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第二十四章 圆
24.4 弧长和扇形面积
第1课时 弧长和扇形面积
学习目标：1.理解弧长和扇形面积公式的探求过程.
2.会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算.
重点：会利用弧长和扇形面积的计算公式进行计算.
难点：理解弧长和扇形面积公式的探求过程并会应用解决问题.
一、知识链接
1.小学里学习过圆周长和圆面积的计算公式，公式分别是什么呢？
2. 想一想什么叫弧长？什么叫扇形？
二、要点探究
探究点1：与弧长相关的计算
问题1 半径为R的圆，周长是多少？
问题2 下图中各圆心角所对的弧长分别是圆周长的几分之几
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要点归纳：在半径为r的圆中，因为360°的圆心角所对的弧长就是圆周长C=2πr，所以1°的圆心角所对的弧长是，即，于是n°的圆心角所对的弧长为.【来源：21·世纪·教育·网】
算一算 已知弧所对的圆心角为60°，半径是4，则弧长为 .
典例精析
例1 (教材P111例1) ( http: / / www.21cnjy.com )制造弯形管道时，要先按中心线计算“展直长度”，再下料，试计算图所示管道的展直长度L.(单位：mm，精确到1mm)2-1-c-n-j-y
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练一练 一滑轮起重机装置（如图）， ( http: / / www.21cnjy.com )滑轮的半径=10cm，当重物上升15.7cm时，滑轮的一条半径绕轴心逆时针方向旋转多少度(假设绳索与滑轮之间没有滑动，π取3.14)？【来源：21cnj*y.co*m】
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探究点2：与扇形面积相关的计算
概念学习 圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫做扇形.如图，黄色部分是一个扇形，记作扇形OAB.21cnjy.com
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问题1 半径为的圆，面积是多少？
问题2 下图中各扇形面积分别是圆面积的几分之几，具体是多少呢
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要点归纳：在半径为r的圆中，因为360°的圆心角所对的扇形面积就是圆面积S=πr2，所以圆心角是1°的扇形面积是，于是圆心角为n°的扇形面积为.21*cnjy*com
问题3 扇形面积与哪些因素有关？
问题4 扇形的弧长公式与面积公式有联系吗？
例2 如图，圆心角为60°的扇形的半径为10cm.求这个扇形的面积和周长.（分别精确到0.01cm2和0.01cm）
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试一试
1.已知半径为2cm的扇形，其弧长为cm，则这个扇形的面积S扇= ．
2.已知扇形的圆心角为150°，半径为3，则这个扇形的面积S扇= .
例3 (教材P112例2)如图，水平 ( http: / / www.21cnjy.com )放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.3m，求截面上有水部分的面积.（结果保留小数点后两位）2·1·c·n·j·y
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要点归纳：弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积.
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3、课堂小结
弧长和扇形面积 弧长 计算公式：
扇形定义 圆的一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所围成的图形叫做扇形.
扇形面积公式 扇形面积为或.
弓形面积计算公式 弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积.
1.已知弧所对的圆周角为90°，半径是4，则弧长为 .
2.某扇形的圆心角为72°，面积为5π，则此扇形的弧长为（　　）
A．π B．2π C．3π D．4π21世纪教育网版权所有
3.如图，∠ACB是⊙O的圆周角，若⊙O的半径为10，∠ACB=45°，则扇形AOB的面积为（　　）
A．5π B．12.5π C．20π D．25π21·cn·jy·com
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第3题图 第4题图
4.如图，☉A、☉B、 ☉C、 ☉D两两不相交，且半径都是2cm，则图中阴影部分的面积是（ ）
A.6π cm2 B.8π cm2 C.9π cm2 D.12π cm2 www.21-cn-jy.com
5. (教材P112例2变式题)如图、水平放置的圆柱形排水管道的截面半径是0.6m，其中水面高0.9m，求截面上有水部分的面积.21·世纪*教育网
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6. 如图，一个边长为10cm的等边三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形模板在水平桌面上绕顶点按顺时针方向旋转到△A'B'C的位置，求顶点从开始到结束所经过的路程为多少.21教育网
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参考答案
自主学习
1、知识链接
1.半径为r的圆，其周长为2πr,面积为 πr2.
2.弧长为圆周长的一部分，扇形为组成圆心角的两条半径和圆心角所对的弧围成的图形.
课堂探究
二、要点探究
探究点1：与弧长相关的计算
问题1：C=2πR
问题2 :
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算一算
典例精析
例1 解：由弧长公式，可得弧AB的长因此所要求的展直长度L=2×700+1570=2970（mm）. 【出处：21教育名师】
答：管道的展直长度为2970mm．
练一练 解：设半径OA绕轴心O逆时针方向旋转的度数为n°.解得 n≈90°.因此，滑轮旋转的角度约为90°.【版权所有：21教育】
探究点2：与扇形面积相关的计算
问题1 S=πr2
问题2
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比例：
扇形面积：
问题3 扇形圆心角度数，半径
问题4 扇形弧长为l,半径为r,则S扇形=
例2 解：∵n=60，r=10cm，∴扇形的面积为
扇形的周长为
试一试： 1.cm2 2.
例3 解：如图，连接OA，OB，过点O作弦AB的垂线，垂足为D，交 于点C，连接AC.∵ OC＝0.6 m， DC＝0.3 m, ∴ OD＝OC- DC＝0.3 m，∴ OD＝DC.又 AD ⊥DC，∴AD是线段OC的垂直平分线，∴AC＝AO＝OC.从而 ∠AOD＝60 ，∠AOB=120 .在Rt△AOD中，OA=0.6 m，OD=0.3 m，∴AD= m.∴AB=2AD=m.有水部分的面积：S＝S扇形OAB - SΔOAB=www-2-1-cnjy-com
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1.2π 2.B 3.D 4.D
5.解：S=S扇形+S△OAB=
6.解：由图可知，由于∠A'CB'=60°，则等边三角形木板绕点C按顺时针方向旋转了120°，即∠ACA' =120°，这说明顶点A经过的路程长等于弧AA' 的长.∵等边三角形ABC的边长为10cm，∴弧AA' 所在圆的半径为10cm.∴l弧AA' =21教育名师原创作品
答：顶点A从开始到结束时所经过的路程为
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