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求轨迹方程的六种常用方法
1．直接法
根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式，点到直线的距离公式，直线的斜率公
式等，直接列出动点满足的等量关系式，从而求得轨迹方程。
例 1．已知线段 AB 6，直线 AM , BM 相交于 M 4，且它们的斜率之积是 ，求点 M
9
的轨迹方程。
解：以 AB 所在直线为 x轴， AB 垂直平分线为 y轴建立坐标系，则 A( 3,0), B(3,0) ，
设点 M 的坐标为 ( x, y)，则直线 AM y的斜率 kAM ( x 3) ，直线 BM 的斜
x 3
率 k yAM (x 3)
x 3
y y 4
由已知有 ( x 3)
x 3 x 3 9
x2 y2
化简，整理得点 M 的轨迹方程为 1(x 3)
9 4
练习：
1．平面内动点 P 到点 F (10,0) 的距离与到直线 x 4的距离之比为 2，则点 P 的轨迹方
程是 。
2 2 2．设动直线 l 垂直于 x轴，且与椭圆 x 2y 4交于 A、 B 两点， P 是 l 上满足
PA PB 1的点，求点 P的轨迹方程。
3. 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点 , 在过其中一条直线且平行于另一条直线
的平面内的轨迹是 （ ）
A．直线 B．椭圆 C．抛物线 D．双曲线
1
2．定义法
通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形，再求其轨迹方程，这种方法叫做定义
法，运用定义法，求其轨迹，一要熟练掌握常用轨迹的定义，如线段的垂直平分线，圆、椭
圆、双曲线、抛物线等，二是熟练掌握平面几何的一些性质定理。
例 2．若 B( 8,0), C(8,0) 为 ABC 的两顶点， AC 和 AB 两边上的中线长之和是 30，
则 ABC的重心轨迹方程是 _______________。
解：设 ABC的重心为 G(x, y)，则由 AC 和 AB 两边上的中线长之和是 30可得
2
BG CG 30 20，而点 B( 8,0), C(8,0) 为定点，所以点 G 的轨迹为以 B, C
3
为焦点的椭圆。
所以由 2a 20, c 8可得 a 10,b a2 c2 6
2 2
故 ABC x y的重心轨迹方程是 1(y 0)
100 36
练习：
4．方程 2 (x 1) 2 ( y 1)2 | x y 2| 表示的曲线是 （ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．线段 D．抛物线
3．点差法
圆 锥曲线 中与 弦 的中点 有 关的 问题可用 点差法 ，其 基 本方法 是把 弦 的两端 点
A(x1, y1), B( x2 , y2) 的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得 x1 x2，
y1 y2， x1 x2， y1 y2等关系式，由于弦 AB 的中点 P(x, y)的坐标满足 2x x1 x2，
y y
2y y1 y2且直线 AB 2 1的斜率为 ，由此可求得弦 AB中点的轨迹方程。
x2 x1
x23 y
2
例 ．椭圆 1中 , 过 P(1,1)的弦恰被 P 点平分 , 则该弦所在直线方程为
4 2
_________________。
解：设过点 P(1,1)的直线交椭圆于 A(x1, y1 )、 B(x2, y2 )，则有
x 21 y
2
1 x
2 y 2
1 2 2① 1 ②
4 2 4 2
(x1 x2)( x1 x2 ) ( y1 y2)( y1 y2 )
① ②可得 0
4 2
2
而 P(1,1)为线段 AB 的中点，故有 x1 x2 2, y1 y2 2
( x1 x2) 2 ( y1 y2) 2 y1 y所以 0 2
1 1
，即 kAB
4 2 x1 x2 2 2
1
所以所求直线方程为 y 1 (x 1)化简可得 x 2y 3 0
2
练习：
5 2 2．已知以 P(2, 2)为圆心的圆与椭圆 x 2y m交于 A、B 两点，求弦 AB 的中点 M
的轨迹方程。
6 2 y
2
．已知双曲线 x 1，过点 P(1,1)能否作一条直线 l 与双曲线交于 A,B 两点，使 P
2
为线段 AB 的中点？
4．转移法
转移法求曲线方程时一般有两个动点，一个是主动的，另一个是次动的。
当题目中的条件同时具有以下特征时，一般可以用转移法求其轨迹方程：
①某个动点 P在已知方程的曲线上移动；
②另一个动点 M 随 P 的变化而变化；
③在变化过程中 P 和 M 满足一定的规律。
2
4 P F ,F x y
2
例 ．已知 是以 1 2为焦点的双曲线 1上的动点，求 F1F2P的重心 G 的16 9
轨迹方程。
解：设 重心 G(x, y)，点 P(x0, y0 )，因为 F1( 4,0), F2 (4,0)
4 4 x
x 0 2 2x
则有 3 ， 故 0 3x
x y
代入 0 0
0 0 y 1
y 0 y0 3y 16 9
3
9x2
得所求轨迹方程 y2 1(y 0)
16
3
例 5．抛物线 x2 4y的焦点为 F , 过点 (0, 1) 作直线 l 交抛物线 A、B 两点 ,再以 AF 、
BF 为邻边作平行四边形 AFBR ，试求动点 R的轨迹方程。
解法一：（转移法） 设 R(x, y)，∵ F (0,1)，∴平行四边形 AFBR x y 1的中心为 P( , )，
2 2
将 y kx 1 , 2，代入抛物线方程 得 x 4kx 4 0，
设 A(x1, y1), B(x2, y2 )，则
16k2 16 0 |k | 1
x1 x2 4k x1 x2 4k ①
x1x2 4 x1x2 4
2 2 2
∴ y y x1 x2 ( x1 x2 ) 2x1x2 21 2 4k 2，
4 4
x x1 x2 2k x 4k
∵ P为 AB 的中点 .∴ 2 2 ，消去 k得
y 1 y 21 y2 2k 2 1 y 4k 3
2 2
x2 4(y 3)，由①得， | x | 4 2，故动点 R 的轨迹方程为 x 4(y 3)(| x | 4) 。
x y 1
解法二：（点差法） 设 R(x, y)，∵ F (0,1)，∴平行四边形 AFBR 的中心为 P( , )，
2 2
设 A(x1, y1), B(x2, y2 )，则有
x 21 4 y1 ① x
2
2 4y2 ②
由① ②得 (x1 x2 )(x1 x2) 4(y1 y2 ) x1 x2 4kl ③
y 1 1
而 P 为 AB 的中点且直线 l 过点 (0, 1)，所以 x x 2 x x,k 2 y 31 2 代2 l x x
2
y 3 2 x2 12
入③可得 x 4 ，化简可得 x 4 y 12 y ④
x 4
x y 1 x y 1
由点 P( , ) 2 2在抛物线口内，可得 ( ) 4 x 8( y 1) ⑤
2 2 2 2
4
x2
将④式代入⑤可得 x2
12
8( 1) x2 16 | x | 4
4
故动点 R的轨迹方程为 x2 4(y 3)(| x | 4)。
练习：
7．已知 A( 1,0),B (1,4)，在平面上动点 Q满足 QA QB 4，点 P 是点 Q关于直线
y 2( x 4) 的对称点，求动点 P的轨迹方程。
5．参数法
求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一，求符合某种条件的动点的轨迹方
程，其实质就是利用题设中的几何条件，通过“坐标互化”将其转化为寻求变量间的关系。
在确定了轨迹方程之后，有时题目会就方程中的参数进行讨论；参数取值的变化使方程表示
不同的曲线；参数取值的不同使其与其他曲线的位置关系不同；参数取值的变化引起另外某
些变量的取值范围的变化等等。
例 6．过点 M ( 2,0) 作直线 l 交双曲线 x2 y2 1于 A、B 两点，已知 OP OA OB 。
（1）求点 P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；
（2）是否存在这样的直线 l ，使 OAPB 矩形？若存在，求出 l 的方程；若不存在，
说明理由。
解：当直线 l 的斜率存在时，设 l 的方程为 y k(x 2)(k 0)，代入方程 x2 y2 1，得
(1 k 2 )x2 4k 2x 4k2 1 0
因为直线 l 与双曲线有两个交点，所以 1 k 2 0，设 A(x1, y1), B(x2, y2 )，则
2 2
x1 x
4k , x x 4k 12 2 1 2 ①1 k k 2 1
2
y1 y k (x 2) k( x
k 4k 4k
2 1 2 2) k( x1 x2) 4k 4k
1 k 2 1 k 2
2
设 P(x, y)，由 OP OA OB 4k 4k得 ( x, y ) (x1 x2 , y1 y2 ) ( 2 , 2 )
1 k 1 k
4k 2x 4x
1 k2 x 4k y
∴ 所以 k ，代入 y 2 可得 y ，化简得
4k y 1 k x 2
y 1 ( )
1 k 2 y
x2 y2 4x 0即 (x 2)2 y2 4 ②
当直 线 l 的斜率 不存 在时， 易求 得 P( 4,0) 满足方程 ②，故 所求 轨迹 方程为
5
(x 2)2 y2 4( y 0)，其轨迹为双曲线。 （也可考虑用点差法求解曲线方程）
（2）平行四边 OPAB 为矩形的充要条件是 OA OB 0即 x1x2 y1 y2 0 ③
当 k不存在时， A、 B坐标分别为 ( 2, 3)、 ( 2, 3) ，不满足③式
当 k存在时， x1x2 y1y2 x1x2 k(x1 2)k(x2 2) (1 k
2)x1x
2
2 2k (x1 x2) 4k
2
(1 k 2 )(1 4k 2) 2k2 4k 2 k 2 1
4k 2 0化简得 ，
1 k2
0
k2 1 k 2 1
此方程无实数解，故不存在直线 l 使 OPAB 为矩形。
练习：
2
8 y．设椭圆方程为 x 2 1 , 过点 M (0,1)的直线 l交椭圆于点 A、B , O 是坐标原点 ,
4
点 P满足 OP 1 (OA OB) 1 1,点 N 的坐标为 ( , ) , 当 l 绕点 M 旋转时 ,求 :
2 2 2
(1) 动点 P的轨迹方程； (2) | NP |的最小值与最大值。
9 2．设点 A和 B 为抛物线 y 4px( p 0)上原点 O以外的两个动点，且 OA OB，过
O作 OM AB于 M ，求点 M 的轨迹方程。
6．交轨法
若动点是两曲线的交点，可以通过这两曲线的方程直接求出交点的方程，也可以解方程
组先求出交点的参数方程，再化为普通方程。
2 2
例 7 x y．已知 MN 是椭圆 1中垂直于长轴的动弦， A、 B 是椭圆长轴的两个端
a2 b2
点，求直线 MA和 NB的交点 P的轨迹方程。
解 1:( 利用点的坐标作参数 )令 M (x1, y1)，则 N (x1, y1)
而 A( a,0), B(a,0) . 设 AM 与 NB的交点为 P(x, y)
y y y y
因为 A,M , P 共线，所以 1 因为 N , B,P共线，所以 1
x a x1 a x a x1 a
y2 y 2 2 2 2 21 x1 y1 1 2 b (a x
2)
两式相乘得 ①， 而 即 y 1
2 2 2 2 1 代入①x a x12 a a b
2 a2
x 2 b2 2 y2得 ， 即交点 P 的轨迹方程为 x 1
x2 a2 a2 a2 b2
解 2: ( 利用角作参数 )
设 M (a cos ,bsin )，则 N (a cos , b sin )
6
y
所以 b sin , y bsin 两式相乘消去
x a a cos a x a a cos a
2 2
即可得所求的 P 点的轨迹方程为 x y 1。
a2 b2
练习：
10．两条直线 ax y 1 0和 x ay 1 0(a 1)的交点的轨迹方程是 ___ ______ 。
总结归纳
1．要注意有的轨迹问题包含一定隐含条件，也就是曲线上点的坐标的取值范围．由曲
线和方程的概念可知，在求曲线方程时一定要注意它的“完备性”和“纯粹性” ，即轨迹若
是曲线的一部分，应对方程注明 x的取值范围，或同时注明 x, y的取值范围。
2．“轨迹”与“轨迹方程”既有区别又有联系，求“轨迹”时首先要求出“轨迹方程” ，
然后再说明方程的轨迹图形，最后“补漏”和“去掉增多”的点，若轨迹有不同的情况，应
分别讨论，以保证它的完整性。
7
练习参考答案
2 2
( x 2) y
1． 1
16 48
2 2 4 x2
2．解：设 P 点的坐标为 ( x, y)，则由方程 x 2y 4，得 y
2
由于直线 l 与椭圆交于两点 A、 B，故 2 x 2
4 x2 4 x2
即 A、 B两点的坐标分别为 A(x, ), B(x, )
2 2
2 2
∴ PA (0, 4 x y), PB (0, 4 x y)
2 2
2 2
由题知 PA PB 1 (0, 4 x即 y) (0, 4 x y) 1
2 2
4 x2 x2 y2
∴ y2 1 x2即 2y2 6所以点 P 的轨迹方程为 1( 2 x 2)
2 6 3
3．D 【解析】 在长方体 ABCD A1B1C 1D1中建立如图所示的
空间直角坐标系，易知直线 AD 与 D1C1是异面垂直的两
条直线，过直线 AD 与 D1C1平行的平面是面 ABCD ，设
在平面 ABCD 内动点 M ( x, y)满足到直线 AD 与 D1C1
的距离相等，作 MM 1 MP于 M 1， MN CD 于 N ，
NP D1C1 于 P ， 连 结 MP ， 易 知 MN 平 面
C D D1 C1, M P 1 D ，C 则 有 M 1M M， P
| y |2 x2 a2 (其中 a是异面直线 AD 与 D1C
2 2 2
1间的距离 )，即有 y x a ，因此动点
M 的轨迹是双曲线，选 D.
4．A
5．解 设 M (x, y)， A(x1, y1), B(x2 , y2 )
y
则 x x 2 2 2 21 2 2x, y1 y2 2y，由 x1 2 y1 m， x2 2 y2 m
A ．P
．
两式相减并同除以 (x1 x2 )得 M B
O x
8
y1 y2 1 x1 x2 1 x , y y而 k 1 2
x1 x2 2 y
AB
1 y2 2 y x1 x2
y 2
kPM , 又因为 PM AB 所以 k k 1
x 2 AB PM
1 x y 2
1 化简得点 M 的轨迹方程 xy 2x 4 y 0
2 y x 2
6．先用点差法求出 2x y 1 0 ，但此时直线与双曲线并无交点，所以这样的直线不存在。
中点弦问题，注意双曲线与椭圆的不同之处，椭圆不须对判别式进行检验，而双曲线必须
进行检验。
7．解：设 Q(x, y)，则 QA ( 1 x, y),QB (1 x,4 y)
由 QA QB 4 ( 1 x, y) (1 x,4 y) 4 ( 1 x)(1 x) ( y)(4 y) 4
2
即 x ( y 2) 2 32
所以点 Q的轨迹是以 C(0, 2)为圆心，以 3 为半径的圆。
∵点 P是点 Q 关于直线 y 2( x 4) 的对称点。
∴动点 P 的轨迹是一个以 C0 (x0, y0 ) 为圆心，半径为 3 的圆，其中 C0(x0, y0 ) 是点
C(0, 2)关于直线 y 2( x 4) 的对称点， 即直线 y 2(x 4)过 CC0的中点，且与 CC0
y0 2 2 1
x0 0 2y0 x0 4 0 x0 8
垂直，于是有 即
y0 2 x0 0 y0 2x0 18 0 y2 4 0
2
2 2
2 2
故动点 P 的轨迹方程为 (x 8) ( y 2) 9。
8．解： (1) 解法一 : 直线 l 过点 M (0,1)，设其斜率为 k , 则 l 的方程为 y kx 1
记 A(x1, y1 )、 B(x2, y2 ),由题设可得点 A、 B 的坐标 (x1, y1 )、 (x2 , y2 )是方程组
y kx 1 ①
y 2 的解x 2 1 ②
4
x 2k1 x2 2 ,
2 2
将①代入②并化简得 , (4 k )x 2kx 3 0 , 4 k所以 于是
y y 81 2 .
4 k 2
1 x x y y k 4
OP (OA OB) ( 1 2 , 1 2 ) ( , ).
2 2 2 4 k 2 4 k 2
9
k
x 2 ,
设点 P的坐标为 ( x, y),则 4 k 消去参数 k得 4x 2 y2 y 0 ③
4
y .
4 k 2
当 k不存在时 , A、 B 中点为坐标原点 (0,0) ,也满足方程③ ,所以点 P 的轨迹方程为
4x2 y2 y 0
解法二 :设点 P的坐标为 (x, y) ,因 A( x1, y1 )、 B(x2, y2)在椭圆上 , 所以
2 y
2 y2
x 11 1,
2
④ x 22 1. ⑤
4 4
2 2 1 2 2
④—⑤得 x1 x2 ( y1 y2 ) 0 ,所以
4
1
(x1 x2 )( x1 x2 ) ( y1 y2 )( y1 y2 ) 0.
4
x x 1 y1 y2当 1 2时 ,有 x1 x2 ( y1 y4 2
) 0. ⑥
x1 x2
x x1 x2 ,
2
y y
并且 y 1 2 , ⑦ 将⑦代入⑥并整理得 4x 2 y2 y 0. ⑧
2
y 1 y1 y2 .
x x1 x2
当 x1 x2时 ,点 A、 B的坐标为 (0,2),(0, 2)，这时点 P 的坐标为 (0,0)
( y 1) 22
也满足⑧ , x所以点 P 的轨迹方程为 2 1
1 1
16 4
(2) : P 2 1 1 1解 由点 的轨迹方程知 x ，即 x 所以
16 4 4
2 1| NP | ( x ) 2
1 1 1 1 7
(y )2 ( x ) 2 4x 2 3(x ) 2
2 2 2 4 6 12
故当 x 1 1 1, | NP | 21取得最小值 , 最小值为 ;当x 时 , | NP |取得最大值 , 最大值为
4 4 6 6
9．解法 1 ： (常规设参 )设 M ( x, y)， A(x1, y1), B(x2 , y2)，则
10
y21 4px1
y 22 4 px2 y 2
y y 1
y2 16p
1 2 （※）1
x x y1 y
4 py
1 2 2 x
y1 y2 y 1
x1 x2 x
A, M ,B 4 p y
2 4p y y
由 共线得 y y1 (x
1 ) 则 y x 1 2
y1 y2 4 p y1 y2 y1 y2
2 4 px
把（※）代入上式得 x 2 2y 化简得 M 的轨迹方程为 x y 4px 0(x 0) )
y y
1
解法 2： ( 变换方向 ) 设 OA的方程为 y kx(k 0)，则 OB 的方程为 y x
k
1
y kx 2 p 2 p
由 2 得 A( , )
y x
， 由 得 2
y 2 px k 2
k B(2 pk , 2 pk)
k y 2 2px
k
所以直线 AB 的方程为 y ( x 2p)①
1 k2
1 k2
因为 OM AB，所以直线 OM 的方程为 y x ②
k
①×②即得 M 的轨迹方程 : x2 y2 4 px 0(x 0)
解法 3： ( 转换观点 ) 视点 M 为定点 ,令 M (x0 , y0)，由 OM AB 可得直线 AB 的
x
方 程 为 y y 00 (x x0 ) , 与 抛 物 线 y
2 4 p x联 立 消 去 y 得
y0
y2 4py0
4p
y 4p ( x2 y20 0 ) 0 ,设 A(x1, y1), B( x2 , y2 )，则 y y
2 2
1 2 ( x0 y )
x0 x0 x
0
0
又因为 OA OB，所以 y1y
2
2 16p
4 p
故 (x2 20 y0 ) 16 p
2 x2 y2即 0 0 4 pxx 0
0
0
2 2
所以 M 点的轨迹方程为 x y 4px 0(x 0)
10 2 2． x y x y 0( x 0, y 0)
11

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