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专题19 机械波及波的图像
重点知识讲解
一、机械波
1、波的形成
机械振动在介质中的传播形成机械波。条件：①波源；②介质。
2、机械波的分类　　
按质点的振动方向与波的传播方向是垂直还是平行，分为横波和纵波。
3、描述波动的物理量
名称 符号 单位 意义 备注
波长 m 沿着波的传播方向，两个相邻的振动情况完全相同的 质点的距离 在一个周期内，波传播的距离 等于一个波长
波速 m/s 振动传播的速度 波速大小由介质决定
振幅 A m 质点振动的位移的最大值 数值大小由波源决定
周期 T s 质点完成一次全振动的时 间
频率 Hz 1s内质点完成全振动的次数
4、机械波的传播特征
要点诠释：（1）机械波向外传播的只是振动这一运动形式和振动的能量，介质中的质点本身并没有随波迁移。
（2）机械波在传播过程中，介质中各质点都在各自的平衡位置附近做同频率、同振幅的简谐振动，沿着波的传播方向，后一质点的振动总落后于前一质点的振动，或者说后面的质点总要重复前面质点的振动，只是在时间上晚了一段。正是由于不同质点在同一时刻的振动步调不一致，于是就形成了波。
（3）在介质中有波传播时，由于介质中各个质点运动的周期性，决定振动状态在介质中的传播也具有周期性，如果忽略了介质对能量的吸收消耗，则介质中各质点均做振幅相同的简谐振动。
（4）机械波从一种介质进入另一种介质，频率不变，波速、波长都改变。机械波波速仅由介质来决定，固体、液体中波速比空气中大。
二、波的图像
简谐波的图象是正弦或余弦曲线。
要点诠释：（1）波的图象形象直观地揭示了较为抽象的波动规律。波的图象表示在波的传播方向上介质中大量质点在同一时刻相对平衡位置的位移，波动图象一般随时间的延续而变化（时，波形不变，k为整数）。
（2）从图象可获取的信息有：①该时刻各质点的振动位移；②振幅A和波长；
③若已知波的传播方向，由图象可知各质点的振动方向；若已知某质点此时刻的振动方向，由图象可知波的传播方向。
三、确定振动或传播方向的方法
要点诠释：　波的传播方向与质点振动方向的判断方法
已知波的传播方向，由图象可知各质点的振动方向；若已知某质点此时刻的振动方向，由图象可知波的传播方向。
常用方法有：
1、上下坡法。沿波的传播方向看，“上坡”的质点向下振动；“下坡”的质点向上振动，简称“上坡下，下坡上”（如图甲所示）。
2、同侧法。在波的图象上某一点，沿纵轴方向画出一个箭头表示质点的振动方向，并设想在同一点沿水平方向画个箭头表示波的传播方向，那么这两个箭头总是在曲线的同侧 （如图乙所示）。
3、平移法。将波沿波的传播方向做微小移动，，如图丙中虚线所示，则可判定P点沿y正方向运动了。或者说沿波的传播方向画出下一时刻的波形，这个波形（虚线）在原波形的上面，则P点向上振动；如果这个波形（虚线）在原波形的下面，如Q点向下振动。
四、振动图像与波动图像的区别
振动是一个质点随时间的推移而呈现的现象，波动是全部质点联合起来共同呈现的现象。简谐运动和其引起的简谐波的振幅、频率相同，二者的图象有相同的正弦(余弦)曲线形状，但二图象是有本质区别的。
振动图象 波形图象
研究对象 一振动质点 沿传播方向所有介质质点
研究内容 一质点的位移随时间的变化规律 同一时刻所有质点的空间分布规律
图 线
物体意义 一质点在各时刻的位移 同一时刻所有质点相对平衡位置 位移的规律
图线变化 随时间而延伸，已有的图像形状保持不变 图象随时间沿传播方向平移
质点振动方向的确定方法 下一时刻的振动 重复前一质点的振动
一个完整曲线占横坐标的距离 表示一个周期 表示一个波长
横坐标 表示质点振动的时间 表示介质中各质点的平衡位置
纵坐标的最大值 振幅A 振幅A
　
五、波的多解问题
在解决图象问题时，要注意波的空间周期性、时间周期性、双向性、对称性和多解性。
要点诠释：1、波的空间周期性
在同一波线上相距为波长整数倍的多个不同质点振动情况完全相同。
沿波的传播方向，在轴上任取一点P，如图所示，P点的振动完全重复波源O的振动，只是时间上比O点要落后时间，在同一波线上，凡坐标与P点坐标之差为波长整数倍的质点，在同一时刻t的位移都与坐标为的质点的振动“相貌”完全相同，因此在同一波线上，某一振动“相貌”势必会不断地重复出现，这就是机械波的空间周期性。
　　
2、波的时间周期性
波在传播过程中，经过整数倍周期时，其波形图线相同，这就是机械波的时间周期性。
3、波的双向性
双向性是指波沿正、负方向传播时，若正、负两方向传播的时间之和等于周期的整数倍，则正、负两方向传播的那一时刻波形相同。
4、波的对称性
波源的振动，要带动它左、右相邻介质质点振动，波要向左、右两方向传播，对称性是指波在介质中左、右同时传播时，关于波源对称的左、右两质点振动情况完全相同。
典型例题精析
1．（2021·北京市海淀区精华培训学校高三月考）如图甲为一列简谐横波在t=0.10s时刻的波形图，P是平衡位置为x=4m处的质点，图乙为质点P的振动图像，则（　　）
A．该波向方向传播，速度是40m/s
B．质点P的振动方程为y=20sin（50πt）（cm）
C．从t=0.10s到t=0.25s，质点P通过的路程为30cm
D．t=0.10s时，质点P的速度达到正向最大
【答案】C
【详解】
A．由图乙可得，周期T=0.2s，在t=0.10s时，P点速度方向向下，由同侧法可判断出该波向方向传播，由甲图可得波长，则
故A错误；
B．由
可得质点P的振动方程为
故B错误；
C．从t=0.10s到t=0.25s，经过，则质点P通过的路程为
故C正确；
D．由图乙可知，t=0.10s时，质点P的速度达到负向最大，故D错误。
故选C。
2．（2021·重庆市江津中学校高三其他模拟）在坐标原点的波源产生一列沿x轴正方向传播的简谐横波，波速v=200m/s。已知t=0时，波刚好传播到x=40m处，如图所示，在x=400m处有一接收器（图中未画出），则下列说法正确的是（　　）
A．波源开始振动时方向沿y轴正方向
B．从t=0开始经过0.15s，x=40m处的质点运动路程为0.6m
C．接收器在t=0.8s时才能接收到此波
D．若波源向x轴负方向运动，根据多普勒效应，接收器接收到的波源频率可能为11Hz
E.若该波与另一列振幅也为10cm、波源在x=350m处的沿x轴负方向传播的简谐横波相遇，一定能够产生稳定的干涉图样
【答案】B
【详解】
A．根据波的图像和波的传播方向可知，波源开始振动时方向沿y轴负方向，故A错误；
B．根据波的图像可知波长λ=20 m，振幅A=10 cm，周期
从t=0开始经过0.15s（1.5个周期），x=40m处的质点运动路程为6个振幅，即
故B正确；
C．接收器在
时能够接收到此波，故C错误；
D．波源频率为
若波源向x轴负方向运动，根据多普勒效应，接收器接收到的波源频率小于10 Hz，故D错误；
E．根据频率相同的两列波相遇才能产生稳定干涉的条件，若该波与另一列振幅也为10 cm的简谐横波相遇，不一定能够产生稳定的干涉图样，故E错误。
故选B。
3．（2021·北京北理工附中高三三模）一列简谐横波沿x轴传播，时的波形如图所示，质点A与质点B相距1m，A点速度沿y轴正方向；时，质点A第一次到达正向最大位移处，由此可知（ ）
A．此波沿x轴正方向传播
B．此波的传播速度为50m/s
C．从时起，经过0.04s，质点A沿波传播方向迁移了1m
D．在时，质点B处在平衡位置，速度沿y轴正方向
【答案】D
【详解】
A．根据上下坡法测，A点速度沿y轴正方向，则A点处于下坡过程，所以此波沿x轴负方向传播，则A错误；
B．由图像可知此波的波长为
由题意可知周期为
则此波的波速为
所以B错误；
C．根据波的传播特点可知各质点只能在各自的平衡位置做上下振动，不会随波迁移，所以C错误；
D．在时，质点B振动了 ，恰好处于平衡位置，速度沿y轴正方向，所以D正确；
故选D。
4．（2021·辽宁高三专题练习）一列简谐横波沿着x轴正方向传播，波中A、B两质点在平衡位置间的距离为0.5m，且小于一个波长，如图甲所示，A、B两质点振动图象如图乙所示，由此可知（　　）
A．波中质点在一个周期内通过的路程为10cm
B．该简谐波的波长为4m
C．该简谐波的波速为0.5m/s
D．t=1.5s时A、B两质点的位移相同
【答案】C
【详解】
A．由图可知，该波的振幅为2cm，波中质点在一个周期内通过的路程为4倍的振幅，即8cm．故A错误；
B．由图知，t=0时刻B点通过平衡位置向上运动，A点位于波峰，则有：
由题，则知n只能取0，故，故B错误；
C．由图知周期T=4s，则波速为
故C正确；
D．由图可知，在t=1.5s时刻，A的位移为负，而B的位移为正，故D错误。
故选C。
5．（2021·山西高三三模）一列简谐横波沿x轴正方向传播，其波速为10m/s，时刻的波形如图所示，下列说法正确的是__________
A．0～0.6s时间内，质点P运动的路程为18cm
B．时刻，质点Q加速度最大
C．时刻，质点P相对平衡位置的位移是6cm
D．时刻，质点M沿y轴正方向运动
E.时刻，质点P运动到质点Q的位置
【答案】ABD
【详解】
波的周期为
A．0～0.6s时间内，等于四分之三个周期，质点P运动的路程为
B．时刻质点Q向下振动
质点Q运动到负最大位移处，加速度最大，B正确；
C． 时刻，质点P运动到平衡位置处，相对平衡位置的位移是0，C错误；
D． 时刻，波向前传播的距离为
所以质点M沿y轴正方向运动，D正确；
E． 质点只振动，不移动，E错误。
故选ABD。
6．（2021·北京师范大学万宁附属中学高三月考）一列简谐横波某时刻的波形如图所示，比较介质中的三个质点a、b、c，则（　　）
A．此刻a的加速度最大
B．此刻b的速度最小
C．若波沿x轴正方向传播，此刻b向y轴正方向运动
D．若波沿x轴负方向传播，a比c先回到平衡位置
【答案】AC
【详解】
A．由题给波动图象可知，此时质点a位于波峰处，根据质点振动特点可知，质点a的加速度最大，选项A正确；
B．此时质点b位于平衡位置，所以速度为最大，选项B错误；
C．若波沿x轴正方向传播，由“上下坡法”可知，质点b向y轴正方向运动，选项C正确；
D．若波沿x轴负方向传播，由“上下坡法”可知，a质点沿y轴负方向运动，c质点沿y轴正方向运动，所以质点c比质点a先回到平衡位置，选项D错误。
故选AC。
7．（2021·湖南省岳阳县第一中学高三二模）一列简谐横波沿x轴正向传播，波源位于x=0位置，t=0时刻波源开始沿y轴方向振动，经过0.15s时形成的波形如图所示。
（1）求该波的波长、频率和此后1s内x=20cm处的质点通过的路程；
（2）此后在经过多长时间，x=60cm处的质点第一次出现在波峰位置。
【答案】（1），5Hz，1.2m；（2）0.225s
【详解】
（1）由图可知
解得
频率为
由图可知，则有
解得
1s即为5个周期，x=20cm处的质点通过的路程
（2）波速为
此时波峰在0，传到x=60cm处所用的时间为
8．（2021·安徽安庆市·安庆一中高三三模）一列简谐横波在时刻的波形如图所示，已知时刻质点的速度为，经过它的速度与第一次相同，再经过它的速度与第二次相同。
（1）判断波的传播方向并计算波的周期；
（2）若波源的振动始终持续，计算的质点运动到波峰的时刻。
【答案】（1）向轴正向传播，1.2s；（2）
【详解】
（1）设从时刻到第一次速度相同经历的时间为，第一次与第二次速度相同经历的时间为，若波向左传播，则，与题意不符，故波向轴正向传播
波向轴正向传播，则
周期
（2）时刻，处的质点开始振动，设振动传到处时间为，由图可知波长，则波速
的质点运动到波峰的时刻专题19 机械波及波的图像
重点知识讲解
一、机械波
1、波的形成
机械振动在介质中的传播形成机械波。条件：①波源；②介质。
2、机械波的分类　　
按质点的振动方向与波的传播方向是垂直还是平行，分为横波和纵波。
3、描述波动的物理量
名称 符号 单位 意义 备注
波长 m 沿着波的传播方向，两个相邻的振动情况完全相同的 质点的距离 在一个周期内，波传播的距离 等于一个波长
波速 m/s 振动传播的速度 波速大小由介质决定
振幅 A m 质点振动的位移的最大值 数值大小由波源决定
周期 T s 质点完成一次全振动的时 间
频率 Hz 1s内质点完成全振动的次数
4、机械波的传播特征
要点诠释：（1）机械波向外传播的只是振动这一运动形式和振动的能量，介质中的质点本身并没有随波迁移。
（2）机械波在传播过程中，介质中各质点都在各自的平衡位置附近做同频率、同振幅的简谐振动，沿着波的传播方向，后一质点的振动总落后于前一质点的振动，或者说后面的质点总要重复前面质点的振动，只是在时间上晚了一段。正是由于不同质点在同一时刻的振动步调不一致，于是就形成了波。
（3）在介质中有波传播时，由于介质中各个质点运动的周期性，决定振动状态在介质中的传播也具有周期性，如果忽略了介质对能量的吸收消耗，则介质中各质点均做振幅相同的简谐振动。
（4）机械波从一种介质进入另一种介质，频率不变，波速、波长都改变。机械波波速仅由介质来决定，固体、液体中波速比空气中大。
二、波的图像
简谐波的图象是正弦或余弦曲线。
要点诠释：（1）波的图象形象直观地揭示了较为抽象的波动规律。波的图象表示在波的传播方向上介质中大量质点在同一时刻相对平衡位置的位移，波动图象一般随时间的延续而变化（时，波形不变，k为整数）。
（2）从图象可获取的信息有：①该时刻各质点的振动位移；②振幅A和波长；
③若已知波的传播方向，由图象可知各质点的振动方向；若已知某质点此时刻的振动方向，由图象可知波的传播方向。
三、确定振动或传播方向的方法
要点诠释：　波的传播方向与质点振动方向的判断方法
已知波的传播方向，由图象可知各质点的振动方向；若已知某质点此时刻的振动方向，由图象可知波的传播方向。
常用方法有：
1、上下坡法。沿波的传播方向看，“上坡”的质点向下振动；“下坡”的质点向上振动，简称“上坡下，下坡上”（如图甲所示）。
2、同侧法。在波的图象上某一点，沿纵轴方向画出一个箭头表示质点的振动方向，并设想在同一点沿水平方向画个箭头表示波的传播方向，那么这两个箭头总是在曲线的同侧 （如图乙所示）。
3、平移法。将波沿波的传播方向做微小移动，，如图丙中虚线所示，则可判定P点沿y正方向运动了。或者说沿波的传播方向画出下一时刻的波形，这个波形（虚线）在原波形的上面，则P点向上振动；如果这个波形（虚线）在原波形的下面，如Q点向下振动。
四、振动图像与波动图像的区别
振动是一个质点随时间的推移而呈现的现象，波动是全部质点联合起来共同呈现的现象。简谐运动和其引起的简谐波的振幅、频率相同，二者的图象有相同的正弦(余弦)曲线形状，但二图象是有本质区别的。
振动图象 波形图象
研究对象 一振动质点 沿传播方向所有介质质点
研究内容 一质点的位移随时间的变化规律 同一时刻所有质点的空间分布规律
图 线
物体意义 一质点在各时刻的位移 同一时刻所有质点相对平衡位置 位移的规律
图线变化 随时间而延伸，已有的图像形状保持不变 图象随时间沿传播方向平移
质点振动方向的确定方法 下一时刻的振动 重复前一质点的振动
一个完整曲线占横坐标的距离 表示一个周期 表示一个波长
横坐标 表示质点振动的时间 表示介质中各质点的平衡位置
纵坐标的最大值 振幅A 振幅A
　
五、波的多解问题
在解决图象问题时，要注意波的空间周期性、时间周期性、双向性、对称性和多解性。
要点诠释：1、波的空间周期性
在同一波线上相距为波长整数倍的多个不同质点振动情况完全相同。
沿波的传播方向，在轴上任取一点P，如图所示，P点的振动完全重复波源O的振动，只是时间上比O点要落后时间，在同一波线上，凡坐标与P点坐标之差为波长整数倍的质点，在同一时刻t的位移都与坐标为的质点的振动“相貌”完全相同，因此在同一波线上，某一振动“相貌”势必会不断地重复出现，这就是机械波的空间周期性。
2、波的时间周期性
波在传播过程中，经过整数倍周期时，其波形图线相同，这就是机械波的时间周期性。
3、波的双向性
双向性是指波沿正、负方向传播时，若正、负两方向传播的时间之和等于周期的整数倍，则正、负两方向传播的那一时刻波形相同。
4、波的对称性
波源的振动，要带动它左、右相邻介质质点振动，波要向左、右两方向传播，对称性是指波在介质中左、右同时传播时，关于波源对称的左、右两质点振动情况完全相同。
典型例题精析
1．（2021·北京市海淀区精华培训学校高三月考）如图甲为一列简谐横波在t=0.10s时刻的波形图，P是平衡位置为x=4m处的质点，图乙为质点P的振动图像，则（　　）
A．该波向方向传播，速度是40m/s
B．质点P的振动方程为y=20sin（50πt）（cm）
C．从t=0.10s到t=0.25s，质点P通过的路程为30cm
D．t=0.10s时，质点P的速度达到正向最大
2．（2021·重庆市江津中学校高三其他模拟）在坐标原点的波源产生一列沿x轴正方向传播的简谐横波，波速v=200m/s。已知t=0时，波刚好传播到x=40m处，如图所示，在x=400m处有一接收器（图中未画出），则下列说法正确的是（）
A．波源开始振动时方向沿y轴正方向
B．从t=0开始经过0.15s，x=40m处的质点运动路程为0.6m
C．接收器在t=0.8s时才能接收到此波
D．若波源向x轴负方向运动，根据多普勒效应，接收器接收到的波源频率可能为11Hz
E.若该波与另一列振幅也为10cm、波源在x=350m处的沿x轴负方向传播的简谐横波相遇，一定能够产生稳定的干涉图样
3．（2021·北京北理工附中高三三模）一列简谐横波沿x轴传播，时的波形如图所示，质点A与质点B相距1m，A点速度沿y轴正方向；时，质点A第一次到达正向最大位移处，由此可知（ ）
A．此波沿x轴正方向传播
B．此波的传播速度为50m/s
C．从时起，经过0.04s，质点A沿波传播方向迁移了1m
D．在时，质点B处在平衡位置，速度沿y轴正方向
4．（2021·辽宁高三专题练习）一列简谐横波沿着x轴正方向传播，波中A、B两质点在平衡位置间的距离为0.5m，且小于一个波长，如图甲所示，A、B两质点振动图象如图乙所示，由此可知（　　）
A．波中质点在一个周期内通过的路程为10cm
B．该简谐波的波长为4m
C．该简谐波的波速为0.5m/s
D．t=1.5s时A、B两质点的位移相同
5．（2021·山西高三三模）一列简谐横波沿x轴正方向传播，其波速为10m/s，时刻的波形如图所示，下列说法正确的是__________
A．0～0.6s时间内，质点P运动的路程为18cm
B．时刻，质点Q加速度最大
C．时刻，质点P相对平衡位置的位移是6cm
D．时刻，质点M沿y轴正方向运动
E.时刻，质点P运动到质点Q的位置
6．（2021·北京师范大学万宁附属中学高三月考）一列简谐横波某时刻的波形如图所示，比较介质中的三个质点a、b、c，则（）
A．此刻a的加速度最大
B．此刻b的速度最小
C．若波沿x轴正方向传播，此刻b向y轴正方向运动
D．若波沿x轴负方向传播，a比c先回到平衡位置
7．（2021·湖南省岳阳县第一中学高三二模）一列简谐横波沿x轴正向传播，波源位于x=0位置，t=0时刻波源开始沿y轴方向振动，经过0.15s时形成的波形如图所示。
（1）求该波的波长、频率和此后1s内x=20cm处的质点通过的路程；
（2）此后在经过多长时间，x=60cm处的质点第一次出现在波峰位置。
8．（2021·安徽安庆市·安庆一中高三三模）一列简谐横波在时刻的波形如图所示，已知时刻质点的速度为，经过它的速度与第一次相同，再经过它的速度与第二次相同。
（1）判断波的传播方向并计算波的周期；
（2）若波源的振动始终持续，计算的质点运动到波峰的时刻。

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