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2022届高考数学一轮复习 第一章　集合与常用逻辑用语、不等式
第5讲　基本不等式
一、 单项选择题
1. 若0＜x＜1，则＋的最小值为(　　)
A. 9 B.
C. 5 D.
2. (2020·启东联考)下列不等式一定成立的是(　　)
A. ≥ B. ≤－
C. x＋≥2 D. x2＋≥2
3. (2020·广州期末)若实数x，y满足xy＋6x＝4，则＋的最小值为(　　)
A. 4　　 B. 8　
C. 16　 D. 32
4. 《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为(　　)
(第4题)
A. ≥(a>0，b>0)
B. a2＋b2≥2(a>0，b>0)
C. ≤(a>0，b>0)
D. ≤(a>0，b>0)
5. (2020·衡阳三模)已知a，b都是正实数，2a＋b＝2，则＋的最小值为(　　)
A. B. ＋1
C. D. 2
二、 多项选择题
6. (2020·通州期末)设a，b均为正数，且a＋2b＝1，则下列结论正确的是(　　)
A. ab有最大值 B. ＋有最大值
C. a2＋b2有最小值 D. a2－b2有最小值－
7. (2020·山东卷)已知a＞0，b＞0，且a＋b＝1，则(　　)
A. a2＋b2≥ B. 2a－b>
C. log2a＋log2b≥－2 D. ＋≤
三、 填空题
8. (2020·无锡期末)某种圆柱形饮料罐的容积为定值，当底面半径R与它的高h的比值为________时，可以使它的用料最省．
9. 函数y＝(x>1)的最小值为________．
10. 若x＞0，y＞0，且＋＝1，则2xy的最小值为________；xy＋3x的最小值为________．
11. (2021· 海门中学)若实数x，y满足x>y>0，且log2x＋log2y＝1，则＋的最小值是________，的最大值为________．
四、 解答题
12. 若a＞0，b＞0，且2a＋b＋2＝3ab.
(1) 求2a＋b的最小值；
(2) 是否存在a，b，使得a3＋b3＝4？并说明理由．
13. (1) 设a，b为正实数，且a＋b＝3，求＋的最小值；
(2) 已知x>0，y>－1，且x＋y＝1，求＋的最小值．
14. 请解答以下问题，要求解决两个问题的方法不同．
(1) 如图(1)，要在一个半径为1 m的半圆形铁板中截取一块面积最大的矩形ABCD，如何截取？并求出这个最大矩形的面积．
(2) 如图(2)，要在一个长半轴为2 m，短半轴为1 m的半个椭圆形铁板中截取一块面积最大的矩形ABCD，如何截取？并求出这个最大矩形的面积．
　　
图(1)　　　　　　　图(2)
(第14题)
第5讲　基本不等式
1. B　【解析】 ＋＝＋＝(x＋1－x)＝＋＋，0＜x＜1，所以x＞0且1－x＞0，＋≥2＝2，当且仅当＝，即x＝时，＋取得最小值2，故＋的最小值为.
2. D　【解析】 当a，b为负数时，≥不成立，故排除A；当a，b为正数时，≤－不成立，故排除B；当x为负数时，x＋≥2不成立，故排除C；x2＋－2＝2≥0恒成立，即x2＋≥2恒成立，故选D.
3. B　【解析】 因为实数x，y满足xy＋6x＝4，所以x＝∈，y>0，则＋＝y＋6＋≥2＋6＝8，当且仅当y＝1，x＝时取等号，所以＋的最小值为8.
4. D　【解析】 由AC＝a，BC＝b，可得圆O的半径r＝.又OC＝OB－BC＝－b＝，则FC2＝OC2＋OF2＝＋＝，再根据题图知FO≤FC，即≤，当且仅当a＝b时取等号．故选D.
5. B　【解析】 由a>0，b>0,2a＋b＝2，得＋＝＋＝1＋＋≥1＋(当且仅当b＝a，即a＝2－，b＝2－2时取等号)，故＋的最小值为＋1.
6. ABC　【解析】 因为a＞0，b＞0，a＋2b＝1，由基本不等式可得1＝a＋2b≥2，可得ab≤，当且仅当a＝2b＝，即a＝，b＝时取等号，故A正确；因为(＋)2＝a＋2b＋2＝1＋2≤2，所以＋≤，即最大值为，故B正确；因为所以07. ABD　【解析】 对于A，a2＋b2＝a2＋(1－a)2＝2a2－2a＋1＝22＋≥，当且仅当a＝b＝时等号成立，故A正确；对于B，a－b＝2a－1>－1，所以2a－b>2－1＝，故B正确；对于C，log2a＋log2b＝log2(ab)≤log22＝log2＝－2，当且仅当a＝b＝时等号成立，故C不正确；对于D，因为(＋)2＝1＋2≤1＋a＋b＝2，所以＋≤，当且仅当a＝b＝时等号成立，故D正确．
8. 1∶2　【解析】 由题意可得V＝πR2h，则表面积S＝2πR2＋2πRh＝2πR2＋2πR×＝2πR2＋＝2πR2＋＋≥3，当且仅当2πR2＝＝πRh，即h＝2R时取等号，故所求比值为1∶2时满足题意．
9. 2＋2　【解析】 因为x>1，所以x－1>0，所以y＝＝＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2，当且仅当x－1＝，即x＝＋1时等号成立．
10. 8　9　【解析】 因为x＞0，y＞0，且＋＝1，所以xy＝x＋y≥2，当且仅当x＝y时取等号，可得xy≥4，则2xy的最小值为8.因为xy＋3x＝x＋y＋3x＝4x＋y＝(4x＋y)＝5＋＋≥5＋4＝9，当且仅当＝且＋＝1，即x＝，y＝3时取等号．
11. 2　　【解析】 实数x，y满足x>y>0，且log2x＋log2y＝1，则xy＝2，则＋≥2＝2，当且仅当＝，即x＝2，y＝1时取等号，故＋的最小值是2.又x>y>0，x－y>0，＝＝＝≤＝，当且仅当x－y＝，即x＝＋1，y＝－1时取等号，故的最大值为.
12. 【解答】 (1) 由3ab＝2a＋b＋2≥2＋2，得ab≥2，当且仅当2a＝b＝2时等号成立，
所以2a＋b＝3ab－2≥6－2＝4，
当且仅当2a＝b＝2时等号成立，
所以2a＋b的最小值为4.
(2) 由(1)知a3＋b3≥2≥4，当且仅当2a＝b＝2，a＝b时等号成立，
因为2a＝b＝2，a＝b不能同时成立，
所以不存在a，b，使得a3＋b3＝4成立．
13. 【解答】 (1) 因为a＋b＝3，令a＋2＝m，b＋1＝n，所以m＋n＝a＋b＋3＝6，
所以a＝m－2，b＝n－1，所以＋＝＋＝m＋＋n＋－6.
因为m＋n＝a＋b＋3＝6，
所以＋＝＋＝(m＋n)＝≥×(4＋5)＝，
当且仅当＝，即m＝2n时，＋取得最小值，
所以＋的最小值为.
(2) ＋＝＋，
结合x＋y＝1可知原式＝＋，
且＋＝×＝≥＝2＋，
当且仅当x＝3－，y＝－2＋时等号成立，
即＋的最小值为2＋.
14. 【解答】 (1) 设∠BOC＝α，则0<α<，
所以OB＝cosα，BC＝sinα.
因为S＝2OB·BC，
所以S＝2sinαcosα＝sin2α，
所以当α＝，即OB＝时，矩形面积最大，且为1.
(2) 依题意可得，椭圆方程为＋y2＝1(y≥0)．
设点C坐标为(m，n)，即OB＝m，BC＝n，
所以S＝2OB·BC＝2mn.
因为点C为椭圆上的点，所以＋n2＝1.
又＋n2≥2＝mn，
所以mn≤1，当且仅当＝n＝时取等号，所以S≤2，
故矩形面积最大为2，当且仅当OB＝时取等号．

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