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专题四 三角函数与解三角形
04 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用
考纲对本模块内容的具体要求如下：
1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出函数的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.www-2-1-cnjy-com
2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．
数学抽象：能根据Asin(ωx＋φ)的部分图象确定其解析式.
逻辑推理：掌握y＝sinx与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤.
直观想象：会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象.
一、y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x≥0)表示一个简谐运动 振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ
二、用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
x －
ωx＋φ 0 π 2π
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
三、由y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的图象
[常用结论]
1．“五点法”作图中，相邻两点的横向距离均为.
2．在正弦函数图象、余弦函数图象中，相邻的两个对称中心以及相邻的两条对称轴之间的距离均为半个周期．
3．正弦函数和余弦函数一定在对称轴处取得最值．
4．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度．www.21-cn-jy.com
考点一 三角函数的图象及变换　
（1）将函数的图象向左平移φ(φ＞0)个单位后，得到的图象关于直线x＝对称，则φ的最小值为(　　)21教育名师原创作品
A. 　　　 B. C. D.
答案 B　
解析：把函数的图象向左平移φ(φ＞0)个单位后，可得的图象，
∵所得图象关于直线x＝对称，∴4×＋4φ＋＝＋kπ(k∈Z)，∴φ＝－(k∈Z)，
∵φ＞0，∴φmin＝.
（2）（2021·江西九江市·九江一中高一期中）为了得到函数的图象，只需将图象上所有点（ ）
A．纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位长度
B．纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度
C．纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，再向左平移个单位长度
D．纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位长度
【答案】D
【分析】
首先将函数化成正弦型函数，再通过伸缩变换和平移变换求解即可.
【详解】
由诱导公式可得，，
对于选项A：通过伸缩变换以及平移变换得，，
故A错误；
对于选项B：通过伸缩变换以及平移变换得，，
故B错误；
对于选项C：通过伸缩变换以及平移变换得，，
故C错误；
对于选项D：通过伸缩变换以及平移变换得，，
故D正确.
故选：D.
【规律方法】
1.y＝Asin(ωx＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z＝ωx＋φ计算五点坐标.
2.由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.21·世纪*教育网
【跟踪练习】（1）（2021·河南高三月考（理））已知函数（，）的最小正周期为，将其图象向左平移个单位长度后对应的函数为偶函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
根据函数的周期为可得的值，由三角函数图象的平移变换求平移后的解析式，结合偶函数以及可得的值，进而可得的解析式，将代入即可求解.
【详解】
因为函数的最小正周期为，
所以，所以，
图象向左平移个单位长度后所得函数为，
因为是偶函数，所以，
所以，
因为，所以，，
所以，
所以，
故选：D.
（2）（2021·全国高三月考（文））函数的部分图象如图所示，若将图象上的所有点向右平移个单位长度得到函数图象，则关于函数有下列四个说法，其中正确的是（ ）21·cn·jy·com
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A．最小正周期为 B．图象的一条对称轴为直线
C．图象的一个对称中心坐标为 D．在区间上单调递增
【答案】D
【分析】
先由图象判断，即，代入得到，即可得，再由平移得到，利用正弦型函数的图象和性质依次判断，即得解
【详解】
由图象可知，，，所以，所以，所以，则，，又，所以，所以，因为将图象上的所有点向右平移个单位长度得到函数的图象，所以，的最小正周期为，故A错误；由，故B错误；2·1·c·n·j·y
由，故C错误；
由，，得的单调增区间为，．当时，的单调增区间为，此时，故D正确．
故选：D
考点二 求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式　
（1）已知函数f(x)＝Asi ( http: / / www.21cnjy.com )n(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)，其部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为 。
【答案】f(x)＝2sin
【解析】由题图可知A＝2，T＝4π，故＝4π，解得ω＝.所以f(x)＝2sin.
把点代入可得2sin＝2，即sin＝1，所以φ－＝2kπ＋(k∈Z)，解得φ＝2kπ＋(k∈Z)．又0<φ<π，所以φ＝.所以f(x)＝2sin.
（2）（2021·全国高一课时练习）函数的最小正周期是，若将该函数的图象向右平移个单位后得到的函数图象关于点对称，则函数的解析式为（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】
由周期求出，由平移变换求出即可
【详解】
由题，则将该函数的图象向右平移个单位后得到的函数为，图象关于点对称则
故函数的解析式为
故选：D
【规律方法】
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法
(1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则.
(2)求ω：确定函数的周期T，则可得.
(3)求φ：常用的方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).
②五点法：确定φ值时，往往以 ( http: / / www.21cnjy.com )寻找“五点法”中的某一个点为突破口.“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)时“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)时ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)时“第五点”时ωx＋φ＝2π.
【跟踪练习】（1）（2021·云南昆明二十三中高一期中）若函数（，，）在一个周期内的图象如图所示，则（ ）
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A．
B．的图象的一个对称中心为
C．的单调递增区间是，
D．把的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得的图象
【答案】B
【分析】
先根据图像观察出，周期，求出，得到函数解析式.
直接判断出A是否正确；利用代入法判断B；直接求出单增区间，即可判断C；利用图像变换求出解析式，即可判断D.21*cnjy*com
【详解】
由题图可知，函数的最小正周期，故，解得，所以，又函数的图象经过点，所以，即，因为，所以，所以，解得，所以，故A不正确；
因为，所以的图象的一个对称中心为，故B正确；
令，，解得，，所以的单调递增区间是，，故C错误；
把的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得到的图象，故D错误．
故选：B．
（2）(2020·蓉城名校第一次联考)若将函数g(x)图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数f(x)的图象，已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　)
A．g(x)＝sin B．g(x)＝sin
C．g(x)＝sin 2x D．g(x)＝sin
【答案】C
【解析】　根据题图有A＝1，T＝－＝ T＝π＝ ω＝2(T为f(x)的最小正周期)，所以f(x)＝sin(2x＋φ)，由＝sin＝1 sin1 ＋φ＝＋2kπ，k∈Z φ＝＋2kπ，k∈Z.因为|φ|＜，所以φ＝，所以f(x)＝sin，将f(x)＝sin的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，则g(x)＝＝sin＝sin 2x.故选C.21教育网
考点三 三角函数模型的简单应用　
（2021·重庆北碚区·西南大学附中高一月考）水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为，其纵坐标满足，则下列叙述正确的是（ ）
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A．水斗作周期运动的初相为
B．在水斗开始旋转的60秒（含）中，其高度不断增加
C．在水斗开始旋转的60秒（含）中，其最高点离平衡位置的纵向距离是
D．当水斗旋转100秒时，其和初始点A的距离为6
【答案】AD
【分析】
求出圆的半径，利用周期求出，通过三角函数的解析式求出初相，再利用正弦函数的性质依次判断各选项即可．
【详解】
对于A，由，知，，所以；
当时，点P在点A位置，有，解得，又，所以，故A正确；
对于B，可知，当，，所以函数先增后减，故B错误；
对于C，当，，，所以点到轴的距离的最大值为6，故C错误；
对于D，当时，，的纵坐标为，横坐标为，所以，故D正确．
故选：AD．
【规律方法】
三角函数模型的实际应用类型及解题关键
（1）已知函数解析式，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及函数的对应关系.21世纪教育网版权所有
（2）函数解析式未知时，需把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模.
【跟踪练习】(2020·山东省八所重点中学4月联考)如图，点A，B分别是圆心在坐标原点，半径为1和2的圆上的动点．动点A从初始位置A0开始，按逆时针方向以角速度2 rad/s做圆周运动，同时点B从初始位置B0(2，0)开始，按顺时针方向以角速度2 rad/s做圆周运动．记t时刻，点A，B的纵坐标分别为y1，y2.
(1)求t＝时，A，B两点间的距离；
(2)若y＝y1＋y2，求y关于时间t(t＞0)的函数关系式，并求当t∈时，y的取值范围．
【答案】见解析
【解析】　(1)连接AB，OA，OB，当t＝时，∠xOA＝＋＝，∠xOB＝，所以∠AOB＝.
又OA＝1，OB＝2，所以AB2＝12＋22－2×1×2cos＝7，
即A，B两点间的距离为.
(2)依题意，y1＝sin，y2＝－2sin 2t，
所以y＝sin－2sin 2t＝cos 2t－sin 2t＝cos，
即函数关系式为y＝cos(t＞0)，
当t∈时，2t＋∈，所以cos∈，故当t∈时，y∈.
1．（2021·全国高一课时练习）若将函数的图象向右平移个单位后得到的图象关于点对称，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
写出平移后的解析式，代入对称点坐标可求得．
【详解】
由题意平移后函数式为，
又新函数图象关于点对称，所以，而，
所以的最小值为．
故选：A．
2．（2021·湖南高考真题）为了得到函数的图象，只需要将的图象（ ）
A．向上平移个单位 B．向左平移个单位
C．向下平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】B
【分析】
根据“左+右-”的平移规律判断选项.
【详解】
根据平移规律可知，只需向左平移个单位得到.
故选：B
3．（2021·黑龙江齐齐哈尔·高一期末）函数（，，）的部分图象如图所示，将的图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍（纵坐标不变），再把所得的图象沿轴向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的一个单调递增区间为（ ）
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A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由函数的图象的顶点坐标求出A的值，由周期求出的值，由五点法作图求出的值，可得函数的解析式，结合图象的变换规则，可得出的解析式，再利用正弦函数的单调性即可求解.
【详解】
根据函数（，，）的部分图象，可得，，∴．结合五点法作图可得，∴，．
将的图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍（纵坐标不变），可得的图象．再把所得的图象沿轴向左平移个单位长度，得到函数的图象．令，求得，可得函数的单调递增区间为，，令，可得一个增区间为.
故选：A.
4. (2020·长沙市统一模拟考试)已知P ( http: / / www.21cnjy.com )(1，2)是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)图象的一个最高点，B，C是与P相邻的两个最低点．设∠BPC＝θ，若tan＝，则f(x)图象的对称中心可以是(　　)
A．(0，0) B．(1，0)
C. D．
【答案】D.
【解析】：如图，连接BC，设BC的中点为D，E，F为与点P最近的函数f(x)的图象与x轴的交点，即函数f(x)图象的两个对称中心，连接PD，则由题意知|PD|＝4，∠BPD＝∠CPD＝，PD⊥BC，所以tan∠BPD＝tan＝＝＝，所以|BD|＝3.由函数f(x)图象的对称性知xE＝1－＝－，xF＝1＋＝，所以E，F，所以函数f(x)图象的对称中心可以是，故选D.
5. (2020届武汉调研)函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，给出以下结论：
①f(x)的最小正周期为2；
②f(x)图象的一条对称轴为直线x＝－；
③f(x)在，k∈Z上是减函数；
④f(x)的最大值为A.
则正确结论的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B
【解析】：　由题图可知，函数f(x)的最小正周期T＝2×＝2，故①正确；因为函数f(x)的图象过点和，所以函数f(x)图象的对称轴为直线x＝×＋＝＋k(k∈Z)，故直线x＝－不是函数f(x)图象的对称轴，故②不正确；由图可知，当－＋kT≤x≤＋＋kT(k∈Z)，即2k－≤x≤2k＋(k∈Z)时，f(x)是减函数，故③正确；若A>0，则最大值是A，若A<0，则最大值是－A，故④不正确．综上知正确结论的个数为2.
6.（2021·江西高三月考（文））将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半，坐标不变，得到函数的图象，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．在区间上是增函数
C．是图象的一条对称轴 D．是图象的一个对称中心
【答案】C
【分析】
利用三角函数的图象伸缩变换求得，然后逐一分析四个选项得答案．
【详解】
函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半，
坐标不变，得到函数的解析式 ，
对于A：，故A错误；
对于B：由得，，故在区间上有增有减，故B错误；对于C：，
所以是图象的一条对称轴，故C正确；
对于D： ，
所以不是图像的一个对称中心，故D错误．
故选：C．
7.（2021·北京房山区·高三开学考试）已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．的最大值为2
C．在区间上单调递增 D．的图象关于对称
【答案】C
【分析】
由，根据三角函数图象性质结合选项一一判断即可．
【详解】
由
对A项的最小正周期为，故A错；
对B项的最大值为，故B错；
对C.项当时，有，因为在上单调递增，
所以在区间上单调递增正确；
对D.项，当时，有，所以不是的对称轴，故D错．
故选：C
8.（2021·河北张家口·高一期末）已知函数，，要得到函数的图象可由函数的图象（ ）2-1-c-n-j-y
A．先将横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
B．先将横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
C．先向右平移个单位长度，再将横坐标缩小为原来的，纵坐标不变
D．先向右平移个单位长度，再将横坐标缩小为原来的，纵坐标不变
【答案】BC
【分析】
根据函数解析式，结合函数图象的变换可先平移后伸缩，也可以先横坐标缩小为原来的后平移，即可得出答案.21cnjy.com
【详解】
先将横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度得到函数的图象，A错误，B正确；
先向右平移个单位长度，再将横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，C正确，D错误.
故选：BC
9.（2021·湖南师大附中）已知函数，且对于都有成立.现将函数的图象向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数相邻的对称轴距离为
C．函数是奇函数
D．函数在区间上单调递增
【答案】ABD
【分析】
依题设条件，可得函数的周期，所以，通过平移变换可得，利用正弦型函数的性质依次分析四个选项，即得解
【详解】
因为对于都有成立，
所以，，
所以对于都成立，
可得的周期，所以，
所以，
将函数的图象向右平移个单位长度，可得
，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍可得，
对于选项A.
，
故选项A正确；
对于选项B：函数周期为，所以相邻的对称轴距离为，故选项B正确；
对于选项C：是偶函数，故选项C错误；
对于选项D：当时，，所以函数在区间上单调递增，故选项D正确
故选：ABD
10．（2021·广东金山中学高二开学考试）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论中正确的是（ ）21*cnjy*com
A．的最小正周期为
B．直线是图象的一条对称轴
C．在上单调递增
D．图像关于原点对称
【答案】ACD
【分析】
利用三角函数图象变换规律得出，利用正弦型函数的周期公式可判断A选项；计算的值可判断B选项；由，在的单调性可判断C选项；利用奇函数的定义可判断D选项.【出处：21教育名师】
【详解】
将函数的图象向右平移个单位长度，可得到函数的图象 .
对于A选项，函数的最小正周期为，A选项正确；
对于B选项，，B选项错误；
对于C选项，，则，，在上单调递增，C选项正确；
对于D选项，函数的定义域为，，
所以，函数为奇函数，D选项正确.
故选：ACD.
11.（2021·河北正定中学高一月考）有以下四个命题，正确命题是（ ）
A．函数的一个增区间是
B．若函数为奇函数，则为的整数倍
C．对于函数，若，则必是的整数倍
D．函数的图像关于点对称
【答案】ABD
【分析】
对选项A，由题知根据得到，即可判断A正确.对选项B，根据题意得到，，即可判断B正确.对选项C，根据在定义域范围内为增函数，且周期为，即可判断C错误.对选项D，根据即可判断D正确.【版权所有：21教育】
【详解】
对选项A，，
因为，，
所以在为减函数，
即在为增函数，故A正确.
对选项B，为奇函数，则，，
即为的整数倍，故B正确.
对选项C，因为在定义域范围内为增函数，且周期为，
所以若，则必是的整数倍，故C错误.
对选项D，，则，
所以的图像关于点对称，故D正确.
故选：ABD
12.（2020·河北武强中学高三月考）函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，把的图象上所有点进行平移，以下平移无法得到的图象的是（ ）
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A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
【答案】BD
【分析】
由周期算出，进而代入数值求出，可得的解析式，再根据图象变换规律，得出结果即可.
【详解】
解：由于，故，所以，
因为，，，解得，
故，
故需将图像上所有点向左平移个单位长度或向右平移个单位长度得到.
故选：BD.
13.（2021·全国高一课时练习）将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若函数为偶函数，则函数在上的值域为____________．
【答案】
【分析】
由题意利用函数的图象变换规律得到的解析式，再利用正弦函数的定义域和值域，求得函数在的值域．
【详解】
将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，
若函数为偶函数，则，，故函数．
，，，，，，，
则函数在的值域为，
故答案为：
14．（2021·上海杨浦·复旦附中高一期中）已知向右平移个单位后为奇函数，则___________.
【答案】
【分析】
根据辅助角公式化简函数，其中，根据平移公式得，再结合奇函数性质即可求解．
【详解】
由根据题意可得，函数，其中
因为向右平移个单位后，可得，
又由为奇函数，所以，即，
又因为，所以，所以．
故答案为：
15．（2021·定远县育才学校（理））将函数的图象向右平移个单位，再将图象上每一点横坐标缩短到原来的倍，所得图象关于直线对称，则的最小正值为__________.
【答案】
【分析】
先求得函数变换后的解析式，根据所得解析式对应的图像关于直线对称，求得的最小正值.
【详解】
由题意得，的图象向右平移个单位，
变为，
再将图象上每一点横坐标缩短到原来的倍，
所得解析式为，
因为所得图象关于直线对称，
所以，，
当时，取得最小正值为.
故答案为：
16.（2021·张家口市第一中学高一月考）已知函数部分图象如图所示，则__________，为了得到偶函数的图象，至少要将函数的图象向右平移__________个单位长度．
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【答案】 6
【分析】
利用图象可得出函数的最小正周期，可得出的值，结合图象求得的值，然后将函数的图象向右平移个单位长度，求出的表达式，进而可求得的最小值，即为所求.
【详解】
由图象可知，函数的最小正周期为，，则，
由于函数的图象过点且在附近单调递增，所以，，可得，
，，，
假设将函数的图象向右平移个单位长度可得到偶函数的图象，
且，
所以，，解得，
，当时，取最小值.
故答案为：；.
17．（2021·全国高一课时练习）函数的单调递减区间是________，在区间上的单调减区间是_______.【来源：21·世纪·教育·网】
【答案】 和
【分析】
利用正弦函数的性质可知的单调区间为，故可得可解得第一空，取特殊值便可求得的单调减区间.
【详解】
解：函数
令
解得.
令得，；令得.
所以在区间上的单调减区间为和.
故答案为：
和
18.（2021·贵州中央民族大学附属中学贵阳市实验学校高三月考（理））已知函数的部分图象如图所示．
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）求的解析式；
（2）将图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．若在区间上不单调，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）利用最值求出，根据得出，再由特殊值求出即可求解.
（2）根据三角函数的图象变换得出，再由正弦函数在上单调即可求解.
【详解】
解：（1）由图可知，．
的最小正周期，所以．
因为，
所以，，，．
又，所以，
故．
（2）由题可知，．
当时，．
因为在区间上不单调，
所以，解得．
故的取值范围为．
19.（2021·丽水外国语实验学校高二月考）已知函数f(x)=sin2x．
（1）求函数的单调递减区间；
（2）若将函数的图象上每一点向右平移个单位得到函数的图象，求函数的解析式，并在区间上求出g(x)的值域．
【答案】(1)；(2)的解析式为，的值域为.
【分析】
(1)把看作是一个整体，令，解不等式即可得函数的单调递减区间；(2)由函数的图象变换可得函数的解析式，根据正弦函数的性质即可求解在区间上的值域.
【详解】
(1)由题意得，令得，则函数的单调递减区间为；
(2)由题意得，，
因为，
所以，
由于正弦函数在上单调递增，
从而，函数在上也单调递增，
所以函数在上的值域为.
20.（2021·福建三明一中高二开学考试）已知，.
（1）若，求的值；
（2）设，将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线C，保持C上各点的纵坐标保持不变，将横坐标变为原来的倍得到的图象，且关于x的方程在上有解，求m的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由，可求得，再利用二倍角公式及“1”的代换化简求值即可得解；
（2）利用向量的数量积公式及辅助角公式可知，利用图像的变换可知，将已知转化为在上有解，利用三角函数的性质可求得的取值范围.
【详解】
（1）∵，∴，即，
∴
（2），
利用图像的变换可知，
关于的方程在上有解，即在上有解.
由于，，∴，
故的取值范围为.
21.（2021·全国高三专题练习）已知函数．
（1）求函数)的单调递增区间；
（2）若，求的值；
（3）将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象．若曲线与的图象关于直线对称，求函数h(x)在的值域．
【答案】（1），；（2）或或；（3）．
【分析】
（1）采用整体替换的方法结合正弦函数的单调递增区间求解出)的单调递增区间；
（2）先计算出的值，结合的取值范围可求对应的值；
（3）根绝图象平移先求解出的解析式，然后根据对称关系得到，由此可求的解析式，结合时的值域可求在的值域.
【详解】
（1）令，
则．
∴的单调递增区间为；
（2）由，得，
∴．
又∵，∴，
∴或或，
解得或或．
（3）将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，
可得函数图象的解析式为．
再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数的图象．
又∵曲线与的图象关于直线对称，
∴．
∵，∴，
∴．
∴函数h(x)在上的值域为．
22.（2021·云南宾川四中高一月考）已知（其中ω>0），的最小正周期是π．
（1）求ω的值及此时的对称中心；
（2）若将的图象向左平移个单位，再将所得的图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，得到的图象，求在的取值范围．
【答案】（1），对称中心为;（2）.
【分析】
（1）化简解析式，根据的最小正周期求得，由此求得解析式，利用整体代入法求得的对称中心.
（2）利用图象变换求得，结合三角函数值域的求法求得在的取值范围.
【详解】
（1）
，
依题意，
所以.
，
所以的对称中心为
（2）将的图象向左平移个单位得到，
再将所得的图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，得到.
，
所以.
考纲解读
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例1
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专题四 三角函数与解三角形
04 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用
考纲对本模块内容的具体要求如下：
1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出函数的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响.21教育网
2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型．
数学抽象：能根据Asin(ωx＋φ)的部分图象确定其解析式.
逻辑推理：掌握y＝sinx与y＝Asin(ωx＋φ)图象间的变换关系，并能正确地指出其变换步骤.
直观想象：会用“五点法”画函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象.
一、y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，x≥0)表示一个简谐运动 振幅 周期 频率 相位 初相
二、用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
x －
ωx＋φ 0 π 2π
y＝Asin(ωx＋φ) 0 A 0 －A 0
三、由y＝sin x的图象变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(其中A＞0，ω＞0)的图象
[常用结论]
1．“五点法”作图中，相邻两点的横向距离均为.
2．在正弦函数图象、余弦函数图象中，相邻的两个对称中心以及相邻的两条对称轴之间的距离均为半个周期．
3．正弦函数和余弦函数一定在对称轴处取得最值．
4．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度．21cnjy.com
考点一 三角函数的图象及变换　
（1）将函数的图象向左平移φ(φ＞0)个单位后，得到的图象关于直线x＝对称，则φ的最小值为(　　)21·cn·jy·com
A. 　　　 B. C. D.
（2）（2021·江西九江市·九江一中高一期中）为了得到函数的图象，只需将图象上所有点（ ）www.21-cn-jy.com
A．纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向左平移个单位长度
B．纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，再向右平移个单位长度
C．纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，再向左平移个单位长度
D．纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，再向右平移个单位长度
【规律方法】
1.y＝Asin(ωx＋φ)的图象可用“五点法”作简图得到，可通过变量代换z＝ωx＋φ计算五点坐标.
2.由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)图象有两条途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.www-2-1-cnjy-com
【跟踪练习】（1）（2021·河南高三月考（理））已知函数（，）的最小正周期为，将其图象向左平移个单位长度后对应的函数为偶函数，则（ ）2-1-c-n-j-y
A． B． C． D．
（2）（2021·全国高三月考（文））函数的部分图象如图所示，若将图象上的所有点向右平移个单位长度得到函数图象，则关于函数有下列四个说法，其中正确的是（ ）【来源：21cnj*y.co*m】
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．最小正周期为 B．图象的一条对称轴为直线
C．图象的一个对称中心坐标为 D．在区间上单调递增
考点二 求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式　
（1）已知函数f(x ( http: / / www.21cnjy.com ))＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)，其部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式为 。【版权所有：21教育】
（2）（2021·全国高一课时练习）函数的最小正周期是，若将该函数的图象向右平移个单位后得到的函数图象关于点对称，则函数的解析式为（ ）21教育名师原创作品
A． B．
C． D．
【规律方法】
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A＞0，ω＞0)的步骤和方法
(1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则.
(2)求ω：确定函数的周期T，则可得.
(3)求φ：常用的方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上).21世纪教育网版权所有
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法 ( http: / / www.21cnjy.com )”中的某一个点为突破口.“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)时ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)时“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)时ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)时“第五点”时ωx＋φ＝2π.21*cnjy*com
【跟踪练习】（1）（2021·云南昆明二十三中高一期中）若函数（，，）在一个周期内的图象如图所示，则（ ）21*cnjy*com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．
B．的图象的一个对称中心为
C．的单调递增区间是，
D．把的图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，可得的图象
（2）(2020·蓉城名校第一次联考)若将函数g(x)图象上所有的点向左平移个单位长度得到函数f(x)的图象，已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　)
A．g(x)＝sin B．g(x)＝sin
C．g(x)＝sin 2x D．g(x)＝sin
考点三 三角函数模型的简单应用　
（2021·重庆北碚区·西南大学附中高一月考）水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转筒车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为R的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过t秒后，水斗旋转到P点，设点P的坐标为，其纵坐标满足，则下列叙述正确的是（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．水斗作周期运动的初相为
B．在水斗开始旋转的60秒（含）中，其高度不断增加
C．在水斗开始旋转的60秒（含）中，其最高点离平衡位置的纵向距离是
D．当水斗旋转100秒时，其和初始点A的距离为6
【规律方法】
三角函数模型的实际应用类型及解题关键
（1）已知函数解析式，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及函数的对应关系.
（2）函数解析式未知时，需把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模.
【跟踪练习】(2020·山东省八所重点中学4月联考)如图，点A，B分别是圆心在坐标原点，半径为1和2的圆上的动点．动点A从初始位置A0开始，按逆时针方向以角速度2 rad/s做圆周运动，同时点B从初始位置B0(2，0)开始，按顺时针方向以角速度2 rad/s做圆周运动．记t时刻，点A，B的纵坐标分别为y1，y2.
(1)求t＝时，A，B两点间的距离；
(2)若y＝y1＋y2，求y关于时间t(t＞0)的函数关系式，并求当t∈时，y的取值范围．
1．（2021·全国高一课时练习）若将函数的图象向右平移个单位后得到的图象关于点对称，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·湖南高考真题）为了得到函数的图象，只需要将的图象（ ）
A．向上平移个单位 B．向左平移个单位
C．向下平移个单位 D．向右平移个单位
3．（2021·黑龙江齐齐哈尔·高一期末）函数（，，）的部分图象如图所示，将的图象上所有点的横坐标扩大到原来的4倍（纵坐标不变），再把所得的图象沿轴向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数的一个单调递增区间为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B．
4. C． D．
5. (2020·长沙市统一模拟考试) ( http: / / www.21cnjy.com )已知P(1，2)是函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)图象的一个最高点，B，C是与P相邻的两个最低点．设∠BPC＝θ，若tan＝，则f(x)图象的对称中心可以是(　　)
A．(0，0) B．(1，0)
C. D．
6. (2020届武汉调研)函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)(ω>0)的部分图象如图所示，给出以下结论：
①f(x)的最小正周期为2；
②f(x)图象的一条对称轴为直线x＝－；
③f(x)在，k∈Z上是减函数；
④f(x)的最大值为A.
则正确结论的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
6.（2021·江西高三月考（文））将函数的图象上所有点的横坐标缩短到原来的一半，坐标不变，得到函数的图象，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．在区间上是增函数
C．是图象的一条对称轴 D．是图象的一个对称中心
7.（2021·北京房山区·高三开学考试）已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．的最小正周期为 B．的最大值为2
C．在区间上单调递增 D．的图象关于对称
8.（2021·河北张家口·高一期末）已知函数，，要得到函数的图象可由函数的图象（ ）
A．先将横坐标扩大为原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
B．先将横坐标缩小为原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度
C．先向右平移个单位长度，再将横坐标缩小为原来的，纵坐标不变
D．先向右平移个单位长度，再将横坐标缩小为原来的，纵坐标不变
9.（2021·湖南师大附中）已知函数，且对于都有成立.现将函数的图象向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）得到函数的图象，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．函数相邻的对称轴距离为
C．函数是奇函数
D．函数在区间上单调递增
10．（2021·广东金山中学高二开学考试）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论中正确的是（ ）
A．的最小正周期为
B．直线是图象的一条对称轴
C．在上单调递增
D．图像关于原点对称
11.（2021·河北正定中学高一月考）有以下四个命题，正确命题是（ ）
A．函数的一个增区间是
B．若函数为奇函数，则为的整数倍
C．对于函数，若，则必是的整数倍
D．函数的图像关于点对称
12.（2020·河北武强中学高三月考）函数（其中）的图象如图所示，为了得到的图象，把的图象上所有点进行平移，以下平移无法得到的图象的是（ ）2·1·c·n·j·y
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A．向左平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
13.（2021·全国高一课时练习）将函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象，若函数为偶函数，则函数在上的值域为____________．【来源：21·世纪·教育·网】
14．（2021·上海杨浦·复旦附中高一期中）已知向右平移个单位后为奇函数，则___________.
15．（2021·定远县育才学校（理））将函数的图象向右平移个单位，再将图象上每一点横坐标缩短到原来的倍，所得图象关于直线对称，则的最小正值为__________.
16.（2021·张家口市第一中学高一月考）已知函数部分图象如图所示，则__________，为了得到偶函数的图象，至少要将函数的图象向右平移__________个单位长度．
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17．（2021·全国高一课时练习）函数的单调递减区间是________，在区间上的单调减区间是_______.
18.（2021·贵州中央民族大学附属中学贵阳市实验学校高三月考（理））已知函数的部分图象如图所示．
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（1）求的解析式；
（2）将图象上所有点的横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．若在区间上不单调，求的取值范围．
19.（2021·丽水外国语实验学校高二月考）已知函数f(x)=sin2x．
（1）求函数的单调递减区间；
（2）若将函数的图象上每一点向右平移个单位得到函数的图象，求函数的解析式，并在区间上求出g(x)的值域．21·世纪*教育网
20.（2021·福建三明一中高二开学考试）已知，.
（1）若，求的值；
（2）设，将函数的图象向右平移个单位长度得到曲线C，保持C上各点的纵坐标保持不变，将横坐标变为原来的倍得到的图象，且关于x的方程在上有解，求m的取值范围.
21.（2021·全国高三专题练习）已知函数．
（1）求函数)的单调递增区间；
（2）若，求的值；
（3）将函数f(x)的图象向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)得到函数g(x)的图象．若曲线与的图象关于直线对称，求函数h(x)在的值域．【出处：21教育名师】
22.（2021·云南宾川四中高一月考）已知（其中ω>0），的最小正周期是π．
（1）求ω的值及此时的对称中心；
（2）若将的图象向左平移个单位，再将所得的图象纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，得到的图象，求在的取值范围．
考纲解读
核心素养
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高频考点
例1
例2
例3
真题演练
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