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第二十讲 基本不等式
一、自我诊断 知己知彼
1．若，则的最小值为________.
【答案】
【解析】利用基本不等式，当且仅当，即时等号成立.
2.若实数x，y满足2x＋2y＝1，则x＋y的最大值是(　　)
A．－4 B．－2
C．2 D．4
【答案】　B
【解析】　由题得2x＋2y≥2＝2(当且仅当x＝y＝－1时取等号)，所以1≥2，
所以≥2x＋y，所以2－2≥2x＋y，所以x＋y≤－2.所以x＋y的最大值为－2.
3．已知，，且满足，则的最大值为________.
【答案】3
【解析】，故，当且仅当时等号成立.
4．设，则下列不等式中正确的是 (　　)
　A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由，可得.又，，故选B.
5．圆关于直线对称，则的取值范围是 (　　)
A. B.C.D.
【答案】A 【解析】圆心为，有圆关于直线对称，故圆心在直线上.可得，又，故当均正时.而当一正一负时，.综上可得
二、温故知新 夯实基础
1．基本不等式
(1)基本不等式成立的条件：.
(2)等号成立的条件：当且仅当时取等号.
2．几个重要的不等式
(1)(a，b∈R).(2)(a，b同号).
(3)(a，b∈R).(4)(a，b∈R).
3．利用基本不等式求最值问题
已知，则(1)如果积是定值p，那么当且仅当x＝y时，有最小值是2.(简记：积定和最小)(2)如果和是定值p，那么当且仅当x＝y时，有最大值是.(简记：和定积最大)
4. 利用基本不等式求最值的条件
在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误.
对于公式，，要弄清它们的作用和使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab和a＋b的转化关系.
三、典例剖析 举一反三
考点一 利用基本不等式证明简单不等式
（一）典例剖析
例1已知.求证：.
【答案】略
【解析】证明　∵，
∴＋≥>0，＋≥>0，＋≥>0，
∴.
当且仅当x＝y＝z时等号成立.
【易错点】化成齐次式证明
【方法点拨】对于证明基本不等式问题，合理利用条件，拼凑.
例2. 若a>0，b>0，c>0，试证：
(1)＋＋≥a＋b＋c；(2)＋＋≥a＋b＋c.
【答案】略
【解析】证明　(1)∵a，b，c∈(0，＋∞)，∴＋≥2 ＝2c，
同理＋≥2a，＋≥2b，∴2≥2(a＋b＋c)，即＋＋≥a＋b＋c.
(2)∵a>0，b>0，c>0，∴＋b≥2a，同理＋c≥2b， ＋a≥2c，
三式相加，得＋＋＋a＋b＋c≥2a＋2b＋2c，即＋＋≥a＋b＋c.
（二）举一反三
1、已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1.求证：≥8.
【解析】证明　∵a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1，
∴－1＝＝≥，同理－1≥，－1≥.
由上述三个不等式两边均为正，分别相乘
≥··＝8.
当且仅当a＝b＝c＝时，等号成立．
2、若a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1，求证＋＋≥9.
【答案】略
【解析】证明　＋＋＝＋＋＝3＋＋＋
≥3＋2＋2＋2＝9.
考点二 利用基本不等式求最值
（一）典例剖析
例1(1)若，求函数的最小值，并求此时x的值；
(2)设，求函数的最大值；
(3)已知，求的最小值；
(4)已知，且，求的最小值．
【答案】（1）4；（2）；（3）6；（4）16.
【解析】解　(1)当x>0时，x＋≥2 ＝4，当且仅当x＝，即x2＝4，x＝2时取等号．
∴函数y＝x＋(x>0)在x＝2时取得最小值4.
(2)∵00，∴y＝4x(3－2x)＝2[2x(3－2x)]≤22＝.
当且仅当2x＝3－2x，即x＝时，等号成立.∵∈.
∴函数y＝4x(3－2x)(0(3)∵x>2，∴x－2>0，∴x＋＝x－2＋＋2≥4＋2＝6，
当且仅当x－2＝，即x＝4时，等号成立．所以x＋的最小值为6.
(4)法一∵x>0，y>0，＋＝1，∴x＋y＝(x＋y)＝＋＋10≥6＋10＝16，
当且仅当＝，又＋＝1，即x＝4，y＝12时，上式取等号．
故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.
法二　由＋＝1，得(x－1)(y－9)＝9(定值)．
可知x>1，y>9，
∴x＋y＝(x－1)＋(y－9)＋10≥6＋10＝16，
当且仅当x－1＝y－9＝3，即x＝4，y＝12时上式取等号，
故当x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.
【易错点】容易忽视取等的条件.
【方法点拨】关键在于拼凑积为定值或和为定值.
例2设，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】方法一：.
因为，所以，
即，当且仅当时取等号成立.
又因为，当且仅当，即时取等号，结合可知，可以取到3，故的最小值为.
方法二：
.
当且仅当时等号成立，
故的最小值为.
（二）举一反三
1、(1)已知x>0，求f(x)＝＋3x的最小值；
(2)已知x< 3，求f(x)＝＋x的最大值；
(3)设x>0，y>0，且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值．
【答案】（1）12；（2）-1；（3）18.
【解析】(1)∵x>0，∴f(x)＝＋3x≥2 ＝12，
当且仅当3x＝，即x＝2时取等号．∴f(x)的最小值为12.
(2)∵x<3，∴x－3<0.∴f(x)＝＋x＝＋(x－3)＋3
＝－＋3≤－4＋3＝－1，
当且仅当＝3－x，即x＝1时取等号．∴f(x)的最大值为－1.
(3)由2x＋8y－xy＝0及x>0，y>0，得＋＝1.
∴x＋y＝(x＋y)＝＋＋10≥2 ＋10＝18.
当且仅当＝，即x＝2y＝12时等号成立．
∴x＋y的最小值是18.
2、下列各函数中，最小值为2的是 (　　)．
A．y＝x＋ B．y＝sin x＋，x∈
C．y＝ D．y＝＋
【答案】D
【解析】对于A：不能保证x>0，对于B：不能保证sin x＝，
对于C：不能保证＝，对于D：y＝＋≥2，答案为D.
3.若正数满足，则的最小值为
A． B．
C． D．3
【答案】A
【解析】由题意，因为，
则，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值为，故选A.
【名师点睛】本题主要考查了利用基本不等式求最小值问题，其中解答中合理构造，利用基本不等式准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
考点三基本不等式的实际应用
（一）典例剖析
例1　围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口.已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元).
(1)将y表示为x的函数；
(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最少，并求出最少总费用.
【答案】（1）y＝225x＋－360 (x>2)；（2）当x＝24 m时，修建围墙的总费用最少，
最少总费用是10440元.
【解析】　(1)设矩形的另一边长为a m，
则y＝45x＋180(x－2)＋180×2a＝225x＋360a－360.由已知xa＝360，得a＝，
所以y＝225x＋－360 (x>2).
(2)∵x>2，∴225x＋≥2 ＝10 800.
∴y＝225x＋－360≥10 440.
当且仅当225x＝时，等号成立.
即当x＝24 m时，修建围墙的总费用最少，最少总费用是10440元.
【易错点】忽视取值范围，列式子.
【方法点拨】合理设变量，考虑取值范围，化为基本不等式求最值.
（二）举一反三
1、某校要建一个面积为392 m2的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为2 m和4 m的小路．问游泳池的长和宽分别为多少米时，占地面积最小？并求出占地面积的最小值．
【答案】游泳池的长为28 m，宽为14 m时，占地面积最小为648 m2.
【解析】设游泳池的长为x m，则游泳池的宽为 m，又设占地面积为y m2，依题意，得
y＝(x＋8)＝424＋4≥424＋224＝648 (m2)，
当且仅当x＝，即x＝28时取“＝”．
所以游泳池的长为28 m，宽为14 m时，占地面积最小为648 m2.
四、分层训练能力进阶
【基础】
1、若x>0，y>0，且x＋y＝4，则下列不等式中恒成立的是 (　　)．
A.≤ B.＋≥1 C.≥2 D.≥1
【答案】B
【解析】若x>0，y>0，由x＋y＝4，得＝1，
∴＋＝(x＋y)＝≥(2＋2)＝1.答案为B.
2、若0A. B．a2＋b2 C．2ab D．a
【答案】B
【解析】a2＋b2＝(a＋b)2－2ab≥(a＋b)2－2·2＝.
a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab.
∵03、已知a＞b＞0，则2a＋＋的最小值为(　　)
A.6 B．4
C．2 D．3
【答案】　A
【解析】　因为a＞b＞0，所以a＋b＞0，a－b＞0，所以2a＋＋
＝a＋b＋＋a－b＋≥2 ＋2 ＝4＋2＝6.
当且仅当a＋b＝且a－b＝，
即a＝，b＝时等号成立.所以2a＋＋的最小值为6.
【巩固】
1、若a＞b＞1，P＝，Q＝(lg a＋lg b)，R＝lg ，则(　　)
A．R＜P＜Q B．Q＜P＜R
C．P＜Q＜R D．P＜R＜Q
【答案】　C
【解析】　因为a＞b＞1，所以lg a＞0，lg b＞0，且lg a≠lg b，所以＜(lg a＋lg b)，由＜，得lg＜lg .所以(lg a＋lg b)＜lg ，综上知P＜Q＜R.
2、若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是(　　)
A.a≥ B．a＞
C．a＜ D．a≤
【答案】　A
【解析】　因为对任意x>0，≤a恒成立，所以对x∈(0，＋∞)，a≥max，
而对x∈(0，＋∞)，＝≤＝，
当且仅当x＝1时等号成立，所以a≥.故选A.
3、函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n>0，则＋的最小值为________．
【答案】8
【解析】函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，a≠1)的图象恒过定点A(－2，－1)，(－2)·m＋(－1)·n＋1＝0，
2m＋n＝1，m，n>0，所以＋＝·(2m＋n)＝4＋＋≥4＋2 ＝8，
当且仅当，即时等号成立．
【拔高】
1、已知正数x，y满足x2＋y2＝1，则当x＝________时，＋取得最小值，最小值为________．
【答案】　　2
【解析】　由基本不等式可得x2＋y2≥2xy，当且仅当x＝y时等号成立．∵正数x，y满足x2＋y2＝1，∴xy≤，当且仅当x＝y＝时等号成立．∴＋≥2≥2，当且仅当x＝y＝时等号成立，∴＋的最小值为2.
2、已知a>0，b>0，则＋＋2的最小值是(　　)
A．2 B．2 C．4 D．5
【答案】C
【解析】因为＋＋2≥2＋2＝2≥4，当且仅当＝且＝，
即a＝b＝1时，取“＝”号．
3、设＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b,0)(a>0，b>0，O为坐标原点)，若A，B，C三点共线，则＋的最小值是(　　)
A．4 B． C．8 D．9
【答案】　D
【解析】　∵＝－＝(a－1,1)，＝－＝(－b－1,2)，若A，B，C三点共线，则有∥，
∴(a－1)×2－1×(－b－1)＝0，∴2a＋b＝1，又a>0，b>0，∴＋＝(2a＋b)＝5＋＋
≥5＋2＝9，当且仅当即a＝b＝时等号成立．故选D.
4、已知正项等比数列{an}满足：a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an，使得aman＝16a，则＋的最小值为(　　)
A. B．
C． D．不存在
【答案】　C
【解析】　设正项等比数列{an}的公比为q，且q＞0，
由a7＝a6＋2a5得a6q＝a6＋，
化简得，q2－q－2＝0，解得q＝2或q＝－1(舍去)，
因为aman＝16a，所以(a1qm－1)(a1qn－1)＝16a，
则qm+n2＝16，解得m＋n＝6，
所以＋＝(m＋n)＝≥＝.
当且仅当＝时取等号，
此时解得
因为m，n取正整数，所以均值不等式等号条件取不到，
则＋＞，
验证可得，当m＝2，n＝4时，＋取得最小值为.
5、已知，则的最小值是_______．
【答案】
【解析】∵∴且
∴，当且仅当，即时取等号.
∴的最小值为.故答案为：.第二十讲 基本不等式
一、自我诊断 知己知彼
1．若，则的最小值为________.
2. 若实数x，y满足2x＋2y＝1，则x＋y的最大值是(　　)
A．－4 B．－2
C．2 D．4
3．已知，，且满足，则的最大值为________.
4．设，则下列不等式中正确的是 (　　)
　A. B.
C. D.
5．圆关于直线对称，则的取值范围是 (　　)
A. B.C.D.
二、温故知新 夯实基础
1．基本不等式
(1)基本不等式成立的条件：.
(2)等号成立的条件：当且仅当时取等号.
2．几个重要的不等式
(1)(a，b∈R).(2)(a，b同号).
(3)(a，b∈R).(4)(a，b∈R).
3．利用基本不等式求最值问题
已知，则(1)如果积是定值p，那么当且仅当x＝y时，有最小值是2.(简记：积定和最小)(2)如果和是定值p，那么当且仅当x＝y时，有最大值是.(简记：和定积最大)
4. 利用基本不等式求最值的条件
在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误.
对于公式，，要弄清它们的作用和使用条件及内在联系，两个公式也体现了ab和a＋b的转化关系.
三、典例剖析 举一反三
考点一 利用基本不等式证明简单不等式
（一）典例剖析
例1已知.求证：.
例2. 若a>0，b>0，c>0，试证：
(1)＋＋≥a＋b＋c；(2)＋＋≥a＋b＋c.
（二）举一反三
1、已知a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝1.求证：≥8.
2、若a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1，求证＋＋≥9.
考点二 利用基本不等式求最值
（一）典例剖析
例1(1)若，求函数的最小值，并求此时x的值；
(2)设，求函数的最大值；
(3)已知，求的最小值；
(4)已知，且，求的最小值．
例2设，则的最小值为__________．
（二）举一反三
1、(1)已知x>0，求f(x)＝＋3x的最小值；
(2)已知x< 3，求f(x)＝＋x的最大值；
(3)设x>0，y>0，且2x＋8y＝xy，求x＋y的最小值．
2、下列各函数中，最小值为2的是 (　　)．
A．y＝x＋ B．y＝sin x＋，x∈
C．y＝ D．y＝＋
3.若正数满足，则的最小值为
A． B．
C． D．3
考点三基本不等式的实际应用
（一）典例剖析
例1　围建一个面积为360 m2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口.已知旧墙的维修费用为45元/m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元).
(1)将y表示为x的函数；
(2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最少，并求出最少总费用.
（二）举一反三
1、某校要建一个面积为392 m2的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为2 m和4 m的小路．问游泳池的长和宽分别为多少米时，占地面积最小？并求出占地面积的最小值．
四、分层训练能力进阶
【基础】
1、若x>0，y>0，且x＋y＝4，则下列不等式中恒成立的是 (　　)．
A.≤ B.＋≥1 C.≥2 D.≥1
2、若0A. B．a2＋b2 C．2ab D．a
3、已知a＞b＞0，则2a＋＋的最小值为(　　)
A.6 B．4
C．2 D．3
【巩固】
1、若a＞b＞1，P＝，Q＝(lg a＋lg b)，R＝lg ，则(　　)
A．R＜P＜Q B．Q＜P＜R
C．P＜Q＜R D．P＜R＜Q
2、若对任意x>0，≤a恒成立，则a的取值范围是(　　)
A.a≥ B．a＞
C．a＜ D．a≤
3、函数y＝loga(x＋3)－1(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny＋1＝0上，其中m，n>0，则＋的最小值为________．
【拔高】
1、已知正数x，y满足x2＋y2＝1，则当x＝________时，＋取得最小值，最小值为________．
2、已知a>0，b>0，则＋＋2的最小值是(　　)
A．2 B．2 C．4 D．5
3、设＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b,0)(a>0，b>0，O为坐标原点)，若A，B，C三点共线，则＋的最小值是(　　)
A．4 B． C．8 D．9
4、已知正项等比数列{an}满足：a7＝a6＋2a5，若存在两项am，an，使得aman＝16a，则＋的最小值为(　　)
A. B．
C． D．不存在
5、已知，则的最小值是_______．

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