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平移与轴对称 题型练
题型一 生活中的平移现象
1、平移的概念
在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．
2、平移是指图形的平行移动，平移时图形中所有点移动的方向一致，并且移动的距离相等．
3、确定一个图形平移的方向和距离，只需确定其中一个点平移的方向和距离．
例1
1. 下列运动属于平移的是（　　）
A. 小朋友荡秋千 B. 自行车在行进中车轮的运动
C. 地球绕着太阳转 D. 小华乘手扶电梯从一楼到二楼
【答案】D
【解析】
【分析】判断是否是平移现象，要根据平移的性质进行，即图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化．
【详解】解：A、荡秋千不符合平移的性质，不属于平移，故本选项错误；
B、自行车在行进中车轮的运动不符合平移的性质，不属于平移，故本选项错误；
C、地球绕着太阳转不符合平移的性质，不属于平移，故本选项错误；
D、小华乘手扶电梯从一楼到二楼符合平移的性质，属于平移，故本选项正确．
故选D．
【点睛】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转而误选．
变式1
2. 如图为一只小兔，将图进行平移，得到的图形可能是下列选项中的（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平移的特点即可判断．
【详解】将图进行平移，得到的图形是
故选C．
【点睛】此题主要考查平移的特点，解题的关键是熟知平移的定义．
题型二 平移的性质
（1）平移的条件
平移的方向、平移的距离
（2）平移的性质
①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同． ②新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等．
例2. 如图，将△ABC沿着射线BC方向平移，得到△DEF，若EF＝13，EC＝7，则平移的距离为 ．
解：∵△ABC沿着射线BC的方向平移，得到△DEF，
∴BE＝CF，
∵EF＝13，EC＝7，
∴CF＝EF－CE＝13－7＝6，
即平移的距离为6
故答案为：6
变式2
3. 如图，△ABC沿直线m向右平移a厘米，得到△DEF，下列说法错误的是（　　）
A. AC∥DF B. CF∥AB C. CF＝a厘米 D. DE＝a厘米
【答案】D
【解析】
【分析】根据平移的性质对各选项进行判断即得答案．
【详解】解：∵△ABC沿直线m向右平移a厘米，得到△DEF，
∴AC∥DF，CF∥AB，CF＝AD＝BE＝a厘米．
故选项A、B、C三项是正确的，而DE=DB+BE=DB+a，所以选项D是错误的．
故选：D．
【点睛】本题考查了平移的性质，经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等；平移变换不改变图形的形状、大小和方向．
题型三 坐标与图形变化－平移
平移变换与坐标变化 ①向右平移a个单位，坐标P（x，y） P（x＋a，y） ①向左平移a个单位，坐标P（x，y） P（x－a，y）
①向上平移b个单位，坐标P（x，y） P（x，y＋b）
①向下平移b个单位，坐标P（x，y） P（x，y－b）
（2）在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）
例3. 将点P（2，1）沿x轴方向向左平移3个单位，再沿y轴方向向上平移2个单位，所得的点的坐标是（ ）
A. （－1，－1） B. （－1，3） C. （5，－1） D. （5，3）
【解析】解：将点P（2，1）沿x轴方向向左平移3个单位，
再沿y轴方向向上平移2个单位，所得的点的坐标是（－1，3）．
故选：B
变式3
4. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A(2，1)，B(3，－1)，平移线段AB，使点B落在点B1（－1，－2）处，则点A的对应点A1的坐标为（ ）
A. (0，－2) B. （－2，0） C. （0，－4） D. （－4，0）
【答案】B
【解析】
【分析】根据B点对应点的坐标可得线段AB的平移方法，进而可得A点的对应点坐标．
【详解】∵B（3，-1），平移线段AB，使点B落在点B1（-1，-2）处，
∴线段向左平移4个单位，向下平移1个单位，
∵A（2，1），
∴点A的对应点A1的坐标为（2-4，1-1），
即A1的坐标为（-2，0），
故选：B．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形的变化－平移，关键是掌握横坐标：右移加，左移减；纵坐标：上移加，下移减．
题型四 作图－平移变换
（1）确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．
（2）作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
例4
5. 下列平移作图错误的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据平移变换的性质，“经过平移，对应线段平行且相等”即可解答此题.
【详解】观察图形中的四个选项，由平移的基本概念即可判断A. B. D符合平移变换，C是轴对称变换.
故选C.
【点睛】本题考查平移变换的性质，掌握平移后对应线段平行且相等是解题的关键.
变式4
6. 如图，在每个小正方形的边长均为1的方格纸中，三角形ABC的顶点都在方格纸的格点上，将三角形ABC先向左平移2格，再向上平移4格．
（1）请在图中画出平移后的三角形A′B′C′；
（2）求出三角形ABC的面积．
【答案】（1）图见解析（2）8
【解析】
【分析】（1）利用网格特点和平移的性质画出点A、B、C的对应点A′、B′、C′，从而得到三角形A′B′C′；
（2）利用三角形面积公式计算．
【详解】解：（1）如图，△A′B′C′为所作；
（2）三角形ABC的面积＝×4×4＝8．
【点睛】本题考查了作图 平移变换：确定平移后图形的基本要素有两个：平移方向、平移距离．作图时要先找到图形的关键点，分别把这几个关键点按照平移的方向和距离确定对应点后，再顺次连接对应点即可得到平移后的图形．
题型五 生活中的轴对称现象
（1）轴对称的概念：把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也称轴对称；这条直线叫做对称轴．
（2）轴对称包含两层含义：
①有两个图形，且这两个图形能够完全重合，即形状大小完全相同；
②对重合的方式有限制，只能是把它们沿一条直线对折后能够重合．
例5. 在汉字“生活中的日常用品”中，成轴对称的有（ ）
A.2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个
【解析】
解：根据轴对称的定义，
在汉字“生活中的日常用品”中，成轴对称的字有“中、日、品”3个．
故选：B
变式5
7. 如图，在矩形中，，一发光电子开始置于边的点处，并设定此时为发光电子第一次与矩形的边碰撞，将发光电子沿着方向发射，碰撞到矩形的边时均反射，每次反射的反射角和入射角都等于，当发光电子与矩形的边碰撞2020次后，它与边的碰撞次数是__________．
【答案】674
【解析】
【分析】根据反射角与入射角的定义可以在格点中作出图形，可以发现，在经过6次反射后，发光电子回到起始的位置，即可求解．
【详解】解：如图，设A点坐标为（0，0），
根据图形可以得到：每6次反弹为一个循环组依次循环，经过6次反弹后动点回到出发点（6，0），且每次循环它与AB边的碰撞有2次，
∵2020÷6=336…4，
当点P第2020次碰到矩形的边时为第337个循环组的第4次反弹，点P的坐标为（2，0），
∴它与AB边的碰撞次数是=336×2+2=674次；
故答案为674．
【点睛】本题主要考查了矩形的性质，点的坐标的规律，熟练掌握并灵活运用是解题的关键.
题型六 轴对称的性质
（1）如果两个图形关于某直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
由轴对称的性质得到一下结论：
①如果两个图形的对应点的连线被同一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称；
②如果两个图形成轴对称，我们只要找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平分线，就可以得到这两个图形的对称轴．
（2）轴对称图形的对称轴也是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．
例6. 如图，△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，若∠A＝50°，∠C＝20°，则∠B'度数为（ ）
A. 110° B. 70° C. 90° D. 30°
【解析】
解：∵△ABC与△A′B′C′关于直线l对称，
∴∠B′＝∠B，
∵∠B＝180°－∠A－∠C＝180°－50°－20°＝110°，
∴∠B′＝110°．
故选：A
变式6
8. 如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BD=CD，若BC=5，AD=4，则图中阴影部分的面积为（ ）
A. 5 B. 10 C. 15 D. 20
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意，观察可得：△ABC关于AD轴对称，且图中阴影部分的面积为△ABC面积的一半，先求出△ABC的面积，阴影部分的面积就可以得到．
【详解】根据题意，阴影部分的面积为三角形面积的一半，
∵S△ABC=×BCAD=×4×5=10，
∴阴影部分面积=×10=5.
故答案选A.
【点睛】本题考查了轴对称的性质，解题的关键是熟练的掌握轴对称的性质.
题型七 轴对称图形
（1）轴对称图形的概念：
如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴）对称．
（2）轴对称图形是针对一个图形而言的，是一种具有特殊性质图形，被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合；轴对称图形的对称轴可以是一条，也可以是多条甚至无数条．
（3）常见的轴对称图形：
等腰三角形，矩形，正方形，等腰梯形，圆等等．
例7
9. 下列图形不一定是轴对称图形的是（　　）
A. 线段 B. 角 C. 等腰三角形 D. 直角三角形
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【详解】①线段是轴对称图形,它关于他的垂直平分线对称；
②角是是轴对称图形,它关于他的角平分线对称；
③等腰三角形是是轴对称图形,它关于他的顶角的角平分线对称；
④直角三角形不一定是是轴对称图形.
故答案选D.
【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，解题的关键是熟练的掌握轴对称图形的概念.
变式7
10. 下列图形中，是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据轴对称图形的定义判断即可.
【详解】A、不是轴对称图形，不符合题意；
B、不是轴对称图形，不符合题意；
C、是轴对称图形，符合题意；
D、不是轴对称图形，不符合题意.
故答案为C.
【点睛】本题考查了轴对称图形的定义，属于基础题型，熟知定义是正确判断的关键.
题型八 镜面对称
1、镜面对称：
有时我们把轴对称也称为镜面（镜子、镜像）对称，如果沿着图形的对称轴上放一面镜子，那么在镜子里所放映出来的一半正好把图补成完整的（和原来的图形一样）．
2、镜面实质上是无数对对应点的对称，连接对应点的线段与镜面垂直并且被镜面平分，即镜面上有每一对对应点的对称轴．
3、关于镜面问题动手实验是最好的办法，如手头没有镜面，可以写在透明纸上，从反面看到的结果就是镜面反射的结果．
例8. 从汽车的后视镜中看见某车牌的5位号码是，该号码实际是 ．
【解析】
解：关于镜面对称，也可以看成是关于某条直线对称，
故关于某条直线对称的数字依次是HB698
变式8
11. 小华在镜中看到身后墙上的钟，你认为实际时间最接近8点的是（　　）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：此题考查镜面对称，根据镜面对称的性质，在平面镜中的钟面上的时针、分针的位置和实物应关于过12时、6时的直线成轴对称．
解：根据平面镜成像原理可知，镜中的像与原图象之间实际上只是进行了左右对换，由轴对称知识可知，只要将其进行左可翻折，即可得到原图象，实际时间为8点的时针关于过12时、6时的直线的对称点是4点，那么8点的时钟在镜子中看来应该是4点的样子，则应该在C和D选项中选择，D更接近8点．
故选D．
【点评】考查了镜面对称，这是一道开放性试题，解决此类题注意技巧；注意镜面反射的原理与性质．
题型九 关于x轴、y轴对称的点的坐标
（1）关于x轴的对称点的坐标特点：
横坐标不变，纵坐标互为相反数．
即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，－y）．
（2）关于y轴的对称点的坐标特点：
横坐标互为相反数，纵坐标不变．
即点P（x，y）关于y轴的对称点P′的坐标是（－x，y）．
例9
12. 在平面直角坐标系中，点P（﹣3，4）关于x轴的对称点的坐标是（ ）
A. （﹣4，﹣3） B. （﹣3，﹣4） C. （3，4） D. （3，﹣4）
【答案】B
【解析】
【详解】试题分析：平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于x轴的对称点的坐标是（x，﹣y），即关于横轴的对称点，横坐标不变，纵坐标变成相反数，这样就可以求出对称点的坐标．
解：点A（﹣3，4）关于x轴的对称点的坐标是（﹣3，﹣4），
故选B．
考点：关于x轴、y轴对称的点的坐标．
变式9
13. 已知：点A（m﹣1，3）与点B（2，n﹣1）关于x轴对称，则（m+n）2019的值为（　　）
A. 0 B. 1 C. ﹣1 D. 32019
【答案】B
【解析】
【分析】根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数可得m、n的值，进而可得答案．
【详解】解：∵点A（m﹣1，3）与点B（2，n﹣1）关于x轴对称，
∴m﹣1＝2，n﹣1＝﹣3，
∴m＝3，n＝﹣2，
∵（m+n）2019＝1，
故选：B．
【点睛】本题考查坐标对称点的特性，熟记知识点是解题关键.
题型十 坐标与图形变化－对称
（1）关于x轴对称
横坐标相等，纵坐标互为相反数．
（2）关于y轴对称
纵坐标相等，横坐标互为相反数．
（3）关于直线对称
①关于直线x＝m对称，P（a，b） P（2m－a，b）
②关于直线y＝n对称，P（a，b） P（a，2n－b）
例10. 在平面直角坐标系中，点P（4，2）关于直线x＝1的对称点的坐标是 ．
解：∵点P（4，2），
∴点P到直线x＝1的距离为4－1＝3，∴点P关于直线x＝1的对称点P′到直线x＝1的距离为3，
∴点P′的横坐标为1－3＝－2，
∴对称点P′的坐标为（－2，2）．
变式10
14. 若点A(1，2)，B(-1，2)，则点A与点B的关系是( )
A. 关于x轴对称 B. 关于y轴对称.
C. 关于直线x=1对称 D. 关于直线y=1对称
【答案】B
【解析】
【分析】根据关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数，可得答案．
【详解】∵点A（1，2），B（-1，2），
∴点A与点B关于y轴对称，
故选B．
【点睛】此题考查关于y轴对称的点的坐标，利用关于y轴对称的点的纵坐标相等，横坐标互为相反数是解题关键．
题型十一 作图－轴对称变换
几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的，一般的方法是：
①由已知点出发向所给直线作垂线，并确定垂足；
②直线的另一侧，以垂足为一端点，作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长，得到线段的另一端点，即为对称点；
③连接这些对称点，就得到原图形的轴对称图形．
例11. 下面是四位同学作△ABC关于直线MN轴对称图形，其中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
解：作△ABC关于直线MN的轴对称图形正确的是B选项．
故选：B
变式11
15. 如图，在平面直角坐标系中，A（2，4），B（3，1），C（﹣2，﹣1）．
（1）在图中作出△ABC关于x轴的对称图形△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标；
（2）求△ABC的面积．
【答案】（1）见解析，A1（2，﹣4），B1（3，﹣1），C1（﹣2，1）．（2）
【解析】
【分析】（1）利用关于x轴对称点的性质得出对应点位置，进而得出答案；
（2）直接利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积，进而得出答案．
【详解】（1）如图所示：△A1B1C1即为所求，A1（2，﹣4），B1（3，﹣1），C1（﹣2，1）．
（2）S△ABC=5×5﹣×4×5﹣×1×3﹣×2×5=．
【点睛】本题考查了轴对称变换、三角形的面积等知识，解题的关键是正确得出对应点的位置．
题型十二 轴对称－最短路线问题
1、最短路线问题
在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．
2、凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．
例12. 如图，直线l是一条河，P，Q是两个村庄．计划在l上的某处修建一个水泵站M，向P，Q两地供水．现有如下四种铺设方案（图中实线表示铺设的管道），则所需管道最短的是（ ）
A. B.
C. D.
解：作点P关于直线l的对称点P′，连接QP′交直线l于M．
根据两点之间，线段最短，可知选项D修建的管道，则所需管道最短．
故选：D
变式12
16. 如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家，最短距离是（　　）
A. 750米 B. 1000米 C. 1500米 D. 2000米
【答案】B
【解析】
【详解】作A的对称点A’,连接A’B交CD于P,
,
,,
两点之间直线最短，A’B=AP+PB=1000米
点睛：平面上最短路径问题
（1）归于“两点之间的连线中，线段最短”．凡属于求“变动的两线段之和的最小值”时，大都应用这一模型．
（2）归于“三角形两边之差小于第三边”．凡属于求“变动的两线段之差的最大值”时，大都应用这一模型．
（3）平面图形中，直线同侧两点到直线上一点距离之和最短问题．
题型十三 翻折变换（折叠问题）
1、翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．
2、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
3、在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．
首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．
例13. 如图，折叠直角三角形纸片的直角，使点C落在AB上的点E处，已知BC＝24，∠B＝30°，则DE的长是（ ）
A.12 B. 10 C. 8 D. 6
解：∵△ADE与△ADC关于AD对称，
∴△ADE≌△ADC，
∴DE＝DC，∠AED＝∠C＝90°，
∴∠BED＝90°．
∵∠B＝30°，
∴BD＝2DE．
∵BC＝BD＋CD＝24，
∴24＝2DE＋DE，
∴DE＝8
变式13
17. 把一张宽度相等的纸条按如图所示的方式折叠，则∠1 的度数等于（ ）
A. 65° B. 55° C. 45° D. 50°
【答案】A
【解析】
【分析】利用翻折不变性，平行线的性质即可解决问题．
【详解】
根据折叠得出∠1=∠DEM=∠FED，
∵是一张宽度相等的纸条，
∴AE∥BM，∠2=130°，
∴∠FED=∠2=130°，
∴∠1=65°
故答案选:A
【点睛】本题考查翻折、平行线的性质，解题的关键是熟练掌握翻折、平行线的性质．
实战练
18. 如图，某住宅小区内有一长方形地，若在长方形地内修筑同样宽的小路（图中阴影都分），余下部分绿化，小路的宽均为2m，则绿化的面积为____．
【答案】540
【解析】
【分析】利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有绿化面积之和就变为了（32-2）（20-2）m2，进而即可求出答案．
【详解】利用平移可得，两条小路的总面积是：（32-2）（20-2）=540（m2）．
故答案为540．
【点睛】此题主要考查了生活中的平移现象，这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程，求出答案．
19. 如图，将△ABE向右平移2cm得到△DCF，AE、DC交于点G．如果△ABE的周长是16cm，那么△ADG与△CEG的周长之和是______cm．
【答案】16．
【解析】
【分析】根据平移的性质得DF=AE，即可求出△ADG与△CEG的周长之和．
【详解】∵△ABE向右平移2cm得到△DCF，
∴DF=AE，
∴△ADG与△CEG的周长之和=AD+CE+CD+AE=BE+AB+AE=16．
故答案为：16．
【点睛】本题考查了三角形平移的问题，掌握平移的性质是解题的关键．
20. 在平面直角坐标系中，将点向上平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点，则点的坐标是____．
【答案】(﹣1，1)
【解析】
【分析】根据向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加求解即可．
【详解】∵将点A(1, 2)向上平移3个单位长度,再向左平移2个单位长度,得到点A′，
∴点A′的横坐标为1 2= 1，纵坐标为 2+3=1，
∴A′的坐标为( 1,1).
故答案为( 1,1).
【点睛】考查坐标与图形变化-平移，掌握点平移时，坐标的变化规律是解题的关键.
21. 如图所示，选择适当的方向击打白球，可以使白球反弹后将红球撞入袋中，此时，并且，如果红球与洞口连线和台球桌面边缘夹角，那么_____，才能保证红球能直接入袋．
【答案】
【解析】
【分析】根据和可以得出，再根据即可得出的度数．
【详解】解：∵，，
∴．
又∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查了角度的计算，根据题意正确得出角度之间的关系是解题关键．
22. △ABC与关于直线l对称，则∠B的度数为________．
【答案】
【解析】
【分析】根据轴对称的性质，轴对称图形全等，则，再根据三角形内角和定理即可求得
【详解】△ABC与关于直线l对称
故答案为：
【点睛】本题考查了轴对称图形的性质，全等的性质，三角形内角和定理，理解轴对称图形的性质是解题的关键．
23. 等边三角形是一个轴对称图形，它有_____条对称轴．
【答案】
【解析】
【分析】把一个图形沿某条直线对折，若直线两旁的部分能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，这条直线是对称轴，根据定义可得答案.
【详解】解：等边三角形是一个轴对称图形，它有条对称轴，
故答案为：
【点睛】本题考查的是轴对称图形及对称轴的确定，掌握确定轴对称图形的对称轴是解题的关键.
24. 小明从镜子里看到对面电子钟的像如图所示，那么实际时间是_______.
【答案】21：05.
【解析】
【分析】利用镜面对称的性质求解．镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称．
【详解】解：根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与21：05成轴对称，所以此时实际时刻为21：05．
故答案为21：05
【点睛】本题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．
25. 点（2+a，3）关于y轴对称的点的坐标是（﹣4，2﹣b），则ab=_____．
【答案】 ．
【解析】
【分析】根据“关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”列方程求出a、b的值，然后代入代数式进行计算即可得解．
【详解】解：∵点（2+a，3）关于y轴对称的点的坐标是（-4，2-b），
∴2+a=4，2-b=3，
解得a=2，b=-1，
所以，ab=2-1= ，
故答案为
【点睛】本题考查了关于y轴对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：（1）关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；（2）关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．
26. 如图，点与点关于直线对称，则______．
【答案】-5
【解析】
【分析】根据点与点关于直线对称求得a，b的值，最后代入求解即可．
【详解】解：∵点与点关于直线对称
∴a=-2，,解得b=-3
∴a+b=-2+（-3）=-5
故答案为-5．
【点睛】本题考查了关于y=-1对称点的性质，根据对称点的性质求得a、b的值是解答本题的关键．
27. 在平面直角坐标系中，已知点A(0，2)、B(4，1)，点P在轴上，则PA+PB的最小值是_____．
【答案】5
【解析】
【详解】试题分析：先画出直角坐标系，标出A、B点的坐标，再求出B点关于x轴的对称点B′，连接B′A，交x轴于点P，则P即为所求点，利用两点间的距离公式即可求解．
试题解析：如图所示：
作点B关于x轴的对称点B′，连接B′A，交x轴于点P，则P即为所求点，即当三点在一条直线上时有最小值，
即AP+BP=B′A=.
考点：1.轴对称-最短路线问题；2.坐标与图形性质．
28. 下列现象中是平移的是（ ）
A. 翻开书中的每一页纸张 B. 飞碟的快速转动
C. 将一张纸沿它的中线折叠 D. 电梯的上下移动
【答案】D
【解析】
【分析】判断是否是平移现象，要根据平移的性质进行，即图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化．
【详解】解：A：翻开书中的每一页纸张，这是翻折现象；
B：飞碟的快速转动，这是旋转现象；
C：将一张纸沿它的中线折叠，这是轴对称现象；
D：电梯的上下移动这是平移现象．
故选：D．
【点睛】本题考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，学生易混淆图形的平移与旋转或翻转而误选．
29. 如图，△ABC沿BC所在直线向右平移得到△DEF，已知EC＝2，BF＝8，则CF的长为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】根据平移的性质证明BE＝CF即可解决问题．
【详解】解：由平移的性质可知，BC＝EF，
∴BE＝CF，
∵BF＝8，EC＝2，
∴BE+CF＝8﹣2＝6，
∴CF＝BE＝3，
故选：A．
【点睛】本题考查平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键．
30. 点向右平移个单位后的坐标为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
【详解】解：把点( 1,3)向右平移3个单位后所得的点的坐标为：( 1+3,3)，即(2,3)，
故选C．
【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化 平移，平移中点的变化规律：左右移动改变点的横坐标，左减，右加；上下移动改变点的纵坐标，下减，上加．
31. 下面四幅图是我国传统文化与艺术中的几个经典图案，其中不是轴对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴可得答案．
【详解】解：A、是轴对称图形，故此选项不合题意；
B、是轴对称图形，故此选项不合题意；
C、是轴对称图形，故此选项不符合题意；
D、不是轴对称图形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念．
32. 如图，若△ABC 与△A′B′C′关于直线 MN 对称，BB′交 MN 于点 O，则下列说法不一定正确的是（ ）
A. AC＝A′C′ B. BO＝B′O C. AA′⊥MN D. AB∥B′C′
【答案】D
【解析】
【分析】根据轴对称的性质对各选项分析判断后即可解答.
【详解】∵△ABC与△A′B′C′关于直线MN对称，
∴AC=A′C′，BO=B′O，AA′⊥MN，故A、B、C选项正确，AB∥B′C′不一定成立.
∴不一定正确的是选项D．
故选D．
【点睛】本题考查了轴对称的性质，熟知成轴对称的两个图形全等，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等是解决问题的关键．
33. 如图，已知点D是等边三角形ABC中BC的中点，BC＝2，点E是AC边上的动点，则BE＋ED的和最小值为（ ）
A. B. C. 3 D.
【答案】B
【解析】
【分析】作B关于AC的对称点B′，连接BB′、B′D，交AC于E，此时BE＋ED＝B′E＋ED＝B′D，根据两点之间线段最短可知B′D就是BE＋ED的最小值，再根据等边三角形的性质和勾股定理求解即可．
【详解】解：作B关于AC的对称点B′，连接BB′、B′D，交AC于E，此时BE＋ED＝B′E＋ED＝B′D，根据两点之间线段最短可知B′D就是BE＋ED的最小值，
∵B、B′关于AC的对称，
∴AC、BB′互相垂直平分，
∴四边形ABCB′是平行四边形，
∵三角形ABC是边长为2，
∵D为BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴AD＝，BD＝CD＝1，BB′＝2AD＝2，
作B′G⊥BC的延长线于G，
∴B′G＝AD＝，
在Rt△B′BG中，BG＝，
∴DG＝BG BD＝3 1＝2，
在Rt△B′DG中，BD＝．
故BE＋ED的最小值为．
故选：B．
【点睛】本题考查的是最短路线问题，涉及的知识点有：轴对称的性质、等边三角形的性质、勾股定理等，有一定的综合性，但难易适中．
34. 如图，AD是△ABC的角平分线，∠C＝20°，AB＋BD＝AC，将△ABD沿AD所在直线翻折，点B在AC边上的落点记为点E，那么∠AED等于（ ）
A. 80° B. 60° C. 40° D. 30°
【答案】C
【解析】
【分析】根据翻折的性质得到AB=AE，BD=DE，再根据AB＋BD＝AC，AE＋EC＝AC得到BD=DE=EC，利用等边对等角与外角的性质得出结论即可．
【详解】解：∵将△ABD沿AD所在直线翻折，点B在AC边上的落点记为点E，
∴AB=AE，BD=DE，
∵AB＋BD＝AC，AE＋EC＝AC，
∴BD=DE=EC，
∴∠EDC=∠C=20°，
∵∠AED是△CDE的外角，
∴∠AED=∠EDC+∠C=40°，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了折叠的性质与三角形外角的性质，熟练掌握折叠的性质与三角形外角的性质是解题的关键．
35. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=33°，将△ABC沿AB方向向右平移得到△DEF．
（1）试求出∠E的度数；（2）若AE=9cm，DB=2cm．请求出CF的长度．
【答案】（1）57°；（2）3.5cm.
【解析】
【分析】（1）根据平移可得，对应角相等，由∠CBA的度数可得∠E的度数；
（2）根据平移可得，对应点连线的长度相等，由BE的长可得CF的长.
【详解】解：（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=33°，
∴∠CBA=90°-33°=57°，
由平移得，∠E=∠CBA=57°；
（2）由平移得，AD=BE=CF，
∵AE=9cm，DB=2cm，
∴AD=BE=（9-2）=3.5cm.
∴CF=3.5cm.
【点睛】本题主要考查了平移的性质，注意：①把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；②连接各组对应点的线段平行且相等.
36. 已知：如图，把△ABC向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到△A′B′C′．
⑴写出A′、B′、C′的坐标；
⑵求出△ABC的面积；
⑶点P在y轴上，且△BCP与△ABC的面积相等，求点P的坐标．
【答案】（1）A′（0，4）、B′（﹣1，1）、C′（3，1）；（2）S△ABC=6；（3）（0，1）或（0，﹣5）．
【解析】
【详解】试题分析：（1）根据横坐标右移加，左移减，纵坐标上移加，下移减即可得出三个顶点的坐标； （3）由图可知△ABC底边为4，高为3，利用面积公式求解即可；（4）设点P的坐标为（0，y），根据△BCP的面积等于△ABC的面积，列出方程|y+2|×4=6，解方程即可．
试题解析：（1）如图所示：A′（0，4）、B′（﹣1，1）、C′（3，1）；
（2）S△ABC=×（3+1）×3=6；
（3）设点P坐标为（0，y），
∵BC=4，点P到BC的距离为|y+2|，
由题意得×4×|y+2|=6，
解得y=1或y=﹣5，
所以点P的坐标为（0，1）或（0，﹣5）．
37. 如图，点P是∠AOB外的一点，点Q与P关于OA对称，点R与P关于OB对称，直线QR分别交OA、OB于点M、N，若PM＝PN＝4，MN＝5．
（1）求线段QM、QN的长；
（2）求线段QR的长．
【答案】（1）4，1；（2）5
【解析】
【分析】（1）利用轴对称的性质求出MQ即可解决问题；
（2）利用轴对称的性质求出NR即可解决问题．
【详解】（1）∵P，Q关于OA对称，
∴OA垂直平分线段PQ，
∴MQ＝MP＝4，
∵MN＝5，
∴QN＝MN﹣MQ＝5﹣4＝1．
（2）∵P，R关于OB对称，
∴OB垂直平分线段PR，
∴NR＝NP＝4，
∴QR＝QN+NR＝1+4＝5．
【点睛】本题考查轴对称的性质，解题的关键是理解题意，熟练掌握轴对称的性质属于中考常考题型．
38. 如图所示，P，Q为△ABC边上的两个定点，在BC上求作一点R，使△PQR的周长最小．
【答案】见解析
【解析】
【详解】试题分析：作出点P关于BC的对称点P′，连接QP′交BC于R，那么△PQR的周长最小
试题解析：(1)作点P关于BC所在直线的对称点P′，
(2)连接P′Q，交BC于点R，则点R就是所求作的点(如图所示)．
视频
39. 如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C′处，BC′交AD于点E．
(1)试判断△BDE的形状，并说明理由；
(2)若AB＝4，AD＝8，求△BDE的面积．
【答案】(1) △BDE是等腰三角形；(2)10.
【解析】
【详解】试题分析：（1）由折叠可知，∠CBD=∠EBD，再由AD∥BC，得到∠CBD=∠EDB，即可得到∠EBD=∠EDB，于是得到BE=DE，等腰三角形即可证明；
（2）设DE=x，则BE=x，AE=8﹣x，在Rt△ABE中，由勾股定理求出x的值，再由三角形的面积公式求出面积的值．
解：（1）△BDE是等腰三角形．
由折叠可知，∠CBD=∠EBD，
∵AD∥BC，
∴∠CBD=∠EDB，
∴∠EBD=∠EDB，
∴BE=DE，
即△BDE是等腰三角形；
（2）设DE=x，则BE=x，AE=8﹣x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得：AB2+AE2=BE2即42+（8﹣x）2=x2，
解得：x=5，
所以S△BDE=DE×AB=×5×4=10．
考点：翻折变换（折叠问题）．
培优练
40. 准备一张矩形纸片，按如图操作：
将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．
（1）求证：四边形BFDE是平行四边形；
（2）若四边形BFDE是菱形，BE＝2，求菱形BFDE的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】
【分析】（1）根据矩形的性质和翻折变换的性质得到∠EBD=∠FDB，证明EB∥DF，根据平行四边形的判定定理证明结论；
（2）根据菱形的性质和翻折变换的性质求出∠ABE=30°，根据直角三角形的性质求出AB=，根据菱形的面积公式计算即可．
【详解】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，AB∥CD，
∴∠ABD＝∠CDB，
由翻折变换的性质可知，∠ABE＝∠EBD，∠CDF＝∠FDB，
∴∠EBD＝∠FDB，
∴EB∥DF，
∵ED∥BF，
∴四边形BFDE为平行四边形；
（2）解：∵四边形BFDE为菱形，
∴∠EBD＝∠FBD，
∵∠EBD＝∠ABE，
∴∠EBD＝∠FBD＝∠ABE，
∵四边形ABCD是矩形，
∠ABC＝90°，
∴∠EBD＝∠FBD＝∠ABE＝30°，
∴AB＝，
∴菱形BFDE的面积S＝DE×AB＝2．
【点睛】本题考查的是翻折变换的性质、平行四边形的判定以及矩形和菱形的性质，翻折变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．
41. 如图，长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为（4，0），C点的坐标为（0，6），点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O-A-B-C-O的路线移动（即：沿着长方形移动一周）．
（1）写出点B的坐标（______）．
（2）当点P移动了4秒时，描出此时P点的位置，并求出点P的坐标．
（3）在移动过程中，当点P到x轴距离为5个单位长度时，求点P移动的时间．
【答案】（1）（4，6）（2）（4,4）（3）点P移动的时间4.5秒或7.5秒
【解析】
【分析】(1)根据长方形的性质易得点B的坐标.
(2)根据题意，点P的运动速度为每秒2个单位长度，当点P移动了4秒时，其运动了8个单位长度，此时点P的坐标为(4，4)，位于AB上.
(3)根据题意，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，有两种情况，分情况讨论计算即可.
【详解】解：(1)根据长方形的性质，可得AB与y轴平行，BC与x轴平行，故点B的坐标为(4，6)．
(2)根据题意，点P的运动速度为每秒2个单位长度，当点P移动了4秒时，其运动了8个单位长度，此时点P的坐标为(4，4)，位于AB上，描点如图．
(3)根据题意，当点P到x轴的距离为5个单位长度时，有两种情况：当点P在AB上时，点P运动了4＋5＝9(个)单位长度，此时点P运动了4.5秒；当点P在OC上时，点P运动了4＋6＋4＋1＝15(个)单位长度，此时点P运动了7.5秒．
综上所述，点P移动了4.5秒或7.5秒．
【点睛】本题主要考查的点在坐标系中移动的规律，熟练掌握规律是本题的解题关键.

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