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专题四 三角函数与解三角形
01 任意角、弧度制及任意角的三角函数
考纲对本模块内容的具体要求如下：
三角函数是基本初定函数的之一，是高考考察 ( http: / / www.21cnjy.com )的重点内容和热点，在高考中出题主要是以一个小题和一个大题为主，对于三角函数的概念知识的考察主要是以选择或者填空为主，考察以简单为主。21·cn·jy·com
1. 了解任意角的概念和弧度制的概念.
2. 能进行弧度与角度的互化.
3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
数学抽象：1.了解任意角的概念，能区分各类角的概念.
2.借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义.
逻辑推理：能根据任意角的概念，结合象限角的概念，分析角、倍角、半角所在象限.
数学运算：1.已知角终边上一点，会求角的各三角函数值.
2.掌握弧度制中扇形的弧长和面积公式及公式的简单应用.
直观想象：掌握角的概念,并会用集合表示象限角.
一、角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着____从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)分类
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合________．
二、弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于____的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
(2)公式：
角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算 ①1°＝____ rad；②1 rad＝
弧长公式 弧长l＝____
扇形面积公式 S＝_____
三、任意角的三角函数
(1)定义
设角α终边与单位圆交于P(x，y)，则sin α＝____，cos α＝____，tan α＝____(x≠0)．
(2)三角函数值在各象限内符号为正的口诀
一全正，二正弦，三正切，四余弦．
(3)几何表示
三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．21·世纪*教育网
如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的____、____、____．
常用结论
(1)任意角的三角函数的定义(推广)．
设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．21*cnjy*com
(2)单位圆上任意一点可设为(cos θ，sin θ)(θ∈R)．
(3)若α∈，则sin α＜α＜tan α.
考点一 象限角及终边相同的角
（1）（2021·赤峰二中高三月考（理））若角的终边与240°角的终边相同，则角的终边所在象限是（ ）21世纪教育网版权所有
A．第二或第四象限 B．第二或第三象限
C．第一或第四象限 D．第三或第四象限
（2）（2021·陕西省洛南中学高一月考）与角终边相同的角的集合是（ ）
A． B．
C． D．
【规律方法】
象限角的两种判断方法
(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．
(2)转化法：先将已知角化为k·360°＋ ( http: / / www.21cnjy.com )α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．2·1·c·n·j·y
【跟踪练习】(1)（2021·横峰中学高一月考（理））已知角第二象限角，且，则角是（ ）2-1-c-n-j-y
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
(2)（2021·北京二中高一期末）已知，且是第二象限角，那么的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
考点二 扇形的弧长、面积公式
（1）（2021·安徽合肥市·高三三模（理））在平面直角坐标系中，已知点，，当t由变化到时，线段扫过形成图形的面积等于（ ）
A．2 B． C． D．
（2）（2021·江苏南通市·高三其他模拟）《掷铁饼者》取材于希腊现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在挪铁饼的过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为，掷铁饼者双手之间的距离约为，“弓”所在圆的半径约为，则挪铁饼者的肩宽约为___________.(精确到)【出处：21教育名师】
( http: / / www.21cnjy.com / )
【规律方法】
解决有关扇形的弧长和面积问题的常用方法及注意事项
1.解决有关扇形的弧长和面积问题时，要注意角的单位，一般将角度化为弧度.
2.求解扇形面积的最值问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决.
3.在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.
【跟踪练习】（1）（2021·全国高一练习）在直径为的圆中，圆心角所对的弧长为（ ）
A． B． C． D．
（2）（2021·河南高一期末）已知某扇形的周长是，面积为，则该扇形的圆心角的弧度数是（ ）21教育网
A． B． C． D．
（3）（2021·全国高一期末）若扇形周长为20，当其面积最大时，其内切圆的半径r为（ ）
A． B． C． D．
考点三 三角函数的定义及应用
（1）（2021·西安市经开第一中学高三其他模拟（理））若点在角的终边上，则（ ）
A． B． C． D．
（2）已知角α的终边上一点P(－，m)(m≠0)，且sin α＝，则cos α＝________，tan α＝________.21cnjy.com
（3）（2020·云南省楚雄天人中学）若θ∈（，），则下列各式中正确的有的个数是（ ）
①sinθ+cosθ<0；②sinθ﹣cosθ>0；③|sinθ|<|cosθ|；④sinθ+cosθ>0.【来源：21·世纪·教育·网】
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【规律方法】
三角函数定义解题的技巧
(1)已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值．先求点P到原点的距离，再用三角函数的定义求解．www-2-1-cnjy-com
(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，根据定义中的两个量列方程求参数值．【来源：21cnj*y.co*m】
(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．
(4)已知一角的三角函数值(sin α，c ( http: / / www.21cnjy.com )os α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况．
【跟踪练习】（1）（2021·全国高一课时练习）点是角终边与单位圆的交点，则的值为（ ）【版权所有：21教育】
A． B． C． D．
（2）（2021·会泽县茚旺高级中学（文））在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（ ）21教育名师原创作品
A． B． C． D．
(3)（2021·江西景德镇一中高一期中（文）），，，实数的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
考点四 三角函数值的符号及判定
（1）（2021·全国专题练习）若，则角是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
（2）(多选)在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边经过点P(－1，m)(m>0)，则下列各式的值一定为负的是(　　)21*cnjy*com
A．sin α＋cos α B．sin α－cos α C．sin αcos α D.
【规律方法】
确定三角函数值的符号，可以从确定角的终边所在象限入手进行判断.
【跟踪练习】（1）（2021·陕西高三（文））若是第二象限角，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
（2）（2021·咸阳百灵学校高一月考），则( )
A．，可能是二，四象限 B．，可能是一三象限角
C．，可能是三，四象限角的 D．，可能是二，四象限角
1.（2021·全国）已知角α终边上异于原点的一点P且|PO|＝r，则点P的坐标为（ ）
A．P（sin α，cos α） B．P（cos α，sin α）
C．P（rsin α，rcos α） D．P（rcos α，rsin α）
2.（2021·北京高考真题）若点与点关于轴对称，写出一个符合题意的___．
3.(2020·全国卷Ⅱ)若α为第四象限角，则(　　)
A．cos 2α＞0　　　　　B．cos 2α＜0 C．sin 2α＞0 D．sin 2α＜0
4.（2021·吉林吉林市·高三其他模拟（理））已知是第二象限角，则（ ）
A． B． C． D．
5.（2021·全国高一课时练习）角的终边落在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
6.（2021·全国高一课时练习）终边落在轴上的角的集合是（　　）
A． B．
C． D．
7.（2021·河南焦作·）已知角的终边与300°角的终边重合，则的终边不可能在（ ）．
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
8.（2021·肥城市教学研究中心高三月考）已知圆锥的侧面积（单位：）为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：）是（ ）
A． B． C． D．
9.（2021·全国高三专题练习）若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB＝12 cm，则弧长l等于（ ）
A．π cm B．π cm
C．4 cm D．8 cm
10.（2021·镇远县文德民族中学校高一月考）已知扇形的半径为2，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A．1 B．2 C． D．4
11.（2021·银川三沙源上游学校高一月考（文））扇形的中心角为120°，半径为，则此扇形的面积为（ ）
A． B． C． D．
12.（2021·全国高一课时练习）已知角α的终边经过点，则等于（ ）
A． B． C． D．
13.（2022·全国）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，且cos θ＝－，若点M(x，8)是角θ终边上一点，则x等于（ ）
A．－12 B．－10 C．－8 D．－6
14.（2021·合肥市第六中学高三开学考试（理））将点绕原点逆时针旋转得到点，则点的横坐标为（ ）www.21-cn-jy.com
A． B． C． D．
15.（2021·上海市长征中学）若且，则角是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
16.（2021·广东韶关·）“是三角形的内角”是“”的（ ）
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
17.（2021·全国高一课时练习）已知，则角所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
18.（2020·乌鲁木齐市第三十一中学高一期末）已知，那么是第几象限的角（ ）
A．第一或第二 B．第二或第三
C．第三或第四 D．第一或第四
19.（2021·全国高一课时练习）若，则（ ）
A． B．
C． D．
20.（2021·全国高一课时练习）若角的终边上有一点，且，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
21.（2021·全国高一课时练习）扇形圆心角为，半径为a，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为____．
22.（2021·河北沧州市一中高一开学考试）若一个扇形的圆心角为，面积为，则此扇形的半径为___________.
23.（2020·江苏省滨海中学高三月考）一扇形的周长为7，面积为3，则这扇形的弧所对的圆心角为__________．
24.（2021·全国高一课时练习）已知角的终边上的点满足，则的值为_________．
25.（2021·全国高一课时练习）（1）写出与角终边相同的角的集合M；
（2）把角写成的形式，并指出其是第几象限角；
（3）若角且，求角．
26.（2020·云南省楚雄天人中学）已知一扇形的圆心角为，周长为，面积为，所在圆的半径为.
（1）若，，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
（2）若，，求的值.
考纲解读
核心素养
知识梳理
高频考点
例1
例2
例3
例4
真题演练
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专题四 三角函数与解三角形
01 任意角、弧度制及任意角的三角函数
考纲对本模块内容的具体要求如下：
三角函数是基本初定函数的之一 ( http: / / www.21cnjy.com )，是高考考察的重点内容和热点，在高考中出题主要是以一个小题和一个大题为主，对于三角函数的概念知识的考察主要是以选择或者填空为主，考察以简单为主。21教育网
1. 了解任意角的概念和弧度制的概念.
2. 能进行弧度与角度的互化.
3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．
数学抽象：1.了解任意角的概念，能区分各类角的概念.
2.借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义.
逻辑推理：能根据任意角的概念，结合象限角的概念，分析角、倍角、半角所在象限.
数学运算：1.已知角终边上一点，会求角的各三角函数值.
2.掌握弧度制中扇形的弧长和面积公式及公式的简单应用.
直观想象：掌握角的概念,并会用集合表示象限角.
一、角的概念的推广
(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．
(2)分类
(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．www-2-1-cnjy-com
二、弧度制的定义和公式
(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.
(2)公式：
角α的弧度数公式 |α|＝(弧长用l表示)
角度与弧度的换算 ①1°＝ rad；②1 rad＝
弧长公式 弧长l＝|α|r
扇形面积公式 S＝lr＝|α|r2
三、任意角的三角函数
(1)定义
设角α终边与单位圆交于P(x，y)，则sin α＝y，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．
(2)三角函数值在各象限内符号为正的口诀
一全正，二正弦，三正切，四余弦．
(3)几何表示
三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．
如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线．
常用结论
(1)任意角的三角函数的定义(推广)．
设P(x，y)是角α终边上异于顶点的任一点，其到原点O的距离为r，则sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．
(2)单位圆上任意一点可设为(cos θ，sin θ)(θ∈R)．
(3)若α∈，则sin α＜α＜tan α.
考点一 象限角及终边相同的角
（1）（2021·赤峰二中高三月考（理））若角的终边与240°角的终边相同，则角的终边所在象限是（ ）
A．第二或第四象限 B．第二或第三象限
C．第一或第四象限 D．第三或第四象限
【答案】A
【详解】
由题意，所以，，
当为偶数时，在第二象限，当为奇数时，在第四象限．
故选：A．
（2）（2021·陕西省洛南中学高一月考）与角终边相同的角的集合是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
根据终边相同的角的定义可得.
【详解】
，所以与角终边相同的角的集合是.
故选：B.
【规律方法】
象限角的两种判断方法
(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．
(2)转化法：先将已知角化为k·360 ( http: / / www.21cnjy.com )°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．
【跟踪练习】(1)（2021·横峰中学高一月考（理））已知角第二象限角，且，则角是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】C
【分析】
由是第二象限角，知在第一象限或在第三象限，再由，知，由此能判断出所在象限．
【详解】
因为角第二象限角,所以，
所以，
当是偶数时，设，则，
此时为第一象限角；
当是奇数时，设，则，
此时为第三象限角.；
综上所述：为第一象限角或第三象限角，
因为，所以，所以为第三象限角．
故选：C．
(2)（2021·北京二中高一期末）已知，且是第二象限角，那么的终边在（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】
根据象限角和任意角三角函数的概念，以及倍角公式，进行判断即可.
【详解】
由是第二象限角，
所以，
所以，
由，所以，
所以为第三象限角.
故选：C
考点二 扇形的弧长、面积公式
（1）（2021·安徽合肥市·高三三模（理））在平面直角坐标系中，已知点，，当t由变化到时，线段扫过形成图形的面积等于（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【解析】
根据圆的性质，结合扇形的面积公式、平行线的性质进行求解即可.
【详解】
当时，设点在处，当时，设点在处，如下图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
线段扫过形成图形为坐标系中的阴影部分，
因为轴，所以，
所以线段扫过形成图形的面积为扇形的面积：.
（2）（2021·江苏南通市·高三其他模拟）《掷铁饼者》取材于希腊现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在挪铁饼的过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为，掷铁饼者双手之间的距离约为，“弓”所在圆的半径约为，则挪铁饼者的肩宽约为___________.(精确到)21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】
【解析】
由求出圆弧所对圆心角的大小，再由弧长公式即可求得.
【详解】
如图，，，△AOB中，过O作OM⊥AB于M，
( http: / / www.21cnjy.com / )
则M是弦AB中点，，，，
则，“弓”所在的弧长，
所以其肩宽为.
故答案为：
【规律方法】
解决有关扇形的弧长和面积问题的常用方法及注意事项
1.解决有关扇形的弧长和面积问题时，要注意角的单位，一般将角度化为弧度.
2.求解扇形面积的最值问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决.
3.在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形.
【跟踪练习】（1）（2021·全国高一练习）在直径为的圆中，圆心角所对的弧长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先将角度转化为弧度，再由弧长公式即可求解
【详解】
因为圆的直径为，所以圆的半径
因为，
所以圆心角所对的弧长为,
故选：B.
（2）（2021·河南高一期末）已知某扇形的周长是，面积为，则该扇形的圆心角的弧度数是（ ）【来源：21·世纪·教育·网】
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
设出扇形的半径和弧长，先利用扇形面积公式和周长求出半径和弧长，再利用弧长公式进行求解.
【详解】
设扇形的半径为，所对弧长为，
则有，解得，
故.
故选：.
（3）（2021·全国高一期末）若扇形周长为20，当其面积最大时，其内切圆的半径r为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先根据扇形周长求解出面积取最大值时扇形的圆心角和半径，然后根据图形中的内切关系得到关于内切圆半径的等式，由此求解出的值.
【详解】
设扇形的半径为，圆心角为，面积为，因为，
所以，取等号时，即，
所以面积取最大值时，
如下图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
设内切圆圆心为，扇形过点的半径为，为圆与半径的切点，
因为，所以，所以，
所以，
考点三 三角函数的定义及应用
（1）（2021·西安市经开第一中学高三其他模拟（理））若点在角的终边上，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
因为点在角的终边上，
所以，
则，
故选：B.
（2）已知角α的终边上一点P(－，m)(m≠0)，且sin α＝，则cos α＝________，tan α＝________.
【解析】设P(x，y)．由题设知x＝－ ( http: / / www.21cnjy.com )，y＝m，所以r2＝|OP|2＝(－)2＋m2(O为原点)，即r＝，所以sin α＝＝＝＝，所以r＝＝2，即3＋m2＝8，解得m＝±.
当m＝时，r＝2，x＝－，y＝，所以cos α＝＝＝－，tan α＝＝－；
当m＝－时，r＝2，x＝－，y＝－，
所以cos α＝＝＝－，tan α＝＝.
【答案】－　－或
（3）（2020·云南省楚雄天人中学）若θ∈（，），则下列各式中正确的有的个数是（ ）
①sinθ+cosθ<0；②sinθ﹣cosθ>0；③|sinθ|<|cosθ|；④sinθ+cosθ>0.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】
在单位圆中利用三角函数线比较大小即可
【详解】
如图，因为θ∈（，），所以，且，
所以，，，
所以①错误，②正确，③错误，④正确，
故选：B
( http: / / www.21cnjy.com / )
【规律方法】
三角函数定义解题的技巧
(1)已知角α终边上一点P的坐标，可求角α的三角函数值．先求点P到原点的距离，再用三角函数的定义求解．
(2)已知角α的某三角函数值，可求角α终边上一点P的坐标中的参数值，根据定义中的两个量列方程求参数值．
(3)已知角α的终边所在的直线方程或角α的大小，根据三角函数的定义可求角α终边上某特定点的坐标．
(4)已知一角的三角函数值(sin α， ( http: / / www.21cnjy.com )cos α，tan α)中任意两个的符号，可分别确定出角终边所在的可能位置，二者的交集即为该角的终边位置．注意终边在坐标轴上的特殊情况．
【跟踪练习】（1）（2021·全国高一课时练习）点是角终边与单位圆的交点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据三角函数的定义得，再利用终边相同的角即可得出结论．
【详解】
由题意得，
故选：A．
（2）（2021·会泽县茚旺高级中学（文））在平面直角坐标系中，若角的终边经过点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据三角函数定义求解即可.
【详解】
角的终边经过点，即，则.
故选：A.
(3)（2021·江西景德镇一中高一期中（文）），，，实数的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用三角函数的诱导公式及正切函数的单调性判断与的大小，再比较与，则答案可求．
【详解】
解：，
，
，
在上单调递增，，即，
因为
综上，，即．
故选：A
考点四 三角函数值的符号及判定
（1）（2021·全国专题练习）若，则角是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】D
【详解】
由可得是第三象限或第四象限角，
由可得是第二象限或第四象限角，
故角是第四象限角.
故选：D.
（2）(多选)在平面直角坐标系xOy中，角α以Ox为始边，终边经过点P(－1，m)(m>0)，则下列各式的值一定为负的是(　　)www.21-cn-jy.com
A．sin α＋cos α B．sin α－cos α C．sin αcos α D.
【答案】CD
【解析】由已知得r＝|OP|＝，则sin ( http: / / www.21cnjy.com )α＝ >0，cos α＝－<0，tan α＝－m<0，∴sin α＋cos α的符号不确定，sin α－cos α>0，sin αcos α<0，＝cos α<0.
故选C、D.
【规律方法】
确定三角函数值的符号，可以从确定角的终边所在象限入手进行判断.
【跟踪练习】（1）（2021·陕西高三（文））若是第二象限角，则下列不等式正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
根据是第二象限角，分别求出四个选项中角所在的象限，再判断三角函数的符号，即可求解.
【详解】
对于A：因为，所以，
所以是第三象限角，所以，故选项A不正确；
对于B：因为，所以，当时，，此时是第一象限角，
当时，，此时是第三象限角，
所以是第一或第三象限角，所以，故选项B正确；
对于C：因为，所以，所以是第三或第四象限角或终边落在轴非正半轴，所以，故选项C不正确；
对于D：因为，所以，所以是第三象限角，所以，故选项D不正确；
故选：B.
（2）（2021·咸阳百灵学校高一月考），则( )
A．，可能是二，四象限 B．，可能是一三象限角
C．，可能是三，四象限角的 D．，可能是二，四象限角
【答案】A
【分析】
题目考察任意角三角函数的定义，由各个象限角三角函数的正负即可判断
【详解】
由可得，与异号，所以，根据任意角三角函数的定义可知，角为第一象限角时，，，不符合题意；角为第二象限角时，，，符合题意；角为第三象限角时，，，不符合题意；角为第一象限角时，，，符合题意；综上，角为第二、四象限角
故选：A
1.（2021·全国）已知角α终边上异于原点的一点P且|PO|＝r，则点P的坐标为（ ）
A．P（sin α，cos α） B．P（cos α，sin α）
C．P（rsin α，rcos α） D．P（rcos α，rsin α）
【答案】D
【分析】
设P（x，y），利用三角函数的定义求解.
【详解】
设P（x，y），则sin α＝，
∴y＝rsin α，
又cos α＝，
∴x＝rcos α，
∴P（rcos α，rsin α），
故选：D.
2.（2021·北京高考真题）若点与点关于轴对称，写出一个符合题意的___．
【答案】（满足即可）
【解析】
根据在单位圆上，可得关于轴对称，得出求解.
【详解】
与关于轴对称，
即关于轴对称，
，
则，
当时，可取的一个值为.
故答案为：（满足即可）.
3.(2020·全国卷Ⅱ)若α为第四象限角，则(　　)
A．cos 2α＞0　　　　　B．cos 2α＜0 C．sin 2α＞0 D．sin 2α＜0
【答案】D
【解析】∵α是第四象限角，
∴－＋2kπ<α<2kπ，k∈Z，∴－π＋4kπ＜2α＜4kπ，k∈Z.
∴角2α的终边在第三、四象限或y轴非正半轴上，∴sin 2α<0，cos 2α可正、可负、可为零．
4.（2021·吉林吉林市·高三其他模拟（理））已知是第二象限角，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
由是第二象限角，可得，，
故选：C
5.（2021·全国高一课时练习）角的终边落在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【分析】
根据周期性知与终边相同，即知终边所在的象限.
【详解】
由，即与终边相同，
∴在第四象限.
故选：D
6.（2021·全国高一课时练习）终边落在轴上的角的集合是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
利用象限角、周线角的定义依次判断选项即可.
【详解】
A表示的角的终边在x轴非负半轴上；
B表示的角的终边x轴上；
C表示的角的终边在y轴上；
D表示的角的终边在y轴非负半轴上.
故选：C
7.（2021·河南焦作·）已知角的终边与300°角的终边重合，则的终边不可能在（ ）．
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【分析】
先求得的表达式，进而可得的表达式，对k赋值，分析即可得答案
【详解】
因为角的终边与300°角的终边重合，
所以，所以，
令，，终边位于第二象限；
令，，终边位于第三象限，
令，，终边位于第四象限，
令，，终边位于第二象限
所以的终边不可能在第一象限，
故选：A
8.（2021·肥城市教学研究中心高三月考）已知圆锥的侧面积（单位：）为，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：）是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用题目所给圆锥侧面展开图的条件列方程组，由此求得底面半径.
【详解】
设圆锥底面半径为，母线长为，则
，解得.
故选：B
9.（2021·全国高三专题练习）若扇形的圆心角是α＝120°，弦长AB＝12 cm，则弧长l等于（ ）21世纪教育网版权所有
A．π cm B．π cm
C．4 cm D．8 cm
【答案】B
【分析】
由圆心角是α＝120°，弦长AB＝12 cm解直角三角形求圆的半径，再由弦长公式求弦长.
【详解】
设扇形的半径为r cm，如图．
由sin 60°＝，得r＝4cm，
∴l＝|α|·r＝×4＝cm，
故选：B.
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10.（2021·镇远县文德民族中学校高一月考）已知扇形的半径为2，面积是2，则扇形的圆心角的弧度数是（ ）21cnjy.com
A．1 B．2 C． D．4
【答案】A
【分析】
由扇形面积公式求解.
【详解】
因为扇形的半径为2，面积是2，
所以，
解得，
故选：A
11.（2021·银川三沙源上游学校高一月考（文））扇形的中心角为120°，半径为，则此扇形的面积为（ ）2-1-c-n-j-y
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
根据已知条件，由扇形的面积公式即可求解.
【详解】
解：因为扇形的中心角为120°，即因为扇形的中心角为，
又半径为，
所以扇形的面积为.
故选：A.
12.（2021·全国高一课时练习）已知角α的终边经过点，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由任意角三角函数的定义可得结果.
【详解】
依题意得.
故选：D.
13.（2022·全国）已知角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，且cos θ＝－，若点M(x，8)是角θ终边上一点，则x等于（ ）2·1·c·n·j·y
A．－12 B．－10 C．－8 D．－6
【答案】D
【分析】
直接利用三角函数的定义的应用求出x的值．
【详解】
角θ的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，且，
若点M（x，8）是角θ终边上一点，
则：x＜0，利用三角函数的定义：，
解得：x=-6．
故选：D．21·cn·jy·com
14.（2021·合肥市第六中学高三开学考试（理））将点绕原点逆时针旋转得到点，则点的横坐标为（ ）【出处：21教育名师】
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
设点所在的终边角为，则点所在终边角为，根据三角函数定义即可计算出结果．
【详解】
设点所在的终边角为，则点所在终边角为
设点的横坐标为，则
又因为，所以
故选：A
15.（2021·上海市长征中学）若且，则角是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【答案】C
【分析】
根据三角函数的正负，直接判断角所在的象限.
【详解】
，所以是第三象限角.
故选：C
16.（2021·广东韶关·）“是三角形的内角”是“”的（ ）
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】
根据充分不必要的定义，结合正弦的正负性、三角形内角的取值范围进行求解判断即可.
【详解】
解：①若是三角形的内角，则，∴，故充分性成立，
②若，可得，（），故必要性不成立，
综上所述，是条件的充分不必要条件．
故选：A．
17.（2021·全国高一课时练习）已知，则角所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】
由三角函数值的符号判断.
【详解】
因为，
所以角所在的象限是第二象限，
故选：B
18.（2020·乌鲁木齐市第三十一中学高一期末）已知，那么是第几象限的角（ ）
A．第一或第二 B．第二或第三
C．第三或第四 D．第一或第四
【答案】C
【分析】
将给定不等式结合有理数的乘法法则转化为两个不等式组，再分别判断即可.
【详解】
由得：或，且角终边不在坐标轴上，
若，由知，角终边在第一或第四象限，由知，角终边在第二或第四象限，于是得角终边在第四象限，【来源：21cnj*y.co*m】
若，由知，角终边在第二或第三象限，由知，角终边在第一或第三象限，于是得角终边在第三象限，【版权所有：21教育】
所以是第三或第四象限的角.
故选：C
19.（2021·全国高一课时练习）若，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
确定出的范围，从而可求得答案
【详解】
因为，
所以为第一象限的角，
所以，
故选：A
20.（2021·全国高一课时练习）若角的终边上有一点，且，则a的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】CD
【分析】
由三角函数的定义结合题意求解即可
【详解】
由三角函数的定义可知，，
，
又，则，
解得或，
故选：CD．
21.（2021·全国高一课时练习）扇形圆心角为，半径为a，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为____．21·世纪*教育网
【答案】
【分析】
先算出扇形的面积，再求出内切圆的半径进而求出圆的面积，最后在作比可求出答案.
【详解】
∵扇形圆心角为，半径为a
∴扇形的面积S1==.
∵扇形的内切圆圆心在圆心角的角平分线上，
∴内切圆的半径为
∴内切圆的面积为.
∴扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为：=
故答案为
22.（2021·河北沧州市一中高一开学考试）若一个扇形的圆心角为，面积为，则此扇形的半径为___________.21*cnjy*com
【答案】
【分析】
根据扇形面积公式直接构造方程求得结果.
【详解】
设扇形的半径为，则，解得：.
故答案为：.
23.（2020·江苏省滨海中学高三月考）一扇形的周长为7，面积为3，则这扇形的弧所对的圆心角为__________．21教育名师原创作品
【答案】或
【分析】
根据扇形的面积计算公式，周长列出方程组，解之可求得扇形的半径和弧长，再根据弧度数公式求得答案.
【详解】
设扇形的半径为r，弧长为l，因为扇形的周长为7，面积为3，所以
，解得或，又，所以或，
故答案为：或.
24.（2021·全国高一课时练习）已知角的终边上的点满足，则的值为_________．
【答案】
【分析】
根据角的终边上的点满足，分角在第一象限和角在第三象限，利用三角函数的定义求解.
【详解】
因为角的终边上的点满足，
当角在第一象限时，在终边上取点，
则，
所以；
当角在第三象限时，在终边上取点，
则，
所以，
综上：，
故答案为：
25.（2021·全国高一课时练习）（1）写出与角终边相同的角的集合M；
（2）把角写成的形式，并指出其是第几象限角；
（3）若角且，求角．
【答案】（1）；（2），第四象限角；（3）.
【分析】
（1）根据，写出终边相等的角的集合即可.
（2）利用周期性，写出与终边相同的最小正角，进而判断所在的象限.
（3）由（1）所得范围，结合给定的范围写出角．
【详解】
（1）由终边相同的角的概念得：．
（2）∵，而是第四象限角，
∴是第四象限角．
（3），又且，
∴取得，．
26.（2020·云南省楚雄天人中学）已知一扇形的圆心角为，周长为，面积为，所在圆的半径为.
（1）若，，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；
（2）若，，求的值.
【答案】（1）5π（cm），25π–50（cm2）；（2）或.
【分析】
（1）由弧长公式计算弧长，弓形面积等于扇形面积减三角形面积，用公式计算即可；
（2）由扇形的周长和面积列出式子，求出弧长和半径，即可求解
【详解】
（1）设弧长为，弓形面积为，
则，，
，
；
（2）由已知得，解得或，
或
考纲解读
核心素养
知识梳理
高频考点
例1
例2
例3
例4
真题演练
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