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第二十四章 圆
24.2.2 直线和圆的位置关系
第2课时 切线的判定与性质
学习目标：1.会判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作圆的切线.
2.理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理.
3.能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题.
重点：理解并掌握圆的切线的判定定理及性质定理.
难点：能运用圆的切线的判定定理和性质定理解决问题.
一、知识链接
1.直线和圆的位置关系有哪几种(画图表示)？
2.如何用数量关系来判断直线和圆的位置关系呢？
二、要点探究
探究点1：切线的判定定理
问题1 已知圆O上一点A，怎样根据圆的切线定义过点A作圆O的切线？
思考 圆心O到直线AB的距离和圆的半径有什么数量关系？二者位置有什么关系？
要点归纳：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
判一判 下列各直线是不是圆的切线？如果不是，请说明为什么？
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方法总结：在此定理中，“经过半径的外端”和“垂直于这条半径”，两个条件缺一不可，否则就不是圆的切线.
要点归纳：判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：
1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线；
2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切；
3.判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
典例精析
例1 如图，线段AB是☉O上的直径，直线AC与AB交于点A，∠ABC=45°，且AB=AC.
求证：AC是☉O的切线.
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方法总结：直线AC经过半径的一端，因此只要证OA垂直于AB即可.
例2 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB．求证：直线AB是⊙O的切线．
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方法总结：当已知直线过圆上的一点时，连接圆心和该点得到圆的半径，然后证明直线与这条半径垂直，即可得出已知直线为圆的切线.21·cn·jy·com
例3 如图，在Rt△ABC 中，∠AB ( http: / / www.21cnjy.com )C =90°，∠BAC的平分线交BC于D，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，求证：AC 是⊙O 的切线．【来源：21·世纪·教育·网】
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方法总结：当未提及直线与圆有公共点时，过圆心作直线的垂线，证明垂线段等于半径，即可得出已知直线为圆的切线.【出处：21教育名师】
要点归纳：
证切线时辅助线的添加方法：(1)有交点，连半径，证垂直；(2)无交点，作垂直，证半径.
探究点2：切线的性质定理
问题2 如图，如果直线l是⊙O 的切线，点A为切点，那么OA与l垂直吗？
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要点归纳：切线性质——圆的切线垂直于经过切点的半径．
思考 如何证明切线性质定理？
例4 如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，连接AB，若∠B=25°，求∠P的度数.
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练一练
1.如图：在⊙O中，OA、OB为半径，直线MN与⊙O相切于点B，若∠ABN=30°，则∠AOB= .
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第1题图 第2题图
2.如图AB为⊙O的直径，D为AB延长线上一点，DC与⊙O相切于点C，∠DAC=30°，若⊙O的半径长1cm，则CD= cm.2·1·c·n·j·y
方法总结：利用切线的性质解题时，常需连接辅助线，一般连接圆心与切点，构造直角三角形，再利用直角三角形的相关性质解题.【版权所有：21教育】
例5 如图，△ABC 为等腰三角形，O 是底边BC的中点，腰AB 与⊙O相切于点D．求证：AC 是⊙O 的切线．21教育名师原创作品
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要点归纳：
有切线时常用辅助线添加方法：见切点，连半径，得垂直.
切线的其他重要结论：
（1）经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；
（2）经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心.
3、课堂小结
切线的判定与性质 切线的判定方法 定义法：1个公共点，则相切；数量关系法：d=r，则相切；判定定理：经过圆的半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
切线的性质 性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径.
常用辅助线添加方法 证切线时常用辅助线添加方法： ①有公共点，连半径，证垂直；②无公共点，作垂直，证半径.有切线时常用辅助线添加方法： 见切线，连切点，得垂直.
1.判断下列命题是否正确.
(1)经过半径外端的直线是圆的切线. ( )
(2)垂直于半径的直线是圆的切线. ( )
(3)过直径的外端并且垂直于这 ( http: / / www.21cnjy.com )条直径的直线是圆的切线. ( )
(4)和圆只有一个公共点的直线是圆的切线. ( )
(5)过直径一端点且垂直于直径的直线是圆的切线. ( )
2.如图所示，A是⊙O上一点，且AO=5，PO=13，AP=12，则PA与⊙O的位置关系是 .
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3.如图，在⊙O的内接四边形ABCD中 ( http: / / www.21cnjy.com )，AB是直径，∠BCD=120°，过D点的切线PD与直线AB交于点P，则∠ADP的度数为 ( )www.21-cn-jy.com
A．40° B．35° C．30° D．45°www-2-1-cnjy-com
4.如图，⊙O切PB于点B，PB=4，PA=2，则⊙O的半径多少？
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5.如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交边BC于P，PE⊥AC于E.
求证：PE是⊙O的切线.
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6.如图，PA为⊙O的切线，A为切点．直线PO与⊙O交于B、C两点，∠P＝30°，连接AO、AB、AC.
求证：△ACB≌△APO；
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参考答案
自主学习
1、知识链接
1.解：如图所示：
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相离 相切 相交
2.解：设圆心O到直线的距离为d，圆O的半径为r，则有
直线与圆相离 d＞r；直线与圆相切 d＝r；直线与圆相交 d＜r；
课堂探究
二、要点探究
探究点1：切线的判定定理
问题1：如图所示，连接OA，过点A作OA的垂线AB，AB即为所求.
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思考： 圆心O到直线AB的距离等于半径，OA⊥AB于点O.
判一判：解：(1)不是，因为没有垂直.(2)，(3)不是，因为没有经过半径的外端点A.
典例精析
例1 证明：∵AB=AC，∠AB ( http: / / www.21cnjy.com )C＝45°，∴∠ACB＝∠ABC＝45°. ∴∠BAC=180°-∠ABC-ACB=90°. ∵AB是⊙O的直径，∴ AC是⊙O的切线.21世纪教育网版权所有
例2 证明：连接OC.∵ ( http: / / www.21cnjy.com ) OA＝OB，CA＝CB， ∴ OC是等腰三角形OAB底边AB上的中线.　∴ AB⊥OC.∵OC是⊙O的半径，∴ AB是⊙O的切线.21教育网
例3 证明：如图：过D作DE ⊥AC于 ( http: / / www.21cnjy.com )点E.∵∠ABC =90，∴DB ⊥ AB.又∵AD平分∠BAC，DE ⊥AC，∴DE=DB=r.∵DE ⊥AC，∴AC 是⊙O 的切线.21cnjy.com
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探究点2：切线的性质定理
问题2 垂直
思考：证法：反证法.
（1）假设AB与CD不垂直，过点O作一条直径垂直于CD，垂足为M；
（2）则OM（3）所以AB与CD垂直.
例4 解：连接OA.∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP=90°.∵∠AOP=2∠B=50°，∴∠P=180°－90°－50°=40°.
练一练： 1.60° 2.2
例5 证明：如图：连接OD，OA，过O 作OE ⊥AC.∵⊙O 与AB 相切于D，∴OD ⊥ AB.
又∵△ABC 为等腰三角形，O 是BC 的中点．∴AO 平分∠BAC，又OD ⊥AB ，OE⊥AC.
∴OD ＝OE.∵OD 是⊙O 半径，OE ＝OD，OE ⊥ AC.∴AC 是⊙O 的切线．
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当堂检测
1. （1）× （2）× （3）√ （4）√ （5）√
2. 相切 3.C
4.解：连接OB，易知∠OBP=90°.设⊙O的半径为r，则OA=OB=r，OP=OA+PA=2+r.
在Rt△OBP中，OB2+PB2=PO2，即r2+42=(2+r)2.解得 r=3，即⊙O的半径为3.2-1-c-n-j-y
5.证明：连接OP.∵AB=AC，∴∠ ( http: / / www.21cnjy.com )B=∠C. ∵OB=OP，∴∠B=∠OPB，∴∠OPB=∠C. ∴OP∥AC.∵PE⊥AC，∴PE⊥OP.∴PE为⊙O的切线.21*cnjy*com
6.证明：∵PA为⊙O的切线，A为切 ( http: / / www.21cnjy.com )点，∴∠OAP＝90°．又∵∠P＝30°，∴∠AOB＝60°，又OA＝OB，∴△AOB为等边三角形．∴AB＝AO，∠ABO＝60°．又∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°．在△ACB和△APO中，∠BAC＝∠OAP，AB＝AO，∠ABC＝∠AOP，∴△ACB≌△APO．【来源：21cnj*y.co*m】
自主学习
课堂探究
当堂检测
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