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专题四 三角函数与解三角形
06 正弦定理、余弦定理及解三角形
考纲对本模块内容的具体要求如下：
高考对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型 ( http: / / www.21cnjy.com )多变，往往以小题的形式独立考查正弦定理或余弦定理，以解答题的形式综合考查定理的综合应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换等结合考查，试题难度控制在中等或以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等.
1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
逻辑推理：掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
数学运算：1.理解正弦定理、余弦定理，并能利用公式进行简单的化简、求值.
2.了解三角形的面积公式，并能灵活运用面积公式解决与面积有关的问题.
一、正弦、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
内容 ＝＝＝2R. a2＝____________；b2＝____________；c2＝____________.
变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；(2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(3)＝＝2R. cos A＝____________；cos B＝____________；cos C＝____________.
二、三角形常用面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝absin C＝____________＝____________；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．
三、实际问题中的常用角
(1)仰角和俯角：与目标视线在同 ( http: / / www.21cnjy.com )一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线_____的角叫做仰角，目标视线在水平视线_____的角叫做俯角(如图1)．
(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°、北偏西45°、西偏北60°等．
(3)方位角：指从正北方向_____转到目标方向线的水平角，如点B的方位角为α(如图2)．
(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．
[常用结论]
1．在△ABC中，A＞B a＞b sin A＞sin B.
2．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；
b＝acos C＋ccos A；
c＝bcos A＋acos B.
3．内角和公式的变形
(1)sin(A＋B)＝sin C；
(2)cos(A＋B)＝－cos C.
4．在△ABC中，若acos A＝bcos B，则△ABC是等腰三角形或直角三角形．
考点一 利用正、余弦定理解三角形　
（1）（2021·贵州中央民族大学附属中学贵阳市实验学校高三月考（理））的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，则的面积为（ ）
A． B．3 C． D．6
（2）（2021·山东泰安市·高三三模）在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【规律方法】
解三角形的常见题型及求解方法
（1）已知两角A，B与一边a，由A＋B＋C＝π及，可先求出角C及b，再求出c.
（2）已知两边b，c及其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bccos A，先求出a，再求出角B，C.
（3）已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C.,
（4）已知两边a，b及其中一边的对角A ( http: / / www.21cnjy.com )，由正弦定理可求出另一边b的对角B，由C＝π－(A＋B)，可求出角C，再由可求出c，而通过求角B时，可能有一解或两解或无解的情况.)21世纪教育网版权所有
【跟踪练习】（2021·天水市第一中学高三开学考试（文））已知，，分别为△三个内角，，的对边，21教育网
（1）求角
（2）若，△的面积为，求，.
：，则，即，故.
考点二 判断三角形的形状　
（1）在中，内角所对的边分别是，已知．
①求证：为等腰三角形；
②若是钝角三角形，且面积为，求的值．
（2）（2021·全国高三专题练习）在中，有，那么这个三角形一定是（ ）
A．以a为斜边的直角三角形 B．以b为斜边的直角三角形
C．等边三角形 D．以上结论都不对
【规律方法】
判定三角形形状的方法
化边：通过因式分解，配方等得边的相对应关系.
化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论.
【跟踪练习】（1）（2021·全国高三专题练习）设△的三边长为，，，若，，则△是（ ）．21cnjy.com
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
（2）（2021·全国高一课时练习）在中，若，则一定是（ ）
A．钝角三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．非等腰三角形
（3）（2021·全国高一课时练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的形状是（ ）21·cn·jy·com
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
考点三 与三角形有关的最值(范围)问题　
（1）（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高二月考（理））设的面积为，若，则的最大值为（ ）www.21-cn-jy.com
A． B． C． D．
（2）（2021·全国高三月考（文））在中，内角，，的对边分别为，，，请在①；②两个条件中，选择一个完成下列问题：
（1）求；
（2）若，求的周长的取值范围.
【规律方法】
求有关三角形面积或周长的最值(范 ( http: / / www.21cnjy.com )围)问题，一般转化为一个角的一个三角函数，利用三角函数的有界性求解，或利用余弦定理转化为边的关系，再应用基本不等式求解.
【跟踪练习】（1）（2021·四川成都市·成都七中高二开学考试（文））设的内角、、的对边分别为、、，且．若，则边的最小值为______．
（2）（2020·全国高考真题（理））中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC=3，求周长的最大值.
考点四 解三角形的实际应用　
（2021·江苏高一期中）为响应国家号召开，积极引进外资，现欲在南京紫金东创建一工厂，目前两条公路，的交汇点处有一居民区，现拟在两条公路之间的区域内建造工厂，同时在两公路旁，（异于点）处设两个销售点，且满足，（千米），（千米），设.（注：）【来源：21·世纪·教育·网】
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（1）试用表示，并写出的范围；
（2）当为多大时，工厂产生的噪声对居民区的影响最小（即工厂与学校的距离最远）.
【规律方法】
利用正弦定理、余弦定理解决实际问题的一般思路：
（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；
（2）实际问题经抽象概括后，已知量 ( http: / / www.21cnjy.com )与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，根据条件列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解.21·世纪*教育网
【跟踪练习】（2020·新余市第一中学高二月考（理））某日，我渔政船在东海某海域巡航，已知该船正以海里／时的速度向正北方向航行，该船在A点处发现北偏东30°方向的海面上有一个小岛，继续航行20分钟到达B点，发现该小岛在北偏东45°方向上，若该船向北继续航行，船与小岛的最小距离可以达到（ ）海里www-2-1-cnjy-com
A．6 B．8 C．10 D．12
考点五 运用正余弦定理解决三角形的面积　
（1）(2020江苏溧阳上学期期中考试)在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积是______．
(2)（2021·全国高考真题）在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．
（1）若，求的面积；
（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形 若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【规律方法】
1．求三角形面积的方法
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．2-1-c-n-j-y
(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．21*cnjy*com
2．已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．
(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．
【跟踪练习】（2020·北京卷）在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：
（Ⅰ）a的值：
（Ⅱ）和的面积．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
考点六 结构不良问题　
（1）（2020届山东省烟台市高三上期末）在条件①，②，③中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.【来源：21cnj*y.co*m】
在中，角的对边分别为，，， .
求的面积.
（2）（2021·浙江高二开学考试）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，S为的面积．请在①；②；③三个条件中选择一个，完成下列问题：【出处：21教育名师】
（1）求出角A的大小；
（2）若，求的取值范围．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）
【跟踪练习】（2020·山东卷）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．【版权所有：21教育】
问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
1.（2021·全国高考真题（文））在中，已知，，，则（ ）
A．1 B． C． D．3
2．（2021·全国高考真题（理））魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（ ）21教育名师原创作品
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A．表高 B．表高
C．表距 D．表距
3. (2020年高考全国III卷理数)在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=
A． B．C． D．
4.（2020·山东高考真题）在中，内角，，的对边分别是，，，若，且 ，则等于（ ）
A．3 B． C．3或 D．-3或
5.（2020·新课标Ⅲ）在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（ ）
A. B. C. D.
6.（2021·全国高考真题（理））2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（ ）21*cnjy*com
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A．346 B．373 C．446 D．473
7.（2021·四川成都市·树德中学高三开学考试（理））为测量两塔塔尖之间的距离，某同学建立了如图所示的几何模型.若平面，平面，，，，，，则塔尖之间的距离为（ ）
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A． B． C． D．
8.（2021·全国高一课时练习）在中，D在线段上，且，若，则下列说法错误的是（ ）
A．的面积为8 B．的周长为
C．为钝角三角形 D．
9. （2021·全国高一课时练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．是钝角三角形
C．为直角三角形 D．若，则外接圆半径为
10.（2021·张家口市第一中学高一期中）下列说法中正确的是（ ）
A．若，，.则有两组解
B．在中，已知，则是等腰直角三角形
C．两个不能到达的点之间无法求两点间的距离
D．在中，若.
11.（2021·浙江师范大学附属东阳 ( http: / / www.21cnjy.com )花园外国语学校高一月考）△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则下列结论正确的是（ ）
A．△ABC是单位圆的内接三角形，则
B．若（a+b+c）（a+b-c）=3ab，则
C．若，则
D．若，则△ABC是锐角三角形
12.（2021·滨海县八滩中学高一期中）在，下列说法正确的是（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则必有两解
C．若是锐角三角形，则
D．若，则为锐角三角形
13.（2021·河南高三月考（文））已知，，分别为三个内角，，的对边，且，则的最大值为______．2·1·c·n·j·y
14.（2021·吉林长春市·高三（理））在气象台正西方向km处有一台风中心，它正向东北方向移动，移动速度的大小为km/h，距台风中心km以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，大约________小时后气象台所在地开始受到影响（参考数据：，）.
15.（2021·四川巴中·高一期末（理））年月日，以“绿色秦巴，开放互赢”为主题的第三届秦巴山区绿色农林产业投资贸易洽谈会在四川省巴中市开幕，会场设在刚刚竣工的川东北最大的综合体育场——巴中市体育中心，即民间所说的“兴文鸟巢”，能被邀请到现场观礼是无比的荣耀．如图，在坡度为的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为和，且第一排和最后一排的距离为米，则旗杆的高度为________米．
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16.（2021·浙江高考真题）我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别是3，4，记大正方形的面积为，小正方形的面积为，则___________.
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17.（2021·山东高考真题）在△中，，，，等于______．
18．（2021·全国高考真题（理））记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．
19．（2021·浙江高考真题）在中，，M是的中点，，则___________，___________.
20.（2021·全国高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.
（1）证明：；
（2）若，求.
21．（2021·全国高考真题）在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．
（1）若，求的面积；
（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形 若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
22．（2021·北京高考真题）已知在中，，．
（1）求的大小；
（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度．
①；②周长为；③面积为.
23．（2021·天津高考真题）在，角所对的边分别为，已知，．
（I）求a的值；
（II）求的值；
（III）求的值．
24.（2020·天津卷）在中，角所对的边分别为．已知．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求的值．
25.（2020·浙江卷）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（I）求角B；
（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．
26.（2021·湖南高考真题）如图，在中，，点D在BC边上，且，，
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（1）求AC的长；
（2）求的值.
27.（2021·天津高考真题）在，角所对的边分别为，已知，．
（I）求a的值；
（II）求的值；
（III）求的值．
28.（2021·江苏高考真题）已知向量，，设函数.
（1）求函数的最大值;
（2）在锐角中，三个角，，所对的边分别为，，，若，，求的面积.
考纲解读
核心素养
知识梳理
高频考点
例1
例2
例3
例4
例5
例6
真题演练
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专题四 三角函数与解三角形
06 正弦定理、余弦定理及解三角形
考纲对本模块内容的具体要求如下：
高考对正弦定理和余弦定理 ( http: / / www.21cnjy.com )的考查较为灵活，题型多变，往往以小题的形式独立考查正弦定理或余弦定理，以解答题的形式综合考查定理的综合应用，多与三角形周长、面积有关；有时也会与平面向量、三角恒等变换等结合考查，试题难度控制在中等或以下，主要考查灵活运用公式求解计算能力、推理论证能力、数学应用意识、数形结合思想等.
1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
逻辑推理：掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.
数学运算：1.理解正弦定理、余弦定理，并能利用公式进行简单的化简、求值.
2.了解三角形的面积公式，并能灵活运用面积公式解决与面积有关的问题.
一、正弦、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
内容 ＝＝＝2R. a2＝b2＋c2－2bccos_A；b2＝c2＋a2－2cacos_B；c2＝a2＋b2－2abcos_C.
变形 (1)a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；(2)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(3)＝＝2R. cos A＝；cos B＝；cos C＝.
二、三角形常用面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．
三、实际问题中的常用角
(1)仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内 ( http: / / www.21cnjy.com )的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方的角叫做仰角，目标视线在水平视线下方的角叫做俯角(如图1)．
(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°、北偏西45°、西偏北60°等．
(3)方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如点B的方位角为α(如图2)．
(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．
[常用结论]
1．在△ABC中，A＞B a＞b sin A＞sin B.
2．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；
b＝acos C＋ccos A；
c＝bcos A＋acos B.
3．内角和公式的变形
(1)sin(A＋B)＝sin C；
(2)cos(A＋B)＝－cos C.
4．在△ABC中，若acos A＝bcos B，则△ABC是等腰三角形或直角三角形．
考点一 利用正、余弦定理解三角形　
（1）（2021·贵州中央民族大学附属中学贵阳市实验学校高三月考（理））的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，则的面积为（ ）
A． B．3 C． D．6
【答案】C
【分析】
由已知条件根据余弦定理可得，求得，由即可得解.
【详解】
因为，所以，
所以．
故的面积．
故选：C
（2）（2021·山东泰安市·高三三模）在中，，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由余弦定理得：，
所以，因为，所以，所以，
故选：D．
【规律方法】
解三角形的常见题型及求解方法
（1）已知两角A，B与一边a，由A＋B＋C＝π及，可先求出角C及b，再求出c.
（2）已知两边b，c及其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bccos A，先求出a，再求出角B，C.
（3）已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C.,
（4）已知两边a，b及其中一边的对角A ( http: / / www.21cnjy.com )，由正弦定理可求出另一边b的对角B，由C＝π－(A＋B)，可求出角C，再由可求出c，而通过求角B时，可能有一解或两解或无解的情况.)21·cn·jy·com
【跟踪练习】（2021·天水市第一中学高三开学考试（文））已知，，分别为△三个内角，，的对边，www.21-cn-jy.com
（1）求角
（2）若，△的面积为，求，.
【答案】（1）；（2），.
【分析】
（1）根据已知条件，由正弦定理可得，结合三角形内角和的性质求角.
（2）利用三角形面积公式、余弦定理列方程组，求，即可.
【详解】
（1）由正弦定理知：，而，
∴，即，又，
∴，即，又，
∴，则.
（2）由（1）及题设，，即，
将代入，整理得：，则，即，故.
考点二 判断三角形的形状　
（1）在中，内角所对的边分别是，已知．
①求证：为等腰三角形；
②若是钝角三角形，且面积为，求的值．
【解析】①由得：，
则，
，，，
由正弦定理可知：，
则为等腰三角形.
②由题意得：，解得：，
∵为钝角三角形，且，为钝角，
，
由余弦定理得：，
.
（2）（2021·全国高三专题练习）在中，有，那么这个三角形一定是（ ）
A．以a为斜边的直角三角形 B．以b为斜边的直角三角形
C．等边三角形 D．以上结论都不对
【答案】D
【分析】
由题设可知，与是对称的关系，可A、B同时排除，又若C正确，则原式为，矛盾，则C被排除，由此可得选项.【来源：21·世纪·教育·网】
【详解】
解：由题设可知，与是对称的关系，从而A、B是等价命题，故A、B同时排除，
又由分析法可知若C正确，则原式为，矛盾，则C被排除，
故选：D.
【规律方法】
判定三角形形状的方法
化边：通过因式分解，配方等得边的相对应关系.
化角：通过三角恒等变换，得出内角的关系，此时要注意应用A＋B＋C＝π这个结论.
【跟踪练习】（1）（2021·全国高三专题练习）设△的三边长为，，，若，，则△是（ ）．21·世纪*教育网
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形或直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】D
【分析】
若三角形各边长为a、b、c且内切圆半径为r，法一：由内切圆的性质有、，根据边角关系可得或，注意讨论所得关系验证所得关系的内在联系；法二：利用万能公式、余弦定理可得或，结合已知进一步讨论所得结论，判断三角形的形状；法三：由半角正切公式、正弦定理可得或，结合三角形内角的性质讨论所得关系判断三角形的形状.www-2-1-cnjy-com
【详解】
设，△的内切圆半径为r，如图所示，
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法一：
∴①；②.
①÷②，得：，即．
于是，
，，
从而得或，
∴或．故△为等腰三角形或直角三角形，
（1）当时，内心I在等腰三角形的底边上的高上，
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，从而得．
又，代入①式，得，即，
上式两边同时平方，得：，化简，即．即△直角三角形，
∴△为等腰直角三角形．
（2）当时，易得．
代入②式，得，整理得，又，
∴，即，因此，△为等腰直角三角形．
法二：
由万能公式，得：，．
又，，
由余弦定理得：，，
从而可得①，②，
由①式，得，
利用等比定理，得．即，进而得，即．
∴或，即或，
（l）若，可知②式不成立；
（2）若，②式可化为，即，从而得，
进而得，于是，
∵，（由即可推得），
∴．因此，△为等腰直角三角形．
法三：
利用，及正弦定理和题设条件，得①，②.
∴③；④.
由③和④得：，即，，
∴或，即或．
（1）若，代入③得：⑤
又，将其代入⑤，得：．
变形得，即⑥，
由知A为锐角，从而知．
∴由⑥，得：，即，从而，．
因此，△为等腰直角三角形．
（2）若，代入③得，即，
∴，把代入④，得，
∴，△为等腰直角三角形．
故选：D
（2）（2021·全国高一课时练习）在中，若，则一定是（ ）
A．钝角三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．非等腰三角形
【答案】B
【分析】
先利用正弦定理角化边，结合条件导出即可判断作答.
【详解】
在中，由正弦定理及得：，因，
则有，即，因此得，
所以是等边三角形.
故选：B
（3）（2021·全国高一课时练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则的形状是（ ）21世纪教育网版权所有
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
【答案】C
【分析】
根据给定条件可得，由此判断三角形形状得解.
【详解】
因，则有，即，可得，此时，有，
所以是等边三角形.
故选：C
考点三 与三角形有关的最值(范围)问题　
（1）（2021·黑龙江哈尔滨市·哈尔滨三中高二月考（理））设的面积为，若，则的最大值为（ ）2·1·c·n·j·y
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
首先根据三角恒等变换和角化边公式得到，利用基本不等式得到，化简得到，再根据求解即可.
【详解】
因为，
所以
整理得：，即，.
，
当且仅当时取等号.
因为，
所以当时，取得最大值.
故选：C
（2）（2021·全国高三月考（文））在中，内角，，的对边分别为，，，请在①；②两个条件中，选择一个完成下列问题：
（1）求；
（2）若，求的周长的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
(1)选择①，利用三角形面积定理、余弦定理结合已知条件经变形得即可；
选择②，利用正弦定理化边为角，再利用三角恒等变换求出得解；
(2)利用正弦定理结合(1)用角B表示边b，c，再借助三角恒等变换及三角函数的性质即可作答.
【详解】
（1）选择条件①：在中，，即，
由余弦定理得，，即，而，
所以；
选择条件②：在中，由正弦定理得：.
而，即，则，
整理得，解得，而，
所以；
（2）由(1)及正弦定理得，于是得，，
而，，
从而得
显然，，因此，，
所以的周长的取值范围是.
【规律方法】
求有关三角形面积或周长的最值(范围)问题，一 ( http: / / www.21cnjy.com )般转化为一个角的一个三角函数，利用三角函数的有界性求解，或利用余弦定理转化为边的关系，再应用基本不等式求解.
【跟踪练习】（1）（2021·四川成都市·成都七中高二开学考试（文））设的内角、、的对边分别为、、，且．若，则边的最小值为______．
【答案】
【分析】
利用正弦定理、二倍角公式化简已知条件，求得，进而求得.结合余弦定理、基本不等式求得的最小值.
【详解】
∵，即：，
∴由正弦定理得，
∴，由，可得：．
∵，
∴由余弦定理得：，可得：，当且仅当时等号成立，
∴，可得：，，即的最小值为．
故答案为：
（2）（2020·全国高考真题（理））中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．
（1）求A；
（2）若BC=3，求周长的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）利用正弦定理角化边，配凑出的形式，进而求得；
（2）利用余弦定理可得到，利用基本不等式可求得的最大值，进而得到结果.
【详解】
（1）由正弦定理可得：，
，
，.
（2）由余弦定理得：，
即.
（当且仅当时取等号），
，
解得：（当且仅当时取等号），
周长，周长的最大值为.
考点四 解三角形的实际应用　
（2021·江苏高一期中）为响应国家号召开，积极引进外资，现欲在南京紫金东创建一工厂，目前两条公路，的交汇点处有一居民区，现拟在两条公路之间的区域内建造工厂，同时在两公路旁，（异于点）处设两个销售点，且满足，（千米），（千米），设.（注：）2-1-c-n-j-y
( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）试用表示，并写出的范围；
（2）当为多大时，工厂产生的噪声对居民区的影响最小（即工厂与学校的距离最远）.
【答案】（1），；（2）当时，工厂产生的噪声对居民区的影响最小.
【分析】
（1）由正弦定理求得，由三角形内角和求得范围；
（2）由余弦定理求得，并由三角函数恒等变换公式，结合正弦函数性质得最大值．
【详解】
解：（1）因为，
所以.
在中，由正弦定理得：
因为，所以，
（2）在中，
当且仅当，即时，取得最大值144，即取得最大值12.
答：当时，工厂产生的噪声对居民区的影响最小.
【规律方法】
利用正弦定理、余弦定理解决实际问题的一般思路：
（1）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解；
（2）实际问题经抽象概括后 ( http: / / www.21cnjy.com )，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，再逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，根据条件列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解.【来源：21cnj*y.co*m】
【跟踪练习】（2020·新余市第一中学高二月考（理））某日，我渔政船在东海某海域巡航，已知该船正以海里／时的速度向正北方向航行，该船在A点处发现北偏东30°方向的海面上有一个小岛，继续航行20分钟到达B点，发现该小岛在北偏东45°方向上，若该船向北继续航行，船与小岛的最小距离可以达到（ ）海里【出处：21教育名师】
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【分析】
易知，先在中，利用正弦定理求得BC，再由 求解.
【详解】
如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
由题意得：，，，
则，，
在中，由正弦定理得：，
所以，
所以，
故选：C
考点五 运用正余弦定理解决三角形的面积　
（1）(2020江苏溧阳上学期期中考试)在中，角，，所对的边分别为，，，若，，，则的面积是______．
【答案】
【解析】，，由正弦定理可得，又，
由余弦定理可得，，解得，又，．故答案为．
(2)（2021·全国高考真题）在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．
（1）若，求的面积；
（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形 若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，且.
【分析】
（1）由正弦定理可得出，结合已知条件求出的值，进一步可求得、的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出，再利用三角形的面积公式可求得结果；
（2）分析可知，角为钝角，由结合三角形三边关系可求得整数的值.
【详解】
（1）因为，则，则，故，，
，所以，为锐角，则，
因此，；
（2）显然，若为钝角三角形，则为钝角，
由余弦定理可得，
解得，则，
由三角形三边关系可得，可得，，故.
【规律方法】
1．求三角形面积的方法
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．21教育名师原创作品
(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．21*cnjy*com
2．已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．
(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．
【跟踪练习】（2020·北京卷）在中，，再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为己知，求：
（Ⅰ）a的值：
（Ⅱ）和的面积．
条件①：；
条件②：．
注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分．
【答案】选择条件①（Ⅰ）8（Ⅱ）, ；
选择条件②（Ⅰ）6（Ⅱ）, .
【解析】选择条件①（Ⅰ）
（Ⅱ）
由正弦定理得：
选择条件②（Ⅰ）
由正弦定理得：
（Ⅱ）
考点六 结构不良问题　
（1）（2020届山东省烟台市高三上期末）在条件①，②，③中任选一个，补充到下面问题中，并给出问题解答.
在中，角的对边分别为，，， .
求的面积.
【解析】
若选①：
由正弦定理得，
即，
所以，
因为，所以.
又，
，，所以，
所以.
若选②：
由正弦定理得.
因为，所以，，
化简得，
即，因为，所以.
又因为，
所以，即，
所以.
若选③：
由正弦定理得，
因为，所以，
所以，又因为，
所以，
因为，，所以，
，，所以.
又，
，，所以，
所以.
（2）（2021·浙江高二开学考试）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，S为的面积．请在①；②；③三个条件中选择一个，完成下列问题：【版权所有：21教育】
（1）求出角A的大小；
（2）若，求的取值范围．（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．）
【答案】（1）条件选择见解析，；（2）.
【分析】
（1）方案一：选条件①结合三角形的面积公式以及余弦定理化简整理即可求出结果；
方案二：选条件②结合正弦定理边化角，利用三角恒等变换即可求出结果；
方案三：选条件③利用三角恒等变换化简整理即可求出结果.
（2）利用正弦定理边化角，然后结合三角恒等变换以及正弦函数的图象与性质即可求出结果.
【详解】
（1）方案一：选条件①
∵，∴，即，
∴，即．
方案二：选条件②
∵，∴，
即，∴，
即，∴，即．
方案三：选条件③
∵，∴，
∴，∴，即．
（2）∵，
∴
∵，∴，∴．
【跟踪练习】（2020·山东卷）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．
问题：是否存在，它的内角的对边分别为，且，，________
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】详见解析
【解析】解法一：
由可得：，
不妨设，
则：，即.
选择条件①的解析：
据此可得：，，此时.
选择条件②的解析：
据此可得：，
则：，此时：，则：.
选择条件③的解析：
可得，，
与条件矛盾，则问题中的三角形不存在.
解法二：∵,
∴,
，
∴,∴,∴,∴,
若选①，,∵,∴,∴c=1;
若选②，,则,;
若选③,与条件矛盾.
1.（2021·全国高考真题（文））在中，已知，，，则（ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】D
【分析】利用余弦定理得到关于BC长度的方程，解方程即可求得边长.
【详解】设，
结合余弦定理：可得：，
即：，解得：（舍去），
故.
故选：D.
2．（2021·全国高考真题（理））魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（ ）21cnjy.com
( http: / / www.21cnjy.com / )
A．表高 B．表高
C．表距 D．表距
【答案】A
【分析】利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出．
【详解】如图所示：
( http: / / www.21cnjy.com / )
由平面相似可知，，而，所以
，而，
即＝．
故选：A.
3. (2020年高考全国III卷理数)在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=
A． B．C． D．
【答案】A
【解析】在中，，，，
根据余弦定理：，
，可得 ，即，
由，故.
故选：A．
4.（2020·山东高考真题）在中，内角，，的对边分别是，，，若，且 ，则等于（ ）
A．3 B． C．3或 D．-3或
【答案】A
【分析】
利用余弦定理求出，并进一步判断，由正弦定理可得，最后利用两角和的正切公式，即可得到答案；
【详解】
，，
，
，
，，
，
，
故选：A.
5.（2020·新课标Ⅲ）在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】在中，，，
根据余弦定理：
可得 ，即
由
故.
6.（2021·全国高考真题（理））2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影满足，．由C点测得B点的仰角为，与的差为100；由B点测得A点的仰角为，则A，C两点到水平面的高度差约为（）（ ）
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A．346 B．373 C．446 D．473
【答案】B
【分析】通过做辅助线，将已知所求量转化到一个三角形中，借助正弦定理，求得，进而得到答案．
【详解】 ( http: / / www.21cnjy.com / )
过作，过作，
故，
由题，易知为等腰直角三角形，所以．
所以．
因为，所以
在中，由正弦定理得：
，
而，
所以，
所以．
故选：B．
7.（2021·四川成都市·树德中学高三开学考试（理））为测量两塔塔尖之间的距离，某同学建立了如图所示的几何模型.若平面，平面，，，，，，则塔尖之间的距离为（ ）
( http: / / www.21cnjy.com / )
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
先在中求得，中求得，再在中利用余弦定理求即可.
【详解】
依题意，在中，，，
，可得，
则 ，
在中，，，则，
又中，，由余弦定理可得：
则.
故塔尖之间的距离为.
故选：C.
8.（2021·全国高一课时练习）在中，D在线段上，且，若，则下列说法错误的是（ ）
A．的面积为8 B．的周长为
C．为钝角三角形 D．
【答案】D
【分析】
在中用余弦定理求出BC长及，再在中用余弦定理求出AC长，然后对各选项逐一分析计算并判断作答.
【详解】
如图，在中，因，由余弦定理得，
( http: / / www.21cnjy.com / )
则有，即，而，解得，，
又由余弦定理得，在中，由余弦定理得：
，
显然，的面积，A正确；
的周长为，B正确；
显然AB是最大边，，角为钝角，C正确；
，D不正确.
故选：D
9. （2021·全国高一课时练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．是钝角三角形
C．为直角三角形 D．若，则外接圆半径为
【答案】AD
【分析】
利用正弦定理结合已知可判断选项A；利用余弦定理结合已知可计算判断选项B，C；先求出，再借助正弦定理计算即可判断D并作答.
【详解】
在中，由正弦定理得，A正确；
令，显然是最大角，由余弦定理得：
，则是锐角，B，C都不正确；
因，则，令外接圆半径为R，由正弦定理得：，解得，D正确.
故选：AD
10.（2021·张家口市第一中学高一期中）下列说法中正确的是（ ）
A．若，，.则有两组解
B．在中，已知，则是等腰直角三角形
C．两个不能到达的点之间无法求两点间的距离
D．在中，若.
【答案】AD
【分析】
选项A，利用边边角多解的判定条件可判断；
选项B，原式可利用正弦定理转化为，可判断；
选项C，两个不能到达的点之间可通过构造三角形，通过解三角形求两点间的距离；
选项D，由正弦定理，，可判断.
【详解】
选项A：由正弦定理，，又，或，有两组解，故A正确；
选项B：由题意，根据正弦定理，
又或，即或
故是等腰三角形或直角三角形，故B不正确；
选项C：两个不能到达的点之间可通过构造三角形，通过解三角形求两点间的距离，故C不正确；
选项D：由正弦定理，，故D正确.
故选：AD
11.（2021·浙江师范 ( http: / / www.21cnjy.com )大学附属东阳花园外国语学校高一月考）△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则下列结论正确的是（ ）21教育网
A．△ABC是单位圆的内接三角形，则
B．若（a+b+c）（a+b-c）=3ab，则
C．若，则
D．若，则△ABC是锐角三角形
【答案】BC
【分析】
A，由正弦定理可得；B，由余弦定理化简可得；C，先由正弦定理化角为边，再利用余弦定理即可求解；D，由余弦定理化角为边，整理可得可判断.
【详解】
对A，若△ABC是单位圆的内接三角形，则由正弦定理可得，所以，故A错误；
对B，由整理可得，由余弦定理，，，故B正确；
对C，由可得，由正弦定理可得，由余弦定理得，，，故C正确；
对D，若，由余弦定理，整理可得，，，即，此时并不能证明△ABC是锐角三角形，如当时为直角三角形，故D错误.
故选：BC.
12.（2021·滨海县八滩中学高一期中）在，下列说法正确的是（ ）
A．若，则为等腰三角形
B．若，则必有两解
C．若是锐角三角形，则
D．若，则为锐角三角形
【答案】BC
【分析】
利用正弦定理结合正弦函数的性质可判断A；根据边角关系判断三角形解的个数可判断B； 由已知得，结合正弦函数性质可判断C；利用二倍角的余弦公结合余弦定理可判断D.
【详解】
对于A，由正弦定理可得，，或即，为等腰或直角三角形，故A错误；
对于B，，即，必有两解，故B正确；
对于C，是锐角三角形，，即，由正弦函数性质结合诱导公式得，故C正确；
对于D，利用二倍角的余弦公式知，即，即，，即C为锐角，不能说明为锐角三角形，故D错误.
故选：BC
13.（2021·河南高三月考（文））已知，，分别为三个内角，，的对边，且，则的最大值为______．
【答案】
【分析】
先利用余弦定理求出，把整理化简为，利用三角函数求出最大值.
【详解】
因为，
所以.
因为,所以.
所以
因为，所以，所以，
所以，所以.
即的最大值为.
故答案为：.
14.（2021·吉林长春市·高三（理））在气象台正西方向km处有一台风中心，它正向东北方向移动，移动速度的大小为km/h，距台风中心km以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，大约________小时后气象台所在地开始受到影响（参考数据：，）.
【答案】2
【分析】
设气象台为，台风中心为，小时后中心移至处气象台所在地开始受到影响，则，在△中应用余弦定理列方程求即可.
【详解】
设气象台所在地为，台风中心为，约小时后气象台所在地将受到影响， 小时后中心移动至处，，
在△中，，
由余弦定理，，整理得，解得，
依题意，保留，故约2小时后影响气象台所在地.
故答案为：2.
( http: / / www.21cnjy.com / )
15.（2021·四川巴中·高一期末（理））年月日，以“绿色秦巴，开放互赢”为主题的第三届秦巴山区绿色农林产业投资贸易洽谈会在四川省巴中市开幕，会场设在刚刚竣工的川东北最大的综合体育场——巴中市体育中心，即民间所说的“兴文鸟巢”，能被邀请到现场观礼是无比的荣耀．如图，在坡度为的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为和，且第一排和最后一排的距离为米，则旗杆的高度为________米．
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【答案】
【分析】
设，可得出，然后在中，利用正弦定理可得出关于的等式，由此可解得的值.
【详解】
设，在中，；
在中，，，，，
由正弦定理得，即，所以．
故旗杆的高度为米．
故答案为：.
16.（2021·浙江高考真题）我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别是3，4，记大正方形的面积为，小正方形的面积为，则___________.
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【答案】25
【分析】
分别求得大正方形的面积和小正方形的面积，然后计算其比值即可.
【详解】
由题意可得，大正方形的边长为：，
则其面积为：，
小正方形的面积：，
从而.
故答案为：25.
17.（2021·山东高考真题）在△中，，，，等于______．
【答案】
【分析】
由和角正弦公式求函数值，再应用正弦定理求即可.
【详解】
，
由正弦定理可知，，
∴.
故答案为：
18．（2021·全国高考真题（理））记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．
【答案】
【分析】
由三角形面积公式可得，再结合余弦定理即可得解.
【详解】
由题意，，
所以，
所以，解得（负值舍去）.
故答案为：.
19．（2021·浙江高考真题）在中，，M是的中点，，则___________，___________.
【答案】
【分析】由题意结合余弦定理可得，进而可得，再由余弦定理可得.
【详解】由题意作出图形，如图，
( http: / / www.21cnjy.com / )
在中，由余弦定理得，
即，解得（负值舍去），
所以，
在中，由余弦定理得，
所以；
在中，由余弦定理得.
故答案为：；.
20.（2021·全国高考真题）记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.
（1）证明：；
（2）若，求.
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）根据正弦定理的边角关系有，结合已知即可证结论.
（2）由题设，应用余弦定理求、，又，可得，结合已知及余弦定理即可求.
【详解】 ( http: / / www.21cnjy.com / )
（1）由题设，，由正弦定理知：，即，
∴，又，
∴，得证.
（2）由题意知：，
∴，同理，
∵，
∴，整理得，又，
∴，整理得，解得或，
由余弦定理知：，
当时，不合题意；当时，；
综上，.
21．（2021·全国高考真题）在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．
（1）若，求的面积；
（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形 若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，且.
【分析】（1）由正弦定理可得出，结合已知条件求出的值，进一步可求得、的值，利用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求出，再利用三角形的面积公式可求得结果；
（2）分析可知，角为钝角，由结合三角形三边关系可求得整数的值.
【详解】（1）因为，则，则，故，，
，所以，为锐角，则，
因此，；
（2）显然，若为钝角三角形，则为钝角，
由余弦定理可得，
解得，则，
由三角形三边关系可得，可得，，故.
22．（2021·北京高考真题）已知在中，，．
（1）求的大小；
（2）在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度．
①；②周长为；③面积为.
【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析．
【分析】（1）由正弦定理化边为角即可求解；
（2）若选择①：由正弦定理求解可得不存在；
若选择②：由正弦定理结合周长可求得外接圆半径，即可得出各边，再由余弦定理可求；
若选择③：由面积公式可求各边长，再由余弦定理可求.
【详解】（1），则由正弦定理可得，
，，，，
，解得；
（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得，
与矛盾，故这样的不存在；
若选择②：由（1）可得，
设的外接圆半径为，
则由正弦定理可得，
，
则周长，
解得，则，
由余弦定理可得边上的中线的长度为：
；
若选择③：由（1）可得，即，
则，解得，
则由余弦定理可得边上的中线的长度为：
.
23．（2021·天津高考真题）在，角所对的边分别为，已知，．
（I）求a的值；
（II）求的值；
（III）求的值．
【答案】（I）；（II）（III）
【分析】（I）由正弦定理可得，即可求出；
（II）由余弦定理即可计算；
（III）利用二倍角公式求出的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出.
【详解】（I）因为，由正弦定理可得，
，；
（II）由余弦定理可得；
（III），，
，，
所以.
24.（2020·天津卷）在中，角所对的边分别为．已知．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的值；
（Ⅲ）求的值．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.
【解析】
（Ⅰ）在中，由及余弦定理得
，
又因为，所以；
（Ⅱ）在中，由，及正弦定理，可得；
（Ⅲ）由知角为锐角，由，可得，
进而，
所以.
【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.21*cnjy*com
25.（2020·浙江卷）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
（I）求角B；
（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．
【答案】（I）；（II）
【解析】
（I）由结合正弦定理可得：
△ABC为锐角三角形，故.
（II）结合(1)的结论有：
.
由可得：，，
则，.
即的取值范围是.
26.（2021·湖南高考真题）如图，在中，，点D在BC边上，且，，
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（1）求AC的长；
（2）求的值.
【答案】（1）（2）
【分析】
（1）由已知利用余弦定理直接求解．
（2）利用，结合两角差的正弦公式即可得解．
【详解】
（1），，，
在中，由余弦定理得，
（2），所以，又由题意可得，
27.（2021·天津高考真题）在，角所对的边分别为，已知，．
（I）求a的值；
（II）求的值；
（III）求的值．
【答案】（I）；（II）；（III）
【分析】
（I）由正弦定理可得，即可求出；
（II）由余弦定理即可计算；
（III）利用二倍角公式求出的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出.
【详解】
（I）因为，由正弦定理可得，
，；
（II）由余弦定理可得；
（III），，
，，
所以.
28.（2021·江苏高考真题）已知向量，，设函数.
（1）求函数的最大值;
（2）在锐角中，三个角，，所对的边分别为，，，若，，求的面积.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）结合平面向量的数量积运算、二倍角公式和辅助角公式，可得，进而可得的最大值；
（2）由锐角，推出，再结合（B），求得，由正弦定理知，再利用余弦定理求出，，最后由三角形面积公式得解．
【详解】
（1）因为，，
所以函数
∴当时，
（2）∵为锐角三角形，.
又
即
考纲解读
核心素养
知识梳理
高频考点
例1
例2
例3
例4
例5
例6
真题演练
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