资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
专题四 三角函数与解三角形
05 三角恒等变换
考纲对本模块内容的具体要求如下：
三角恒等变换部分的两角和与差公式、倍角 ( http: / / www.21cnjy.com )公式是高考的热点，常常与三角函数式的求值、化简相结合，交汇命题.出题的形式有选择有填空有解答，出题比较灵活，难易度适中，主要是考察公式的灵活运用和三角恒等变换.21·cn·jy·com
1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.
2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.
3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.www.21-cn-jy.com
4.能运用上述公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆).
数学运算：1.掌握两角的和差公式，并能灵活利用公式解决化简及求值、求角问题.
2.能够利用辅助角公式对三角函数式进行化简.
逻辑推理：1.能通过两角和差的正弦、余弦公式与同角三角函数的关系式推导出两角和差的正切公式.
2.能通过两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.
一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)＝___________；
(2)cos(α±β)＝___________；
(3)tan(α±β)＝___________.
二、二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝___________；
(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝___________＝___________；
(3)tan 2α＝___________.
三、辅助角公式
asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)其中sin φ＝，cos φ＝.
[常用结论]
1．公式的常用变式
tan α±tan β＝tan(α±β)(1 tan αtan β)；
sin 2α＝＝；
cos 2α＝＝.
2．降幂公式：sin2α＝；
cos2α＝；
sin αcos α＝sin 2α.
3．升幂公式：1＋cos α＝2cos2；
1－cos α＝2sin2；
1＋sin α＝2；
1－sin α＝2.
考点一 三角函数的给值求值问题　
（1）（2021·四川眉山市·仁寿一中高一开学考试）已知，.
①求；
②若是第三象限的角，.求.
（2）（2021·重庆实验外国语学校高三开学考试）已知，若，则（ ）
A． B． C． D．
【规律方法】
已知三角函数值，求三角函数式值的一般思路
（1）先化简所求式子.
（2）观察已知条件与所求式子之间的联系 从三角函数名及角入手 .
（3）将已知条件或已知条件的变形式代入所求式子，化简求值.
【跟踪练习】（1）（2021·全国高一课时练习）若，则______，_______.
(2)已知角α为锐角，若，则的值为(　　)
A. B. C．－ D．－
(3)已知，则的值是(　　)
A．－ B. C．－ D.
考点二 三角函数的给值求角问题　
（1）（2022·全国高三专题练习）已知是方程的两根，且，则的值为________.
（2）（2021·全国高一课时练习）已知，求角的值．
【规律方法】
1.解决给值求角问题的一般步骤
（1）求角的某一个三角函数值；
（2）确定角的范围；
（3）根据角的范围求出要求的角.
2.在求角的某个三角函数值时，应注意根据条件选择恰当的函数，尽量做到所选函数在确定角的范围内为单调函数.21教育网
【跟踪练习】（2021·江西省靖安中学高二月考）已知，为锐角，，.
（1）求；
（2）求.
考点三 三角函数化简求值　
（1）（2021·全国高一课时练习）已知；求的值.
（2）（2021·北京海淀区·北理工附中高二开学考试）sin18°cos12°+cos18°sin12°＝__．
【规律方法】
1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征.
2.三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.21cnjy.com
3.主要手段有：化弦、通分、倍角公式、辅助角公式等.
【跟踪练习】（1）4cos 50°－tan 40°＝(　　)
A. B. C. D．2－1
(2)[2sin 50°＋sin 10°(1＋tan 10°)]·＝________.
1.（2021·四川成都市·成都七中高二开学考试（理））已知的终边在第四象限，若，则（ ）21世纪教育网版权所有
A． B． C． D．
2．（2021·全国高一课时练习）已知均为锐角，且，则（ ）
A．0 B． C． D．1
3. (2020年高考全国Ⅲ卷理数)已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=
A．–2 B．–1 C．1 D．2
4. (2020年高考江苏)已知=，则的值是 ．
5.(2020浙江省高一单元测试)若，则的值是（ ）．
A． B． C． D．
6. (2020广东省高三月考（理）)己知，则（ ）
A． B． C． D．
7. (2020广东省高三二模)若，则__________.
8.(2020年高考浙江)已知，则_______，_______．
9. (2020年高考全国Ⅱ卷文数）若，则________
10.（2021·全国高一课时练习）已知均为锐角，且，则______，_______.
11.（2021·四川眉山市·仁寿一中高一开学考试）已知.
（1）；
（2）若，，求.
12.（2021·全国高三专题练习）已知、为锐角，且，，求的值.
13.（2021·全国高一课时练习）已知，其中，求角的值.
14.（2021·张家口市第一中学高一月考）（1）求值：.
（2）已知，，求的值.
15. 已知，，均为锐角，且.
（1）求的值；
（2）若，求的值．
16.（2021·全国高三专题练习）已知，，若，且在上为减函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求实数a和角的值.
考纲解读
核心素养
知识梳理
高频考点
例1
例2
例3
真题演练
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专题四 三角函数与解三角形
05 三角恒等变换
考纲对本模块内容的具体要求如下：
三角恒等变换部分的两角和与差公式、倍角公式 ( http: / / www.21cnjy.com )是高考的热点，常常与三角函数式的求值、化简相结合，交汇命题.出题的形式有选择有填空有解答，出题比较灵活，难易度适中，主要是考察公式的灵活运用和三角恒等变换.21世纪教育网版权所有
1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.
2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.
3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.21教育网
4.能运用上述公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆).
数学运算：1.掌握两角的和差公式，并能灵活利用公式解决化简及求值、求角问题.
2.能够利用辅助角公式对三角函数式进行化简.
逻辑推理：1.能通过两角和差的正弦、余弦公式与同角三角函数的关系式推导出两角和差的正切公式.
2.能通过两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.
一、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
(1)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β；
(2)cos(α±β)＝cos_αcos_β sin_αsin_β；
(3)tan(α±β)＝.
二、二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)sin 2α＝2sin αcos α；
(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
(3)tan 2α＝.
三、辅助角公式
asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)其中sin φ＝，cos φ＝.
[常用结论]
1．公式的常用变式
tan α±tan β＝tan(α±β)(1 tan αtan β)；
sin 2α＝＝；
cos 2α＝＝.
2．降幂公式：sin2α＝；
cos2α＝；
sin αcos α＝sin 2α.
3．升幂公式：1＋cos α＝2cos2；
1－cos α＝2sin2；
1＋sin α＝2；
1－sin α＝2.
考点一 三角函数的给值求值问题　
（1）（2021·四川眉山市·仁寿一中高一开学考试）已知，.
①求；
②若是第三象限的角，.求.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）先通过求出，再用倍角公式计算即可；
（2）先通过求出，再用两角差的余弦公式计算即可.
【详解】
解：①，
；
②是第三象限的角，
，
.
（2）（2021·重庆实验外国语学校高三开学考试）已知，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】
先求出，利用两角和的正弦公式求和.
【详解】
因为，，所以
.
故选：D
【规律方法】
已知三角函数值，求三角函数式值的一般思路
（1）先化简所求式子.
（2）观察已知条件与所求式子之间的联系 从三角函数名及角入手 .
（3）将已知条件或已知条件的变形式代入所求式子，化简求值.
【跟踪练习】（1）（2021·全国高一课时练习）若，则______，_______.
【答案】
【分析】
先根据同角三角函数的平方关系求出，进而通过两角和与差的余弦求出.
【详解】
因为，所以，
所以.
故答案为：.
(2)已知角α为锐角，若，则的值为(　　)
A. B. C．－ D．－
【答案】B
【解析】∵α是锐角，，
∴，
∴，故选B.
(3)已知，则的值是(　　)
A．－ B. C．－ D.
【答案】C　
【解析】∵，∴cos α＋sin α＝，
∴cos α＋sin α＝，即，
∴，故选C.
考点二 三角函数的给值求角问题　
（1）（2022·全国高三专题练习）已知是方程的两根，且，则的值为________.
【答案】
【分析】
根据韦达定理求出的值，进而结合两角和的正切公式求出的值，缩小角的范围即可求出结果.
【详解】
∵是方程的两根，
∴，
∴.
又，∴，
∵，∴，
∴，∴.
故答案为：.
（2）（2021·全国高一课时练习）已知，求角的值．
【答案】
【分析】
先求得，，然后利用两角差的正弦公式求得进而求得.
【详解】
因为，所以．又因为，所以．
因为，所以，
所以．
又因为，所以．
【规律方法】
1.解决给值求角问题的一般步骤
（1）求角的某一个三角函数值；
（2）确定角的范围；
（3）根据角的范围求出要求的角.
2.在求角的某个三角函数值时，应注意根据条件选择恰当的函数，尽量做到所选函数在确定角的范围内为单调函数.21cnjy.com
【跟踪练习】（2021·江西省靖安中学高二月考）已知，为锐角，，.
（1）求；
（2）求.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）先求得的值，然后结合同角三角函数的基本关系式求得.
（2）先求得的值，然后利用两角和的正弦公式求得，进而求得.
【详解】
（1）因为，所以.
由，解得：.
又为锐角，所以.
（2）因为，为锐角，且，所以.
所以.
又由（1）知，，为锐角，所以，
故
.
又因为，，所以.
则.
考点三 三角函数化简求值　
（1）（2021·全国高一课时练习）已知；求的值.
【答案】
【分析】
根据，解得，再对进行化简计算即可.
【详解】
由，
解得.
所以
.
（2）（2021·北京海淀区·北理工附中高二开学考试）sin18°cos12°+cos18°sin12°＝__．
【答案】
【分析】
直接利用两角和的正弦公式求解即可．
【详解】
解：sin18°cos12°+cos18°sin12°＝sin（12°+18°）＝sin30°＝．21·cn·jy·com
故答案为：
【规律方法】
1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角，二看名，三看式子结构与特征.
2.三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点.www.21-cn-jy.com
3.主要手段有：化弦、通分、倍角公式、辅助角公式等.
【跟踪练习】（1）4cos 50°－tan 40°＝(　　)
A. B. C. D．2－1
【答案】C　
【解析】4cos 50°－tan 40°＝4sin 40°－
＝＝
＝
＝＝
＝
＝＝·＝.
(2)[2sin 50°＋sin 10°(1＋tan 10°)]·＝________.
【答案】　　
【解析】原式＝×sin 80°
＝·sin 80°
＝·sin 80°
＝·sin 80°
＝·cos 10°＝.
1.（2021·四川成都市·成都七中高二开学考试（理））已知的终边在第四象限，若，则（ ）2·1·c·n·j·y
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
利用同角公式求出，再利用和角的正弦公式结合特殊角的三角函数计算即得.
【详解】
的终边在第四象限，，则有，
所以.
故选：A
2．（2021·全国高一课时练习）已知均为锐角，且，则（ ）
A．0 B． C． D．1
【答案】D
【分析】
利用两角和公式展开，可求得，进而，即可求解
【详解】
，
，
即，
所以，
因为均为锐角，所以，
所以，
所以，
故选：D
3. (2020年高考全国Ⅲ卷理数)已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ=
A．–2 B．–1 C．1 D．2
【答案】 D
【解析】，，
令，则，整理得，解得，即.
故选：D．
4. (2020年高考江苏)已知=，则的值是 ．
【答案】
【解析】
故答案为：
5.(2020浙江省高一单元测试)若，则的值是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，由诱导公式可得，即，∴．
故选：C
6. (2020广东省高三月考（理）)己知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，
所以
故选：A.
7. (2020广东省高三二模)若，则__________.
【答案】
【解析】由两角差的正切公式，可得，解得，
又由.
故答案为：.
8.(2020年高考浙江)已知，则_______，_______．
【答案】
【解析】，
，
故答案为：
9. (2020年高考全国Ⅱ卷文数）若，则________
【答案】
【解析】.
故答案为：.
10.（2021·全国高一课时练习）已知均为锐角，且，则______，_______.
【答案】1
【分析】
化简，得到，根据两角和与差的正切公式，求解即可，根据已经求出的正切值，根据均为锐角，求得的角度.
【详解】
由知：，即
故，
又，故，所以
故答案为：，.
11.（2021·四川眉山市·仁寿一中高一开学考试）已知.
（1）；
（2）若，，求.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由两角和的正切公式将展开即可求解；
（2）由同角三角函数基本关系求出的值，由两角差的余弦公式计算
即可求解.
【详解】
（1）因为，
所以
所以，
所以；
（2）因为，，所以，
.
12.（2021·全国高三专题练习）已知、为锐角，且，，求的值.
【答案】
【分析】
根据题中条件，确定的大致范围，求出与，再由，根据两角差的余弦公式，即可求出结果.
【详解】
由于、为锐角，即，，则；
因为，所以，；
又，则或；
因为，所以显然不成立，因此，
所以，
从而
.
13.（2021·全国高一课时练习）已知，其中，求角的值.
【答案】
【分析】
根据，进而利用两角和与差的余弦求得，然后求出.
【详解】
因为，所以.
因为，所以.
由已知可得，，
则
.
因为，所以.
14.（2021·张家口市第一中学高一月考）（1）求值：.
（2）已知，，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
(1)先利用诱导公式化简，再利用和差角的正弦、余弦公式化简计算即可求值；
(2)将角视为与的和，再利用和角的正切公式即可代入求值.
【详解】
（1）
；
（2）因，，
所以.
15. 已知，，均为锐角，且.
（1）求的值；
（2）若，求的值．
【解析】（1）由题意得：，，
，
解得：.
（2），，
由，可得：，，
16.（2021·全国高三专题练习）已知，，若，且在上为减函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求实数a和角的值.
【答案】（1）；（2）或.
【分析】
（1）利用和差角公式可得，利用三角函数的性质即解；
（2）对实数a分类讨论，再结合条件及三角函数的性质可求.
【详解】
（1）
，
显然∴的最小正周期为.
（2）若，在上为减函数，且的最大值为2，
即，此时，
，，
若，同理，此时.
，.
综上所述或.
考纲解读
核心素养
知识梳理
高频考点
例1
例2
例3
真题演练
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑