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第二十四章 圆
24.3 正多边形和圆
学习目标：1.了解正多边形和圆的有关概念.
2.理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系.
3.会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题.
重点：理解并掌握正多边形半径、中心角、边心距、边长之间的关系.
难点：会应用正多边形和圆的有关知识解决实际问题.
一、知识链接
观察下列各图形，并度量各图形的边长和角度，你有什么发现？
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二、要点探究
探究点1：正多边形的对称性
问题1 什么叫做正多边形？
问题2 矩形是正多边形吗？为什么？菱形是正多边形吗？为什么？
问题3 正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形吗？都是中心对称图形吗？
要点归纳：正n边形都是轴对称图形，都有n条对称轴，只有边数为偶数的正多边形才是中心对称图形.
探究点2：正多边形的有关概念及性质
问题1 怎样把一个圆进行四等分？
问题2 依次连接各等分点，得到一个什么图形？
探究归纳
把⊙O 进行5等分，依次连接各等分点得到五边形ABCDE .
(1)填空：
①_______=______;
②_______=______;
③ ∠A_____∠E.
(2)这个五边形ABCDE是正五边形吗？简单说说理由.
要点归纳：像上面这样，只要把一个 ( http: / / www.21cnjy.com )圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的正多边形，这个圆就是这个正多形的外接圆，这个正多边形也称为这个圆的内接正多边形.【来源：21·世纪·教育·网】
问题3 以正四边形为例，根据对称轴的性质，你能得出什么结论？
想一想 所有的正多边形是不是也都有一个外接圆和一个内切圆？
要点归纳：正多边形的外接圆和内切圆的公共圆心，叫做正多边形的中心，外接圆的半径叫做正多边形的半径，内切圆的半径叫做正多边形的边心距，正多边形每一条边所对的圆心角，叫做正多边形的中心角，正多边形的每个中心角都等于.21·世纪*教育网
练一练 完成下面表格：
正多边形边数 内角 中心角 外角
3
4
6
n
探究点3：正多边形的有关计算
探究归纳 如图，已知半径为4的圆内接正六边形ABCDEF：
①它的中心角等于 度 ；
②OC BC (填＞、＜或＝）；
③△OBC是 三角形；
④圆内接正六边形的面积是△OBC面积的 倍.
⑤圆内接正n边形面积公式： .
典例精析
例1 如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，则∠ADE的度数是 ( )
A． 60°
B． 45°
C． 36°
D． 30°
变式题
如图，圆内接正五边形ABCDE中，对角线AD和CE相交于点P，则∠APE的度数是（　　）
A．36°
B．60°
C．72°
D．108°
例2 (教材P106例题)有一个亭子，它的地基是半径为4 m的正六边形，求地基的周长和面积(精确到0.1 m2).
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方法总结：圆内接正多边形的辅助线的作法：
1.连半径，得中心角； 2.作边心距，构造直角三角形.
练一练
正多边形边数 半径 边长 边心距 周长 面积
3 2
4 2
6 2
三、课堂小结
正多边形的性质 正多边形和圆的关系 圆内接正n边形；圆外切正n边形；任何正多边形都有一个外接圆和内切圆，且这两个圆是同心圆.
正多边形的对称性 正多边形都是轴对称图形；偶数边的正多边形同时也是中心对称图形，中心就是对称中心.
正多边形的有关计算 添加辅助线的方法：连半径，作边心距
1.一个正多边形绕它的中心旋转45°后，就与原正多边形第一次重合，那么这个正多边形（　　）
A．是轴对称图形，但不是中心对称图形
B．是中心对称图形，但不是轴对称图形
C．既是轴对称图形，又是中心对称图形
D．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形
2.如图，已知⊙O的内接正方形边长为4，则⊙O的半径是（　　）
A．2 B．4 C． D．
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第2题图 第3题图 第5题图
3.已知⊙O是正六边形ABCDEF的外接圆，P为⊙O上除C、D外任意一点，则∠CPD的度数为（　　）
A．30° B．30°或150° C．60° D．60°或120°
4.若正多边形的边心距与半径的比为1∶2，则这个多边形的边数是 .
5.如图是一枚奥运会纪念币的图案，其形状近似看作为正七边形，则一个内角为 度.(不取近似值)
6.要用圆形铁片截出边长为4cm的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小要 cm.
7.如图，已知点O是正六边形ABCDEF的对称中心，G，H分别是AF，BC上的点，且AG=BH．
(1) 求∠FAB的度数；
(2) 求证：OG=OH．
拓广探索
如图，M，N分别是☉O内接正多边形AB，BC上的点，且BM=CN.
(1)图①中∠MON=_______；图②中∠MON=_______；图③中∠MON=_______；21世纪教育网版权所有
(2)试探究∠MON的度数与正n边形的边数n的关系.
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参考答案
自主学习
1、知识链接
每个图形中，各边相等，每个角也相等
课堂探究
二、要点探究
探究点1：正多边形的对称性
问题1：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形.
问题2：矩形不是正多边形，因为矩形不符合各边相等；菱形不是正多边形，因为菱形不符合各角相等；
问题3：正三角形、正四边形、正五边形、正六边形都是轴对称图形；正四边形、正六边形是中心对称图形，正三角形、正五边形不是中心对称图形.21cnjy.com
探究点2：正多边形的有关概念及性质
问题1：如图①，过圆心作两条互相垂直的直径，分别与圆交于点点A、B、C、D，则点A、B 、C、D将圆四等分.www.21-cn-jy.com
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问题2：四边形ABCD是一个正方形.
探究归纳 （1） 3 （2） 3 （3）=
（2）五边形ABCDE是正五边形.理由如下：同（1）可得∠A=∠B=∠C=∠D=∠E.由题意得即AB=BC=CD=DE=EA.∴五边形ABCDE是正五边形.2·1·c·n·j·y
问题3 解：如图，EF ( http: / / www.21cnjy.com )是边AB、CD的垂直平分线，∴OA=OB，OD=OC.GH是边AD、BC的垂直平分线，∴OA=OD；OB=OC.∴OA=OB=OC=OD.∴正方形ABCD有一个以点O为圆心的外接圆.AC、CA分别是∠DAB及∠DCB的平分线，BD、DB分别是∠ABC及∠ADC的平分线，∴OE=OH=OF=OG.∴正方形ABCD还有一个以点O为圆心的内切圆.www-2-1-cnjy-com
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想一想 任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆.
练一练
正多边形边数 内角 中心角 外角
3 60° 120° 120°
4 90° 90° 90°
6 120° 60° 60°
n
探究点3：正多边形的有关计算
探究归纳 ①60 ②= ③等边 ④6 ⑤S正多边形=×周长×边心距
典例精析
例1 C 变式题 C
例2 解：过点O作OP⊥BC于M.在Rt△OPB中,OB＝4m, PB＝利用勾股定理,可得边心距亭子地基的面积21·cn·jy·com
练一练
正多边形边数 半径 边长 边心距 周长 面积
3 2 6
4 2 1 8 4
6 2 2 2
当堂检测
1.C 2.C 3.B 4.3 5. 6.
7.(1)解：∵六边形ABCDEF是正六边形，∠FAB=
(2)证明：连接OA、OB，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∵∠FAB=∠CBA，∴∠OAG=∠OBH，在△AOG和△BOH中，∴△AOG≌△BOH（SAS）.∴OG=OH．21教育网
拓广探索
（1）120° 90° 72° （2）
自主学习
课堂探究
当堂检测
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