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拓展一 公切线问题
题型八 公切线问题
【例8-1】已知曲线在点处的切线与曲线相切，则
= 。
【解析】：在点处的切线方程为，代入曲线中，由得。
秒杀方法：若一直线是一个二次函数的切线，一般情况利用处理，较导数简单。
①公切线可求。
『秒杀策略』：通过其中一个函数求出公切线，利用其是另一个函数的切线，求出所求值。
【例8-2】直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 。
【解析】：法一：设，，切线方程为：，对于函数，
，，切点坐标为，将其代入中，得，。
法二：，，代入切线得，将代入，得，同理由得，得，。
法三：影子函数法：如果一个函数通过平移可得到另一个函数，那么这两个函数叫做互为影子函数。
向左平移一个单位，再向下平移两个单位可得到，有向左平移一个单位，再向下平移两个单位可得到，因为是公切线，所以与重合，即，，切点为，代入直线中，得。
【例8-3】与曲线和都相切的直线与直线垂直，则b的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先求出直线的方程，再求出直线与曲线相切的切点坐标即可得解.
【详解】
因直线与直线垂直，则直线的斜率为3，
设直线与曲线相切的切点，而，则，得，
即直线过点(1，0)，方程为y=3x-3，
设直线与曲线相切的切点P，有，由得，
从而有点，而点P在直线：y=3x-3上，即，解得.
故选：D
【点睛】
结论点睛：函数y=f(x)是区间D上的可导函数，则曲线y=f(x)在点处的切线方程为：.
【例8-4】已知函数，，若经过点存在一条直线与图象和图象都相切，则（ ）
A．0 B． C．3 D．或3
【答案】D
【分析】
先求得在处的切线方程，然后与联立，由求解.
【详解】
因为，
所以，
则，
所以
所以函数在处的切线方程为，
由得，
由，解得或，
故选：D
②公切线不可求。
『秒杀策略』：其中一个函数设出任意点，求出过这个点的切线，利用其是另一个函数的切线，求出所求值。
【变式练习8-1】已知曲线在点处的切线与曲线相切，则 ( )
A.1 B.9 C.1或9 D.2
【解析】：同上题，选C。
【变式练习8-2】若一直线与曲线和曲线相切于同一点，则实数 。
【解析】：曲线的导数为；曲线的导数为，由，且，得，即切点坐标应为，代入，得，解得。
【变式练习8-3】已知函数在点处的切线与曲线相切，且该切线经过点，则________，________．
【答案】
【分析】
依题意求出的导函数，即可求出切线方程，由切线过点，即可求出，再设上的切点坐标为，依题意得到方程组，解得即可；
【详解】
解：因为，所以，所以，所以函数在点处的切线为，
由因为切线过点，所以，解得，所以切线方程为，因为，
所以，设切点为，则，解得
故答案为：；
【变式练习8-4】若存在过点O(0，0)的直线l与曲线y＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切则a的值为________．
【答案】1或
【分析】
易知点O在曲线y＝x3－3x2＋2x上，分类讨论O是切点和不是切点的情况，求出切线方程，再与曲线联立，消元得到一元二次方程，结合即可得出结果.
【详解】
易知点O(0，0)在曲线y＝x3－3x2＋2x上．
（1）当O(0，0)是切点时，由y′＝3x2－6x＋2，得y′|x＝0＝2，
即直线l的斜率为2，故直线l的方程为y＝2x．
由得x2－2x＋a＝0，依题意，Δ＝4－4a＝0，得a＝1．
（2）当O(0，0)不是切点时，设直线l与曲线y＝x3－3x2＋2x相切于点P(x0，y0)，
则，，①
又，②；联立①②，得x0＝(x0＝0舍去)，所以，
故直线l的方程为．由得，
依题意，，得a＝．综上，a＝1或a＝．
故答案为：1或
【点睛】
导数几何意义的应用类型及求解思路
（1）已知切点A（x0，f（x0））求斜率k，即求该点处的导数值：k＝f′（x0）.
（2）若求过点P（x0，y0）的切线方程，可设切点为（x1，y1），
由求解即可.
（3）处理与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上.
【变式练习8-5】已知曲线和曲线，若存在斜率为1的直线与，同时相切，则b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
分别求出两函数的导函数，再分别设直线与两曲线的切点的横坐标，由于斜率为1即导数值为1分别求出切点横坐标，可得切线方程，再根据切线方程系数相等得与的关系式，再根据二次函数性质可求出b的取值范围．
【详解】
，，设斜率为的切线在，上的切点横坐标分别为，，
由题知，∴，，
两点处的切线方程分别为和，
故，即.
故选：D.
【变式练习8-6】若两曲线y＝x2+1与y＝alnx+1存在公切线，则正实数a的取值范围是_________．
【答案】（0，2e]
【分析】
设公切线与曲线y＝x2+1和y＝alnx+1的交点分别为（x1，x12+1），（x2，alnx2+1），其中x2＞0，然后分别求出切线方程，对应系数相等，可以得到，然后转化为﹣＝alnx2﹣a，，然后参变分离得到a＝4x2﹣4x2lnx，进而构造函数求值域即可.
【详解】
解：设公切线与曲线y＝x2+1和y＝alnx+1的交点分别为（x1，x12+1），（x2，alnx2+1），其中x2＞0，
对于y＝x2+1，y′＝2x，所以与曲线y＝x2+1相切的切线方程为：y﹣（x12+1）＝2x1（x﹣x1），即y＝2x1x﹣x12+1，
对于y＝alnx+1，y′＝，
所以与曲线y＝alnx+1相切的切线方程为y﹣（alnx2+1）＝（x﹣x2），即y＝x﹣a+1+alnx2，
所以，即有﹣＝alnx2﹣a，
由a＞0，可得a＝4x2﹣4x2lnx，
记f(x)＝4x2﹣4x2lnx（x＞0），f′(x)＝8x﹣4x﹣8xlnx＝4x（1﹣2lnx），
当x＜时，f′(x)＞0，即f(x)在（0，）上单调递增，当x＞时，f′(x)＜0，即f(x)在（，+∞）上单调递减，
所以f(x)max＝f（）＝2e，又x→0时，f(x)→0，x→+∞时，f(x)→﹣∞，
所以0＜a≤2e．
故答案为：（0，2e]．导数专题
考点1 导数的概念及意义
题型一 平均速率
【例1】函数在[0，π]上的平均变化率为( )
A．1 B．2
π D．
【变式练习1】如果函数在区间上的平均变化率为,则（ ）
B．
C． D．
题型二 导数概念
【例2-1】设为可导函数，且满足条件，则曲线在点处的切线的斜率为（ ）
A．10 B．3
C．6 D．8
【例2-2】在高台跳水运动中时运动员相对于水面的高度（单位：）是，则高台跳水运动中运动员在时的瞬时速度是（ ）
B．
C．13.1 D．3.3
【变式练习2-1】已知函数f(x)在x=x0处的导数为12，则（ ）
-4 B．4
C．-36 D．36
【变式练习2-2】一个物体的位移s关于时间t的运动方程为s=1－t+t2，其中s的单位是：m，t的单位是：s，那么物体在t=3 s时的瞬时速度是
A．5 m／s B．6 m／s
C．7 m／s D．8 m／s
【变式练习2-3】已知函数，则（ ）
A．1 B．-1
C． D．
题型三 导数的计算
【例3】设点P是函数图象上的任意一点，点P处切线的倾斜角为，则角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【变式练习3】已知函数，则函数的图象在点处的切线斜率为（ ）
B．
C． D．

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