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1.1空间向量及其运算（新课）
知识梳理
空间向量的概念
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
空间向量的直角坐标运算律
（1）若，，则．
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
（2）若，，则
，
，
，
，
，
；
，．
夹角公式：．
（3）两点间的距离公式：若，，则
空间向量的共面定理
（1）ABCD四点共面,O为面外的一点：
（2）向量共面：
典例解析
考点一：概念的判断
例1．若空间向量与不相等，则与，一定(　　)
A．有不同的方向 B．有不相等的模 C．不可能是平行向量 D．不可能都是零向量
变式1：下列命题中，不正确的命题的个数是（ ）
空间向量任意五边形ABCDE，则若所在的直线与所在的直线平行；空间任意两非零向量，共面；④空间向量平行于平面，则所在的直线平行于平面.
A.1 B.2 C.3 D.4
变式2 给出下列命题：
①零向量没有方向；②若两个空间向量相等，则它们的起点相同，终点也相同；③若空间向量满足，则；④若空间向量 满足，则；⑤空间中任意两个单位向量必相等．其中正确命题的个数为（ ）
A.4 B.3 C.2 D.1
考点二：空间向量的线性运算
例2．如图在长方体中，O为AC中点。
(1)化简：
(2)设E是棱上的点，且，若试求的值。
变式1： 如图所示，在平面六面体中，E,F分别在和且
证明：
若
变式2：如图，已知平行六面体中，求的长.
考点三：空间向量的基底
例3． 是向量的一个基底， 设给出下列向量组：
④其中可以作为空间向量基底的向量组有（　　）组．
A.1 B.2 C.3 D.4
变式1：已知空间四边形，其对角线分别是边的中点，点G在线段上，且使，用向量当基底表示向量（ ）
B.
C. D.
变式2 在长方体中，以为基底表示,其结果是（ ）
B.
C. D.
考点四：空间向量的坐标运算
例4． 已知点,向量,则向量（ ）
A. B. C. D.
变式1：已知
变式2：已知空间内三点点在平面上且 则P点的坐标是_____________.
考点五：空间向量共线、共面问题
例5．已知，如果为共线向量，则（ ）
B. C. D.
变式1. 已知若三向量共面，则实数等于（ ）
B. C. D.
变式2．已知向量，，，若是共面向量，则__________．
考点六：空间向量的数量积与夹角
例6．已知空间三点A(1,1,1)，B(－1,0,4)，C(2，－2,3)，则与的夹角θ的大小是_______．
变式1：已知为坐标原点，则向量的夹角是（ ）
A. B. C. D.
变式2．已知，，若与的夹角为，则的值为（ ）
A． B． C． D．
考点七：建立直角坐标系
例7．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为棱AA1和BB1的中点，则sin〈，〉的值为(　　)
A. B. C. D.
变式1．如图，BC＝4，原点O是BC的中点，点A ，点D在平面yOz上，且∠BDC＝90°，∠DCB＝30°，则AD的长度为________．
变式2．如图，正方体的棱长为2，是上的点，且，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
巩固练习
1．已知点A(－3,0，－4)，点A关于原点的对称点为B，等于(　　)
A．12　　 　B．9　　　 C．25　　　 　D．10
2．以棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，AD，AA1所在的直线为x,y,z坐标轴，建立空间直角坐标系，则正方形AA1B1B的对角线交点的坐标为(　　)
A. B. C. D.
3．已知向量＝(2，－3,5)与向量＝平行，则λ＝(　　)
A. B. C．－ D．－
4．已知向量＝(1,1,0)，＝(－1,0,2)，且与互相垂直，则k的值为(　　)
A．1 B. C. D.
5．如图，在底面为平行四边形的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，M是AC与BD的交点，若＝，＝，＝，则下列向量中与相等的向量是(　　)
A． B.
C. D．
6.(2013·武汉模拟)二面角α－l－β为60°，A、B是棱l上的两点，AC、BD分别在半平面α、β内，AC⊥l，BD⊥l，且AB＝AC＝a，BD＝2a，则CD的长为(　　)
A．2a B.a C．a D.a
7．已知点B是点A(3,7，－4)在xOz平面上的射影，则等于________．
8．已知点P在z轴上，且满足|OP|＝1(O为坐标原点)，则点P到点A(1,1,1)的距离为________．
9．已知O(0,0,0)，A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，点Q在直线OP上运动，当取最小值时，点Q的坐标是________．
10．(2012·宝鸡模拟)已知＝(cos θ，1，sin θ)，＝(sin θ，1，cos θ)，则向量与的夹角是________．
11．已知向量＝(1，－3,2)，＝(－2,1,1)，点A(－3，－1,4)，B(－2，－2,2)．
(1)求；
(2)在直线AB上，是否存在一定点E，使得⊥？(O为原点)
1.1空间向量及运算答案
典例解析
例1：D
变式1:B
变式2：D
例2 ：（1）（2）
变式1：（1）略（2）
变式2：
例3 ：C
变式1：C
变式2：C
例4：A
变式1：1或-3
变式2：
例5：C
变式1： D
变式2： -2
例6：
变式1：C
变式2．B
例7： B
变式1：
变式2．D
巩固练习
1 D
2 B
3 C
4 D
5 A
6 A
7 5
8
9
10
11 (1) (2)
2
1

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