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高中数学必修 +选修知识点归纳
引言 选修 3—6：三等分角与数域扩充。
系列 4：由 10个专题组成。
选修 4—1：几何证明选讲。
1. 课程内容： 选修 4—2：矩阵与变换。
必修课程 由 5个模块组成： 选修 4—3：数列与差分。
必修 1：集合、函数概念与基本初等函数（指、 选修 4—4：坐标系与参数方程。
对、幂函数） 选修 4—5：不等式选讲。
必修 2：立体几何初步、平面解析几何初步。 选修 4—6：初等数论初步。
必修 3：算法初步、统计、概率。 选修 4—7：优选法与试验设计初步。
必修 4：基本初等函数（三角函数）、平面向量、 选修 4—8：统筹法与图论初步。
三角恒等变换。 选修 4—9：风险与决策。
必修 5：解三角形、数列、不等式。 选修 4—10：开关电路与布尔代数。
以上是每一个高中学生所必须学习的。
上述内容覆盖了高中阶段传统的数学基础 2．重难点及考点：
知识和基本技能的主要部分，其中包括集合、 重点：函数，数列，三角函数，平面向量，
函数、数列、不等式、解三角形、立体几何初 圆锥曲线，立体几何，导数
步、平面解析几何初步等。不同的是在保证打 难点：函数、圆锥曲线
好基础的同时， 进一步强调了这些知识的发生、 高考相关考点：
发展过程和实际应用，而不在技巧与难度上做 ⑴集合与简易逻辑 :集合的概念与运算、 简易逻
过高的要求。 辑、充要条件
此外，基础内容还增加了向量、算法、概 ⑵函数：映射与函数、函数解析式与定义域、
率、统计等内容。 值域与最值、反函数、三大性质、函
数图象、指数与指数函数、对数与对
选修课程 有 4个系列： 数函数、函数的应用
系列 1：由 2个模块组成。 ⑶数列：数列的有关概念、等差数列、等比数
选修 1—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 列、数列求和、数列的应用
导数及其应用。 ⑷三角函数：有关概念、同角关系与诱导公式、
选修 1—2：统计案例、推理与证明、数系的扩 和、差、倍、半公式、求值、化
充与复数、框图 简、证明、三角函数的图象与性
系列 2：由 3个模块组成。 质、三角函数的应用
选修 2—1：常用逻辑用语、圆锥曲线与方程、 ⑸平面向量：有关概念与初等运算、坐标运算、
空间向量与立体几何。 数量积及其应用
选修 2—2：导数及其应用，推理与证明、数系 ⑹不等式：概念与性质、均值不等式、不等式
的扩充与复数 的证明、不等式的解法、绝对值不
选修 2—3：计数原理、随机变量及其分布列， 等式、不等式的应用
统计案例。 ⑺直线和圆的方程：直线的方程、两直线的位
系列 3：由 6个专题组成。 置关系、线性规划、圆、
选修 3—1：数学史选讲。 直线与圆的位置关系
选修 3—2：信息安全与密码。 ⑻圆锥曲线方程：椭圆、双曲线、抛物线、直
选修 3—3：球面上的几何。 线与圆锥曲线的位置关系、
选修 3—4：对称与群。 轨迹问题、圆锥曲线的应用
选修 3—5：欧拉公式与闭曲面分类。
- 1 -
⑼直线、平面、简单几何体：空间直线、直线 称 f : A B 为集合 A到集合 B的一个 函数，记
与平面、平面与平面、棱柱、 作： y f x , x A .
棱锥、球、空间向量 2、 一个函数的构成要素为： 定义域、对应关系、值
⑽排列、组合和概率：排列、组合应用题、二 域 .如果两个函数的定义域相同， 并且对应关系完
项式定理及其应用 全一致，则称 这两个函数相等 .
⑾概率与统计：概率、分布列、期望、方差、 §1.2.2、函数的表示法
抽样、正态分布 1、 函数的三种表示方法： 解析法、图象法、列表法 .
⑿导数：导数的概念、求导、导数的应用 §1.3.1、单调性与最大（小）值
⒀复数：复数的概念与运算 1、注意函数单调性的证明方法：
1 (1)定义法： 设 x1、x2 [ a,b], x x 那么必修 数学知识点 1 2
f (x1 ) f ( x2 ) 0 f ( x)在[ a,b] 上是增函数；
第一章：集合与函数概念 f (x1 ) f ( x2 ) 0 f ( x)在[ a,b]上是减函数 .
§1.1.1、集合 步骤：取值—作差—变形—定号—判断
1、 把研究的对象统称为 元素，把一些元素组成的总
格 式：解 ：设 x , x a,b 且 x x ，则 ：
体叫做 集合。集合三要素： 确定性、互异性、无 1 2 1 2
序性 。 f x1 f x2 =
2、 只要构成两个集合的元素是一样的，就称这两个 (2)导数法： 设函数 y f ( x)在某个区间内可导，
集合相等 。 若 f ( x) 0，则 f ( x) 为增函数；
* 若 f (x) 0，则 f (x)为减函数 . 3、 常见集合： 正整数集合 ： N 或 N ，整数集合 ：
§1.3.2、奇偶性
Z ，有理数集合 ： Q，实数集合 ： R .
4、集合的表示方法： 列举法、描述法 . 1、 一般地，如果对于函数 f x 的定义域内任意一个
§1.1.2、集合间的基本关系
x，都有 f x f x ，那么就称函数 f x 为
1、 一般地，对于两个集合 A、B，如果集合 A 中任
意一个元素都是集合 B 中的元素，则称集合 A 是 偶函数 .偶函数图象关于 y 轴对称 .
集合 B 的子集。记作 A B .
2、 如果集合 A B，但存在元素 x B，且 x A， 2、 一般地，如果对于函数 f x 的定义域内任意一个
则称集合 A 是集合 B 的真子集 .记作： A B.
x，都有 f x f x ，那么就称函数 f x 为
3、把不含任何元素的集合叫做 空集 .记作： .并规定：
空集合是任何集合的子集 . 奇函数 .奇函数图象关于原点对称 .
4 A n A 2n 知识链接：函数与导数、 如果集合 中含有 个元素，则集合 有 个子
1、函数 y f ( x)在点 x0处的导数的几何意义：
集， 2n 1个真子集 .
函数 y f ( x)在点 x0处的导数是曲线 y f (x)在
§1.1.3、集合间的基本运算 P(x0 , f (x0)) 处的切线的斜率 f (x0) ，相应的切线方
1、 一般地，由所有属于集合 A或集合 B的元素组成
A B . A B . 程是的集合，称为集合 与 的并集 记作： y y0 f (x0 )(x x0) .
2、 一般地，由属于集合 A且属于集合 B的所有元素 2、几种常见函数的导数
组成的集合，称为 A与 B的交集 .记作： A B . C '① 0；② ( xn ) ' nx n 1；
3、全集、补集 ？ CU A { x | x U ,且x U }
③ (sin x) ' cos x '； ④ (cos x) sin x；
§1.2.1、函数的概念
1、 设 A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应 (a x ) ' a x⑤ ln a； ⑥ (e
x ) ' e x ；
关系 f ，使对于集合 A中的任意一个数 x，在集
合 B中都有惟一确定的数 f x 和它对应， 那么就 1 1⑦ (log a x)
' '
；⑧ (ln x)
x ln a x
- 2 -
3、导数的运算法则 *
（1） (u v) ' u' v' a 0,m,n N ,m 1 ；.
（2） (uv) ' u 'v uv ' . n 1⑵ a n 0 ；n
u ' u
'v uv ' a
（3） ( ) 2 (v 0) . v v 4、 运算性质：
4、复合函数求导法则 ⑴ a r a s a r s a 0, r, s Q ；
复合函数 y f (g (x))的导数和函数
y f (u), u g ( x)的导数间的关系为 y y r s rsx u ux ， ⑵ a a a 0, r ,s Q ；
即 y对 x的导数等于 y对 u的导数与 u 对 x的导数的
乘积 . ab r⑶ a rb r a 0,b 0, r Q .
解题步骤 :分层—层层求导—作积还原 .
5、函数的极值 §2.1.2、指数函数及其性质
(1) 极值定义： 1 y a x、记住图象： a 0, a 1
极值是在 x0附近所有的点，都有 f (x)＜ f (x0)，
y
则 f ( x0 )是函数 f (x)的极大值； y=a x
极值是在 x0附近所有的点，都有 f (x)＞ f (x0 )，
则 f ( x0 )是函数 f (x)的极小值 . 01
1
(2) 判别方法：
o x
①如果在 x ' '0附近的左侧 f (x) ＞0，右侧 f (x) ＜0，
那么 f ( x0 )是极大值； a 1 0 a 1
②如果在 x ' '0附近的左侧 f (x) ＜0，右侧 f (x) ＞0，
图
那么 f ( x0 )是极小值 .
象
6、求函数的最值 1 1
-4 -2 0 -4 -2 0
(1) 求 y f (x) 在 (a,b) -1 -1内的极值（极大或者极小值）
(1) 定义域： R
(2) 将 y f (x) 的各极值点与 f (a), f (b)比较，其中 性 （2）值域：（0，+∞）
质 （3）过定点（ 0，1），即 x=0 时， y=1
最大的一个为最大值，最小的一个为极小值。
（4）在 R 上是增函数 （4）在 R上是减函数
注：极值是在局部对函数值进行比较（局部性质） ；
(5) x 0,
x
a 1 (5) 0,0 x 1
最值是在整体区间上对函数值进行比较 (整体性质 )。 ; x a ; x x
x 0, 0 a 1 x 0, a 1
2、性质：
第二章：基本初等函数（Ⅰ）
§2.2.1、对数与对数运算
§2.1.1、指数与指数幂的运算
a xn 1、指数与对数互化式： N x log a N ；1、 一般地，如果 x a，那么 x叫做 a 的 n次方根。
loga N
其中 n 1, n N . 2、对数恒等式： a N .
3、基本性质： log a 1 0， log a a 1 .
2、 当 n n n为奇数时， a a；
n n a n
4、运算性质：当 a 0,a 1,M 0, N 0时：
当 为偶数时， a .
3、 我们规定： ⑴ log a MN log a M log a N ；
n
m m n
⑴ a a
- 3 -
M
⑵ log a log a M log a N ；
N
⑶ log na M n log a M .
第三章：函数的应用
log b
5、换底公式： log a b
c
§3.1.1、方程的根与函数的零点
log c a
1、方程 f x 0有实根
a 0, a 1, c 0,c 1, b 0 .
m m
6、重要公式： log a n b log a b 函数 y f x 的图象与 x轴有交点n
1 函数 有零点 .
7、倒数关系： log a b a 0, a 1,b 0, b 1 .
y f x
log b a
2、 零点存在性定理：
§2..2.2、对数函数及其性质
如果函数 y f x 在区间 a,b 上的图象是连续不断
1、记住图象： y log a x a 0, a 1
y 的一条曲线，并且有 f a f b 0，那么函数
y=log ax
0o x
1
使得 f c 0，这个 c也就是方程 f x 0的根 .
a>1
2、性质： §3.1.2、用二分法求方程的近似解
a 1 0 a 1 1、掌握二分法 .
§3.2.1、几类不同增长的函数模型
2.5
2.5
1.5
1.5 §3.2.2、函数模型的应用举例
图 1 1 0.5
0.5
-1 0 1 -1 0 1
-0 .5 -0.5 1、解决问题的常规方法：先画散点图，再用适当的函
象 -1 -1
-1.5
-1.5
-2
-2 数拟合，最后检验 .
-2 .5
-2.5
(1) 定义域：（0，+∞）
性 （2）值域： R 必修 2数学知识点
质 （3）过定点（ 1，0），即 x=1 时， y=0 第一章：空间几何体
（4）在 （0，+∞）上是增函数 （4）在（ 0， +∞）上是减函数
(5) x 1, log a x 0； (5) x 1, log a x 0； 1、空间几何体的结构
0 x 1, log a x 0 0 x 1,log a x 0 ⑴常见的多面体有：棱柱、棱锥、棱台；常见的旋转体有：
§2.3、幂函数 圆柱、圆锥、圆台、球。
1、几种幂函数的图象： ⑵棱柱： 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且
每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围
成的多面体叫做棱柱。
⑶棱台： 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与
截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台。
2、空间几何体的三视图和直观图
把光由一点向外散射形成的投影叫中心投影，中心投影
的投影线交于一点；把在一束平行光线照射下的投影叫
平行投影，平行投影的投影线是平行的。
3、空间几何体的表面积与体积
- 4 -
⑴判定： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，
则这两个平面平行（简称线面平行，则面面平行） 。
⑵性质： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么
它们的交线平行（简称面面平行，则线线平行） 。
S 2 r l 11、线面垂直：⑴圆柱侧面积； 侧面
⑴定义： 如果一条直线垂直于一个平面内的任意一条直线，
那么就说这条直线和这个平面垂直。
⑵判定： 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，
则该直线与此平面垂直（简称线线垂直，则线面垂直） 。
⑶性质： 垂直于同一个平面的两条直线平行。
⑵圆锥侧面积： S r l 12、面面垂直：侧面
⑴定义： 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面
角，就说这两个平面互相垂直。
⑵判定： 一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个
平面垂直（简称线面垂直，则面面垂直） 。
⑶性质： 两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的
S r l R l 直线垂直于另一个平面。（简称面面垂直， 则线面垂直）。⑶圆台侧面积： 侧面
⑷体积公式： 第三章：直线与方程
1
V柱体 S h； V锥体 S h； y y
3 1
2 1
、倾斜角与斜率： k tan
x
1 2
x1
V台体 S上 S上 S下 S下 h
3 2、直线方程：
⑸球的表面积和体积：
⑴点斜式： y y0 k x x0
S 4 R2
4
球 ，V球 R
3 .
3 ⑵斜截式： y kx b
第二章：点、直线、平面之间的位置关系
1、公理 1：如果一条直线上两点在一个平面内，那么这条 y y1 y2 y1
直线在此平面内。 ⑶两点式：
x x x x
2 1 2 1、公理 2：过不在一条直线上的三点， 有且只有一个平面。
3、公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它 x y
⑷截距式： 1
们有且只有一条过该点的公共直线。 a b
4、公理 4：平行于同一条直线的两条直线平行 .
⑸一般式： Ax By C 0
5、定理： 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这
两个角相等或互补。
6、线线位置关系： 平行、相交、异面。 3、对于直线：
7、线面位置关系： 直线在平面内、直线和平面平行、直
l 1 : y k1x b1 , l 2 : y k2 x b2 有：
线和平面相交。
8、面面位置关系： 平行、相交。 k1 k2
9、线面平行： ⑴ l 1 // l 2 ；b b
⑴判定： 平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则 1 2
该直线与此平面平行（简称线线平行，则线面平行） 。
⑵ l1和 l2相交 k1 k2；
⑵性质： 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一
平面与此平面的交线与该直线平行（简称线面平行，则 k k
线线平行）。 ⑶ l1和 l
1 2
2重合 ；b b
10 1 2、面面平行：
- 5 -
1 d r 相切 0⑷ l 1 l
;
2 k1k 2 .
d r 相交 0 .
4、对于直线：
弦长公式： l 2 r 2 d 2
l1 : A1x B1y C1 0,
有：
l 2 : A2 x B2 y C2 0 1 k
2 ( x 21 x2) 4x1x2
A1B2 Al // l 2
B1 3、两圆位置关系： d O O
⑴ 1 2 ；
1 2
B1C2 B2C1
⑴外离： d R r ；
⑵ l 1和 l
⑵外切： d R r ；
2相交 A1B2 A2B1；
⑶相交： R r d R r ；
A1 B2 A2B ⑷内切： d R r ；1
⑶ l 1和 l 2重合 ； ⑸内含：B C B C d R r
.
1 2 2 1 3、空间中两点间距离公式：
⑷ l 1 l 2 A1A2 B1B2 0 . 2 2 2P1P2 x2 x1 y2 y1 z2 z1
5、两点间距离公式：
2 2
P1 P2 x2 x1 y2 y1 必修 3数学知识点
6、点到直线距离公式： 第一章：算法
Ax By C 1、算法三种语言：
d 0 0 自然语言、流程图、程序语言；
A2 B 2 2、流程图中的图框：
7、两平行线间的距离公式： 起止框、输入输出框、处理框、判断框、流程线等
规范表示方法；
l1： Ax By C1 0与 l2： Ax By C2 0平行，
3、算法的三种基本结构：
C C 当型循环结构
则 d 1 2 顺序结构、条件结构、循环结构
A2 B2 直到型循环结构
第四章：圆与方程 ⑴顺序结构示意图：
1、圆的方程：
2 2
⑴标准方程： x a y b r 2
语句 n
其中圆心为 ( a,b)，半径为 r .
语句 n+1
2 2
⑵一般方程： x y Dx Ey F 0 .
D E 1
其中圆心为 ( , ) r D 2 2，半径为 E 4F .
2 2 2 （图 1）
2、直线与圆的位置关系
2 2 2
直线 Ax By C 0与圆 ( x a) ( y b) r ⑵条件结构示意图：
① IF - THEN - ELSE 格式：
的位置关系有三种 :
d r 相离 0 ;
- 6 -
满足条件？
否
是
语句 1 语句 2
①输入语句的一般格式： INPUT “提示内容”；变量
②输出语句的一般格式： PRINT“提示内容”；表达式
③赋值语句的一般格式：变量＝表达式
（“=”有时也用“←” ）.
④条件语句的一般格式有两种：
IF—THEN—ELSE 语句的一般格式为：
IF 条件 THEN
语句 1
（图 2） ELSE
② IF - THEN 格式：
语句 2
（图 2）
是 END IF
满足条件？
IF—THEN 语句的一般格式为：
否
语句
IF 条件 THEN
语句
END IF （图 3）
（图 3）
⑶循环结构示意图：
⑤循环语句的一般格式是两种：
①当型 （WHILE 型）循环结构示意图：
当型循环（ WHILE）语句的一般格式：
WHILE 条件
循环体 循环体
（图 4）
WEND
满足条件？
是
否 直到型循环（ UNTIL）语句的一般格式：
DO
（图 4）
循环体
②直到型 （UNTIL 型）循环结构示意图：
LOOP UNTIL 条件
（图 5）
循环体 ⑹算法案例：
①辗转相除法— 结果是以相除余数为 0 而得到
否
利用辗转相除法求最大公约数的步骤如下：
满足条件？ ⅰ）：用较大的数 m除以较小的数 n得到一个商 S0和
是 一个余数 R0；
ⅱ）：若 R0＝0，则 n 为 m，n 的最大公约数；若 R0
≠0，则用除数 n 除以余数 R0得到一个商 S1和一个余
（图 5） 数 R1；
ⅲ）：若 R1＝0，则 R1为 m，n 的最大公约数； 若 R1≠
4、基本算法语句： 0，则用除数 R0除以余数 R1得到一个商 S2和一个余数
- 7 -
R2； 注：方差与标准差越小，说明样本数据越稳定。
依次计算直至 Rn＝ 0，此时所得到的 Rn 1即为所求 平均数反映数据总体水平；方差与标准差反映数据的
的最大公约数。 稳定水平。
②更相减损术— 结果是以减数与差相等而得到 ⑶线性回归方程
利用更相减损术求最大公约数的步骤如下： ①变量之间的两类关系：函数关系与相关关系；
ⅰ）：任意给出两个正数；判断它们是否都是偶数。 ②制作散点图，判断线性相关关系
若是，用 2约简；若不是，执行第二步。
ⅱ）：以较大的数减去较小的数，接着把较小的数与 ③线性回归方程： y bx a（最小二乘法）
所得的差比较，并以大数减小数。继续这个操作，直 n
到所得的数相等为止，则这个数（等数）就是所求的 xi yi nx y
最大公约数。 b i 1n
2 2③进位制 xi nx
十进制数化为 k 进制数— 除 k取余法 i 1
k 进制数化为十进制数 a y bx
第二章：统计
1、抽样方法： 注意：线性回归直线经过定点 ( x, y) 。
①简单随机抽样（总体个数较少）
第三章：概率
②系统抽样（总体个数较多）
③分层抽样（总体中差异明显） 1、随机事件及其概率：
⑴事件：试验的每一种可能的结果，用大写英文字母
注意：在 N 个个体的总体中抽取出 n个个体组成样本，
表示；
每个个体被抽到的机会（概率）均为 n 。
N ⑵必然事件、不可能事件、随机事件的特点；
m
2、总体分布的估计： ⑶随机事件 A 的概率： P(A) ,0 P( A) 1.
n
⑴一表二图：
2、古典概型：
①频率分布表——数据详实
⑴基本事件： 一次试验中可能出现的每一个基本结果；
②频率分布直方图——分布直观
⑵古典概型的特点：
③频率分布折线图——便于观察总体分布趋势
①所有的基本事件只有有限个；
注：总体分布的密度曲线与横轴围成的面积为 1。
②每个基本事件都是等可能发生。
⑵茎叶图：
⑶古典概型概率计算公式：一次试验的等可能基本事
①茎叶图适用于数据较少的情况，从中便于看出数据
件共有 n 个，事件 A 包含了其中的 m 个基本事件，则
的分布，以及中位数、众位数等。
m
②个位数为叶，十位数为茎，右侧数据按照从小到大 事件 A 发生的概率 P( A) .
n
书写，相同的数据重复写。
3、几何概型：
3、总体特征数的估计：
⑴几何概型的特点：
⑴平均数： x x1 x2 x3 xn ； ①所有的基本事件是无限个；
n
②每个基本事件都是等可能发生。
取值为 x1 , x2 , , xn的频率分别为 p1 , p2 , , pn，则其
平均数为 x1 p1 x2 p2 x
d的测度
n pn； ⑵几何概型概率计算公式： P(A) ；
D的测度
注意：频率分布表计算平均数要取组中值。
其中测度根据题目确定，一般为线段、角度、面积、
⑵方差与标准差：一组样本数据 x1 , x2 , , xn
体积等。
n 2
方差： s2 1 (x x) 4、互斥事件：
n i
；
i 1 ⑴不可能同时发生的两个事件称为互斥事件；
⑵如果事件 A1, A2 , , An任意两个都是互斥事件， 则称
n 2
1 事件 A1 , A2 , , An彼此互斥。
标准差： s (x i x)
n ⑶如果事件 A，B 互斥，那么事件 A+B 发生的概率，i 1
等于事件 A，B 发生的概率的和，
- 8 -
即： P(A B) P(A) P(B)
⑷如果事件 A1 , A2 , , An彼此互斥，则有： 5、 特殊角 0°， 30°， 45°， 60°，
P( A1 A2 An ) P(A1 ) P(A2 ) P(An ) 90°， 180°， 270等的三角函数值 .
⑸对立事件：两个互斥事件中必有一个要发生，则称 0 2 3 3 2
这两个事件为对立事件。 4 2 3 4 26 3
①事件 A的对立事件记作 A
sin
P( A) P( A) 1, P( A) 1 P( A)
cos
②对立事件一定是互斥事件，互斥事件未必是对立事
件。 tan
必修 4数学知识点 §1.2.2、同角三角函数的基本关系式
2 2
第一章：三角函数 1、 平方关系 ： sin cos 1.
§1.1.1、任意角 sin
1、 正角、负角、零角、象限角 的概念 . 2、 商数关系 ： tan . cos
2、 与角 终边相同的角的集合： 3、 倒数关系： tan cot 1
2k ,k Z . §1.3 、三角函数的诱导公式
（概括为 “奇变偶不变，符号看象限” k Z ）
§1.1.2、弧度制 1、 诱导公式一 ：
1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度
sin 2k sin ,
的角 .
cos 2k cos ,（其中： k Z ）
2 l、 .
r tan 2k tan .
3 n R、弧长公式 ： l R . 2、 诱导公式二 ：
180 sin sin ,
4 n R
2 1
、扇形面积公式 ： S lR . cos cos ,
360 2 tan tan .
§1.2.1、任意角的三角函数 3、诱导公式三 ：
1、 设 是一个任意角，它的终边与单位圆交于点
sin sin ,
P x, y y，那么： sin y, cos x, tan
x cos cos ,
tan tan .
2、 设点 A x , y 为角 终边上任意一点， 那么：（设
4、诱导公式四 ：
r x2 y2 ） sin sin ,
cos cos ,
sin y x y x，cos ，tan ，cot tan tan .
r r x y
5、诱导公式五 ：
3、 sin ，cos ， tan 在四个象限的符号和三角
函数线的画法 . y sin cos ,
T 2
P
正弦线： MP; cos sin .
余弦线： OM; O M A x 2
正切线： AT 6、诱导公式六 ：
- 9 -
sin cos ,
2
cos sin . 2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质： 定
2 义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中心、
§1.4.1 、正弦、余弦函数的图象和性质 奇偶性、单调性、周期性 .
1、记住正弦、余弦函数图象： 3、会用 五点法作图 .
y=sinx y y sin x在 x [0, 2 ]上的五个关键点为：
-5 - 3 7
2 2 1 2 2 3
-4 -7 -3 -2 -3 - o 2 5 3 4 x （0，0）（， ，1）（， ，0）（， ，-1）（，2 ，0）.
2 2 -1 2 2 2 2
y=cosx y
-5 - 3 7-3 2 - 2
1
2 3 2
-4 -7 -2 -3 o 2 5 4 x
§1.42.3 、正切函2数的图象-1与性2 质 2
1、记住正切函数的图象： 2、记住余切函数的图象：
y y
y=tanx y=cotx
3
- - - o 3 x - - o 3 2 x
2 2 2 2 2 2 2
3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质： 定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性 .
周期函数定义 ：对于函数 f x ，如果存在一个非零常数 T，使得当 x取定义域内的每一个值时，都有
f x T f x ，那么函数 f x 就叫做周期函数，非零常数 T叫做这个函数的周期 .
图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质
y sin x y cosx y tan x
图象
定义域 R R { x | x k ,k Z}
2
值域 [-1,1] [-1,1] R
- 10 -
x 2k , k Z时， ymax 1
2 x 2k , k Z时，ymax 1
最值 无
x 2k , k Z时，ymin 1
x 2k , k Z时， ymin 1
2
周期性 T 2 T 2 T
奇偶性 奇 偶 奇
在 [2k ,2 k ]上单调递增 在 [2 k ,2 k ]上单调递增
单调性 2 2 在 (k , k )上单调递增
k Z 在 [2k ,2 k 3 ]上单调递减 在 [2k ,2k ] 2 2上单调递减
2 2
对称轴方程： x k 无对称轴
对称性 对称轴方程： x k
k
k Z 2 对称中心 (k , 0) 对称中心 ( , 0)对称中心 ( k ,0) 2 2
§1.5 、函数 y A sin x 的图象 y sin x 横坐标不变 y Asin x
1、对于函数： 纵坐标变为原来的 A 倍
y Asin x B A 0, 0 有：振幅 A，周 纵坐标不变 y Asin x
2
期 T 1
1
，初相 ，相位 x ，频率 f 横坐标变为原来的 倍T 2 . | |
2、能够讲出函数 y sin x的图象与
平移 个单位 y As i n x
y Asin x B的图象之间的平移伸缩变
（左加右减）
换关系 .
平移 |B| 个单位 y Asin x B
① 先平移后伸缩：
（上加下减）
y sin x 平移 | | 个单位 y s i n x
3、三角函数的周期，对称轴和对称中心
（左加右减） 函数 y sin( x )，x∈R及函数 y cos( x )，
横坐标不变 y As i n x x∈R(A, , 2为常数，且 A≠0)的周期 T ；函
| |
纵坐标变为原来的 A 倍
数 y tan( x ) ， x k , k Z (A, ω , 为
纵坐标不变 y Asin x 2
1 常数，且 A≠0)的周期 T .
横坐标变为原来的 | |倍 | |
对 于 y As i n ( x 和) y A cos( x ) 来
平移 |B| 个单位 y Asin x B 说，对称中心与零点相联系，对称轴与最值点联系 .
求函数 y Asin( x ) 图像的对称轴与对称中心，
（上加下减）
只需令 x k (k Z ) 与 x k (k Z )
② 先伸缩后平移： 2
解出 x即可 .余弦函数可与正弦函数类比可得 .
4、由图像确定三角函数的解析式
- 11 -
y y y y
利用图像特征： A max min B max min 4 sin 2 1 cos2， . 、 tan
2 2 1 cos2 sin 2
要根据周期来求 , 要用图像的关键点来求 . §3.2 、简单的三角恒等变换
§1.6 、三角函数模型的简单应用 1、 注意正切化弦、平方降次 .
1、 要求熟悉课本例题 . 2、辅助角公式
y asin x bcosx a2 b2 sin( x )
第三章、三角恒等变换
§3.1.1 、两角差的余弦公式 （ 其 中 辅 助 角 所 在 象 限 由 点 ( a,b) 的 象 限 决
记住 15°的三角函数值：
b
sin cos tan 定 , tan ). a
6 2 6 2
12 4 4 2 3 第二章：平面向量
§2.1.1、向量的物理背景与概念
§3.1.2 、两角和与差的正弦、余弦、正切公式 1、 了解四种常见向量： 力、位移、速度、加速度 .
1、 sin sin cos cos sin 2、 既有大小又有方向的量叫做 向量 .
§2.1.2、向量的几何表示
2、 sin sin cos cos sin 1、 带有方向的线段叫做 有向线段 ，有向线段包含三
个要素：起点、方向、长度 .
3、 cos cos cos sin sin
2、 向量 AB 的大小，也就是向量 AB 的长度（或称
4、 cos cos cos sin sin 模），记作 AB ；长度为零的向量叫做 零向量 ；长
5、 tan tan tan . 度等于 1 个单位的向量叫做 单位向量 . 1 tan tan
3、 方向相同或相反的非零向量叫做 平行向量（或共
6 tan tan tan、 线向量） .规定：零向量与任意向量平行 . 1 tan tan .
§2.1.3 、相等向量与共线向量
§3.1.3 、二倍角的正弦、余弦、正切公式 1、 长度相等且方向相同的向量叫做 相等向量 .
1、 sin 2 2sin cos ， §2.2.1 、向量加法运算及其几何意义
变形： sin cos 12 sin 2 .
1、 三角形加法法则 和平行四边形加法法则 .
2 2 2、 cos 2 cos sin
2 cos2 1
1 2 sin 2 .
变形如下： 2、 a b ≤ a b .
1 cos2 2cos 2 §2.2.2 、向量减法运算及其几何意义
升幂公式：
1 cos2 2sin 2 1、 与 a长度相等方向相反的向量叫做 a的相反向量 .
cos2 1 (1 cos2 ) 2、 三角形减法法则 和平行四边形减法法则 .
降幂公式： 2
sin 2 1 (1 cos 2 )
2
3、 tan2 2 tan .
1 tan2
- 2 -
AB x x y y⑴线段 中点坐标为 1 2 1 2 ，
§2.2.3 ,、向量数乘运算及其几何意义 2 2
ABC x1 x2 x3 y1 y1 2
y3
、 规定：实数 与向量 a的积是一个向量，这种运 ⑵△ 的重心坐标为 3 , . 3
§2.4.1 、平面向量数量积的物理背景及其含义
算叫做 向量的数乘 .记作： a ，它的长度和方向
1、 a b a b cos .
规定如下：
⑴ a a , 2、 a在 b 方向上的投影为： a cos .
2 2
⑵当 0时 , a 的方向与 a 的方向相同；当 3、 a a .
2
0时 , a 的方向与 a的方向相反 . 4、 a a .
2、 平面向量共线定理 ：向量 a a 0 与 b 共线，当 5、 a b a b 0 .
§2.4.2、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
且仅当有唯一一个实数 ，使 b a .
1、 设
2.3.1 a x , y ,b x , y ，则：§ 、平面向量基本定理 1 1 2 2
1、 平面向量基本定理 ：如果 e1 ,e2 是同一平面内的两 ⑴ a b x1x2 y1 y2
2 2
个不共线向量， 那么对于这一平面内任一向量 a， ⑵ a x1 y1
有且只有一对实数 1 , 2，使 a 1 e1 2 e2 . ⑶ a b a b 0 x1x2 y1 y2 0
§2.3.2 、平面向量的正交分解及坐标表示
⑷ a / /b a b x1 y2 x2 y1 0
1、 a xi y j x, y .
2、 设 A x1 , y1 , B x2 , y2 ，则：
§2.3.3 、平面向量的坐标运算
2 2
1、 设 a x1, y1 ,b x2 , y2 ，则： AB x2 x1 y2 y1 .
3、 两向量的夹角公式
⑴ a b x1 x2 , y1 y2 ，
a b x1 xc o s 2
y1 y2
⑵ a b x x , y y 2 2 2 21 2 1 2 ， a b x1 y 1 x 2 y 2
4、点的平移公式
⑶ a x1, y1 ，
平移前的点为 P(x, y)（原坐标），平移后的对应点
⑷ a // b x1 y2 x2 y1 .
为 P (x , y )（新坐标） ，平移向量为 PP (h,k) ，
2、 设 A x1, y1 , B x2 , y2 ，则：
x x h
则
AB x2 x1 , y2 y1 . y y k.
§2.3.4 、平面向量共线的坐标表示
函数 y f ( x)的图像按向量 a (h, k) 平移后的
1、设 A x1 , y1 ,B x2 , y2 ,C x3 , y3 ，则
图像的解析式为 y k f ( x h).
- 3 -
§2.5.1 、平面几何中的向量方法 即：两直线平行或重合 两直线的方向向量共线。
§2.5.2 、向量在物理中的应用举例 ⑵线面平行
①（法一） 设直线 l 的方向向量是 a，平面 的法向
知识链接：空间向量
空间向量的许多知识可由平面向量的知识类比而得 .
量是 u，则要证明 l∥ ，只需证明 a u ，即 a u 0 .
下面对空间向量在立体几何中证明，求值的应用进行
总结归纳 . 即：直线与平面平行 直线的方向向量与该平面
1、直线的方向向量和平面的法向量 的法向量垂直且直线在平面外
⑴．直线的方向向量： ②（法二）要证明一条直线和一个平面平行，也可
以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线
若 A、B 是直线 l 上的任意两点， 则 AB为直线 l 的
向量即可 .
⑶面面平行
一个方向向量； 与 AB 平行的任意非零向量也是直线 l
若平面 的法向量为 u，平面 的法向量为 v，要
的方向向量 .
⑵．平面的法向量：
证 ∥ ，只需证 u∥ v，即证 u v .
若向量 n 所在直线垂直于平面 ，则称这个向量
即：两平面平行或重合 两平面的法向量共线。
3、用向量方法判定空间的垂直关系
垂直于平面 ，记作 n ，如果 n ，那么向量 n
⑴线线垂直
叫做平面 的法向量 .
设直线 l1, l2的方向向量分别是 a、b，则要证明
⑶．平面的法向量的求法（待定系数法） ：
①建立适当的坐标系．
l1 l 2，只需证明 a b，即 a b 0 .
②设平面 的法向量为 n ( x, y, z) ．
即：两直线垂直 两直线的方向向量垂直。
③求出平面内两个不共线向量的坐标 ⑵线面垂直
a (a1,a2, a3 ), b (b1,b2,b3)． ①（法一） 设直线 l 的方向向量是 a，平面 的法向
n a 0 量是 u，则要证明 l ，只需证明 a u a u④根据法向量定义建立方程组 . ∥ ，即 .
n b 0
. ②（法二） 设直线 l 的方向向量是 a，平面 内的两⑤解方程组， 取其中一组解， 即得平面 的法向量
a m 0
（如图） 个相交向量分别为 m、n，若 ,则 l .
a n 0
即：直线与平面垂直 直线的方向向量与平面的
法向量共线 直线的方向向量与平面内两条不共线
直线的方向向量都垂直。
⑶面面垂直
若平面 的法向量为 u ，平面 的法向量为 v，要
2、 用向量方法判定空间中的平行关系
证 ，只需证 u v，即证 u v 0 .
⑴线线平行
即：两平面垂直 两平面的法向量垂直。
设直线 l1 ,l2的方向向量分别是 a、b ，则要证明 l1∥ 4、利用向量求空间角
⑴求异面直线所成的角
l2，只需证明 a∥ b ，即 a kb(k R) .
- 4 -
已知 a,b为两异面直线， A，C与 B，D 分别是 a,b m n
◆如果 是锐角，则 cos cos ，
m n
上的任意两点， a,b所成的角为 ，
m n
AC BD 即 arccos ；
则 cos . m n
AC BD
m n
⑵求直线和平面所成的角 ◆ 如果 是钝角，则 cos cos ，
m n
①定义： 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成
的锐角叫做这条斜线和这个平面所成的角
m n
②求法： 设直线 l 的方向向量为 a ，平面 的法向量 即 arccos .
m n
为 u ，直线与平面所成的角为 ， a与 u的夹角为 ，
5、利用法向量求空间距离
⑴点 Q到直线 l 距离
则 为 的余角或 的补角
若 Q为直线 l 外的一点 , P在直线 l 上，a为直线 l 的
的余角 .即有： 方向向量， b = PQ，则点 Q到直线 l 距离为
a u 1 2 2
sin cos . h (| a ||b |) (a b )
a u | a |
⑶求二面角 ⑵点 A 到平面 的距离
①定义： 平面内的一条直线把平面分为两个部分，
若点 P 为平面 外一点，点 M 为平面 内任一点，
其中的每一部分叫做半平面；从一条直线出发的两个
半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面 平面 的法向量为 n ，则 P 到平面 的距离就等于
角的棱，每个半平面叫做二面角的面
二面角的平面角是指在二面角 l 的棱上 MP 在法向量 n方向上的投影的绝对值 .
任 取 一 点 O， 分 别 在 两 个 半 平 面 内 作 射 线 即 d MP cos n, MP
AO l , BO l ，则 AOB为二面角 l 的平
n M P
面角 . MP
n MP
如图：
A B l n MP
O B n
O
②求法：设二面角 l 的两个A半平 面的法向量 ⑶直线 a与平面 之间的距离
当一条直线和一个平面平行时，直线上的各点到平
分 别 为 m、n ， 再设 m、n 的夹 角 为 ， 二 面 角
面的距离相等。由此可知，直线到平面的距离可转化
为求直线上任一点到平面的距离， 即转化为点面距离。
l 的平面角为 ，则二面角 为 m、n 的夹角
或其补角 . n MP
即 d .
根据具体图形确定 是锐角或是钝角： n
⑷两平行平面 , 之间的距离
- 5 -
利用两平行平面间的距离处处相等，可将两平行平 已知平面 内一个多边形的面积为 S S原 ，它在
面间的距离转化为求点面距离。
平面 内的射影图形的面积为 S S射 ，平面 与平
n MP
即 d . 面 所成的二面角的大小为锐二面角 ，则
n ' S
cos S = 射 .
⑸异面直线间的距离 S S原
9、一个结论
设向量 n 与两异面直线 a,b都垂直， M a, P b, 长度为 l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射
影长分别为 l1、 l2、 l3，夹角分别为 1、 2、 3 ,则有
则两异面直线 a,b间的距离 d 就是 MP 在向量 n方向
l 2 l 2 l 2 l 2 cos2 cos2 cos21 2 3 1 2 3 1
上投影的绝对值。 sin2 1 sin
2
2 sin
2
3 2 .
n MP （立体几何中长方体对角线长的公式是其特例） .
即 d .
n
6、三垂线定理及其逆定理
⑴三垂线定理： 在平面内的一条直线，如果它和这个 必修 5 数学知识点
平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂 第一章：解三角形
直
P 1、正弦定理：推理模式： a b c 2R .
PO ,O sin A sin B sin C
PA A a PA O （其中 R为 ABC外接圆的半径）
a , a OA A a a 2R sin A,b 2Rsin B, c 2Rsin C;
a b c
概括为：垂直于射影就垂直于斜线 . sin A ,sin B ,sin C ;
2R 2R 2R
⑵三垂线定理的逆定理： 在平面内的一条直线，如果 a :b : c sin A :sin B :sin C.
和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的 用途：⑴已知三角形两角和任一边，求其它元素；
射影垂直 ⑵已知三角形两边和其中一边的对角，求其它
PO ,O 元素。
推理模式： PA A a AO
a , a AP 2、余弦定理：
2 2 2
. a b c 2bccosA,概括为：垂直于斜线就垂直于射影
b2 a2 c2 2accosB,
7、三余弦定理 c2 a2 b2 2abcosC.
设 AC是平面 内的任一条直线， AD是 的一条
斜线 AB在 内的射影， 且 BD⊥AD，垂足为 D.设 AB与 b2 c2 a2
(AD) 所成的角为 1， AD与 AC所成的角为 ， AB cos A ,2 2bc
与 AC所成的角为 ．则 cos cos 1 cos 2 . 2
cos B a c
2 b2 ,
B 2ac
a2 b2 c2
cosC .
2ab
A 1
2 D 用途：⑴已知三角形两边及其夹角，求其它元素；
C ⑵已知三角形三边，求其它元素。
8、 面积射影定理 做题中两个定理经常结合使用 .
- 6 -
3、三角形面积公式： ④若 { an} 、 { bn}是等差数列，则 { kan } 、{ kan pbn}
1 1 1
S ABC absin C bc sin A ac sin B *
2 2 2 ( k、 p是非零常数 )、{ ap nq}( p, q N )、， 也成等
4、三角形内角和定理： 差数列。
在△ ABC中，有 A B C C (A B)
C A B ⑤单调性： an 的公差为 d ，则：
2C 2 2( A B) .
2 2 2 ⅰ） d 0 an 为递增数列；
5、一个常用结论：
在 ABC中， a b sin A sin B A B; ⅱ） d 0 an 为递减数列；
sin 2 sin 2 , . ⅲ） d 0若 A B 则A B a或A B 特别注意， n 为常数列；
2 ⑥数列 {
sin A sin B A B an }为等差数列 an pn q（p,q 是常数）在三角函数中， 不成立。
⑦若等差数列 an 的前 n 项和 Sn，则 Sk、 S2k Sk、
第二章：数列
1、数列中 an与 Sn之间的关系： S3k S2k 是等差数列。
3、等比数列
S1 , (n 1)
a ⑴定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前n 注意通项能否合并。Sn Sn 1,(n 2). 一项的比等于同一个常数， 那么这个数列就叫做等
比数列。
2、等差数列：
⑴定义：如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前 2⑵等比中项：若三数 a、G、b成等比数列 G ab,
一项的差等于同一个常数，即 an－ an 1 =d ，（n≥ （ ab同号）。反之不一定成立。
a a qn 1⑶通项公式： n 1 amq
n m
2， n∈N ），
n
那么这个数列就叫做等差数列。 a1 1 q a a q
⑵等差中项：若三数 a、A、b成等差数列 ⑷前 n项和公式： S
1 n
n
1 q 1 q
a b
A ⑸常用性质
2
①若
a a (n 1)d a (n m)d m n p q m,n, p, q N ，则⑶通项公式： n 1 m
am an ap aq；
或 an pn q ( p、q是常数） . k② ak , a k m ,a k 2m , 为等比数列，公比为 q (下标成
⑷前 n项和公式： 等差数列 ,则对应的项成等比数列 )
③数列 an （ 为不等于零的常数） 仍是公比为 q的
n n 1 n a a
Sn na d
1 n
1
2 2 等比数列；正项等比数列 an ；则 lg an 是公差为
⑸常用性质：
lg q的等差数列；
①若 m n p q m,n, p, q N ，则
am an ap aq；
④若 a 2
1
n 是等比数列，则 can ，an ， ，
②下标为等差数列的项 a k , a k m , ak 2 m , ，仍组成 an
等差数列；
a rn (r Z)
2 1 r
是等比数列， 公比依次是 q，q ，，q .
③数列 an b （ ,b为常数）仍为等差数列； q
- 7 -
⑤单调性：
③若 f (n)是关于 n的二次函数，累加后可分组求和 ;
a1 0, q 1或a1 0,0 q 1 an 为递增数列；
④若 f (n)是关于 n的分式函数，累加后可裂项求和 .
a1 0,0 q 1或a1 0,q 1 an 为递减数列； 类型Ⅳ 累乘法：
q 1 an 为常数列； a形如 a n 1n 1 an f (n) f (n) 型的递推数列 （其
an
q 0 an 为摆动数列； an f (n 1)
⑥既是等差数列又是等比数列的数列是常数列。 an 1
⑦若等比数列 a 的前 n项和 S ，则 S 、 S S 、 an n k 2k k n 1 f (n 2)
中 f (n)是关于 n的函数）可构造： an 2
S3k S2k 是等比数列 . ...
4、非等差、等比数列通项公式的求法 a2 f (1)
类型Ⅰ 观察法：已知数列前若干项， 求该数列 a1
的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从 将上述 n 1个式子两边分别相乘，可得：
而根据规律写出此数列的一个通项。 an f (n 1) f ( n 2) ... f (2) f (1)a1,( n 2)
类型Ⅱ 公式法：若已知数列的前 n项和 Sn与 an
的关系，求数列 a a 有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这n 的通项 n可用公式
种方法求解。
S1 , (n 1)an 构造两式作差求解。Sn Sn 1,( n 2) 类型Ⅴ 构造数列法：
用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一 ㈠形如 an 1 pa n q （其中 p,q均为常数且 p 0）
分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即 a1和 an 型的递推式：
合为一个表达，（要先分 n 1和 n 2两种情况分别进 （1）若 p 1时，数列 { an }为等差数列 ;
行运算，然后验证能否统一） 。
类型Ⅲ 累加法： （2）若 q 0时，数列 { a n }为等比数列 ;
形如 an 1 an f (n)型的递推数列 （其中 f (n) 是关
（3）若 p 1且 q 0时，数列 { an }为线性递推数列，
an an 1 f (n 1) 其通项可通过待定系数法构造等比数列来求 . 方法有
a a f (n 2)
于 n的函数）可 构造： n 1 n 2 如下两种：
...
法一：设 an 1 p(an ) , 展开移项整理得
a2 a1 f (1)
将上述 n 1个式子两边分别相加，可得： an 1 pan ( p 1) , 与题设 an 1 pan q 比较系
an f (n 1) f (n 2) ... f (2) f (1) a1,( n 2) 数（待定系数法）得
①若 f (n)是关于 n 的一次函数， 累加后可转化为等差 q q q,( p 0) an 1 p(an )
p 1 p 1 p 1
数列求和 ;
② 若 f (n)是关于 n的指数函数，累加后可转化为等 a q p(a q qn n 1 ) ,即 a 构成
p 1 p 1 n p 1
比数列求和 ;
- 8 -
q 以 p为公比的等比数列p an f (n). ，再利用等比数以 a1 为首项，以 为公比的等比数列 再利用
p 1
列的通项公式求出 an f (n) 的通项整理可得 an .
q
等比数列的通项公式求出 a n 的通项整理可p 1 法二：当 f (n)的公比为 q时，由递推式得：
得 an . an 1 pan f (n) ——①， an pan 1 f ( n 1)，两
法二：由 an 1 pan q 得 an pan 1 q(n 2) 两式 边同时乘以 q得 anq pqan 1 qf (n 1)——② ，由
an 1 a相减并整理得 n p,即 an 1 an 构成以an an 1 ①②两式相减得 an 1 an q p(an qan 1)，即
a2 a1为首项，以 p为公比的等比数列 . 求出
an 1 an 的通项再转化为 类型Ⅲ（累加法） 便可求 an 1 qan p ，在转化为 类型Ⅴ㈠ 便可求出 an .
出 an .
an qan 1
㈡形如 an 1 pan f ( n) ( p 1)型的递推式 ： 法三：递推公式为 a pa q nn 1 n （其中 p，q 均
⑴当 f (n)为一次函数类型（即等差数列）时： n为常数）或 an 1 pan rq （其中 p，q, r 均为常数）
法一：设 an An B p an 1 A(n 1) B ， 时，要先在原递推公式两边同时除以 qn 1，得：
通过待定系数法确定 A、B 的值，转化成以 a1 A B an 1 p an 1
n 1 n ，引入辅助数列 bn （其中q q q q
为首项， 以 p为公比的等比数列 an An B ，再利
an p 1b ），得： b b 再应用 类型Ⅴ㈠ 的方
用等比数列的通项公式求出 a n n 1 nn An B 的通项整 q n q q
理可得 an .
法解决。
⑶当 f (n)为任意数列时，可用 通法：
法二：当 f (n)的公差为 d 时，由递推式得：
在 an 1 pan f (n)
n 1
两边同时除以 p 可得到
an 1 pan f (n)， an pan 1 f (n 1)两式相减
an 1 an f (n) an b b b f (n)
得： an 1 an p(an an 1) d ，令 bn an 1 a
，令 n ，则 n 1 n ，
n 得： pn 1 pn pn 1 pn pn 1
bn pb nn 1 d 转化为 类型Ⅴ㈠ 求出 bn，再用类型Ⅲ 在转化为 类型Ⅲ（累加法），求出 bn之后得 an p bn .
（累加法） 便可求出 an .
类型Ⅵ 对数变换法：
⑵当 f (n)为指数函数类型（即等比数列）时： 形如 an 1 pa
q ( p 0, an 0) 型的递推式：
法一：设 an f (n) p an 1 f (n 1) ，通过 在原递推式 an 1 pa
q
两边取对数得
待定系数法确定 的值，转化成以 a1 f (1)为首项， lg an 1 q lg an lg p，令 bn lg an得：
- 9 -
bn 1 qbn lg p，化归为 an 1 pan q 型，求出 bn 然后在错位相减，进而可得到数列 an bn 的前 n 项
b 和 .
之后得 an 10 n.（注意：底数不一定要取 10，可根据
此法是在推导等比数列的前 n项和公式时所用的方
题意选择）。 法.
类型Ⅶ 倒数变换法： ⑵裂项相消法
形如 an 1 an pan 1an（ p为常数且 p 0 ）的递推 c一般地，当数列的通项 an
( an b1)(an b2 )
1 1
式：两边同除于 an 1an，转化为 p形式，
an an 1 ( a,b1 ,b2 , c为常数）时，往往可将 an 变成两项的差，
化归为 an 1 pa n q 型求出 1 的表达式，再求 a ； 采用裂项相消法求和 . n
an 可用待定系数法进行裂项：
还有形如 a mann 1 的递推式， 也可采用取倒数方
pan q 设 an ，通分整理后与原式相
an b1 an b2
法转化成 1 m 1 m 形式，化归为 an 1 pan q
an 1 q an p
c
型求出 1 的表达式，再求 a . 比较，根据对应项系数相等得 ，从而可得n
a b2 b1n
c c 1 1
= ( ).
类型Ⅷ 形如 an 2 pan 1 qan型的递推式： (an b1)(an b 2) (b2 b1) an b1 an b 2
用待定系数法，化为特殊数列 { an an 1} 的形式
常见的拆项公式有：
求解。方法为： 设 an 2 kan 1 h(an 1 kan ) ，比较 1 1 1① ；
n(n 1) n n 1
系数得 h k p, hk q，可解得 h、k，于是
1 1 1 1
② ( );
{ an 1 kan} 是公比为 h的等比数列，这样就化归为 (2n 1)(2n 1) 2 2n 1 2n 1
an 1 pan q 型。 1 1③ ( a b );
a b
总之，求数列通项公式可根据数列特点采用以上 a b
不同方法求解，对不能转化为以上方法求解的数列，
C m 1 m④ n Cn 1 C
m
n ;
可用归纳、猜想、证明方法求出数列通项公式 an .
⑤ n n! (n 1)! n!.
5、非等差、等比数列前 n项和公式的求法
⑶分组法求和
⑴错位相减法 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，
若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常
①若数列 an 为等差数列，数列 bn 为等比数列， 见的数列，然后分别求和，再将其合并即可 .一般分两
步：①找通向项公式②由通项公式确定如何分组 .
则数列 an bn 的求和就要采用此法 .
⑷倒序相加法
②将数列 an bn 的每一项分别乘以 bn 的公比，
- 10 -
如果一个数列 an ，与首末两项等距的两项之和等于
③（三个正数的算术—几何平均不等式）
首末两项之和， 则可用把正着写与倒着写的两个和式
相加，就得到了一个常数列的和，这种求和方法称为 a b c 3 abc (a、b、c R )（当且仅当
3
倒序相加法。特征： a1 an a2 an 1 ...
a b c时取到等号） .
⑸记住常见数列的前 n项和：
a2④ b2 c2 ab bc ca a，b R
① 1 2 3 ... n n(n 1) ;
2 （当且仅当 a b c时取到等号） .
② 1 3 5 ... (2n 1) n2 ; a3 b3 c3⑤ 3abc(a 0,b 0,c 0)
2 1③ 1 22 32 ... n2 n(n 1)(2n 1). （当且仅当 a b c时取到等号） .
6 b a
第三章：不等式 ⑥若 ab 0,则 2（当仅当 a=b 时取等号）
a b
§3.1 、不等关系与不等式 b a
1、不等式的基本性质 若 ab 0,则 2（当仅当 a=b 时取等号）
a b b a a b①（对称性） b b m a n a
⑦ 1
②（传递性） a b,b c a c a a m b n b
③（可加性） a b a c b c 其中 (a b 0，m 0，n 0)
（同向可加 性） a b, c d a c b d
规律：小于 1 同加则变大，大于 1同加则变小 .
（异向可减 性） a b, c d a c b d
a b, c 0 ac bc ⑧当a 0时，x a x2 a2④（可积性） x a或x a;
a b, c 0 ac bc
2 2
⑤（同向正数 可乘性） a b 0,c d 0 ac bd x a x a a x a.
（异向正数 可除性） a ba b 0,0 c d
c d ⑨绝对值三角不等式 a b a b a b .
⑥（平方法则） a b 0 a n bn (n N ,且n 1)
⑦（开方法则） a b 0 n a n b(n N ,且n 1) 3、几个著名不等式
1 1 1 1
⑧（倒数法则） a b 0 ; a b 0 2 2
a b a b 2 a b a b
①平均不等式：
2、几个重要不等式 a 1 b 1
ab
2 2
① a2 b2 2ab a，b R , （当且仅当 a b时取 a，b R ,（当且仅当 a b时取 " "号） .
a2 b2 （即调和平均 几何平均 算术平均 平方平均） . " "号） . 变形公式： ab .
2 变形公式：
2
a b a b a
2 b2
②（基本不等式） ab a，b R , ab ;（当
2 2 2
且仅当 a b 2时取到等号） . 2 2 (a b)
a b .
2
a b 2
变形公式： a b 2 ab ab .
2 ②幂平均不等式：
2 2
用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最 a1 a2 ... a
2 1
n (a1 a ... a )
2 .
n 2 n
大），要注意满足三个条件 “一正、二定、三相等” .
③二维形式的三角不等式：
- 11 -
x 2 y 2 x 2 y 2 (x x ) 2 ( y y ) 2 函数单调性法， 数学归纳法 等 . 1 1 2 2 1 2 1 2 常见不等式的放缩方法：
( x , y , x , y R). 1 2 3 1 21 1 2 2 ①舍去或加上一些项，如 (a ) ( a ) ;
2 4 2
④二维形式的柯西不等式： ②将分子或分母放大（缩小） ，如
(a2 b2)(c2 d 2 ) (ac bd)2 (a,b, c, d R).当且 1 1 , 1 12 ,k k(k 1) k 2 k( k 1)
仅当 ad bc时，等号成立 .
⑤三维形式的柯西不等式：
2 2 1 2
2 2 2 2 2 2 2 ( ) ,
(a1 a2 a3 )(b1 b2 b3 ) (a1b1 a2b2 a3b3) . 2 k k k k k k 1
⑥一般形式的柯西不等式：
1 2
(k N * , k 1)等.
(a 2 a 2 ... a 2 2 2 21 2 n )(b1 b2 ... bn ) k k k 1
2 5、一元二次不等式的解法(a1b1 a2b2 ... anbn) .
2
求一元二次不等式 ax bx c 0(或 0)
⑦向量形式的柯西不等式：
设 , 是两个向量，则 ,当且仅当 ( a 0, b2 4ac 0)解集的步骤：
一化：化二次项前的系数为正数 .
是零向量，或存在实数 k，使 k 时，等号成
二判：判断对应方程的根 .
立 . 三求：求对应方程的根 .
⑧排序不等式（排序原理） ： 四画：画出对应函数的图象 .
五解集：根据图象写出不等式的解集 .
设 a1 a2 ... an ,b1 b2 ... bn为两组实
规律：当二次项系数为正时， 小于取中间， 大于取两边 .
6、高次不等式的解法： 穿根法 .
数 . c1 , c2 ,..., cn是 b1 ,b2 ,..., bn的任一排列，则
分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿
a1bn a2b ... a b a c a c ... a c
（奇穿偶切 ），结合原式不等号的方向， 写出不等式的
n 1 n 1 1 1 2 2 n n
解集 .
a 7、分式不等式的解法：先 移项通分 标准化，则1b1 a2b2 ... anbn .（反序和 乱序和 顺序和 ）
f ( x)
0 f (x) g (x) 0
当且仅当 a1 a2 ... an或 b1 b2 ... b 时，反序 g(x)n （“ 或 ”时同理）
f ( x) f (x) g (x) 0
和等于顺序和 . 0
⑨琴生不等式 : （特例 : 凸函数、凹函数） g(x) g (x) 0
若定义在某区间上的函数 f ( x) 规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解 . , 对于定义域中任
8、无理不等式的解法：转化为有理不等式求解
意两点 x1 , x2 (x1 x2 ),有 f (x) 0
⑴ f ( x) a(a 0)
f (x) a2
x x f (x
f ( 1 2 ) 1
) f ( x2 ) x x f ( x或 f ( 1 2 ) 1
) f (x2 ) .
2 2 2 2
则称 f(x) 为凸（或凹）函数 . f (x) 0
4、不等式证明的几种常用方法 ⑵ f ( x) a(a 0)
f (x) a2
常用方法有： 比较法（作差，作商法） 、综合法、
分析法；
其它方法有：换元法、反证法、放缩法、构造法，
- 12 -
f (x) 0 ④ f ( x) g (x) f ( x) g (x)或f ( x) g (x) (g (x) 0)
f ( x) 0
⑶ f (x) g( x) g(x) 0 或
规律：关键是去掉绝对值的符号 .
f (x) [ g(x)]2
g(x) 0
12、含有两个（或两个以上）绝对值的不等式的解法：
f ( x) 0 规律：找零点、划区间、分段讨论去绝对值 、每段中
取交集，最后取各段的并集 .
⑷ f (x) g(x) g(x) 0
13、含参数的不等式的解法
f ( x) [ g( x)] 2
解形如 ax2 bx c 0且含参数的不等式时，要
f (x) 0
对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：
⑸ f (x) g(x) g( x) 0
⑴讨论 a与 0 的大小；
f (x) g(x) ⑵讨论 与 0的大小；
规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在 ⑶讨论两根的大小 .
于从“小”的一边分析求解 . 14、恒成立问题
9、指数不等式的解法：
⑴不等式 ax2 bx c 0的解集是全体实数（或恒成
a 1 , a f ( x) ag ( x)⑴当 时 f ( x) g( x)
立）的条件是：
⑵当 0 a 1时 , a f (x ) a g ( x) f (x) g( x) ①当 a 0时 b 0,c 0;
规律：根据指数函数的性质转化 . a 0
10、对数不等式的解法 ②当 a 0时
⑴当 a 1时 , 0.
f (x) 0 ⑵不等式 ax2 bx c 0的解集是全体实数（或恒成
loga f (x) loga g(x) g(x) 0 立）的条件是：
f (x) g(x)
①当 a 0时 b 0,c 0;
⑵当 0 a 1时 ,
f (x) 0 a 0
②当 a 0时
loga f (x) loga g(x) g(x) 0 . 0.
f (x) g( x)
⑶ f ( x) a恒成立 f ( x)
. max
a;
规律：根据对数函数的性质转化
11、含绝对值不等式的解法：
f ( x) a恒成立 f (x) max a;
a (a 0)
⑴定义法： a .
a (a 0) ⑷ f ( x) a恒成立 f ( x)min a;
⑵平方法： f (x) g( x) f 2 (x) g2 (x). f ( x) a 恒成立 f ( x)min a.
⑶同解变形法，其同解定理有： 15、线性规划问题
⑴二元一次不等式所表示的平面区域的判断：
① x a a x a(a 0);
法一：取点定域法：
② x a x a或x a(a 0); 由于直线 Ax By C 0的同一侧的所有点的
③ f (x) g( x) g(x) f (x) g( x) ( g(x) 0) 坐标代入 Ax By C 后所得的实数的符号相同 .所
以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特
- 13 -
殊点 ( x0, y0 )（如原点），由 Ax0 By0 C 的正负即可 ①若 B 0,则使目标函数 z Ax By所表示直
判断出 Ax By C 0 ( 线的纵截距最大的角点处， z取得最大值，使直线的或 0) 表示直线哪一侧的
纵截距最小的角点处， z取得最小值；
平面区域 .
即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选
②若 B 0,则使目标函数 z Ax By 所表示直
原点 .
线的纵截距最大的角点处， z取得最小值，使直线的
法二：根据 Ax By C 0 (或 0)，观察 B的
纵截距最小的角点处， z取得最大值 .
符号与不等式开口的符号， 若同号， Ax By C 0 (
或 0) 表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上 ⑷常见的目标函数的类型：
方的区域 .即：同号上方，异号下方 .
⑵二元一次不等式组所表示的平面区域： ①“截距”型： z Ax By;
不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的
平面区域的公共部分 .
y y b
z Ax By (A, B ②“斜率”型：⑶利用线性规划求目标函数 为常 z 或 z ;x x a
数）的最值：
2 2 2 2
法一：角点法： ③“距离”型： z x y 或 z x y ;
如果目标函数 z Ax By （ x、y即为公共区域
2 2 2 2
中点的横坐标和纵坐标）的最值存在，则这些最值都 z ( x a) ( y b) 或 z (x a) (y b) .
在该公共区域的边界角点处取得，将这些角点的坐标
代入目标函数，得到一组对应 z值，最大的那个数为 在求该 “三型” 的目标函数的最值时，可结合线
目标函数 z的最大值，最小的那个数为目标函数 z的 性规划与代数式的 几何意义 求解，从而使问题简单化 .
最小值
法二：画——移——定——求：
第一步，在平面直角坐标系中画出可行域； 第二步， 选修数学知识点
作直线 l : Ax By 0 l 专题一：常用逻辑用语0 ，平移直线 0（据可行域，将
1、命题：可以判断真假的语句叫命题；
逻辑联结词：“或”“且”“非”这些词就叫做逻辑
直线 l0平行移动）确定最优解；第三步，求出最优解
联结词；
( x, y) 简单命题：不含逻辑联结词的命题 ; ；第四步，将最优解 ( x, y)代入目标函数
复合命题：由简单命题与逻辑联结词构成的命题 .
常用小写的拉丁字母 p， q， r ， s， 表示命z Ax By即可求出最大值或最小值 .
题 .
2、四种命题及其相互关系
第二步中 最优解的确定方法：
A z z
利用 z的几何意义： y x , 为直线的
B B B
纵截距 .
- 14 -
⑥若 A B且 B A，则 p是 q的既不充分也不必要
四种命题的真假性之间的关系：
⑴、两个命题 互为逆否命题 ，它们 有相同的真假性 ； 条件 .
⑵、两个命题为 互逆命题或互否命题 ，它们的 真假性 4、复合命题
没有关系． ⑴复合命题有三种形式： p或 q（ p q）； p且 q
3、充分条件、必要条件与充要条件 （ p q）；非 p（ p） .
⑴、一般地，如果已知 p q，那么就说： p是 q的 ⑵复合命题的真假判断
充分条件， q是 p的必要条件； “ p或 q”形式复合命题的真假判断方法： 一真必真 ；
若 p q，则 p是 q的充分必要条件， 简称充要条件． “ p且 q”形式复合命题的真假判断方法： 一假必假 ；
⑵、充分条件，必要条件与充要条件主要用来区分命 “非 p”形式复合命题的真假判断方法： 真假相对 .
题的条件 p与结论 q之间的关系： 5、全称量词与存在量词
Ⅰ、从逻辑推理关系上看： ⑴全称量词与全称命题
①若 p q，则 p是 q充分条件， q是 p的必要条件； 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做 全称
②若 p q，但 q p，则 p是 q充分而不必要条件 ; 量词，并用符号“ ”表示 .含有全称量词的命题，叫
③若 p q，但 q p，则 p是 q必要而不充分条件 ; 做全称命题 .
⑵存在量词与特称命题
④若 p q且 q p，则 p是 q的充要条件；
短语“存在一个” “至少有一个”在逻辑中通常叫做
⑤若 p q且 q p，则 p是 q的既不充分也不必要 存在量词 ，并用符号“ ”表示 . 含有存在量词的命题，
条件 . 叫做特称命题 .
Ⅱ、从集合与集合之间的关系上看： ⑶全称命题与特称命题的符号表示及否定
已知 A x x满足条件 p ， B x x满足条件 q ： ①全 称命题 p ： x , p(x) ，它的 否定 p ：
①若 A B , 则 p是 q充分条件； x0 , p(x0).全称命题的否定是特称命题．
②若 B A , 则 p是 q必要条件； ②特称命题 p ： x0 , p( x0),，它的否定 p ：
③若 A B，则 p是 q充分而不必要条件 ; x , p( x).特称命题的否定是全称命题 .
④若 B A，则 p是 q必要而不充分条件 ;
⑤若 A B，则 p是 q的充要条件；
专题二：圆锥曲线与方程
1．椭圆
焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y轴上
图形
x2 y2 y2 x2
标准方程
2 2 1 a b 0 1 a b 0a b a2 b2
第一定义 到两定点 F1、F2的距离之和等于常数 2 a，即 | MF1 | | MF 2 | 2a（ 2a | F1F2 |）
- 15 -
MF
第二定义 与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数 e，即 e (0 e 1)
d
范围 a x a且 b y b b x b且 a y a
1 a,0 、 2 a,0 1 0, a 、 2 0,a
顶点
1 0, b 、 2 0,b 1 b,0 、 2 b,0
轴长 长轴的长 2a 短轴的长 2b
对称性 关于 x轴、 y 轴对称，关于原点中心对称
焦点 F1 c,0 、 F2 c,0 F1 0, c 、 F2 0,c
F F 2 2 2焦距 1 2 2c (c a b )
c c2 a2 b2 b2
离心率 e 2 2 1 2 (0 e 1)a a a a
a2 a2
准线方程 x y
c c
焦半径 左焦半径： MF1 a ex0 下焦半径： MF1 a ey0
M (x0, y0)
右焦半径： MF2 a ex0 上焦半径： MF2 a ey0
焦点三角形面积 S b2MF F tan ( F1 2 1MF2 )2
b2
通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径： HH
a
2 2 2
（焦点）弦长公式 A( x1, y1 ), B(x2, y2 )， AB 1 k x1 x2 1 k (x1 x2 ) 4x1x2
焦点的位置 焦点在 x 轴上 焦点在 y 轴上
图形
x2 y2 y2 x2
标准方程
2 2 1 a 0, b 0 2 2 1 a 0,b 0a b a b
第一定义 到两定点 F1、F2 的距离之差的绝对值等于常数 2a，即 | MF1 | | MF2 | 2a（ 0 2a | F1F2 |）
- 2 -
MF
第二定义 与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数 e，即 e (e 1)
d
范围 x a或 x a， y R y a或 y a， x R
图形
顶点 1 a,0 、 2 a,0 1 0, a 、 2 0,a
2
轴长 y 2 px y
2
实轴2 px x
2 2
的长 2a 虚轴的长2 py2b x 2 py
标准对方称程性 关于 x轴、 y轴对称，关于原点中心对称
p 0 p 0 p 0 p 0
焦点 F1 c,0 、 F2 c,0 F1 0, c 、 F2 0,c
定义 与一定点 F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 (定点 F 不在定直线 l 上)
顶点焦距 F1F2 20c,0 (c
2 a2 b2)
c c2离心率 e a
2 b2 1 b
2
(e 1)
a a2 a2 a2
a2 a2
准线方程 x y
c c
b a
渐近线方程 y x y x
a b
左焦：MF1 ex0 a 左焦：MF1 ey0 a
M 在右支 M 在上支
焦半径 右焦：MF 2 ex0 a 右焦：MF 2 ey0 a
M (x0, y0) 左焦：MF1 ex0 a 左焦：MF1 ey0 a
M 在左支 M 在下支
右焦：MF 2 ex0 a 右焦：MF 2 ey0 a
2
焦点三角形面积 S MF F b cot ( F1MF2 )1 2 2
b2
通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径： HH
a
2．双曲线
3．抛物线
- 3 -
离心率 e 1
对称轴 x 轴 y 轴
范围 x 0 x 0 y 0 y 0
p , 0 p , 0 p p焦点 F F F 0, F 0,
2 2 2 2
p p p p
准线方程 x x y y
2 2 2 2
焦半径
p p p p
M (x y ) MF x0 MF x0 MF y0 MF y00, 0 2 2 2 2
通径 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径： HH 2p
焦点弦长
AB x x p
公式 1 2
参数 p的几
参数 p表示焦点到准线的距离， p越大，开口越阔
何意义
关于抛物线焦点弦的几个结论：
设 AB为过抛物线 y 2 2 px ( p 0) 焦点的弦， A(x1 , y1)、B(x2, y2)，直线 AB的倾斜角为 ，则
p2
x 2
2 p
⑴ 1x2 , y1 y2 p ; ⑵ AB ;
4 sin 2
⑶ 以 AB为直径的圆与准线相切；
⑷ 焦点 F 对 A、B在准线上射影的张角为 ；
2
1 1 2
⑸ .
| FA | | FB | P
专题三：定积分 n n b a
1 Ln f ( i ) x f ( i ), ，当 n 时，上、定积分的概念
i 1 i 1 n
如果函数 f (x) 在区间 [ a,b] 上连续，用分点
述和式无限接近某个常数， 这个常数叫做函数 f (x) 在
a x0 x1 xi 1 xi xn b将区间 b
区间 [a,b]上的定积分 . 记作 f (x )dx ，即
a
[ a,b]等分成 n个小区间，在每个小区间 [ xi 1, xi ] 上任
b n b a
f (x)dx lim f ( i ) ，这里， a与 b分别叫
取一点 i (i 1,2, ,
a n
n)，作和式 i 1 n
- 4 -
b c b
做积分下限与积分上限， 区间 [ a,b]叫做积分区间， 函 ⑶ f (x)dx f ( x)dx f (x)dx（其中 a c b) ;
a a c
数 f ( x)叫做被积函数， x叫做积分变量， f ( x)dx 叫 ⑷利用函数的奇偶性求定积分 : 若 f (x) 是 [ a,a] 上
做被积式 . a
的奇函数 ,则 f (x )dx 0 ;若 f ( x)是 [ a,a] 上的 偶
说明： a
（1）定积分的值是一个常数， 可正、可负、可为零； a a
（2）用定义求定积分的四个基本步骤：①分割；② 函数 , 则 f (x)dx 2 f (x)dx . a 0
近似代替；③求和；④取极限 .
5、定积分的几何意义
2、微积分基本定理 (牛顿 -莱布尼兹公式 )
b
如果 F (x) f ( x)，且 f (x) [ a,b] 定积分 f (x)dx表示在区间 [a,b]上的曲线在 上可积，则 a
b b
f (x)dx F (x) F (b) F (a) y f ( x)与直线 x a、x b以及 x轴所围成的平面，
a a
图形（曲边梯形）的面积的代数和，即
【 其 中 F (x) 叫 做 f (x) 的 一 个 原 函 数 ， 因 为 b
f (x)dx Sx轴上方－Sx轴下方 .（在 x 轴上方的面积取a
F (x) C F (x) f (x)】 正号 , 在 x 轴下方的面积取负号）
6、求曲边梯形面积的方法与步骤
3、常用定积分公式
⑴画出草图 ，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致
⑴ 0dx c（ c为常数） 图像；
⑵借助图形 确定出被积函数，求出交点坐标，确定积
⑵ 1dx x c 分的上、下限；
⑶写出定积分表达式；
x 1 ⑷求出曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和 .
⑶ x dx c ( 1)
1 7、定积分的简单应用
⑴定积分在几何中的应用：
1
⑷ dx ln x c 几种常见的曲边梯形面积的计算方法 :
x （1） x型区域：
⑸ exdx ex c ① 由 一 条 曲 线 y f (x)(其中 f (x) 0） 与 直 线
x x a, x b(a b)以及 x 轴所围成的曲边梯形的面
x
⑹ a dx a c (a 0, a 1)
ln a 积： S＝ ba f (x)dx（如图（ 1））；
⑺ sin xdx cosx c
⑻ cosxdx sin x c
⑼ sin axdx 1 cos ax c (a 0)
a
1
⑽ cosaxdx sin ax c (a 0)
a 图（ 1）
4、定积分的性质 ② 由 一 条 曲 线 y f (x)(其中 f (x) 0） 与 直 线
b b x a, x b(a b) x
⑴ kf (x)dx k f (x)dx 以及 轴所围成的曲边梯形的面（k为常数）；
a a b b
积： S＝ f ( x)dx＝－ f ( x)dx（如图（ 2））；
b b b a a
⑵ f (x) g(x)dx f (x)dx g(x)dx；
a a a
- 2 -
图（ 2）
③由一条曲线 y f ( x) 图（ 5）
②由一条曲线 y f ( x)(其中 x 0）与直线
c
【当 a x c时， f ( x) 0 f ( x)dx 0; y a, y b(a b)以及 y轴所围成的曲边梯形的面
a 积，可由 y f ( x) 先求出 x h( y) ，然后利用
b b b
当 c x b时， f ( x) 0 f ( x)dx 0.】
c S＝ h( y)dy＝－ h( y)dy求出（如图（ 6））；a a
与直线 x a, x b(a b)以及 x 轴所围成的曲边梯形
c b
的面积： S＝ f (x)dx f ( x)dx
a c
c b
＝ f ( x)dx f ( x)dx.（如图（ 3））；
a c
图（ 6）
③由两条曲线 y f ( x)， y g( x) 与直线
y a, y b(a b)所围成的曲边梯形的面积，可由
y f ( x)，y g( x)先分别求出 x h1 ( y) ，
b
图（ 3） x h2 ( y)，然后利用 S＝ | h1( y)－h2 ( y) | dy求出（如a
图（ 7））；
④由两条曲线 y f ( x)，y g(x)（ f (x) g( x)) 与
直线 x a, x b(a b) 所围成的曲边梯形的面积：
b b b
S f ( x) dx g( x) dx f( x) g( x) d（x.如
a a a
图（ 4））
图（ 7）
⑵定积分在物理中的应用：
①变速直线运动的路程
作变速直线运动的物体所经过的路程 S，等于其速
图（ 4） 度函数 v v(t)(v(t) 0)在时间区间 a, b 上的定积
（2） y型区域：
b
①由一条曲线 y f ( x)(其中 x 0）与直线 分，即 S v(t )dt. .
a
y a, y b(a b)以及 y轴所围成的曲边梯形的面积 ,
b ②变力作功
可由 y f ( x)得 x h( y)，然后利用 S＝ h( y)dy求
a 物体在变力 F (x)的作用下做直线运动， 并且物体沿
出（如图（ 5））；
- 3 -
F (x) x a x b(a b) 论，这种推理称为演绎推理．着与 相同的方向从 移动到 ，
简言之， 演绎推理是由一般到特殊的推理 .
b 演绎推理的一般模式——— “三段论”，包括
那么变力 F (x)所作的功 W F(x)dx.
a ⑴大前提 -----已知的一般原理；
专题四：推理与证明 ⑵小前提 -----所研究的特殊情况；
知识结构 ⑶结论 -----据一般原理， 对特殊情况做出的判断．
用集合的观点来理解：若集合 M 中的所有元素都
归纳推理
合情推理
具有性质 P , S是 M 的一个子集 ,那么 S中所有元素
推理 类比推理
推 演绎推理 也都具有性质 P.
理 M
·a S
与 比较法
证
直接证明 综合法
明 从推理所得的结论来看， 合情推理的结论不一定正
证明 分析法
确，有待进一步证明；演绎推理在前提和推理形式都
间接证明 反证法
正确的前提下，得到的结论一定正确 .
数学归纳法 5、直接证明与间接证明
⑴综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定
1、归纳推理 理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明
, 的结论成立 . 把从个别事实中推演出一般性结论的推理 称为归
纳推理 (简称归纳 ). 框图表示：
简言之 , 归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般 要点： 顺推证法；由因导果 .
的推理。 ⑵分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立
的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定
归纳推理的一般步骤：
一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理
通过观察个别情况发现某些相同的性质；
等）为止 .
从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题
（猜想）； 框图表示：
证明（视题目要求，可有可无） . 要点： 逆推证法；执果索因 .
2、类比推理 ⑶反证法：一般地，假设原命题不成立，经过正确的
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的 推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明
某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推 了原命题成立 .的证明方法 . 它是一种间接的证明方法 .
理称为类比推理（简称类比） ． 反证法法证明一个命题的一般步骤：
简言之， 类比推理是由特殊到特殊的推理 . (1) （反设）假设命题的结论不成立；
类比推理的一般步骤： (2) （推理）根据假设进行推理 ,直到导出矛盾为止；
找出两类对象之间可以确切表述的相似特征； (3) （归谬）断言假设不成立；
用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征， (4) （结论）肯定原命题的结论成立 .
从而得出一个猜想； 6、数学归纳法
检验猜想。 数学归纳法是 证明关于正整数 n的命题 的一种方法 .
3、合情推理 用数学归纳法证明命题的步骤 ;
1 *（ ）（归纳奠基） 证明当 n取第一个值 n (n
归纳推理和类比推理都是根据已有的事实， 经过观 0 0
N )
时命题成立；
察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提
（2）（归纳递推）假设 n k(k n 0 ,k N
* )时命
出猜想的推理 . 题成立，推证当 n k 1时命题也成立 .
归纳推理和类比推理统称为合情推理，通俗地说， 只要完成了这两个步骤， 就可以断定命题对从 n0开
合情推理是指“合乎情理”的推理 . 始的所有正整数 n都成立 .
4、演绎推理 用数学归纳法可以证明许多与自然数有关的数学
从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结 命题，其中包括恒等式、不等式、数列通项公式、几
- 4 -
何中的计算问题等 . 2
2 1 i 1 i 1 i
(7) 1 i i;(8) i , i, i
专题五：数系的扩充与复数 1 i 1 i 2
1、复数的概念
⑴虚数单位 i ； (9) 1 3i设 是 1的立方虚根，则
2
⑵复数的代数形式 z a bi (a,b R)；
2 3n 1 3 n 2 3n 3
⑶复数的实部、虚部，虚数与纯虚数 . 1 0， , , 1
2、复数的分类 6、复数的几何意义
复数 z a bi a,b R 复平面：用来表示复数的直角坐标系，其中 x轴叫
做复平面的实轴， y轴叫做复平面的虚轴 .
实数 (b 0) 一一对应
复数 z a bi 复平面内的点 Z（ a,b)
纯虚数 ( a 0,b 0)
虚数 (b 0)
非纯虚数 (a 0,b 0) 一一对应复数 z a bi 平面向量 OZ
3、相关公式
⑴ a bi c di a b,且 c d 专题六：排列组合与二项式定理
1、基本计数原理
⑵ a bi 0 a b 0 ⑴ 分类加法计数原理： (分类相加 )
2 2
⑶ z a bi a b 做一件事情，完成它有 n类办法，在第一类办法中有
m1种不同的方法，在第二类办法中有 m2种不同的方
⑷ z a bi
z z 法 在第 n类办法中有 m， n种不同的方法 . 那么完成指两复数实部相同， 虚部互为相反数 （互为共
轭复数） . 这件事情共有 N m1 m2 mn种不同的方法 .
4、复数运算 ⑵ 分步乘法计数原理： (分步相乘 )
a bi c di a c b d i 做一件事情，完成它需要 n个步骤，做第一个步骤有⑴复数加减法： ；
m1种不同的方法，做第二个步骤有 m2种不同的方
⑵复数的乘法：
法 做第 n个步骤有 mn种不同的方法 . 那么完成这
a bi c di ac bd bc ad i； 件事情共有 N m1 m2 mn种不同的方法 .
2、排列与组合
a bi a bi c di ⑴排列定义：一般地，从 n个不同的元素中任取
⑶复数的除法：
c di c di c di m m n 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从
ac bd bc ad i ac bd bc ad n个不同的元素中任取 m个元素的一个排列 .
2 ic d 2 c2 d 2 c2 d 2 ⑵组合定义：一般地，从 n个不同的元素中任取
（类似于无理数除法的 分母有理化 虚数除法的 分 m m n 个元素并成一组， 叫做从 n个不同的元素中
母实数化 ）
任取 m个元素的一个组合 .
5、常见的运算规律
⑶排列数： 从 个不同的元素中任取 m m n 个元素
(1) z z ; (2) z z 2a, z z 2bi; n
的所有排列的个数，叫做从 n个不同的元素中任取 m
2 2
(3) z z z z a2 b2;(4) z z;(5) z z z R
个元素的排列数，记作 Amn .
(6) i 4 n 1 i , i 4n 2 1,i 4n 3 i , i 4n 4 1;
⑷组合数： 从 n个不同的元素中任取 m m n 个元素
- 5 -
的所有组合的个数，叫做从 n个不同的元素中任取 m ⑧相同元素分组可采用隔板法 .
m ⑨分组问题 ：要注意区分是平均分组还是非平均分组，个元素的组合数，记作 Cn . 平均分成 n 组问题别忘除以 n！ .
⑸排列数公式： 3、二项式定理
m ⑴二项展开公式：
① An n n 1 n 2 n m 1
n
a b C 0an C1an 1b C 2an 2b2 C r an r rn n n n b
m n！An ； n
n m ! Cn b
n n N .
n ⑵二项展开式的通项公式：
② An n!，规定 0! 1 .
T C rr 1 n a
n rb r 0 r n,r N, n N . 主要用途
⑹组合数公式：
m n n 1 n 2 n m 1 是求指定的项 .
① C n 或
m! ⑶项的系数与二项式系数
项的系数与二项式系数是不同的两个概念，但当
m n！C ； 二项式的两个项的系数都为 1 时，系数就是二项式系n
m! n m ! 数 . 如
在 ( nax b) 的展开式中， 第 r 1项的二项式系数
C m n m 0② n Cn ，规定 Cn 1 .
C r为 n ，第 r 1项的系数为 C
ra n rn b
r 1
；而 ( x )n的
⑺排列与组合的区别： 排列有顺序，组合无顺序 . x
展开式中的系数等于二项式系数；二项式系数一定为
⑻排列与组合的联系： Am C m Amn n m ，即排列就是先 正，而项的系数不一定为正 .
n
组合再全排列 . ⑷ 1 x 的展开式：
Amm n n (n 1) (n m 1) n!C (m n) 1 x n C0 xn C1xn 1 C 2xn 2 C nx0n m ，Am m (m 1) 2 1 m! n m !
n n n n
若令 x 1，则有
⑼排列与组合的两个性质性质
n n 0 1 2 n
Am Am mAm 1 C m C m m 1
1 1 2 C
C n
Cn Cn Cn .
排列 n 1 n n ；组合 n 1 n n .
二项式奇数项系数的和等于二项式偶数项系数
⑽解排列组合问题的方法
0 2 1 3 n 1
①特殊元素、特殊位置优先法 （元素优先法 ：先考虑 的和 .即 C n C n C n C n 2
有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； 位置优
⑸二项式系数的性质：
先法 ：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他
（1）对称性 ：与首末两端“等距离”的两个二项
位置） .
m n m
式系数相等，即
②间接法 （对有限制条件的问题，先从总体考虑，再 C n Cn ；
把不符合条件的所有情况去掉） . （2 n 1）增减性与最大值 ：当 r 时，二项式系
③相邻问题捆绑法 （把相邻的若干个特殊元素 “捆绑” 2
为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列， C r n 1 r数 n的值逐渐增大， 当 r 时,C n的值逐渐减小，
最后再“松绑” ，将特殊元素在这些位置上全排列） . 2
④不相邻 (相间 )问题插空法 （某些元素不能相邻或某 n n且在中间取得最大值。 当 为偶数时，中间一项（第
些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好 2
n
没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素
＋1 项）的二项式系数 C 2n 取得最大值 .当 n 为奇数时，
按要求插入排好的元素之间） .
n 1 n 1
⑤有序问题组合法 . 中间两项（第 和 ＋ 1 项）的二项式系数
⑥选取问题先选后排法 . 2 2n 1 n 1
⑦至多至少问题间接法 . C 2 C 2n n 相等并同时取最大值 .
- 6 -
⑹系数最大项的求法 特别提醒： “互斥事件”与“对立事件”都是就
Ar Ar 1 两个事件而言的，互斥事件是不可能同时发生的两个
设第 r 项的系数 Ar 最大，由不等式组 A A 事件，而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件，r r 1
可确定 r . 因此， 对立事件必然是互斥事件，但互斥事件不一定
⑺赋值法 是对立事件 ，也就是说“互斥”是“对立”的必要但
n 2 n 不充分的条件 .
若 (ax b) a0 a1x a2 x ... anx , ⑶相互独立事件：事件 A（或 B）是否发生对事件 B
n （或 A）发生的概率没有影响，（ 即其中一个事件是则设 f ( x) ( ax b) . 有：
否发生对另一个事件发生的概率没有影响 ）.这样的两
个事件叫做相互独立事件 .
① a0 f (0); 当 A、B是相互独立事件时，那么事件 A B 发生
（即 A、B同时发生） 的概率， 等于事件 A、B分别发
② a0 a1 a2 ... an f (1); 生的概率的积 .即
n P( A B) P( A) P(B) .
③ a0 a1 a2 a3 ... ( 1) an f ( 1); 若 A、B两事件相互独立，则 A与 B 、 A与 B、 A
f (1) f ( 1) 与 B 也都是相互独立的 .
④ a0 a2 a4 a6 ... ;2 ⑷独立重复试验
f (1) f ( 1) ①一般地，在相同条件下重复做的 n 次试验称为
⑤ a1 a3 a5 a7 ... .2 n次独立重复试验 .
②独立重复试验的概率公式
专题七：随机变量及其分布 如果在 1 次试验中某事件发生的概率是 p，那么
在 n 次独立重复试验中这个试验恰好发生 k 次的概率
知识结构
Pn (k ) C
k p kn ( 1p
n ) kk 0 ,, 1 2n, .
⑸条件概率： 对任意事件 A 和事件 B，在已知事件 A
发生的条件下事件 B 发生的概率， 叫做条件概率 .记作
P(B|A)，读作 A 发生的条件下 B 发生的概率 .
P( AB)
公式： P(B A) , P(A) 0.
P(A)
1、基本概念 2、离散型随机变量
⑴互斥事件：不可能同时发生的两个事件 . ⑴随机变量： 如果随机试验的结果可以用一个变量
如果事件 A、B、C ，其中任何两个都是互斥事 来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用
件，则说事件 A、B、C 彼此互斥 . 字母 X ,Y, , 等表示 .
当 A、B是互斥事件时， 那么事件 A B 发生（即
A、B中有一个发生） 的概率， 等于事件 A、B分别发 ⑵离散型随机变量 :对于随机变量可能取的值， 可
生的概率的和，即 以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型
随机变量 .
P( A B) P( A) P.( B ⑶连续型随机变量 : 对于随机变量可能取的值，
⑵对立事件： 其中必有一个发生的两个互斥事件 . 事件 可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续
型随机变量 .
A的对立事件通常记着 A . ⑷离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联
系 : 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表
对立事件的概率和等于 1. P(A) 1 P( A) . 示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以
- 7 -
按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可 注：⑴ 二项分布的模型是有放回抽样；
以一一列出 .
⑵二项分布中的参数是 p,k, n.
若 X 是随机变量， Y aX b(a,b是常数）则 Y
⑷超几何分布
也是随机变量 并且不改变其属性 （离散型、连续型） . 一般地 , 在含有 M 件次品的 N 件产品中，任取
3、离散型随机变量的分布列
n件 , 其中恰有 X 件次品数 ,则事件 X k 发生的
⑴概率分布（分布列）
设离散型随机变量 X 可能取的不同值为 C k C n k
x1, x2， ， x
M N M
i ， ， xn， 概率为 P(X k) n (k 0,1,2, ,m) ,于
X C的每一个值 xi （ i 1,2, , n）的概率 N
P( X xi ) pi ，则称表 是得到随机变量 X 的概率分布如下：
X x1 x2 xi xn X 0 1 m
C 0 C n 0 1 n 1 m n mP p1 p2 p i pn M N M CM CP N M
CM CN M
C n

N C
n n
N CN
为随机变量 X 的概率分布，简称 X 的分布列 .
n
性质：① pi 0, i 1,2,...n; ② pi 1. 其中 m min M , n ,
i 1 n≤N,M≤N,n, M,N N
* .
⑵两点分布 我们称这样的随机变量 X 的分布列为超几何分布列 ,
如果随机变量 X 的分布列为 且称随机变量 X 服从超几何分布 .
注 : ⑴超几何分布的模型是不放回抽样；
X 0 1
⑵超几何分布中的参数是 M , N, n.其意义分别是
P p1 p
总体中的个体总数、 N中一类的总数、样本容量 .
4、离散型随机变量的均值与方差
则称 X 服从两点分布 ，并称 p P( X 1)为成功概 ⑴离散型随机变量的均值
率 .
一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为
⑶二项分布
如果在一次试验中某事件发生的概率是 p，那么在 X x1 x2 x i xn
n 次独立重复试验中这个事件恰好发生 k次的概率是
P(X k) C k p kn (1 p)
n k . P p1 p2 p i pn
其中 k 0,1,2,..., n, q 1 p 则称，于是得到随机
变量 X 的概率分布如下： E X x1 p1 x2 p2 xi pi xn pn为离散型
X 0 1 k n
随机变量 X 的均值或数学期望 （简称期望） .它反映了
离散型随机变量取值的平均水平 .
0 k k n k n n
P C n p
0q n C1 p1n q
n 1 0
Cn p q C n p q
性质：① E(aX b) aE(X ) b.
我们称这样的随机变量 X 服从二项分布 ，记作
②若 X 服从两点分布，则 E( X ) p.
X ~ B n, p ，并称 p 为成功概率 .
判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有三点： ③若 X ~ B n, p ，则 E(X ) np.
①对立性： 即一次试验中事件发生与否二者必居其一；
⑵离散型随机变量的方差
②重复性： 即试验是独立重复地进行了 n次 ;
一般地，若离散型随机变量 X 的分布列为
③等概率性： 在每次试验中事件发生的概率均相等 .
- 8 -
n
X x1 x2 xi xn x i x yi y
相关系数： r i 1
P p1 p2 p i p n nn 2 2
x i x y i y
则称 i 1 i 1
n
n
D( X ) ( xi E(X ))
2 pi 为离散型随机变量 X 的 xi yi nxy
i 1 i 1
n n
x2 nx 2 y2 ny 2i i
方差， 并称其算术平方根 D(X ) 为随机变量 X 的标 i 1 i 1
准差 .它反映了离散型随机变量取值的稳定与波动，集 2、独立性检验
中与离散的程度 . 假设有两个分类变量 X和 Y，它们的值域分另为 {x 1,
x 2}和 {y 1, y 2}，其样本频数 2 2 列联表为：
D( X )越小， X 的稳定性越高，波动越小，取值
y 1 y 2 总计
x 1 a b a+b
越集中； D(X )越大， X 的稳定性越差，波动越大，
x 2 c d c+d
取值越分散 . 总计 a+c b+d a+b+c+d
2 若要推断的论述为 H1：“X与 Y有关系”，可以利
性质：① D (aX b) a D ( X ).
用独立性检验来考察两个变量是否有关系，并且能较
X D (X ) p(1 P). 精确地给出这种判断的可靠程度 . ②若 服从两点分布， 则
具体的做法是， 由表中的数据算出随机变量 K 2的
③若 X ~ B n, p ，则 D ( X ) np(1 P).
5 2 n(ad bc)
2
、正态分布 值 K ，其中
正态变量概率密度曲线函数表达式： (a b)(c d )(a c)(b d )
x 2 n a b c d 2为样本容量， K 的值越大，说明“X
1 2 2f x e , x R，其中 , 是参数， 与 Y有关系”成立的可能性越大 .
2 随机变量 K 2越大，说明两个分类变量， 关系越强；
2 反之，越弱。且 0, .记作 N ( , ).如下图：
K 2 3.841时，X 2与 Y无关； K 3.841时， X
与 Y有 95%可能性有关； K 2 6.635时 X与 Y有 99%
可能性有关 .
专题八：统计案例 专题九：坐标系与参数方程
1、回归分析 1、平面直角坐标系中的伸缩变换
设点 P(x, y)是平面直角坐标系中的任意一点，在
回归直线方程 y a bx，
x x, ( 0),
变换 : 的作用下，点 P(x, y)对
n n y y,( 0).
xi x yi y xi yi nx y 应到点 P (x , y ) ，称 为平面直角坐标系中的 坐标伸
b i 1 i 1
其中 n n2 2 2 缩变换 ，简称 伸缩变换 。
xi x xi nx 2、极坐标系的概念
i 1 i 1
在平面内取一个定点
a y bx O
，叫做 极点；自极点 O引
- 9 -
M ( , )
一条射线 Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、 一个角
度单位 (通常取弧度 )及其正方向 (通常取逆时针方
向 )，这样就建立了一个 极坐标系 。
O x
图 1
点 M 的极坐标： 设 M 是平面内一点，极点 O与
点 M 的距离 | OM |叫做点 M 的极径 ，记为 ；以极
轴Ox为始边，射线 OM 为终边的 xOM 叫做点 M 4、简单曲线的极坐标方程
的极角 ，记为 。有序数对 ( , )叫做点 M 的极坐标 ， ⑴圆的极坐标方程
记为 M ( , ) . ①以极点为圆心， a为半径的圆的极坐标方程是
注：
极坐标 ( , )与 ( , 2k )(k Z) 表示同一个 a；（如图 1）
点。极点 O的坐标为 (0, )( R) .
0 0 ②以 (a,0) (a 0)为圆心， a为半径的圆的极坐标方若 ,则 ,规定点 ( , )与点 ( , )
关于极点对称，即 ( , )与 ( , )表示同一点。
程是 2acos ；（如图 2）
如果规定 0,0 2 ，那么除极点外，平
面内的点可用唯一的极坐标 ( , )表示（即一一对应 ③以 (a, ) (a 0)为圆心， a为半径的圆的极坐标方
的关系）；同时，极坐标 ( , )表示的点也是唯一确定 2
的。
M
极坐标与直角坐标都是一对有序实数确定平面 M M
a
上一个点，在极坐标系下，一对有序实数 、 对应 a O x
O x O a x
惟一点 P( ， )，但平面内任一个点 P的极坐标不
图3
惟一．一个点可以有无数个坐标，这些坐标又有规律
图1 图2 2acos
可循的， P( ， )（极点除外）的全部坐标为 ( , a 2 a cos
＋ 2k )或（ ， ＋ (2k 1) ），( k Z)．极点的
极径为 0，而极角任意取．若对 、 的取值范围加 M O x M
以限制．则除极点外，平面上点的极坐标就惟一了， a M a (a, )
如限定 >0，0≤ ＜ 2 或 <0， ＜ ≤ 等． a
极坐标与直角坐标的不同是，直角坐标系中，点 O x O x
图5
与坐标是一一对应的，而极坐标系中，点与坐标是一 图4 图6
2asin 2asin
多对应的．即一个点的极坐标是不惟一的． 2a cos( )
3、极坐标与直角坐标的互化 程是 2asin ；（如图 4）
设 M 是平面内任意一点，它的直角坐标是 ( x, y)，
极坐标是 ( , )，从图中可以得出： ⑵直线的极坐标方程
x cos , y sin ①过极点的直线的极坐标方程是 ( 0)和
2 x2 y2 , tan y ( x 0).
x ( 0) . （如图 1）
y
②过点 A(a,0)(a 0) ，且垂直于极轴的直线 l 的极坐
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N x M
程，联系变数 x, y的变数 t叫做参变数 ，简称 参数。
标方程是 cos a . 化为直角坐标方程为 x a .
相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方
（如图 2） 程叫做 普通方程 。
7、常见曲线的参数方程
③过点 A(a, )且平行于极轴的直线 l 的极坐标方程
2 （1）圆 ( x a) 2 ( y b) 2 r 2 的参数方程为
是 sin a . 化为直角坐标方程为 y a .（如图
x a r cos
4） （ 为参数）；y b r sin
x2 y2M（ ， ） M M （2）椭圆
a2 b2
1(a b 0) 的参数方程为
0
O x
O a x a cosa O （ 为参数）；
图1 y bsin
图2 图3
0 a a y2 x2
cos cos 椭圆 1(a b 0)的参数方程为
a2 b2
M（ ， ）
M x bcos
O （ 为参数）；a N (a, )a a y a sin
O M O p
图4 图5a 图6 x2a 3 y
2
sin a （ ）双曲线 2 2 1(a b 0)的参数方程
sin a bcos( )
5、柱坐标系与球坐标系 x a se c
（ 为参数）；
⑴柱坐标：空间点 P的直角坐标 (x, y, z) 与柱坐标 y b t an
x cos y2 x2
双曲线 2 1(a b 0)的参数方程( , , z)的变换关系为： y sin . a b2
z z
x bc o t
⑵球坐标系 （ 为参数）；
y a c s c
空间点 P直角坐标 (x, y, z) 与球坐标 (r , , )的变
x2 y2 z2 r 2 2 x 2pt
2
（4）抛物线 y 2 px参数方程 (t 为参
x r sin cos y 2 pt
换关系： .
y r sin sin
t 1z r cos 数， ）；tan
6、参数方程的概念 参数 t的几何意义： 抛物线上除顶点外的任意一点
在平面直角坐标系中， 如果曲线上任意一

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