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2.3圆及其方程（新课）
知识梳理
要点一：圆的标准方程
，其中为圆心，为半径.
要点二：圆的一般方程
当时，方程叫做圆的一般方程. 为圆心，为半径.
要点三：点和圆的位置关系
如果圆的标准方程为，圆心为，半径为，则有
(1)若点在圆上
(2)若点在圆外
(3)若点在圆内
要点四：直线与圆的位置关系
（1）当时，直线与圆C相交；
（2）当时，直线与圆C相切；
（3）当时，直线与圆C相离.
要点五：圆与圆的位置关系
设的半径为，的半径为，两圆的圆心距为.
（1）当时，两圆外离；
（2）当时，两圆外切；
（3）当时，两圆相交；
（4） 当时，两圆内切；
（5）当时，两圆内含.
典例解析
考点一：圆的标准方程
例1．求满足下列条件的各圆的方程：
(1)圆心在原点，半径是3；
(2)已知圆经过两点，圆心在轴上；
(3)经过点，圆心为点．
变式1.圆心是，且过点的圆的标准方程是（ ）
A． B．
C． D．
变式2．以点和为直径端点的圆的方程是（ ）
A． B．
C． D．
例2．（1）的三个顶点分别为，，，求其外接圆的方程；
（2）求过的圆的方程，及圆心坐标和半径；
变式1.如图，等边的边长为2，求这个三角形的外接圆的方程，并写出圆心坐标和半径长．
变式2．已知A(0,1)，B(2,1)，C(1,2)能否定圆？若能，判断D(3,4)与该圆的位置关系.
例3．求下列各圆的标准方程：
（1）圆心在直线上，且圆过两点；
（2）过点且圆心在直线上；
变式1.求下列各圆的标准方程：
（1）圆心在直线上，且圆与直线切于点．
（2）过点且与直线相切于点．
变式2.求下列各圆的标准方程：
（1）圆过点和，且圆在两坐标轴上截得的弦长相等．
（2）与轴相切，圆心在直线上，且被直线截得的弦长为．
考点二：圆的一般方程
例4. 圆的方程为，则圆心坐标为（ ）
A. B. C. D.
变式1．已知直线表示一个圆．
（1）求的取值范围；
（2）求这个圆的圆心和半径；
（3）求该圆半径的最大值及此时圆的标准方程．
变式2.方程表示圆，则的取值范围是
A．或 B． C． D．
考点三：点与圆位置关系
例5．判断点，，与圆的位置关系．
变式1.点在圆的内部，则的取值范围是________．
变式2（多选）. 若点(1，－1)在圆外，则下列可能为m值的有（ ）
A. B. C. D. 1
考点四：直线与圆的位置关系
例6.已知直线y=2x+1和圆x2+y2=4，试判断直线和圆的位置关系.
变式1．已知直线方程mx―y―m―1=0，圆的方程x2+y2―4x―2y+1=0．当m为何值时，圆与直线
（1）有两个公共点；
（2）只有一个公共点；
（3）没有公共点．
变式2.求实数m的范围，使直线与圆分别满足：
相交；(2)相切；(3)相离．
考点五：相切问题
例7．过点作圆的切线,求切线的方程.
变式1.（1）求圆x2+y2=10的切线方程，使得它经过点；
（2）求圆x2+y2=4的切线方程，使得它经过点Q（3，0）．
变式2．由点向圆作的切线方程为___________．
考点六：相交问题
例8．直线经过点P（5，5）并且与圆C：x2+y2=25相交截得的弦长为，求的方程．
变式1. 求经过点P（6，―4），且被定圆x2+y2=20截得弦长为的直线的方程．
变式2．过点作圆的最短弦，则这条弦所在直线的方程是( )
A． B． C． D．
考点七：相离问题
例9．若直线与圆相离，则实数k的取值范围是______.
变式1．设为圆上的动点，则点到直线的距离的最小值是 .
变式2.已知点P（x，y）是圆(x―3)2+(y―3)2=4上任意一点，求点P到直线2x+y+6=0的最大距离和最小距离．
考点八：圆与圆的位置关系
例10．圆C1：x2＋y2＋4x＋8y－5＝0与圆C2：x2＋y2＋4x＋4y－1＝0的位置关系为(　 )
A．相交 B．外切 C．内切 D．外离
变式1．已知圆，圆，则这两个圆的公切线条数为（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
变式2．已知圆C1：x2+y2―2mx+4y+m2―5=0，圆C2：x2+y2+2x―2my+m2―3=0，问：m为何值时，（1）圆C1和圆C2相外切？（2）圆C1与圆C2内含？
例11.已知圆C1：x2+y2+2x―6y+1=0，圆C2：x2+y2―4x+2y―11=0，求两圆的公共弦所在的直线方程及公共弦长．
变式1．若圆x2+y2=4与圆x2+y2+2ay―6=0（a＞0）的公共弦的长为，则a=________。
变式2．圆C1：x2+y2＝4与圆C2：x2+y2﹣4x+4y﹣12＝0的公共弦的长为（ ）
A． B． C． D．
考点九：圆的图像问题
例12．若函数的图象与直线有公共点，则实数的取值范围为（ ）
A． B．. C． D．
变式1．若曲线y＝与直线y＝k（x﹣2）+4有两个交点，则实数k的取值范围是（　　）
A． B． C．（1，+∞） D．（1，3]
变式2．曲线 ()与直线有两个公共点时，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点十：综合应用
例13．如果实数，满足方程，求：
（1）的最大值与最小值；
（2）的最大值与最小值；
（3）的最大值与最小值.
变式1．已知实数，满足方程.
（1）求的最大值和最小值；
（2）求的最大值和最小值；
（3）求的最大值和最小值.
变式2．已知实数满足．
（1）求的最大值和最小值；
（2）求的最大值和最小值．
巩固练习
1．圆的圆心到直线的距离是（ ）
A． B． C． D．
2．点与圆的位置关系是（ ）
A．点在圆外 B．点在圆上 C．点在圆内 D．不确定
3．曲线关于（ ）
A．直线轴对称 B．直线轴对称
C．点中心对称 D．点中心对称
4．若方程表示圆，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知圆心在轴上的圆与轴交于两点，，此圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
6.方程所表示的曲线是（ ）
A．一个圆 B.两个圆 C． 半个圆 D． 四分之一个圆
7. 若直线过圆的圆心，则的最大值为( )
A. B. C.4 D.16
8．直线和两坐标轴围成的三角形的外接圆的方程是 .
9．已知圆的圆心位于第二象限且在直线上，若圆与两个坐标轴都相切，则圆的标准方程是________．
10．已知圆，当该圆面积取得最大值时，圆心坐标为________．
11．已知圆C1：x2+y2=4，圆C2：x2+y2+6x―4y=0，则两圆的位置关系是（ ）
A．相切 B．相离 C．相交 D．内含
12．两圆x2+y2―2x+10y―24=0与x2+y2+2x+2y―8=0的交点坐标为（ ）
A．（4，0）或（2，0） B．（―4，0）或（2，0）C．（―4，0）或（0，2）D．（4，0）或（0，―2）
13．直线与圆交于两点，则线段的垂直平分线的方程是（ ）
A． B． C． D．
14．直线截圆得到的劣弧所对的圆心角为（ ）
A． B． C． D．
15．过定点（1，2）作两直线与圆x2+y2+kx+2y+k2―15=0相切，则k的取值范围是（ ）
A．k＞2 B．―3＜k＜2 C．k＜―3或k＞2 D．以上都不对
16．过点（―4，0）作直线与圆x2+y2+2x―4y―20=0交于A、B两点，若|AB|=8，则（ ）
A．的斜率为 B．的方程为5x―12y+20=0
C．的方程为5x+12y+20=0或x+4=0 D．的方程为5x―12y+20=0或x+4=0
17．直线y=x―1上的点到圆x2+y2+4x―2y+4=0的最近距离为（ ）
A． B． C． D．1
18．若圆上恰有相异两点到直线的距离等于1，则取值范围（ ）
A． B． C． D．
19．两圆x2+y2+2x―4y+3=0与x2+y2―4x+2y+3=0上的点之间的最短距离是________。
20．已知圆C过点（1，0），且圆心在x轴的正半轴上，直线：y=x―1被圆C所截得的弦长为，则过圆心且与直线垂直的直线的方程为________。
21．是圆上任意一点，则的最大值是 ；点到直线的最大距离是 。
22．已知圆C过点原O且与直线x+y=4相切，它的圆心在直线y=x上，求圆C的一般方程。
23．求经过直线x+y=0与圆x2+y2+2x―4y―8=0的交点，且经过点P（―1，―2）的圆的方程。
24．已知点在圆上.
（1）求的取值范围；
（2）求的最大值和最小值.
2.3圆及其方程答案
例1．（1）（2）（3）
变式1.A 变式2．A
例2．（1）x2+y2―4x―2y―20=0（2） （4，1）
变式1.，，
变式2．A，B，C三点可以确定圆，且点在该圆上．
例3．（1）；（2）
变式1.（1）（2）
变式2.（1）(x+1)2+(y―1)2=5或(x+2)2+(y+2)2=25（2）或
例4.D
变式1．（1）（2）（t+3，4t2－1） （3）
变式2.D
例5． M在圆上 N在圆外 Q在圆内 变式1.（－∞，1） 变式2.AB
例6：相交
变式1：（1）m＞0或（2）m=0或（3）
变式2.（1）或（2）（3）
例7：或
变式1.（1）（2）
变式2．或
例8：x―2y+5=0或2x―y―5=0 变式1.x+y―2=0或7x+17y+26=0 变式2．D
例9． 变式1：1 变式2.
例10．C 变式1．D 变式2：（1）m=―5或m=2；（2）―2＜m＜―1．
例11.3x―4y+6=0 公共弦长为． 变式1．1 变式2．C
例12.．B 变式1．A 变式2．D
例13．（1）最大最小（2）最大最小（3）最大，最小.
变式1．（1）最大，最小；（2）最大，最小；（3）最大，最小.
变式2．（1）0，；（2）.
巩固练习
1． A
2． A
3． D
4． A
5． A
6． C
7. B
8．
9． ．
10．（0，―1）
11.C
12.C
13.B
14.C
15.C
16.C
17.C
18.C
19．
20．x+y－3=0
21．，6
22．x2+y2―2x―2y=0。
23．圆的方程为x2+y2+3x―3y―8=0。
24．（1）；（2）最大值为，最小值为.10
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