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专题四 三角函数与解三角形
02 同角三角函数基本关系与诱导公式
考纲对本模块内容的具体要求如下：
同角三角函数基本关系与诱导公式是三 ( http: / / www.21cnjy.com )角函数部分的重要公式之一，高考必考内容，对于这一部分的考察不会单独出题，而是作为一个题目中的一部分来考察，离开诱导公式往往有的题目不好求解，因此这一部分还是一个三角考察的重点.21cnjy.com
1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2 α＋cos2 α＝1，＝tan α；
2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．
数学抽象：1.理解并掌握同角三角函数的基本关系.
2.了解三角函数的诱导公式的意义和作用，理解诱导公式的推导过程.
逻辑推理：1.会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证明.
2.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.
一、同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；
(2)商数关系：tan α＝.
二、诱导公式
组序 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α cos_α
余弦 cos α －cos α cos α －cos_α sin α －sin α
正切 tan α tan α －tan α －tan_α
口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变符号看象限
常用结论
1．同角三角函数关系式的常用变形
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α.
2．诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．
考点一 同角三角函数基本关系式的应用
考法1 已知某个三角函数值，求其余三角函数值
　 （1）（2021·上海格致中学高三三模）已知是第二象限角，且，_________.
【答案】
【解析】
根据角所在的象限，判断正切函数的正负，从而求得结果.
【详解】
由是第二象限角，知，
则
故答案为：
（2）（2021·辽宁葫芦岛市·高三二模）若，为钝角，则的值为___________(用表示).21世纪教育网版权所有
【答案】(亦可)
【解析】
由题知，再根据得，进而得.
【详解】
因为，为钝角，
所以，
又因为，
所以，即，
所以，
故答案为：
考法2 已知tanα，求关于sin α和cos α齐次式的值
　 （2021·全国高一课时练习）已知，则_________；____________．
【答案】
【分析】
根据题意，结合齐次式的性质，上下同除、，计算化简，即可得答案.
【详解】
因为，上下同除得：；
上下同除得：.
故答案为：；
考法3 利用同角三角函数的关系化简、求值
　（2021·全国高一课时练习）化简下列各式：（1）；
（2）．
【答案】（1）1；（2）.
【分析】
（1）根据同角三角函数关系，化简计算，即可得答案.
（2）见切化弦，根据同角三角函数关系，化简计算，即可得答案.
【详解】
（1）原式；
（2）原式．
考法4 利用同角三角函数的关系证明恒等式
　（2020·乌鲁木齐市第三十一中学高一月考）求证：（1）．
（2）．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】
（1）用平方差公式化简，进而利用同角三角函数的平方关系即可证明；
（2）提取公因式，结合同角三角函数的平方关系即可证明.
【详解】
（1）左边=
=右边；
（2）左边=
=右边.
【规律方法】
同角三角函数关系式及变形公式的应用方法
1.利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用可以实现角α的弦切互化.
2.应用公式时注意方程思想的应 ( http: / / www.21cnjy.com )用：对于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.21·cn·jy·com
3.注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
【跟踪练习】（1）（2021·河北衡水市·高三其他模拟）函数且a≠1)的图象过定点Q，且角a的终边也过点Q，则___________.
【答案】
【解析】
首先可得点的坐标，然后可得，然后可求出答案.
【详解】
由题可知点Q(4，2)，所以
所以
故答案为：
（2）（2021·全国高一课时练习）化简．
【答案】
【分析】
利用诱导公式以及同角三角函数基本关系化简即可求解.
【详解】
原式
．
（3）（2021·全国高一课时练习）已知，求下列各式的值．
(1) ；
(2) .
【答案】(1) ；(2)；
【分析】
(1)由商的关系将转化为的表达式，代入求值，(2)利用平方关系和商的关系将转化为的表达式，代入求值.
【详解】
(1)由已知
∴ ，又，
∴ ，
(2)∵ ∴，
又
∴，又，
∴.
（4）（2021·全国）求证：．
【答案】证明见解析
【分析】
作差法，结合同角三角函数的平方关系，即得证
【详解】
证明：
．
所以，即得证
（5）（2021·肥城市教学研究中心高三月考）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用同角三角函数基本关系化弦为切即可求解.
【详解】
由可得，
解得：，
故选：C.
考点二 诱导公式的应用
考法1 利用诱导公式化简、求值
　（1） （2021·江西新余四中高一月考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用诱导公式化简结合已知条件即可求解.
【详解】
，
故选：D.
（2）（2020·富源县第六中学）若，则（ ）
A． B． C． D．0
【答案】D
【分析】
根据两角差的正弦、余弦公式、诱导公式，化简计算，可得的值，即可得答案.
【详解】
原式，
整理得，所以
故选：D
（3）（2021·北京市第四十三中学高一月考）已知，则（ ）
A．2 B．-2 C．0 D．
【答案】B
【分析】
根据，利用诱导公式和商数关系求解.
【详解】
因为，
所以，
，
，
故选：B
考法2 利用诱导公式化简、证明
　（1）（2021·上海高一课时练习）若，则属于第__________象限角.
A．一 B．二 C．三 D．四
【答案】C
【分析】
先利用诱导公式和同角三角函数的关系对化简，得，从而可得，进而可求得答案
【详解】
解：由，得
，
，
所以，
所以，所以属于第三象限的角，
故选：C
（2）（2021·全国）求证：=.
【答案】证明见解析
【分析】
左边由诱导公式平方关系化简变形，右边用诱导公式，商数关系化简变形可证．
【详解】
左边===，
右边===，
所以等式成立.
考法3 诱导公式的综合应用
　已知是第四象限角，.
（1）化简.
（2）若，求的值.
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）．
．
（2）因为，
所以．
因为是第四象限角，所以，
所以．
【规律方法】
1.诱导公式的两个应用
（1）求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.
（2）化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
2.含2π整数倍的诱导公式的应用, ( http: / / www.21cnjy.com )由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.
【跟踪练习】（1）（2021·江西九江市·九江一中高一期中）已知()，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
首先对两边同时平方，求出并进一步精确的范围，同时结合求出，再利用诱导公式化对所求问题化简，进而求解.
【详解】
∵，
∴，即，
∵，∴，∴，
故，
∴，
故，
故选：B.
（2）（2021·全国高一课时练习）已知，那么（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
利用诱导公式求解.
【详解】
因为，
所以，
故选：D
（3）（2020·湖南省邵东市第三中学高一月考）已
（1）化简；
（2）若是第三象限角，且，求；
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根据诱导公式即可化简；
（2）根据诱导公式结合同角三角函数关系式即可求得的值.
【详解】
（1）
（2）由得，∴，
又∵是第三象限角，∴，
∴．
1.（2021·全国高考真题（文））若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由二倍角公式可得，再结合已知可求得，利用同角三角函数的基本关系即可求解.
【详解】
，
，，，解得，
，.
故选：A.
2.（2021·全国）已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
先由正切的诱导公式可得，再结合角的范围及同角三角函数的基本关系，即可求解．
【详解】
由题意得，又，所以
所以，
结合解得，
所以，
故选：B.
3.（2021·全国高考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
将式子进行齐次化处理得：
．
故选：C．
4.（2021·四川成都七中高二开学考试（文））已知的终边在第四象限，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
结合同角三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式求得正确答案.
【详解】
的终边在第四象限，，
所以，
则．
故选：A
5．（2021·蚌埠田家炳中学高一月考）已知是第四象限角，化简为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
由为第四象限角，结合已知条件利用同角三角函数基本关系式求解．
【详解】
∵为第四象限角，
∴.
故选：B
6．（2021·全国高一课时练习）已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
由已知结合同角三角函数的关系可求，然后结合两角差的余弦公式即可求解.
【详解】
解：由得，
又，所以，
因为，
所以，，
因为，
．
故选：C.
7.（2021·河北张家口·高一期末）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用二倍角公式转化后进行弦化切，代入即可求解.
【详解】
由题知，.
故选：A.
8.（2021·南京市秦淮中学）下列等式中恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ACD
【分析】
选项A. 由，可得可判断；选项B. 由可判断；选项C. 可判断；选项D. ，可判断.
【详解】
选项A. 由,则成立，故A 正确.
选项B. 由
当 时，，
则此时，所以B不正确.
选项C.
,故C正确.
选项D.
所以成立，故D正确
故选：ACD
9.（2021·全国高一课时练习）已知则下列三角函数中，与数值相同的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【分析】
利用诱导公式对各个选项化简即可
【详解】
对于A，当时，，所以A错误，
对于B， ，所以B正确，
对于C，，所以C正确，
对于D， ，所以D错误，
故选：BC
10.（2021·广西高三开学考试（理））设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】
利用三角恒等变换化简已知条件，结合同角三角函数的基本关系式，求得.
【详解】
依题意，
，
，
，
，
，代入，
，
化简得，
两边除以，，
，
解得或.
故选：AC
11.（2021·江苏高考真题）已知，且，则的值是_________.
【答案】
【解析】
，因为，所以，所以，所以，所以.
故答案为：.
12.（2021·全国）已知，且，则________．
【答案】
【分析】
利用诱导公式与同角三角函数的基本关系求解即可
【详解】
，
故答案为：
13.（2020·全国高考真题（理））已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
，得，
即，解得或（舍去），
又.
故选：A.
14.（2021·北京二中高三其他模拟）在平面直角坐标系xOy中，角以为始边，终边与单位圆交于点，则的值为（ ）www.21-cn-jy.com
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
由题意可得角的正弦和余弦值，由同角三角函数的基本关系可求出角的正切值，结合诱导公式即可选出正确答案.2·1·c·n·j·y
【详解】
解：由题意知，，则，所以，
故选:C.
15.（2020·江苏省通州高级中学高一月考）（1）已知，求的值；
（2）已知，且，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）运用诱导公式化简再代值即可；
（2）条件先平方，算出即可获解.
【详解】
（1）由题可知
原式
（2）,两边平方可得，解得
，又
，则
所以
16.（2021·河南省实验中学高一期中）（1）已知，求的值
（2）已知，，求的值．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
（1）利用诱导公式、同角三角函数基本关系化简，然后再代值计算即可.
（2）利用同角三角函数间的关系，将平方求出的值，从而求出的值，再由诱导公式将所求式子化简，即可得出答案.
【详解】
(1)
所以
（2）由，则，所以
由，则
设，则
由，所以
17.（2021·江西九江市·九江一中高一期中）已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)；(2)．
【分析】
(1)利用，在已知条件中的等式两边同时除以，然后在等号左端分子分母同时除以，化成正切型的等式，即可求解；【来源：21·世纪·教育·网】
(2)结合(1)中结论对分式的分子分母同时除以，即可求解.
【详解】
\(1)∵，，
∴，
分子分母同时除以得，，解得，.
(2)由(1)中知，，
对分子分母同时除以得，
.
故的值为.
18.（2021·河南高一期末）已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上一点，且.21教育网
（1）求实数的值并计算；
（2）当时，求的值.
【答案】（1），；（2）.
【分析】
（1）结合三角函数的定义列方程，由此求得的值，进而计算出的值.
（2）结合诱导公式、同角三角函数的基本关系式、二倍角公式求得所求表达式的值.
【详解】
（1）点到原点的距离，，，
解得.
所以实数的值为或，此时.
（2）结合（1）得到，此时，，.
.
19.（2021·全国高一课时练习）已知．
（1）化简；
（2）若为第四象限角且，求的值；
（3）若，求．
【答案】（1）；（2）；（3）．
【分析】
（1）根据诱导公式化简即可；
（2）由诱导公式得，再代入（1）即可得答案；
（3）代入（1），利用诱导公式化简求值即可.
【详解】
（1）．
（2）因为，
所以．
（3）因为，，
所以
．
20.（2021·全国高一课时练习）已知．求下列各式的值：
（1）；
（2）．
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】
（1）利用诱导公式化简再根据商数关系求解；
（2）利用商数关系求解.
【详解】
（1）原式．
（2）原式
．
21.（2021·全国）已知是方程的根．求的值．
【答案】．
【分析】
由题意解一元二次方程可求，利用诱导公式化简所求，利用同角三角函数基本关系式即可计算得解．
【详解】
由是方程的根，可得或（舍），
原式
．
由，可知是第三象限或者第四象限角，
当是第三象限时，，；
当是第四象限时，，；
所以或，
即所求式子的值为．
考纲解读
核心素养
知识梳理
高频考点
例1.1
例1.2
例1.3
例1.4
例2.1
例2.2
例2.3
真题演练
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专题四 三角函数与解三角形
02 同角三角函数基本关系与诱导公式
考纲对本模块内容的具体要求如下：
同角三角函数基本关系与诱导公式是 ( http: / / www.21cnjy.com )三角函数部分的重要公式之一，高考必考内容，对于这一部分的考察不会单独出题，而是作为一个题目中的一部分来考察，离开诱导公式往往有的题目不好求解，因此这一部分还是一个三角考察的重点.21cnjy.com
1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2 α＋cos2 α＝1，＝tan α；
2.能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．
数学抽象：1.理解并掌握同角三角函数的基本关系.
2.了解三角函数的诱导公式的意义和作用，理解诱导公式的推导过程.
逻辑推理：1.会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证明.
2.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题.
一、同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：sin2α＋cos2α=_____；
(2)商数关系：tan α＝_____.
二、诱导公式
组序 一 二 三 四 五 六
角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α
正弦 _____ _____ _____ _____ _____ _____
余弦 _____ _____ _____ _____ _____ _____
正切 _____ _____ _____ _____
口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变符号看象限
常用结论
1．同角三角函数关系式的常用变形
(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α；sin α＝tan α·cos α.
2．诱导公式的记忆口诀
“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的变化．
考点一 同角三角函数基本关系式的应用
考法1 已知某个三角函数值，求其余三角函数值
　 （1）（2021·上海格致中学高三三模）已知是第二象限角，且，_________.
（2）（2021·辽宁葫芦岛市·高三二模）若，为钝角，则的值为___________(用表示).21世纪教育网版权所有
考法2 已知tanα，求关于sin α和cos α齐次式的值
　 （2021·全国高一课时练习）已知，则_________；____________．
考法3 利用同角三角函数的关系化简、求值
　（2021·全国高一课时练习）化简下列各式：（1）；
（2）．
考法4 利用同角三角函数的关系证明恒等式
　（2020·乌鲁木齐市第三十一中学高一月考）求证：（1）．
（2）．
【规律方法】
同角三角函数关系式及变形公式的应用方法
1.利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用可以实现角α的弦切互化.
2.应用公式时注意方程思想的应用：对 ( http: / / www.21cnjy.com )于sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α这三个式子，利用(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α，可以知一求二.21教育网
3.注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－cos2α，cos2α＝1－sin2α.
【跟踪练习】（1）（2021·河北衡水市·高三其他模拟）函数且a≠1)的图象过定点Q，且角a的终边也过点Q，则___________.
（2）（2021·全国高一课时练习）化简．
（3）（2021·全国高一课时练习）已知，求下列各式的值．
(1) ；
(2) .
（4）（2021·全国）求证：．
（5）（2021·肥城市教学研究中心高三月考）若，则（ ）
A． B． C． D．
考点二 诱导公式的应用
考法1 利用诱导公式化简、求值
　（1） （2021·江西新余四中高一月考）已知，则（ ）
A． B． C． D．
（2）（2020·富源县第六中学）若，则（ ）
A． B． C． D．0
（3）（2021·北京市第四十三中学高一月考）已知，则（ ）
A．2 B．-2 C．0 D．
考法2 利用诱导公式化简、证明
　（1）（2021·上海高一课时练习）若，则属于第__________象限角.
A．一 B．二 C．三 D．四
（2）（2021·全国）求证：=.
考法3 诱导公式的综合应用
　已知是第四象限角，.
（1）化简.
（2）若，求的值.
【规律方法】
1.诱导公式的两个应用
（1）求值：负化正，大化小，化到锐角为终了.
（2）化简：统一角，统一名，同角名少为终了.
2.含2π整数倍的诱导公式的应用, ( http: / / www.21cnjy.com )由终边相同的角的关系可知，在计算含有2π的整数倍的三角函数式中可直接将2π的整数倍去掉后再进行运算，如cos(5π－α)＝cos(π－α)＝－cos α.
【跟踪练习】（1）（2021·江西九江市·九江一中高一期中）已知()，则（ ）
A． B． C． D．
（2）（2021·全国高一课时练习）已知，那么（ ）
A． B． C． D．
（3）（2020·湖南省邵东市第三中学高一月考）已
（1）化简；
（2）若是第三象限角，且，求；
1.（2021·全国高考真题（文））若，则（ ）
A． B． C． D．
2.（2021·全国）已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
3.（2021·全国高考真题）若，则（ ）
A． B． C． D．
4.（2021·四川成都七中高二开学考试（文））已知的终边在第四象限，若，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2021·蚌埠田家炳中学高一月考）已知是第四象限角，化简为（ ）
A． B． C． D．
6．（2021·全国高一课时练习）已知，则等于（ ）
A． B． C． D．
7.（2021·河北张家口·高一期末）若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8.（2021·南京市秦淮中学）下列等式中恒成立的是（ ）
A． B．
C． D．
9.（2021·全国高一课时练习）已知则下列三角函数中，与数值相同的是（ ）
A． B．
C． D．
10.（2021·广西高三开学考试（理））设，则（ ）
A． B． C． D．
11.（2021·江苏高考真题）已知，且，则的值是_________.
12.（2021·全国）已知，且，则________．
13.（2020·全国高考真题（理））已知，且，则（ ）
A． B． C． D．
14.（2021·北京二中高三其他模拟）在平面直角坐标系xOy中，角以为始边，终边与单位圆交于点，则的值为（ ）21·cn·jy·com
A． B． C． D．
15.（2020·江苏省通州高级中学高一月考）（1）已知，求的值；
（2）已知，且，求的值.
16.（2021·河南省实验中学高一期中）（1）已知，求的值
（2）已知，，求的值．
17.（2021·江西九江市·九江一中高一期中）已知．
(1)求的值；
(2)求的值．
18.（2021·河南高一期末）已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上一点，且.www.21-cn-jy.com
（1）求实数的值并计算；
（2）当时，求的值.
19.（2021·全国高一课时练习）已知．
（1）化简；
（2）若为第四象限角且，求的值；
（3）若，求．
20.（2021·全国高一课时练习）已知．求下列各式的值：
（1）；
（2）．
21.（2021·全国）已知是方程的根．求的值．
考纲解读
核心素养
知识梳理
高频考点
例1.1
例1.2
例1.3
例1.4
例2.1
例2.2
例2.3
真题演练
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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