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让分数应用题的解答
变得具有操作性
解答分数应用题是小学生学习的难点之一，面对分数应用题，小学生会束手无策，那么如何使解答分数应用题的过程变成具有可操作性呢？进行以下专题训练就能达到。
1. 标准题型按要求训练
一个数学题目总是需要语言叙述的，语言能反映题目的意思，我们要抓住语言的理解来确定解决问题的方法。
拿到题目认真读题，按步骤进行：
1．读题，找到分率句（又称关系句）
2.找单位“1”。
用“△”表示“比”“是”“占”“相当于”等词语，它们的后面就是单位“1”；分率前面“的”字也用“△”表示，它的前面也是单位“1”，即标准量。在单位“1”下面画横线“ ”，在它的上标明“1”。
3.找比较量。比较量就是谁跟单位“1”在比。“是”“占”“相当于”“比”等词的前面就能找到比较量。在比较量的下面画上波浪线“ ”。
4.找比较量的分率。
明确“量”与“分率”的区别：有计量单位的数是“量”，没有计算单位的分数一般是“分率”。
“是”“占”“相当于”单位“1”的几分之几，比较量的分率就是几分之几；比单位“1”多几分之几，就是多的量是比较量，它的分率就是“”，比单位“1”少几分之几，就是少的量是比较量，它的分率就是“ ”。在比较量的上面写出它对应的分率。
5. 分析分率句，列出等量关系式。
分析复杂分率句除要会找单位“1”外，还要会把“比”字句转化为“是”字句，然后依据“是”字句较快地列出等量关系式，等量关系式都可以用乘法表示：单位“1”的量×分率=分率的对应量。列方程解就用这个关系式。
6.选择用乘法或除法计算。
（1）单位“1”的量是已知的，用乘法计算分率的对应量。单位“1”的量×分率=分率的对应量
（2）单位“1”的量是未知的，用方程解法或除法计算。分率的对应量÷对应的分率=单位“1”的量
二．复杂分数应用题的解答不仅要按上面的步骤思考，更要进行画线段图表示题意的专题训练，找准等量关系解答。怎样画线段图表示题意？
读题分析后，按下面操作：
1.思考题题目中的量是包含关系还是并列关系？包含关系是一个整体里面包含几个部分量，一般是部分量跟整体比较；并列关系是相比较的两个（几个）量是互相独立的，你不包含我我不包含你。
2.包含关系用一条线段表示，并列关系用两（几）条线段表示。
3.先画标准量即单位“1”，再画比较量。包含关系在整条线段上分出比较量的线段；并列关系的两（几）条线段左边写好量的名称，线段左边对整齐。
4.根据题意在相应线段上表示分率，在线段下面表示已知条件的量、问题的量。这样条理清楚，才容易分辨量与分率，容易找到量和分率的对应关系。
5.从已知的量去找对应的分率，从已知的分率去找对应的量。线段是一段线表示一个量或一段线表示一个分率，它们的对应关系容易分辨。特别是有的分率没直接告诉，而需要寻找和转化，我们坚信“什么样的分率对应什么样的量”，如“总的分率对应总的量”，“相差的分率对应相差的量”，“多（少）的分率对应多（少）的量，”……。
6．找数量之间的等量关系：单位“1”的量×分率=分率的对应量，便于用方程解答。
7. 选择用乘法或除法计算。
（1）、单位“1”的量是已知的，用乘法计算分率的对应量。单位“1”的量×分率=分率的对应量。
（2）、单位“1”的量是未知的，用方程解法或除法计算。分率的对应量÷对应的分率=单位“1”的量。
如果长期这样训练，学生就会形成解答分数应用题的技能。虽然方法比较呆板，但是我在实际教学取得了相当的实效。
二、把握联系，互通有无，相互转化
倍数、分数、百分数和比等的知识是相互联系的，我们要掌握各自的特点，分别训练，掌握其每种类型的本质特征，然后要复习中认识到它们之间存在着共通之处。所以在六年级总复习时，应从更高的层次对它们进行梳理，使它们相互融通，形成结构，凸显本质，由此使学生的认知结构得以优化，思维能以得提升，实现温故知新的复习的。倍数、分数、百分数和比应用问题的联系、融通与提升，具体而言可从如下几方面入手。
1.在等价表征中建立联系
例题1.根据线段图说数量关系（出示图1所示的线段图）。
师：同学们，你们能根据上面的线段图，说出图中红花朵数与白花朵数之间的关系吗？
生：红花朵数是白花朵数的。
生：白花朵数是红花朵数的，白花朵数是红花朵数的1倍，白花朵数是红花朵数的1.25倍。
生：红花和白花朵数的比是4：5。
生：红花的朵数是白花朵数的80%。
生：红花是红花和白花总数的。
生：红花的朵数比白花少。
生：白花的朵数比红花的朵数多。……
师：可见，同一个数量关系可用不同方式来表达。不同的表达方式，可以分成哪几种类型？
生：倍数、比、分数和百分数几种不同类型。
师：说得很好。刚才同学们说的数量关系确实应用倍数分数百数和比等知识，这些表达数量关系的句子表示的都是同一个数量系系，所以它们之间是等价的。
将倍数、分数、百分数和比几个方面的知识进行沟通，可通过两两联系的方式进行，这种方式在新知学习的时候就采用过。例如，分数和比都是利用除法来引入和理解的。百分数则是被视一种特殊的分数来引入的。总复习的沟通方式应有别于此，以便一次性地将四方向的知识联系起来，片断1采用的方式，是学生对同一线段图表示的数量关系从不同的角度进行表述，多种不同的知识就被同一个线段图沟通起来了。这样，学生就会直观地感受到倍数分数百分数和比之间的共通与相通之处，自觉产生寻求彼此联系的需要。
数学理解的实质，是对数学知识的正确、完整、合理的表征，进而言之，是在头脑中形成数学概念、规则或方法等知识的网络。片段1中，学生的各种表达的实质是对线段图蕴含的数量关系进行不同方式的表征，这些表征与线段图之间以及彼此之间的关系构成了该数量关系的表征网络。所以，这一过程就是帮助学生深入理解数量关系的过程。
从解题的角度看，片段1中学生表征的数量关系形异而实同，它们之间是等价的。在问题解决中，条件乃至问题之间的等价变换可以使问题得到重新组织。可能某种表征方式比其他方式更有效，更易激活某个适当的解题知识块，也可能某种表征方式会使条件和问题之间的距离得以缩短。可见，对条件和问题进行等价变换，有助于学生接近或找到解题的路径。
2.在强化沟通中认识本质
例题2.将条件句换一种说法（出示条件句“男生人数比士生多25%”。）
师：你能根据给定的条件，执不同角度描述男生和女生人数的关系吗？
生：男生人数是女生的125%。
生：男生人数比女生多。
生：男生人数是女生的。
生：女生人数是男生的。
生：男生与女生人数的比是5： 4。
师：百分数表示的数量关系可转化成倍数、分数和比的方式，其中用比的方式最容易看出数量间的关系。
例题3.出示下面的条件：（1）已读页数是未读页数的80%。（2）按原价打八析出售。（3）速度提高了10%。让学生用比表示题中数量间的关系，师生共同评价。）
师：上面的三个条件句都可以用比的方式来进行等价变换，今后我们要养成这种自觉变换的习惯，这对于我们理解题意、寻找解题思路是大有好处的。
我们知道，除法运算既可以表示两种数量的等分关系，也可以表示两种数量的包含关系。前者，是将一个数量平均分成若干份，结果表示每份是多少；后者，是表示一个数量里包含几个另一个数量，即倍数。分数本身是数，但是也可以将它看成除法运算的另一种表示形式，具体可以表示两种关系：整体与等分关系，两个数量之间的整数比关系。前者，指将整体平均分成若干份，表示其中的一份或几份；后者，指以一个数量为基准，对另一个数量进行倍数的度量。百分数可视为分数的一种特殊表示形式，表示的是一个数占另一个数的百分之几，显然也是以一个数量为基准对另一个数量进行倍数的度量，只不过度量的结果是用百分数来表示的。由此可见，倍数、分数与百分数都可以视为两个数量之间的比例关系，比是它们共有的属性。因此，凡是用倍数、分数和百分数表示的条件句，都可以转化为用比表示的条件句。用比表示的条件句，不仅从本质上揭示了两个数量之间的关系，而且更为简洁直观，更易为学生理解。片段2的设计就是这种认识的体现，所要达到的目的就是让学生感受到在多种等价表征中，比的方式最能揭示数量关系的本质，也最直观、明了、浅显。
上述这样的数量关系的转化，有助于学生理解题意，探寻解题思路。教学中要经常进行这种转化训练，使之成为学生的一种习惯。
3.在问题解决中提升能力
师：同学们，现在老师在刚才的条件句上增添条件，使它成为一个完整的问题，你能解答吗。
例题4.五年级男生人数比女生多25%。如果男生有100人，女生有多少人？学生独立解答。教师组织汇报交流。
生：设女生有x人，列方程：x+25%x=1 00
解方程得x=80。
生:由男生人数比女生多25%，可以得到，男生人数是女生的(1+25%)，女生人数有100÷(1+25%)=80(人)。
生:根据条件，女生人数是男生的，女生有100×=80（人）。
生:根据条件，男生与女生人数的比是(1+4)：4=5：4，女生人数有100÷5×4=80(人)。
师:不同的解法有很多，我们就不一一展示了。请大家比较这些解法，你喜欢哪种解法，说说理由。……
师：换一个问题，你们选择怎样的方法来解答？
例题5.修一条路，第一周修了全长的，第二周修的是第一周的1.5倍，比第一用多修400米。这条路全长多少米？学生独立解答。汇报时，学生中出现了三种解法：
1. 400÷[×(1.5-1)]
2.400÷（4×1.5-4）×25
3.400÷(1.5-1) ÷
师：你觉得哪种解法容易理解一些？
生：第二种解法是将路的总长度当成25份，第一周修了4份，第二周修了6份。这种解法比较容易理解。
师：这种方法是将分数与倍数都转化为份数，这样能清楚地知道数量之间比的关系，比较容易找到解题的办法。
倍数、分数、百分数和比的应用问题都含有倍数、分数、百分数和比的条件句蕴含着问题中数量之间的关系。因此，解决倍数、分数、百分数和比的应用问题的关键在于对题目中条件句的理解，如果学生能成功“破题”，自然就能找到解题思路。广而言之，在整个小学数学教学过程中，许多应用问题都必须重视“破题”这个环节。
从问题解决的角度看，将倍数、分数和百分数表示的数量关系转述为比表示的数量关系，不仅有理解题意的作用，而且这种做法本身就是在进行解题方案的设计。G 波利亚认为，改变已知数据或未知量，以及将两者同时改变，从而使新的已知数据和未知量彼此更加接近的做法就是在拟订解题方案。我们可以这样认为，小学数学解题的过程是一个填补已知条件与所求问题之间空隙的过程，而系，不仅有理解题意的作用，而且这种填补从一定程度上可以被视为已知条件、所求问题或两者兼而有之的持续的等价变换行为。
另一方面，比在揭示数量关系、促进问题解决上的优势在简单的问题中不太明显，在较为复杂的问题中则体现得更为充分。即当问题中的数量不止两个时，倍数、分数和百分数表示的条件句都是以某一个数量为基准的，这个基准量可能是同一个，也可能是多个，这样就使得数量关系不能被直接看清，而用比来表示则可以避免这一问题。例如上述的修路问题，用比的方式表示数量关系为：全程：第一周修的：第二周修的=25:4:6，这样就非常直观、明了。学生据此更容易找到正确的解题思路。因此将倍数、分数、百分数、十分数（折数或成数）等表示的条件句转化为等价的用比表不的条件句，有利于学生理清数量关系，成功解答同题。
通过以上加强训练，既能突出分数应用题的特点，又能把握小学各种数量关系的联系，就可以使分数应用题解答变得具有操作性，有途径可走，小学生解决问题的能力就会逐步提高。
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