x＜1；
当x≥1时，不等式化为－x＋2＞0，解得1≤x＜2.
所以f(x)＞1的解集为{x|＜x＜2}.
(2)由题设可得，f(x)＝所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，△ABC的面积为(a＋1)2.由题设得(a＋1)2＞6，故a＞2.
所以a的取值范围为(2，＋∞).
2、已知关于x的不等式|2x＋1|－|x－1|≤log2a(其中a＞0).
(1)当a＝4时，求不等式的解集；
(2)若不等式有解，求实数a的取值范围.
【答案】(1);(2).
【解析】(1)当a＝4时，不等式为|2x＋1|－|x－1|≤2.
当x＜－时，－x－2≤2，解得－4≤x＜－；
当－≤x≤1时，3x≤2，解得－≤x≤；
当x＞1时，x≤0，此时x不存在.
∴原不等式的解集为.
(2)令f(x)＝|2x＋1|－|x－1|，则f(x)＝
故f(x)∈，即f(x)的最小值为－.
若f(x)≤log2a有解，则log2a≥－，
解得a≥，即a的取值范围是.
3、设f(x)＝|x|＋2|x－a|(a＞0).
(1)当a＝1时，解不等式f(x)≤8；
(2)若f(x)≥6恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】(1);(2) [6，＋∞).
【解析】　(1)当a＝1时，f(x)＝|x|＋2|x－1|＝所以f(x)≤8，
则或或
解得1≤x≤或0＜x＜1或－2≤x≤0，
∴不等式的解集为.
(2)∵f(x)＝|x|＋2|x－a|＝
由f(x)的表达式及一次函数的单调性可知，f(x)在x＝a时取得最小值，f(x)min＝f(a)＝a，
若f(x)≥6恒成立，只需a≥6，即a的取值范围为[6，＋∞).
4、已知函数，不等式的解集为．（1）求实数a的值；
（2）设，若存在，使成立，求实数t的取值范围．
【答案】（1）1；（2）．
【解析】（1）由得－4≤≤4，即－2≤≤6，
当>0时，，所以，解得＝1；
当<0时，，所以，无解．所以实数的值为1．
（2）由已知＝|x＋1|＋|x－2|＝，
不等式g（x）－tx≤2转化成g（x）≤tx＋2，
由题意知函数的图象与直线y＝tx＋2相交，作出对应图象，
由图得，当t<0时，t≤kAM；当t>0时，t≥kBM，又因为kAM＝－1，，
所以t≤－1或，即t∈（－∞，－1]∪[，＋∞）．
【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法及分类思想、方程思想，还考查了思想结合思想及转化能力，考查了作图能力及计算能力，属于中档题．
5、已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若函数的定义域为，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由已知不等式，得，
当时，绝对值不等式可化为，解得，所以；
当时，绝对值不等式可化为，解得，所以；
当时，由得，此时无解．
综上可得所求不等式的解集为．
（2）要使函数的定义域为，
只需的最小值大于0即可．
又，当且仅当时取等号．
所以只需，即．
所以实数的取值范围是．
【点睛】绝对值不等式的常见解法：
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．绝对值不等式
一、自我诊断 知己知彼
1．设，则“”是“”的
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2.不等式1<|x＋1|<3的解集为(　　)．
A．(0,2) B．(－2,0)∪(2,4)
C．(－4,0) D．(－4，－2)∪(0,2)
3．若不等式|x－2|＋|x＋3|>a，对于x∈R均成立，那么实数a的取值范围是(　　)．
A．(－∞，5) B．[0,5)
C．(－∞，1) D．[0,1]
4．若不等式|x－1|5．已知a∈R，若关于x的方程x2＋x＋＋|a|＝0有实根，则a的取值范围是________．
二、温故知新 夯实基础
1．绝对值三角不等式
（1）性质1：.（2）性质2：.
性质3：.
2．绝对值不等式的解法
（1）含绝对值的不等式与的解集
不等式
（2）和型不等式的解法
①:；
②:.
（3）和型不等式的解法
①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；
②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.
三、典例剖析举一反三
考点一 含有绝对值不等式的解法
（一）典例剖析
例1设，解不等式．
例2设函数f(x)＝|x－a|＋3x，其中a>0.
(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥3x＋2的解集；
(2)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤－1}，求a的值．
（二）举一反三
1、不等式≥1的实数解集为________．
2、若不等式|ax＋2|<6的解集为(－1,2)，则实数a等于(　　)．
A．8 B．2 C．－4 D．－8
3、设函数f(x)＝|x＋1|＋|x－a|(a＞0)．
(1)作出函数f(x)的图象；
(2)若不等式f(x)≥5的解集为(－∞，－2]∪[3，＋∞)，求a的值．
考点二不等式的证明
（一）典例剖析
例1已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明：
（1）；
（2）．
（二）举一反三
1、设，且．
（1）求的最小值；
（2）若成立，证明：或．
2、设函数．
（1）解不等式；
（2）若对于任意，都存在，使得成立，试求实数的取值范围．
考点三不等式的综合应用
（一）典例剖析
例1已知
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若时，，求的取值范围．
（二）举一反三
1、已知关于x的不等式|ax－1|＋|ax－a|≥1(a＞0)．
(1)当a＝1时，求此不等式的解集；
(2)若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围．
2、已知不等式|x＋2|－|x＋3|＞m.
(1)若不等式有解；(2)若不等式解集为R；(3)若不等式解集为 .分别求出m的范围．
四、分层训练能力进阶
【基础】
1、设，解不等式．
2、函数y＝|x－4|＋|x－6|的最小值为(　　)．
A．2 B.
C．4 D．6
3、不等式|x＋3|－|x－2|≥3的解集为________．
【巩固】
1、设函数f(x)＝|2x－1|＋|2x－3|，x∈R.
(1)解不等式f(x)≤5；(2)若的定义域为R，求实数m的取值范围．
2、已知函数．
（1）画出的图像；
（2）求不等式的解集．
3、已知函数f(x)＝|x＋3|－m，m＞0，f(x－3)≥0的解集为(－∞，－2]∪[2，＋∞)。
(1)求m的值；(2)若 x∈R，f(x)≥|2x－1|－t2＋t＋1成立，求实数t的取值范围.
【拔高】
1、已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a＞0。
(1)当a＝1时，求不等式f(x)＞1的解集；
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.
2、已知关于x的不等式|2x＋1|－|x－1|≤log2a(其中a＞0).
(1)当a＝4时，求不等式的解集；
(2)若不等式有解，求实数a的取值范围.
3、设f(x)＝|x|＋2|x－a|(a＞0).
(1)当a＝1时，解不等式f(x)≤8；
(2)若f(x)≥6恒成立，求实数a的取值范围.
已知函数，不等式的解集为．
（1）求实数a的值；
（2）设，若存在，使成立，求实数t的取值范围．
5、已知函数．
（1）求不等式的解集；
（2）若函数的定义域为，求实数的取值范围．

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