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专题四 三角函数与解三角形
03 三角函数的图象与性质
考纲对本模块内容的具体要求如下：
三角函数的图象与性质是高中知识的重点，也是高考考查的重点、热点。常结合三角函数公式的化简进行考查，必须掌握该知识点：21世纪教育网版权所有
1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性.
2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性．【来源：21·世纪·教育·网】
数学抽象：1.了解三角函数图象的画法，理解并掌握函数的性质.
2.理解周期函数、周期、最小正周期的定义.
逻辑推理：能利用函数的图象和性质解决有关问题.
数学运算：1.会求正弦、余弦和正切函数的周期.
2.掌握三角函数的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性.
3.会求简单三角函数的值域和最值，并能利用单调性比较大小.
直观想象：能利用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.
一、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]图象五个关键点：____，____，____，____，____．
余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]图象五个关键点：____，____，____，____，____．
二、正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域
值域
单调性
奇偶性
对称性
周期性
[常用结论]
若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则：
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．
考点一 三角函数的定义域和值域
（1）（2021·全国高一课时练习）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
（2）（2021·上海外国语大学附属大境中学高三月考）已知．在内的值域为，则的取值范围是（ ）21教育网
A． B．
C． D．
【规律方法】
1.三角函数定义域的求法,求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式 组 ，常借助三角函数线或三角函数图象来求解.21cnjy.com
2.求三角函数最值或值域的常用方法
直接法：直接利用sin x和cos x的值域求解.
化一法：把所给三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域.
换元法：把sinx，cosx，sinxcosx或sin x±cos x换成t，转化为二次函数求解.
【规律方法】（1）（2021·全国高一课时练习）函数的定义域为_________，值域为_________．21·cn·jy·com
（2）（2021·全国高三专题练习）函数（）的值域是__________．
考点二 三角函数的单调性
(1)（2021·全国高考真题）下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A． B． C． D．
(2)（2021·河北正定中学高一月考 ( http: / / www.21cnjy.com )）定义在R上的函数f（x）满足f（x＋2）＝f（x），当x∈[3，5]时，f（x）＝1-|x-4|，则下列不等式成立的是（ ）www.21-cn-jy.com
A． B．
C． D．
【规律方法】
1.求三角函数单调区间的两种方法
代换法：求形如y＝Asin(ωx＋φ) ( http: / / www.21cnjy.com )(ω＞0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.若ω＜0，应先用诱导公式化x的系数为正数，以防止把单调性弄错.
图象法：画出三角函数的图象，利用图象求它的单调区间.
2.已知三角函数的单调区间求参数，先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.
【跟踪练习】（1）（2021·广东高三月考）若函数在区间上单调递减，则实数的值可以为（ ）2-1-c-n-j-y
A． B． C． D．
（2）（2021·河南新乡县高中高一月考）下列关系式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
（3）（2021·长宁·上海市延安中学）函数单调减区间为_________
考点三 三角函数的奇偶性、周期性及对称性
考法1 三角函数的周期性
（2021·全国高三专题练习）设函数（A，，是常数，，），若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为___________.21*cnjy*com
考法2 三角函数的奇偶性
(1)（2021·全国）函数f（x）=是（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
(2)已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x＋θ)，θ∈是偶函数，则θ的值为(　　)
A．0 B. C. D.
考法3 三角函数的对称性
（1）（2021·江西九江市·九江一中高一期中）函数图象的对称轴方程为（ ）
A． B．
C． D．
（2）（2021·全国高一课时练习）函数的图象的一个对称中心为__________．
（3）（2021·全国高一课时练习）若函数对任意的x都有，则等于（ ）
A．3或0 B．或0 C．0 D．或3
【规律方法】
1.对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点.2·1·c·n·j·y
2.求三角函数周期的方法
(1)利用周期函数的定义.
(2)利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.21·世纪*教育网
【跟踪练习】（1）（2021·全国高一课时练习）已知函数是奇函数，当时的值为（ ）
A． B． C． D．
（2）（2021·肥城市教学研究中心高三月考）设函数，则下列结论错误的是（ ）
A．的周期为
B．在上单调递减
C．在上单调递增
D．的图象关于直线对称
（3）（2021·邵东市第一中学高三月考）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的周期为 B．函数图象的一条对称轴为直线
C．函数在上单调递增 D．函数的最小值为
1.（2021·江苏高考真题）若函数的最小正周期为，则它的一条对称轴是（ ）
A． B． C． D．
2.（2021·北京高考真题）函数是
A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为
3.（2021·全国高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
4.（2021·全国高考真题（文））函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A．和 B．和2 C．和 D．和2
5.（2021·三亚华侨学校高二期中）函数在区间的简图是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
6.（2021·河南高一期末）设函数图象的一条对称轴方程为，若时，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7.（2021·河南高三月考（文））已知函数（，）的图象的相邻两条对称轴间的距离为，．则下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）www-2-1-cnjy-com
A． B． C． D．
8.（2021·肇州县第二中学高二期末）已知函数，则（ ）
A．函数的图象向右平移个单位长度可得到的图象
B．是函数的一条对称轴
C．是函数的一个对称中心
D．函数在上的最小值为
9.（2021·河北高一月考）下列函数中，既为偶函数又在上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
10.（2021·全国高一课时练习）同时具有性质：①最小正周期是；②图象关于直线对称；③在上是增函数，这样的一个函数不可能为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A． B． C． D．
11.（2021·全国高二课时练习）设函数，若是奇函数，则______；若是偶函数，则______．【出处：21教育名师】
12.（2021·全国高三专题练习）函数的定义域是___________.
13.（2021·全国高一课时练习）函数在上的递增区间为______．
14.（2021·山西祁县中学高三月考（理））关于函数有下述四个结论：
①是偶函数；
②在区间单调递减；
③在有4个零点；
④的最大值为2.
其中所有正确结论的编号是______．
15.（2021·上海普陀·曹杨二中）若是偶函数，则实数___________.
16.（2021·山东高考真题）已知函数，，，函数的部份图象如下图，求
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）函数的最小正周期及的值：
（2）函数的单调递增区间．
17.（2021·浙江高考真题）设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的最大值.
18.（2021·天津北京师范大学静海附属学校高一月考）已知，，
（1）求的最小正周期及单调递减区间；
（2）求函数在区间上的取值范围.
19.（2021·鹤庆县第一中学高一期末）已知函数.
（1）求的定义域及最小正周期；
（2）求的单调递增区间.
20.（2021·东台创新高级中学高一月考）已知函数.
（1）求的定义域与最小正周期；
（2）讨论在区间上的单调性.
（3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
考纲解读
核心素养
知识梳理
高频考点
例1
例2
例3.1
例3.2
例3.3
真题演练
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专题四 三角函数与解三角形
03 三角函数的图象与性质
考纲对本模块内容的具体要求如下：
三角函数的图象与性质是高中知识的重点，也是高考考查的重点、热点。常结合三角函数公式的化简进行考查，必须掌握该知识点：21cnjy.com
1.能画出y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象，了解三角函数的周期性.
2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等)，理解正切函数在区间内的单调性．【来源：21·世纪·教育·网】
数学抽象：1.了解三角函数图象的画法，理解并掌握函数的性质.
2.理解周期函数、周期、最小正周期的定义.
逻辑推理：能利用函数的图象和性质解决有关问题.
数学运算：1.会求正弦、余弦和正切函数的周期.
2.掌握三角函数的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性.
3.会求简单三角函数的值域和最值，并能利用单调性比较大小.
直观想象：能利用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线.
一、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y＝sin x，x∈[0,2π]图象五个关键点：(0,0)，，(π，0)，，(2π，0)．
余弦函数y＝cos x，x∈[0,2π]图象五个关键点：(0,1)，，(π，－1)，，(2π，1)．www-2-1-cnjy-com
二、正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R
值域 [－1,1] [－1,1] R
单调性 递增区间：，k∈Z，递减区间：，k∈Z 递增区间：[2kπ－π，2kπ]，k∈Z，递减区间：[2kπ，2kπ＋π]，k∈Z 递增区间，k∈Z
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称性 对称中心(kπ，0)，k∈Z 对称中心，k∈Z 对称中心，k∈Z
对称轴x＝kπ＋(k∈Z) 对称轴x＝kπ(k∈Z)
周期性 2π 2π π
[常用结论]
若f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω≠0)，则：
(1)f(x)为偶函数的充要条件是φ＝＋kπ(k∈Z)；
(2)f(x)为奇函数的充要条件是φ＝kπ(k∈Z)．
考点一 三角函数的定义域和值域
（1）（2021·全国高一课时练习）函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由且可求出函数的定义域
【详解】
由题意得且，
由，得，
由，得，
所以或，
所以函数的定义域为，
故选：D
（2）（2021·上海外国语大学附属大境中学高三月考）已知．在内的值域为，则的取值范围是（ ）21世纪教育网版权所有
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
根据题意作出余弦函数图象，分析值域为时对应的定义域，由此得到关于的不等式并求解出结果.
【详解】
因为，所以，
又因为的值域为，结合余弦函数图象（如下图）：
( http: / / www.21cnjy.com / )
可知，所以解得，
故选：D.
【规律方法】
1.三角函数定义域的求法,求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式 组 ，常借助三角函数线或三角函数图象来求解.21·世纪*教育网
2.求三角函数最值或值域的常用方法
直接法：直接利用sin x和cos x的值域求解.
化一法：把所给三角函数化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，由正弦函数单调性写出函数的值域.
换元法：把sinx，cosx，sinxcosx或sin x±cos x换成t，转化为二次函数求解.
【规律方法】（1）（2021·全国高一课时练习）函数的定义域为_________，值域为_________．2-1-c-n-j-y
【答案】
【分析】
根据对数函数的性质及正弦函数的性质计算可得；
【详解】
解：因为，所以，解得，所以，，故函数的定义域为，，因为，所以，所以
故答案为：，；；
（2）（2021·全国高三专题练习）函数（）的值域是__________．
【答案】
【分析】
由题意得到，整理得，看出关于的一元二次方程，设，转化为在上有实根，结合二次函数的性质，即可求解.21*cnjy*com
【详解】
由，可得，即，
整理得，
将上述方程看成关于的一元二次方程，因为，可得，
设，可得，
则关于t的一元二次方程在上有实根，令，
因为，，
则满足，即，解得．
即函数的值域是．
故答案为：．
考点二 三角函数的单调性
(1)（2021·全国高考真题）下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
解不等式，利用赋值法可得出结论.
【详解】
因为函数的单调递增区间为，
对于函数，由，
解得，
取，可得函数的一个单调递增区间为，
则，，A选项满足条件，B不满足条件；
取，可得函数的一个单调递增区间为，
且，，CD选项均不满足条件.
故选：A.
(2)（2021·河北正定中学高一月考） ( http: / / www.21cnjy.com )定义在R上的函数f（x）满足f（x＋2）＝f（x），当x∈[3，5]时，f（x）＝1-|x-4|，则下列不等式成立的是（ ）【出处：21教育名师】
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
利用已知条件求出函数在[-1,1]上的函数解析式，确定其单调性，结合正弦函数余弦函数的单调性比较大小.【版权所有：21教育】
【详解】
∵当x∈[3，5]时，，f（x＋2）＝f（x），
∴ 当x∈[-1，1]时，，
当x∈[0，1]时，，∴ 函数f（x）在上为减函数，
又 ，∴ ，A错，
，∴ ，B错，
由已知，，
∴ ，
，，
又，
∴ ，，
∴ ，D错，
故选：C.
【规律方法】
1.求三角函数单调区间的两种方法
代换法：求形如y＝Asin(ωx ( http: / / www.21cnjy.com )＋φ)(ω＞0)的单调区间时，要视“ωx＋φ”为一个整体，通过解不等式求解.若ω＜0，应先用诱导公式化x的系数为正数，以防止把单调性弄错.
图象法：画出三角函数的图象，利用图象求它的单调区间.
2.已知三角函数的单调区间求参数，先求出函数的单调区间，然后利用集合间的关系求解.
【跟踪练习】（1）（2021·广东高三月考）若函数在区间上单调递减，则实数的值可以为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
将函数化为，求出的范围，再根据正弦函数的单调性列出不等式组，即可得出答案.
【详解】
解：，
因为，则，
又因函数在区间上单调递减，
所以，解得.
当时，.
故选：B.
（2）（2021·河南新乡县高中高一月考）下列关系式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
先根据诱导公式得到和，再结合正弦函数的单调性可得到从而可确定答案．
【详解】
解：，
．
又在，上是增函数，
，即．
故选：．
（3）（2021·长宁·上海市延安中学）函数单调减区间为_________
【答案】
【分析】
先求出函数的单调递减区间，再将区间与定义域取交集可得出答案．
【详解】
正弦函数的单调递减区间为，
由，得，
记，则，
故答案为：.
考点三 三角函数的奇偶性、周期性及对称性
考法1 三角函数的周期性
（2021·全国高三专题练习）设函数（A，，是常数，，），若在区间上具有单调性，且，则的最小正周期为___________.
【答案】
【分析】
根据给定条件可确定周期，再由给定等式确定的一个对称中心和一条对称轴，由此计算即得.
【详解】
令的周期为T，又在区间上具有单调性可得，即，
由在区间上具有单调性，且，可知函数的一个对称中心为，
由知函数的一条对称轴为直线，而，即点与直线是的对称中心与相邻对称轴，
于是得，解得.
故答案为：
考法2 三角函数的奇偶性
(1)（2021·全国）函数f（x）=是（ ）
A．奇函数 B．偶函数
C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数
【答案】C
【分析】
根据分母不为零和正弦函数值求出函数的定义域，判断出不关于原点对称，也不关于y轴对称，则f（x）是非奇非偶函数www.21-cn-jy.com
【详解】
由1+sinx≠0得sinx≠-1，
所以
所以函数f（x）的定义域为，不关于原点对称，也不关于y轴对称，所以f（x）是非奇非偶函数.
(2)已知函数f(x)＝sin(x＋θ)＋cos(x＋θ)，θ∈是偶函数，则θ的值为(　　)
A．0 B. C. D.
答案 B　
解析：∵，
∴要使f(x)为偶函数，只需θ＋＝kπ＋，k∈Z.
∴θ＝kπ＋，k∈Z.
又θ∈，∴当k＝0时， θ＝.
考法3 三角函数的对称性
（1）（2021·江西九江市·九江一中高一期中）函数图象的对称轴方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
利用正弦函数的对称轴方程，代入求解即可.
【详解】
的对称轴为，令，解得
.
故选：A.
（2）（2021·全国高一课时练习）函数的图象的一个对称中心为__________．
【答案】（答案不唯一）
【分析】
先根据二倍角公式将函数进行化简为，再整体法求出对称中心即可．
【详解】
得， 故图象的对称中心为（）当k=1 ,其一个对称中心为
故答案为：（答案不唯一）
（3）（2021·全国高一课时练习）若函数对任意的x都有，则等于（ ）
A．3或0 B．或0 C．0 D．或3
【答案】D
【分析】
是的一条对称轴，故而为的最大值或最小值．
【详解】
任意实数都有恒成立，
是的一条对称轴，当时，取得最大值3或最小值．
故选：．
【规律方法】
1.对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，其对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心的横坐标一定是函数的零点.
2.求三角函数周期的方法
(1)利用周期函数的定义.
(2)利用公式：y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期为.
【跟踪练习】（1）（2021·全国高一课时练习）已知函数是奇函数，当时的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】
利用整体思想求出的表达式，再对k赋值即可
【详解】
函数是奇函数，故，对照选项只有k =0时，选项B符合题意
故选：B
（2）（2021·肥城市教学研究中心高三月考）设函数，则下列结论错误的是（ ）
A．的周期为
B．在上单调递减
C．在上单调递增
D．的图象关于直线对称
【答案】D
【分析】
对于选项A：利用最小正周期公式即可判断命题；对于选项BCD：利用余弦函数图像性质即可判断命题.
【详解】
对于选项A：由最小正周期公式可得，，故A正确；
对于选项B：结合余弦函数图像性质，单调减区间求法如下：
令，即，
当时，即在单调递减，而，故B正确；
对于选项C：结合余弦函数图像性质，单调增区间求法如下：
令，即，
当时，即在单调递增，而，故C正确；
对于选项D：结合余弦函数图像性质，对称轴求法如下：
令，即，
故的对称轴：，
不妨令，解得，，故D错误.
故选：D.
（3）（2021·邵东市第一中学高三月考）已知函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的周期为 B．函数图象的一条对称轴为直线
C．函数在上单调递增 D．函数的最小值为
【答案】ABD
【分析】
对函数进行化简，转化为正弦型函数，进而利用性质判断出结果即可.
【详解】
解：函数
.
所以函数的周期为，故A选项正确；
当时，，所以直线是函数图象的一条对称轴，故B选项正确；
当，则，由正弦函数性质可知，此时单调递减，故C选项错误；
由可知，当时，取得最小值为，故D选项正确.
故选：ABD.
1.（2021·江苏高考真题）若函数的最小正周期为，则它的一条对称轴是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
由，可得，所以，令，得，从而可得到本题答案.
【详解】
由题，得，所以，
令，得，
所以的对称轴为，
当时，，
所以函数的一条对称轴为.
故选：A
2.（2021·北京高考真题）函数是
A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2
C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为
【答案】D
【分析】
由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数的性质可判断最大值.
【详解】
由题意，，所以该函数为偶函数，
又，
所以当时，取最大值.
故选：D.
3.（2021·全国高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】
根据二次函数的性质可判断选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出不符合题意，符合题意．2·1·c·n·j·y
【详解】
对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；
对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；
对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；
对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．
故选：C．
4.（2021·全国高考真题（文））函数的最小正周期和最大值分别是（ ）
A．和 B．和2 C．和 D．和2
【答案】C
【分析】
利用辅助角公式化简，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.
【详解】
由题，，所以的最小正周期为，最大值为.
故选：C．
5.（2021·三亚华侨学校高二期中）函数在区间的简图是（ ）
A． ( http: / / www.21cnjy.com / ) B． ( http: / / www.21cnjy.com / )
C． ( http: / / www.21cnjy.com / ) D． ( http: / / www.21cnjy.com / )
【答案】D
【分析】
利用排除法，先取特殊值，再通过求函数的单调区间判断
【详解】
解：因为，所以排除AC，
由得，
所以可知函数在上递减，上递增，所以排除B，
故选：D
6.（2021·河南高一期末）设函数图象的一条对称轴方程为，若时，，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
首先由三角恒等变换化简，由已知对称轴方程以及的范围可得的值，结合正弦函数的性质可知的最小值为即可求解.21教育网
【详解】
，
所以.
令，可得，
因为，所以，，
所以，
若时，，得到.
故选：.
7.（2021·河南高三月考（文））已知函数（，）的图象的相邻两条对称轴间的距离为，．则下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
由题意可得的周期可得的值，再由可得的值，进而可得的解析式，利用余弦函数的单调递增区间逐一检验四个选项即可得正确选项.
【详解】
因为函数的图象的相邻两条对称轴间的距离为，
所以的周期，可得，
所以，
因为，所以，
因为，所以，
所以，
令，
可得，
所以在单调递增，在上单调递减，
因为，，
所以选项A，B不正确；
在上单调递减，在上单调递增，
故选项C不正确；
因为，所以在上单调递增，故选项D正确；
故选：D.
8.（2021·肇州县第二中学高二期末）已知函数，则（ ）
A．函数的图象向右平移个单位长度可得到的图象
B．是函数的一条对称轴
C．是函数的一个对称中心
D．函数在上的最小值为
【答案】B
【分析】
根据平移变换的原则，可判断A的正误；代入检验，根据余弦型函数的对称性，可判断B、C的正误，根据x的范围，可得的范围，结合余弦型函数性质，可判断D的正误，即可得答案.21教育名师原创作品
【详解】
对于A：函数的图象向右平移个单位长度可得，故A错误.
对于B： ，
所以为函数的一条对称轴，故B正确；
对于C：，
所以不是函数的一个对称中心，故C错误；
对于D：因为，所以，根据余弦型函数性质可得，
当时，即时，有最小值，且为，故D错误.
故选：B
9.（2021·河北高一月考）下列函数中，既为偶函数又在上单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【分析】
根据正弦函数和余弦函数的图象及性质逐项判断.
【详解】
∵ ，∴函数为偶函数，
又时，，且函数在时为减函数，
∴ 函数在上单调递增，A对，
∵ ，
∴函数为偶函数，
当时，，函数在上单调递增，
∴ 函数在上单调递增，B对，
∵ ，∴ 函数在上单调递减，C错，
∵ ，∴ 函数为奇函数，∴ D错，
故选：AB.
10.（2021·全国高一课时练习）同时具有性质：①最小正周期是；②图象关于直线对称；③在上是增函数，这样的一个函数不可能为（ ）21·cn·jy·com
A． B． C． D．
【答案】ABD
【分析】
利用正余弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．
【详解】
由于的最小正周期为，不满足①，故不可能．
由于，在上，，，
故在上单调递减，不满足③，故不可能．
对于的最小正周期为；
当时，函数取得最大值为1，故图象关于直线对称；
在上，，，故在上是增函数，故满足题中的三个条件．
由于的最小正周期为，不满足①，故不可能，
故选：．
11.（2021·全国高二课时练习）设函数，若是奇函数，则______；若是偶函数，则______．21*cnjy*com
【答案】
【分析】
先求导得到，借助辅助角公式可得
，若是奇、偶函数，分别令
，即得解
【详解】
，
．
若为奇函数，则，又，所以．
若是偶函数，则，又，所以．
故答案为：，
12.（2021·全国高三专题练习）函数的定义域是___________.
【答案】（）
【分析】
根据题意，可知，结合三角函数的图像与性质，数形结合即可求解.
【详解】
要使函数有意义，
必须且只需，即，
由的图象（如图1-87所示）可知，使的取值区间是（）；
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由的图象（如图1-88所示）可知，
使的取值区间是（）.
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∵是的真子集，
∴函数的定义域为（）.
故答案为：（）.
13.（2021·全国高一课时练习）函数在上的递增区间为______．
【答案】
【分析】
根据正弦函数的单调区间即可求解.
【详解】
因为在上的递增区间为，
所以函数在上的递增区间为，
故答案为：.
14.（2021·山西祁县中学高三月考（理））关于函数有下述四个结论：
①是偶函数；
②在区间单调递减；
③在有4个零点；
④的最大值为2.
其中所有正确结论的编号是______．
【答案】①②④
【分析】
利用函数奇偶性的概念即可判断①；
由，去掉绝对值，得，再根据正弦函数的单调性可判断②；
由函数是偶函数，则只需要考虑[0，π]上的零点个数，，再根据正弦函数的零点即可判断③；
由函数是偶函数，则考虑的情况即可，写出分段函数解析式即可判断④．
【详解】
①函数的定义域为R，又，
∴函数是偶函数，故①正确；
②当时，，在上单调递减，故②正确；
③∵函数是偶函数，∴只需要考虑[0，π]上的零点个数，
此时，在[0，π]上有2个零点，为x＝0和x＝π，
∴在[﹣π，π]有3个零点，为x＝0、x＝π和x＝﹣π，故③错误；
④∵函数是偶函数，∴考虑x≥0的情况即可，
当时，，
∴的最大值为2，故④正确．
故答案为：①②④
15.（2021·上海普陀·曹杨二中）若是偶函数，则实数___________.
【答案】
【分析】
首先化简函数，根据函数是偶函数，即可求得的值.
【详解】
因为是偶函数，所以.
故答案为：
16.（2021·山东高考真题）已知函数，，，函数的部份图象如下图，求
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（1）函数的最小正周期及的值：
（2）函数的单调递增区间．
【答案】（1）最小正周期；；（2），．
【分析】
（1）根据解析式可直接求出最小正周期，代入点可求出；
（2）令可解出单调递增区间.
【详解】
（1）函数的最小正周期，
因为函数的图象过点，因此，即，又因为，因此．
（2）因为函数的单调递增区间是，．
因此，解得，
因此函数的单调递增区间是，
17.（2021·浙江高考真题）设函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在上的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由题意结合三角恒等变换可得，再由三角函数最小正周期公式即可得解；
（2）由三角恒等变换可得，再由三角函数的图象与性质即可得解.
【详解】
（1）由辅助角公式得，
则，
所以该函数的最小正周期;
（2）由题意，
，
由可得，
所以当即时，函数取最大值.
18.（2021·天津北京师范大学静海附属学校高一月考）已知，，
（1）求的最小正周期及单调递减区间；
（2）求函数在区间上的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）利用向量数量积的坐标表示、二倍角公式、辅助角公式化简可得解析式，再利用正弦型函数的周期公式可得周期，利用正弦函数的递减区间可得的递减区间；
（2）由的范围求出的范围，再根据正弦函数的性质即可求解.
【详解】
（1）因为，，
所以
，
所以的最小正周期，
由，，得：，
所以的单调递减区间为；
（2）因为 ，可得，，
，
所以函数在区间上的取值范围为.
19.（2021·鹤庆县第一中学高一期末）已知函数.
（1）求的定义域及最小正周期；
（2）求的单调递增区间.
【答案】（1）定义域为；最小正周期为；（2）.
【分析】
（1）解不等式即得函数的定义域；化简函数得，即得函数的最小正周期；
（2）解不等式再和定义域求交集即得解.
【详解】
（1）由题得，所以函数的定义域为.
由题得
，
所以函数的最小正周期为.
（2）令
所以
所以
因为函数的定义域为，
所以函数的递增区间为.
20.（2021·东台创新高级中学高一月考）已知函数.
（1）求的定义域与最小正周期；
（2）讨论在区间上的单调性.
（3）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）定义域为，最小正周期；（2）在上单调递增，在上单调递减；（3）.
【分析】
（1）直接计算定义域，化简再根据计算出周期.
（2）首先求出在上的单调性，再计算出在的单调性.
（3）根据范围求出范围从而求出的值域即可算出的取值范围.
【详解】
（1）的定义域为，
，
所以的最小正周期.
（2）令，，
得，.
当时，，所以当时，单调递增.
令，，
得，.
当时，，所以当时，单调递减.
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减.
（3）由
所以
所以
所以的取值范围为.
考纲解读
核心素养
知识梳理
高频考点
例1
例2
例3.1
例3.2
例3.3
真题演练
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