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2.2直线及其方程（新课）
知识梳理
1.直线的倾斜角与斜率
斜率． 为倾斜角
已知点、，过两点,的直线的斜率公式.
2.直线方程的五种形式：
名称 方程的形式 常数的几何意义 适用范围
1斜截式 k是斜率，b是直线在y轴上的截距 不垂直于x轴
2点斜式 是直线上一定点，k是斜率 不垂直于x轴
3两点式 ，是直线上两定点 不垂直于x轴和y轴
4截距式 a是直线在x轴上的非零截距，b是直线在y轴上的非零截距 不垂直于x轴和y轴，且不过原点
5一般式 A、B、C为系数 任何位置的直线
3.两条直线的位置关系
平行： 重合： 相交：
特殊的，.
4.点到直线的距离公式
点到直线的距离为.
5.两平行线间的距离公式
直线与直线的距离为.
典例解析
考点一：直线的倾斜角与斜率
例1．设直线与x轴的交点为P，且倾斜角为，若将其绕点P按逆时针方向旋转45°，得到直线的倾斜角为+45°，则（ ）
A．0°≤＜90° B．0°≤＜135° C．0°＜≤135° D．0°＜＜135°
变式1．如图所示，在平面直角坐标系中有三条直线，其对应的斜率分别为，则下列选项中正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式2．如图所示，直线的倾斜角，直线与垂直，求，的斜率．
例2．经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率．
（1）（1，―1），（―3，2）；（2）（1，―2），（5，―2）；
（3）（3，4），（―2，―5）；（4）（3，0），（3，）．
变式1．已知A（a，2），B（5，1），C（―4，2a）三点在同一条直线上，求a的值．
变式2．已知直线经过点P（1，1），且与线段MN相交，又M（2，―3），N（―3，―2），求直线的斜率k的取值范围．
考点二：斜截式直线方程
例3．写出斜率为2，在y轴上截距为m的直线方程，当m为何值时，直线过点（1，1）？
变式1．（1）写出斜率为－1，在y轴上截距为－2的直线方程的斜截式；
（2）已知直线方程为2x+y－1=0，求直线的斜率、在y轴上的截距以及与y轴交点的坐标．
变式2．直线的斜率和在y轴上的截距分别为（ ）
A． B． C． D．
考点三：点斜式直线方程
例4．求满足下列条件的直线方程。
（1）过点P（－4，3），斜率k=－3；
（2）过点A（－1，4），倾斜角为135°；
（3）过点P（3，－4），且与x轴平行；
（4）过点P（5，－2），且与y轴平行．
变式1．已知直线过点（1，0），且与直线的夹角为30°，求直线的方程。
变式2．已知过点的直线的倾斜角为60°，则直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
考点四：两点式直线方程
例5．过和两点的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
变式1．三角形的顶点坐标分别为A（―5，0），B（3，―3），C（0，2），求这个三角形三边所在直线的方程。
变式2．已知三角形三个顶点，则边上中线所在直线方程是（）
A． B． C． D．
考点五：截距式直线方程
例6．直线过点（―3，4），且在两坐标轴上的截距之和为12，求直线的方程．
变式1．求过点P（2，－1），在x轴、y轴上的截距分别为a、b，且满足a=3b的直线方程。
变式2． 求过定点P（2，3）且在两坐标轴上截距相等的直线方程．
考点六：直线的一般式方程
例7．根据下列条件分别写出直线方程，并化成一般式：
（1）斜率为，且经过点A（5，3）；
（2）过点B（―3，0），且垂直于x轴；
（3）斜率为4，在y轴上的截距为―2；
（4）在y轴上的截距为3，且平行于x轴；
（5）经过C（―1，5），D（2，―1）两点；
（6）在x，y轴上的截距分别是―3，―1．
变式1．若直线2x﹣y﹣4=0在x轴和y轴上的截距分别为a和b，则a﹣b的值为（ ）
A．6 B．2 C．﹣2 D．﹣6
变式2．直线经过第二、三、四象限，则A，B，C需满足条件（ ）
A． B． C．A，B，C同号 D．
考点七：两条直线的位置关系
例8．判断下列各组直线的位置关系，如果相交，求出相应的交点坐标：
（1）；（2）；（3）．
变式1．已知直线和互相平行，则实数的取值为（　　）
A．或3 B． C． D．1或
变式2．直线与直线互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（　　）
A． B． C． D．
考点八：点到直线的距离
例9． 求点P0（―1，2）到下列直线的距离：
（1）2x+y―10=0； （2）x+y=2；（3）y―1=0．
变式1．已知点(a，1)到直线x-y+1=0的距离为1，则a的值为　(　　)
A．1 B．-1 C． D．±
变式2．一直线过点P(2,0)，且点到该直线的距离等于4，则该直线的倾斜角为______.
考点九：两平行直线间的距离
例10． 求两条平行直线y=3x+5与6x―2y+3=0间的距离．
变式1．若两条直线l1：x+2y–6=0与l2：2x+ay+8=0平行，则l1与l2间的距离是（ ）
A． B． C． D．
变式2．若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为(　　)
A． B． C． D．
考点十：直线过定点问题
例11．直线所过定点是______
变式1.直线所过的定点是______
变式2.若p,q满足，直线必过一个定点，该定点坐标为______
考点十一、对称问题
例12．求点A（2，2）关于直线2x―4y+9=0的对称点坐标．
变式1.已知直线，点，求直线关于点M对称的直线的方程。
变式2.已知直线1：2x+y―4=0，求1关于直线：3x+4y―1=0对称的直线2的方程．
巩固练习
1．根据条件写出下列各题中的直线方程：
（1）经过点A（1，2），斜率为2；
（2）经过点B（―1，4），倾斜角为135°；
（3）经过点C（4，2），倾斜角为90°；
（4）经过点D（―3，―2），且与x轴平行。
2．直线y=kx+b（k+b=0，k≠0）的图象是（ ）
3．（1）若直线经过点A（2，5），B（2，7），则直线的方程为________；
（2）若点P（3，m）在过点A（2，―1），B（―3，4）的直线上，则m的值为________．
4．根据条件求下列各题中直线的截距式方程：
（1）在x轴上的截距为－3，在y轴上的截距为2；
（2）在x轴上的截距为1，在y轴上的截距为－4．
5 .已知直线过点P（2，3），且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，求直线的方程．
6．已知三角形的顶点是A（－5，0），B（3，－3），C（0，2），求AC边上中线所在直线的方程．
7．已知倾斜角为45°的直线过点A（1，－2）和点B，B在第一象限，，求点B的坐标．
8．直线y=x+1绕着其上一点P（3，4）逆时针旋转90°后得直线，求直线的点斜式方程；
9．直线过点P（2，－3），且与过点M（－1，2），N（5，2）的直线垂直，求直线的方程．
10．直线过点P（－l，2），斜率为，把绕点P按顺时针方向旋转30°得直线，求直线和的方程．
11．写出倾斜角是，在轴上的截距是-2直线的斜截式方程；
12．写出斜率为2，在y轴上截距为m的直线方程，当m为何值时，直线过点（1，1）？
13．求过A(-2，-3)，B(-5，-6)两点直线的两点式方程；
14．直线过（－1，－1）、（2，5）两点，点（1002，b）在上，则b的值为________．
15．已知A（―3，―5），B（1，3），C（5，11）三点，试判断这三点是否在同一直线上．
16．已知直线过点且与线段相交，设，则直线的斜率的取值范围是 ．
17．直线的倾斜角的范围是
A． B． C． D．
18．若直线与直线互相垂直，则实数= ．
19．已知直线经过点A（―5，6）和点B（―4，8），求直线的一般式方程和截距式方程，并画图．
20．已知直线：3mx+8y+3m-10=0 和 ：x+6my-4=0 .问 m为何值时:
（1）与平行（2）与垂直.
21．求经过点A（2，1），且与直线2x+y―10=0垂直的直线的方程．
22．求通过点(1，-2)，且与两坐标轴围成的图形是等腰直角三角形的直线；
23．由点发出的光线射到直线上，反射后过点，则反射光线所在直线的一般方程为 .
24．已知直线经过点，且倾斜角是，求直线的点斜式方程和一般式方程.
25．判断下列各对直线的位置关系，若相交，求出交点坐标：
（1）1：2x+y+3=0，2：x―2y―1=0；
（2）1：x+y+2=0，2：2x+2y+3=0；
（3）1：x―y+1=0；2：2x―2y+2=0．
26．过点M(-2,1)，且与点A(-1,2)，B(3,0)的距离相等，求直线的方程．
2.2直线及其方程答案
例1． D 变式1．D变式2． k2=
例2．（1）（2）0（3）（4）不存在 变式1． 2 或 变式2．
例3． y=2x+m m=―1 变式1．（1）y=－x－2（2）k=－2，b=1，（0，1） 变式2．C
例4．（1）3x+y+9=0（2）x+y－3=0（3）y=－4（4）x=5 变式1． x=1或变式2．B
例5．C 变式1． 3x+8y+15=0，5x+3y―6=0，2x―5y+10=0 变式2．C
例6． x+3y－9=0或4x－y+16=0 变式1． x+3y+1=0或 变式2． x+y－5=0或3x－2y=0
例7．（1）（2）x+3=0（3）4x―y―2=0（4）y―3=0（5）2x+y―3=0（6）x+3y+3=0
变式1．A
变式2．C
例8．（1）；（2）重合；（3）平行． 变式1．B 变式2．B
例9．（1）（2）（3）1 变式1．D 变式2．90°或30°
例10． 变式1．A 变式2．C
例11． 变式1. 变式2.
例12．（1，4） 变式1. 变式2.2x+11y+16=0
巩固练习
1．（1）y―2=2(x―1)； （2）y―4=―(x+1)； （3）x=4； （4）y=―2
2．B
3．（1）x=2 （2）―2
4．（1）（2）
5． x+y－5=0或x－y+1=0或3x－2y=0
6． 8x+11y+9=0
7．（4，1）
8．（1）x+y－7=0
9．x=2
10．
11．（1）
12． y=2x+m m=―1
13．
14 .2005
15．在同一直线上
16.
17.B
18 .1
19.2x－y+16=0
20.（1）（2）
21.x－2y=0
22.x+y+1=0或x-y-3=0
23..
24.
25.（1）相交，坐标（―1，―1）．（2）平行．（3）重合．
26.
8
9

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