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6.2向量基本定理和向量的坐标（新课）
知识梳理
1.平面向量的基底
基底是一个平面内的两个不共线的非零向量，为平面内任何一个向量，一定存在实数x,y使得
，则称为一组基底。
2.平面向量的坐标运算及性质
若，则
若，则
（1）；
（2）；
（3），；
（4）；
（5），；
（6）；
（7）。
典例解析
考点一：向量基本定理
例1．在中，为边上的中线，E为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
变式1．在梯形中，已知，，点在线段上，且，则（ ）
A． B．
C． D．
变式2．如图所示，在正方形中，为的中点，为的中点，则（ ）
A． B．
C． D．
考点二：直线上的坐标及其运算
例2．设数轴上两点的坐标分别为，求：
（1）向量的坐标，以及A与B的距离；
（2）线段中点的坐标.
变式1．已知是直线l上的一个单位向量，向量与都是直线l上的向量，分别在下列条件下写出与的坐标：
（1），；
（2），.
变式2．已知直线上向量的坐标为的坐标为5，求下列向量的坐标：
（1）； （2）； （3）.
考点三：平面上的坐标及其运算
例3．设，，则等于（ ）
A． B． C． D．
变式1．已知中，，，若，则的坐标为 （ ）
A． B． C． D．
变式2．已知两点，，，则点坐标是（ ）
A． B． C． D．
例4．在边长为2的正方形中，为的中点，交于.若，则（ ）
A．1 B． C． D．
变式1．“勾3股4弦5”是勾股定理的一个特例.根据记载，西周时期的数学家商高曾经和周公讨论过“勾3股4弦5”的问题，毕达哥拉斯发现勾股定理早了500多年，如图，在矩形中，满足“勾3股4弦5”，且，为上一点，.若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
变式2．如图是由等边△和等边△构成的六角星，图中的，，，，，均为三等分点，两个等边三角形的中心均为.若，则（ ）
A． B． C． D．
例5．已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
变式1．已知平面向量，，则向量（ ）
A． B． C． D．
变式2．已知，，，若，则等于（ ）
A．(1，4) B． C． D．
例6．设向量，，，且满足，则（ ）
A． B． C． D．2
变式1．已知向量、满足，，且，则（ ）
A． B． C． D．
变式2．已知向量，，且，则m的值为（ ）
A．1 B． C．4 D．
例7．已知向量，，且，则实数（ ）
A．3 B． C．-2 D．2
变式1．已知向量，，，且，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
变式2．已知向量，，若，则等于（ ）
A．6 B． C．12 D．
例8．设，，向量，，，且，，则（ ）
A． B． C． D．10
变式1．已知向量则的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
变式2．设平面向量,若∥，则等于 （ ）
A． B． C． D．
巩固练习
1．如图，若，，，是线段靠近点的一个四等分点，则下列等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在平行四边形中，为的中点，为的中点，若，则是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在平行四边形中，对角线与交于点，且，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知点，，向量，则向量（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量，，若，则实数的值为（ ）
A． B．1 C． D．2
6．在三角形中，已知，，点在中线上，且，则点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，则与向量共线的单位向量为（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
8．在中，，，，则（ ）
A．-4 B．-2 C．2 D．4
9．已知向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．2
10．已知向量，.若，则实数的值为（ ）
A． B．2 C． D．
11．已知向量，，若，则实数的值为（ ）
A．-4 B．4 C．-1 D．1
12．已知平面向量，，若，则（ ）
A． B． C． D．
13．向量，，若与共线，则（ ）
A． B． C． D．5
14．设数轴上两点的坐标分别为，求：
（1）向量的坐标，以及A与B的距离；
（2）线段中点的坐标.
15．已知是直线l上的一个单位向量，与都是直线l上的向量，且，，求，，，.
6.2向量基本定理和向量的坐标答案
典例解析
例1．B
变式1．D
变式2．B
例2．（1）4；4 （2）1
变式1．（1）坐标坐标 （2）坐标，坐标2
变式2．（1）3 （2）1 （3）-11
例3．B
变式1．A
变式2．B
例4．B
变式1．C
变式2．B
例5．B
变式1．D
变式2．C
例6．D
变式1．B
变式2．D
例7．A
变式1．C
变式2．C
例8．B
变式1．A
变式2．A
巩固练习
1．C
2．C
3．C
4．A
5．A
6．B
7．B
8．D
9．B
10．D
11．C
12．B
13．A
14．（1）坐标为-10，A与B的距离为10； （2）-2
15．，，，.
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