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3.4　相似三角形的判定与性质
3.4.2　相似三角形的性质
第2课时 与相似三角形有关的面积、周长问题
一、选择题
1.【中考·内江】已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1∶3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为(　　)
A．1∶1 B．1∶3 C．1∶6 D．1∶9
2.【中考·铜仁】已知△ABC∽△DEF，相似比为2∶1，且△ABC的面积为16，则△DEF的面积为(　　)
A．32 B．8 C．4 D．16
3.【中考·昆明】两个相似三角形面积的比为4∶3，那么它们的对应边上的高的比为(　　)
A．4∶3 B．2∶ C．16∶9 D．不能确定
4．【2020·铜仁】已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且FH＝6，则EA的长为(　　)
A．3 B．2 C．4 D．5
5.【中考·沈阳】已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应中线，若AD＝10，A′D′＝6，则△ABC与△A′B′C′的周长比是(　　)
A．3∶5 B．9∶25 C．5∶3 D．25∶9
6.【2019·淄博】如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，D为BC边上一点，且∠CAD＝∠B.若△ADC的面积为a，则△ABD的面积为(　　)
A．2a B.a C．3a D.a
第6题图 第7题图 第8题图 第10题图
7.【2020·云南】如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点．则△DEO与△BCD的面积的比等于(　　)
A. B. C. D.
8.【2019·常德】如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，图中所有的三角形均相似，其中最小的三角形的面积为1，△ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积为(　　)
A．20 B．22 C．24 D．26
9.【2021·宜宾叙州区期末】两个相似三角形的最短边分别为5 cm和3 cm，它们的周长之差为12 cm，那么大三角形的周长为(　　)
A．14 cm B．16 cm C．18 cm D．30 cm
10.如图，△OAB∽△OCD，OA∶OC＝3∶2，∠A＝α，∠C＝β，△OAB与△OCD的面积分别是S1和S2，△OAB与△OCD的周长分别是C1和C2，则下列等式一定成立的是(　　)
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝
11.【2020·永州】如图，在△ABC中，EF∥BC，＝，四边形BCFE的面积为21，则△ABC的面积是(　　)
A. B．25 C．35 D．63
第11题图 第12题图 第13题图
12.【2020·海南】如图，在 ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为(　　)
A．16 B．17 C．24 D．25
13.如图,在矩形ABCD中,E是CD边的中点,且BE⊥AC于点F,连接DF,则下列结论错误的是( )
A.△ADC∽△CFB B.AD=DF C. D.
二、填空题
14.(1)相似三角形的面积之比等于______________．
(2)相似三角形的周长之比等于________．
15.【中考·抚顺】如果把两条直角边长分别为5，10的直角三角形按相似比进行缩小，得到的直角三角形的面积是____________．
16.已知两个相似三角形的相似比为2∶5，其中较小的三角形的面积为4，那么另一个三角形的面积为__________．
17.两个相似三角形的最短边的长分别为5 cm和3 cm，它们的周长之和为48 cm，那么小三角形的周长为________ cm.
18.已知两相似三角形对应高的比为3∶10，且这两个三角形的周长差为560 cm，则它们的周长分别为__________________．
19.【中考·包头】如图，在 ABCD中，AC是一条对角线，EF∥BC，且EF与AB相交于点E，与AC相交于点F， 3AE＝2EB，连接DF.若S△AEF＝1，则S△ADF的值为_______．
第19题图 第20题图
20.如图,M是△ABC内一点,过点M分别作直线平行于△ABC的各边,所形成的三个小三角形△1,△2,△3(图中阴影部分)的面积分别是4,9和49,则△ABC的面积是　 　.
三、解答题
21.【2020·新疆改编】如图，在△ABC中，D是AB的中点，过点D分别作BC的平行线交AC于点E，作BC的垂线交BC于点F，△DFE的面积为1，求△ABC的面积．
22.【2020·郑州外国语中学期末】某社区拟筹资金2 000元，计划在一块上、下底分别是10米，20米的梯形空地上种植花木(如图)，他们想在△AMD和△BMC地带种植单价为20元/平方米的太阳花，当△AMD地带种满花后，已经花了500元，请你预算一下，若继续在△BMC地带种植同样的太阳花，资金是否够用？并说明理由．
23.【2020·杭州】如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB.
(1)求证：△BDE∽△EFC.
(2)若＝.
①当BC＝12时，求线段BE的长；
②当△EFC的面积是20时，求△ABC的面积．
24.如图,在△ABC中,D是BC边上的中点,且DE⊥BC,AD=AC,DE与AB相交于点E,EC与AD相交于点F.
(1)求证:∠ECB=∠B;
(2)求证:△ABC∽△FCD;
(3)若△FCD的面积为7.5,BC=10,求DE的长.
25.两个相似三角形的一组对应边的长分别是24 cm和12 cm.
(1)若它们的周长和是120 cm，则这两个三角形的周长分别是多少？
(2)若它们的面积差是420 cm2，则这两个三角形的面积分别是多少？
26.问题1：如图①，在△ABC中，AB＝4，D是AB上一点(不与A，B重合)，DE∥BC，交AC于点E，连接CD.设△ABC的面积为S，△DEC的面积为S′.
(1)当AD＝3时，＝________；
(2)设AD＝m，请你用含字母m的代数式表示.
问题2：如图②，在四边形ABCD中，AB＝4，AD∥BC，AD＝BC，E是AB上一点(不与A，B重合)，EF∥BC，交CD于点F，连接CE.设AE＝n，四边形ABCD的面积为S，△EFC的面积为S′.请你利用问题1的解法或结论，用含字母n的代数式表示.
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参考答案
一、选择题
1.【中考·内江】已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1∶3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为(　D　)
A．1∶1 B．1∶3 C．1∶6 D．1∶9
2.【中考·铜仁】已知△ABC∽△DEF，相似比为2∶1，且△ABC的面积为16，则△DEF的面积为(　C　)
A．32 B．8 C．4 D．16
【点拨】∵△ABC∽△DEF，相似比为2∶1，∴△ABC与△DEF的面积比为4∶1.∵△ABC的面积为16，∴△DEF的面积＝16×＝4.
3.【中考·昆明】两个相似三角形面积的比为4∶3，那么它们的对应边上的高的比为(　B　)
A．4∶3 B．2∶ C．16∶9 D．不能确定
4．【2020·铜仁】已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且FH＝6，则EA的长为(　A　)
A．3 B．2 C．4 D．5
5.【中考·沈阳】已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应中线，若AD＝10，A′D′＝6，则△ABC与△A′B′C′的周长比是(　C　)
A．3∶5 B．9∶25 C．5∶3 D．25∶9
6.【2019·淄博】如图，在△ABC中，AC＝2，BC＝4，D为BC边上一点，且∠CAD＝∠B.若△ADC的面积为a，则△ABD的面积为(　C　)
A．2a B.a C．3a D.a
第6题图 第7题图 第8题图 第10题图
7.【2020·云南】如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是CD的中点．则△DEO与△BCD的面积的比等于(　B　)
A. B. C. D.
8.【2019·常德】如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，图中所有的三角形均相似，其中最小的三角形的面积为1，△ABC的面积为42，则四边形DBCE的面积为(　D　)
A．20 B．22 C．24 D．26
【点拨】如图所示．
根据题意得△AFH∽△ADE，
∴＝＝＝.
设S△AFH＝9x，则S△ADE＝16x，
∴16x－9x＝7，解得x＝1.
∴S△ADE＝16.
∴四边形DBCE的面积为42－16＝26.
易错警示：本题易忽略相似三角形性质的适用条件而致错．
9.【2021·宜宾叙州区期末】两个相似三角形的最短边分别为5 cm和3 cm，它们的周长之差为12 cm，那么大三角形的周长为(　D　)
A．14 cm B．16 cm C．18 cm D．30 cm
【点拨】根据题意得两个三角形的周长的比为5∶3，设两个三角形的周长分别为5x cm，3x cm，
则5x－3x＝12，解得x＝6，
所以5x＝30，即大三角形的周长为30 cm.
10.如图，△OAB∽△OCD，OA∶OC＝3∶2，∠A＝α，∠C＝β，△OAB与△OCD的面积分别是S1和S2，△OAB与△OCD的周长分别是C1和C2，则下列等式一定成立的是(　D　)
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝
11.【2020·永州】如图，在△ABC中，EF∥BC，＝，四边形BCFE的面积为21，则△ABC的面积是(　B　)
A. B．25 C．35 D．63
第11题图 第12题图 第13题图
12.【2020·海南】如图，在 ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为(　A　)
A．16 B．17 C．24 D．25
【点拨】在Rt△ABG中，AG＝＝＝6.∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，又∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝
∠DAE＝∠AEB.∴AB＝BE＝10，则CE＝BC－BE＝15－10＝5.又∵BG⊥AE，∴AE＝2AG＝12，
则△ABE的周长为32.∵AB∥DF，
∴△ABE∽△FCE.∴△ABE的周长：△CEF的周长＝BE：CE＝2：1.∴△CEF的周长为16.
13.如图,在矩形ABCD中,E是CD边的中点,且BE⊥AC于点F,连接DF,则下列结论错误的是( C )
A.△ADC∽△CFB B.AD=DF C. D.
二、填空题
14.(1)相似三角形的面积之比等于______________．
(2)相似三角形的周长之比等于________．
【答案】相似比的平方 相似比
15.【中考·抚顺】如果把两条直角边长分别为5，10的直角三角形按相似比进行缩小，得到的直角三角形的面积是____________．
【点拨】原直角三角形的面积为×5×10＝25，按相似比进行缩小，则缩小后它们的面积之比为＝，∴缩小后的直角三角形的面积为9.
【答案】9
16.已知两个相似三角形的相似比为2∶5，其中较小的三角形的面积为4，那么另一个三角形的面积为__________．
【点拨】设另一个三角形的面积为x，由题意得＝，解得x＝25.
【答案】25
17.两个相似三角形的最短边的长分别为5 cm和3 cm，它们的周长之和为48 cm，那么小三角形的周长为________ cm.
【点拨】根据题意得两个三角形的周长的比为5∶3，设两个三角形的周长分别为5x cm，3x cm，则5x＋3x＝48，解得x＝6，所以3x＝18，即小三角形的周长为18 cm.
【答案】18
18.已知两相似三角形对应高的比为3∶10，且这两个三角形的周长差为560 cm，则它们的周长分别为__________________．
【点拨】设小三角形周长为C cm，则大三角形周长为(C＋560) cm，根据相似三角形的性质，得＝，解得C＝240，经检验C＝240是原方程的解，∴C＋560＝800，即它们的周长分别为240 cm，800 cm.
【答案】240 cm，800 cm
19.【中考·包头】如图，在 ABCD中，AC是一条对角线，EF∥BC，且EF与AB相交于点E，与AC相交于点F， 3AE＝2EB，连接DF.若S△AEF＝1，则S△ADF的值为_______．
第19题图 第20题图
【答案】
20.如图,M是△ABC内一点,过点M分别作直线平行于△ABC的各边,所形成的三个小三角形△1,△2,△3(图中阴影部分)的面积分别是4,9和49,则△ABC的面积是　 　.
【答案】144　
【提示】如图,易得△DEM∽△MPQ∽△FMG∽△ABC,∴EM∶MG∶PQ=2∶3∶7,∴EM∶BC=2∶12=1∶6,∴S△ABC=36×4=144.
三、解答题
21.【2020·新疆改编】如图，在△ABC中，D是AB的中点，过点D分别作BC的平行线交AC于点E，作BC的垂线交BC于点F，△DFE的面积为1，求△ABC的面积．
解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC.
∵D是AB的中点，∴AD＝AB.
∴＝＝.
过点A作AH⊥BC于点H，交DE于点G，则AG＝GH＝DF.
∴S△ADE＝S△DEF＝1，∴S△ABC＝4.
22.【2020·郑州外国语中学期末】某社区拟筹资金2 000元，计划在一块上、下底分别是10米，20米的梯形空地上种植花木(如图)，他们想在△AMD和△BMC地带种植单价为20元/平方米的太阳花，当△AMD地带种满花后，已经花了500元，请你预算一下，若继续在△BMC地带种植同样的太阳花，资金是否够用？并说明理由．
解：资金不够用．
理由：由题意，得S△ADM＝500÷20＝25(平方米)．
∵AD∥BC，∴△ADM∽△CBM，
∴＝＝，
∴S△CBM＝4S△ADM＝4×25＝100(平方米)，
∴还需资金20×100＝2000(元)，
∴共需资金500＋2000＝2500(元)＞2000元，
∴资金不够用．
23.【2020·杭州】如图，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC边上，DE∥AC，EF∥AB.
(1)求证：△BDE∽△EFC.
证明：∵DE∥AC，
∴∠DEB＝∠FCE.
∵EF∥AB，
∴∠DBE＝∠FEC.
∴△BDE∽△EFC.
(2)若＝.
①当BC＝12时，求线段BE的长；
解：∵EF∥AB，
∴＝＝.
∵EC＝BC－BE＝12－BE，∴＝，解得BE＝4.
②当△EFC的面积是20时，求△ABC的面积．
解：∵＝，∴＝.
∵EF∥AB，∴△EFC∽△BAC.
∴＝＝＝.
∴S△ABC＝S△EFC＝×20＝45.
24.如图,在△ABC中,D是BC边上的中点,且DE⊥BC,AD=AC,DE与AB相交于点E,EC与AD相交于点F.
(1)求证:∠ECB=∠B;
(2)求证:△ABC∽△FCD;
(3)若△FCD的面积为7.5,BC=10,求DE的长.
解:(1)∵D是BC边上的中点,DE⊥BC,
∴CE=BE,∴∠ECB=∠B.
(2)∵AC=AD,∴∠CDF=∠BCA.
∵∠DCF=∠CBA,∴△ABC∽△FCD.
(3)过点A作AH⊥CB于点H.
∵D是BC的中点,∴BD=CD=BC=5.
∵AC=AD,AH⊥CD,∴CH=DH=CD=2.5.
∵△ABC∽△FCD,∴=4,
∴S△ABC=4S△FCD=30.
∵S△ABC=BC·AH,∴AH==6.
∵AH⊥CB,ED⊥CB,∴AH∥ED,∴,
∴DE==4.
25.两个相似三角形的一组对应边的长分别是24 cm和12 cm.
(1)若它们的周长和是120 cm，则这两个三角形的周长分别是多少？
解：设这两个三角形的周长分别是x cm，y cm，
根据题意得 解得
答：这两个三角形的周长分别是80 cm，40 cm.
(2)若它们的面积差是420 cm2，则这两个三角形的面积分别是多少？
解：设这两个三角形的面积分别是S1 cm2，S2 cm2，
根据题意得解得
答：这两个三角形的面积分别是560 cm2，140 cm2.
26.问题1：如图①，在△ABC中，AB＝4，D是AB上一点(不与A，B重合)，DE∥BC，交AC于点E，连接CD.设△ABC的面积为S，△DEC的面积为S′.
(1)当AD＝3时，＝________；
【答案】
(2)设AD＝m，请你用含字母m的代数式表示.
解：如图①，过点B作BH⊥AC于H，过点D作DF⊥AC于F，则DF∥BH，∴△ADF∽△ABH，
∴＝＝.
∵DE∥BC，∴＝＝，
∴＝＝×＝，即＝.
问题2：如图②，在四边形ABCD中，AB＝4，AD∥BC，AD＝BC，E是AB上一点(不与A，B重合)，EF∥BC，交CD于点F，连接CE.设AE＝n，四边形ABCD的面积为S，△EFC的面积为S′.请你利用问题1的解法或结论，用含字母n的代数式表示.
解：如图②，分别延长BA，CD交于点O.
∵AD∥BC，∴△OAD∽△OBC,
∴＝＝，
∴OA＝AB＝4，OB＝8.
∵AE＝n，∴BE＝4－n，OE＝4＋n.
∵EF∥BC，
∴由问题1的解法可知＝·＝×＝.∵＝＝， ∴＝，
∴＝＝×＝，即＝.

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