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专题7直线与圆的位置关系
知识点1 直线与圆的位置关系
1.直线与圆的三种位置关系
位置关系 交点个数
相交 有两个公共点
相切 只有一个公共点
相离 没有公共点
2.直线Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关系及判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 两个 一个 零个
判定方法 几何法：设圆心到直线的距离d＝ d＜r d＝r d＞r
代数法：由 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0
例题1.已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2－4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线：
(1)有两个公共点；(2)只有一个公共点；(3)没有公共点．
【解析】将直线mx－y－m－1＝0代入圆的方程化简整理得，
(1＋m2)x2－2(m2＋2m＋2)x＋m2＋4m＋4＝0.
∵Δ＝4m(3m＋4)，
∴(1)当Δ>0时，即m>0或m<－时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
(2)当Δ＝0时，即m＝0或m＝－时，直线与圆相切，
即直线与圆只有一个公共点；
(3)当Δ<0时，即－即直线与圆没有公共点．
知识点二 直线与圆相切问题
圆的切线方程的求法
(1)点在圆上时
求过圆上一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系得切线的斜率为－，由点斜式可得切线方程．如果斜率为零或不存在，则由图形可直接得切线方程y＝y0或x＝x0.
(2)点在圆外时
①几何法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)．由圆心到直线的距离等于半径，可求得k，也就得切线方程．
②代数法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，与圆的方程联立，消去y后得到关于x的一元二次方程，由Δ＝0求出k，可得切线方程．
例题2：（1）过点A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的切线，求此切线方程．
【解析】　因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，
所以点A在圆外，故切线有两条．
①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k，
则切线方程为y＋3＝k(x－4)，即kx－y－4k－3＝0.
设圆心为C，
因为圆心C(3,1)到切线的距离等于半径1，
所以＝1，即|k＋4|＝，
所以k2＋8k＋16＝k2＋1，解得k＝－.
所以切线方程为－x－y＋－3＝0，
即15x＋8y－36＝0.
②若直线斜率不存在，
圆心C(3,1)到直线x＝4的距离为1，
这时直线x＝4与圆相切，所以另一条切线方程为x＝4.
综上，所求切线方程为15x＋8y－36＝0或x＝4.
（2）已知圆．
求该圆的圆心坐标；过点做该圆的切线，求切线的方程．
【答案】（1）圆心的坐标为；（2）切线的方程为．
【详解】根据题意，圆，其标准方程为，
则其圆心的坐标为；
根据题意，圆的方程为，
而点恰好在圆上，
又由，则切线的斜率，
则切线的方程为．
（3）过点可以向圆引两条切线，则的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【详解】因为表示圆，
所以，解得：，
若过点可以向圆引两条切线，
则点在圆外，
所以，解得，
所以的范围是，
故选：C.
举一反三：
【变式1】自点A（－1，4）作圆(x－2)2+(y－3)2=1的切线，则切线长为（ ）．
B．3 C． D．5
【答案】B 【解析】 圆心C（2，3），，∴切线长．
【变式2】直线与圆相切，则实数等于（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】C
【变式3】在平面直角坐标系中，动圆与直线相切，则面积最大的圆的标准方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B【详解】根据题意，直线，恒过定点，
动圆，其圆心为，半径为，
若圆的面积最大，即圆心到直线的距离最大，且其最大值，
即圆的面积最大时，圆的半径，
此时圆的方程为：，故选：B．
【变式4】已知圆C与直线x－y=0及x－y－4=0都相切，圆心在直线x+y=0上，则圆C的方程为（ ）．
A．(x+1)2+(y－1)2=2 B．(x－1)2+(y+1)2=2
C．(x－1)2+(y－1)2=2 D．(x+1)2+(y+1)2=2
【答案】B 【解析】因为两条切线x―y=0与x―y―4=0平行，故它们之间的距离即为圆的直径，故，所以．设圆心坐标为P（a，―a），则点P到两条切线的距离都等于半径，故，，解得a=1，故圆心为（1，―1），所以圆的标准方程为(x―1)2+(y+1)2=2
知识点三 直线与圆相交问题
求弦长常用的三种方法
(1)利用圆的半径r，圆心到直线的距离d，弦长l之间的关系＋d2＝r2解题．
(2)利用交点坐标，若直线与圆的交点坐标易求出，求出交点坐标后，直接用两点间距离公式计算弦长．
(3)利用弦长公式，设直线l：y＝kx＋b，与圆的两交点(x1，y1)，(x2，y2)，将直线方程代入圆的方程，消元后利用根与系数的关系得弦长l＝|x1－x2|＝.
例题3 .（1）求直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长|AB|.
【解析】联立直线l与圆C的方程，得解得所以交点为A(1,3)，B(2,0)．故直线l：3x＋y－6＝0被圆C：x2＋y2－2y－4＝0截得的弦长|AB|＝＝.
（2）过原点的直线与圆x2+y2－2x－4y+4=0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为________．
【答案】2x―y=0 【解析】设所求直线方程为y=kx，故圆心到直线距离等于，即圆心位于直线kx―y=0上，于是有k―2=0，即k=2，因此所求直线方程为2x―y=0．
（3）已知圆的方程为x2+y2－6x－8y=0．设该圆过点（3，5）的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B 【解析】圆心坐标是（3，4），半径是5，圆心到点（3，5）的距离为1，根据题意最短弦BD和最长弦（即圆的直径）AC垂直，故最短弦的长为，所以四边形ABCD的面积为 ．
（4）直线y=kx+1与圆x2+y2+kx+my－4=0交于M，N两点，且M，N关于直线x+2y=0对称，则k+m=（ ）
A．－1 B．1 C．0 D．2
【答案】B【解析】由题可知：直线x+2y=0是线段MN的中垂线，得，解之得k=2，
所以圆方程为x2+y2+2x+mh－4=0，圆心坐标为，
将代入x+2y=0，解得m=－1，得k+m=1．
（5）已知，则直线过定点__________；若直线与圆恒有公共点，则半径r的取值范围是__________.
【答案】
举一反三：
【变式1】直线：截圆：所得的弦长是（ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】C【详解】
由可得，所以其圆心为，半径为2
所以圆心到直线：的距离为
所以弦长为故选：C
【变式2】已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数（ ）
A．-2 B．-4 C．-6 D．-8
【答案】B【详解】由题意：圆心，，
设圆心到直线的距离为，
∴，
∵，∴，∴．
【变式3】已知点A（－2，0），B（0，2），点C是圆x2+y2－2x=0上任意一点，则△ABC面积的最大值是（ ）．
A．6 B．8 C． D．
【答案】D 【解析】直线AB的方程是，，则当△ABC面积取最大值时，边AB上的高即点C到直线AB的距离d取最大值．又圆心M（1，0），半径r=1，点M到直线的距离是，d的最大值是，△ABC面积的最大值是
【变式4】过点(－4,0)作直线l与圆x2＋y2＋2x－4y－20＝0交于A，B两点，如果|AB|＝8，求直线l的方程．
【解析】将圆的方程配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝25，
由圆的性质可得，圆心到直线l的距离d＝＝3.
①当直线l的斜率不存在时，x＝－4满足题意；
②当直线l的斜率存在时，设l的方程为y＝k(x＋4)，即kx－y＋4k＝0.
由点到直线的距离公式，得3＝，
解得k＝－，所以直线l的方程为5x＋12y＋20＝0.
综上所述，直线l的方程为x＋4＝0或5x＋12y＋20＝0.
【变式5】已知圆的方程为．
（1）求过点且与圆相切的直线的方程；
（2）直线过点，且与圆交于、两点，若，求直线的方程；
【答案】(1)或 （2）或
【解析】【详解】
（1）当斜率不存在时，直线方程为，与圆相切，满足题意；
当斜率存在时，设直线方程为：，即
圆圆心坐标为，半径
圆心到直线的距离，解得：
直线方程为，即
综上所述：过点且与圆相切的直线的方程为：或
（2）由（1）知，直线斜率存在，可设其方程为
设圆心到直线距离为
即，解得：或
直线的方程为或，即或
【变式6】已知圆C的圆心为(1，1)，直线与圆C相切.
（1）求圆C的标准方程；
（2）若直线过点(2，3)，且被圆C所截得的弦长为2，求直线的方程.
【答案】（1）；（2）或．
【详解】（1）圆心到直线的距离．
直线与圆相切，．
圆的标准方程为：．
（2）①当直线的斜率存在时，设直线的方程：，
即：，，又，．
解得：．
直线的方程为：．
②当的斜率不存在时，，代入圆的方程可得：，解得，可得弦长，满足条件．
综上所述的方程为：或．
例题5（1）已知点P（x，y）在圆x2+y2－6x－6y+14=0上．
（1）求的最大值和最小值；（2）求x2+y2+2x+3的最大值与最小值；
（3）求x+y的最大值与最小值．
【解析】方程x2+y2―6x―6y+14=0，变形为(x―3)2+(y―3)2=4．
（1）表示圆上的点P与原点连线的斜率，显然PO与圆相切时，斜率最大或最小．
设切线方程为y=kx，即kx―y=0，由圆心C（3，3）到切线的距离等于半径长2，可得，解得，所以，的最大值为，最小值为．
（2）x2+y2+2x+3=(x+1)2+y2+2，它表示圆上的点P到E（―1，0）的距离的平方再加2，
所以，当点P与点E的距离最大或最小时，所求式子就取最大值或最小值，
显然点P与点E距离的最大值为|CE|+2，点P与点E距离的最小值为|CE|―2，
又，所以x2+y2+2x+3的最大值为(5+2)2+2=51，最小值为(5―2)2+2=11．
（3）设x+y=b，则b表示动直线y=―x+b与圆(x―3)2+(y―3)2=4相切时，b取最大值或最小值．
圆心C（3，3）到切线x+y=b的距离等于圆的半径长2，
则，即，解得，
所以x+y的最大值为，最小值为．
（2） 已知直线：与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【详解】
画出如下图像：
当直线过点时,,此时直线与曲线有两个公共点;
直线与曲线相切时,,因此当时，直线与
曲线有两个公共点.故选B
举一反三：
【变式1】已知点在圆上，则的最大值是__________．
【答案】【详解】
令，则，表示直线在轴上的截距，
所以的最大值是直线在轴上截距的最大值，
此时直线与圆相切，
则圆心到直线的距离等于半径，即，
解得.
【变式2】（多选）实数，满足，则下列关于的判断正确的是（ ）
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最大值为 D．的最小值为
【答案】CD【详解】
由题意可得方程为圆心是，半径为1的圆，
则为圆上的点与定点的斜率的值，
设过点的直线为，即，
则圆心到到直线的距离，即，整理可得，解得，
所以，即的最大值为，最小值为.
故选：CD.
【变式3】若直线与曲线没有公共点，则实数的取值范围是____________．
【答案】；【详解】
由可得，
所以曲线为以为圆心，的下半圆，
【变式4】已知实数、满足方程．求：的取值范围为_______；的最小值为________ ；的取值范围为__________.
【答案】
【详解】圆的标准方程为，圆心为，半径为.
设，可得，则直线与圆有公共点，
则，解得，则的取值范围为；
设，可得，则直线与圆有公共点，
则，解得，则的最小值为；
设，由于，则原点在圆外，
因为圆与圆有公共点，圆心距为，
故，解得，故.
即的取值范围为.
故答案为：；；.
例题6（1）设圆C：，直线l：y=x+b．若圆C上恰有4个点到直线l的距离等于1，则b的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【解析】由圆C的方程：，可得圆C的圆心为原点O（0，0），半径为2
若圆C上恰有4个点到直线l的距离等于1，则O到直线l：y=x+b的距离d小于1
（2）已知P为圆上任意一点，A，B为直线上的两个动点，且，则面积的最大值是___________．
【答案】3【详解】
解：根据圆的方程，圆心到直线的距离，
所以圆上的点到直线的最大距离，
此时最大面积．故答案为：．
（3）已知点A（―3，0），B（0，3），若点P在圆上运动，则△PAB面积的最小值为________．
【答案】
【解析】圆的标准方程为，圆心C（1，0），半径r=1，
当过P的直线和AB平行时，△PAB的面积最小，
∵A（－3，0），B（0，3），∴AB的方程为，即x－y+3=0，
此时圆心C到直线AB的距离，
则△PAB的边长，
AB边上的高，
则△PAB面积，故答案为：
举一反三：
【变式1】若圆上恰有3个点到直线的距离为2，则的值为___________
【答案】2或【详解】
圆的半径为，且圆上恰有个点到直线的距离为，
所以圆心到直线的距离为，
所以或.
故答案为：2或
【变式2】过点的直线l与圆的圆心的距离为d，则d的取值范围为_______．
【答案】【详解】
圆的圆心坐标为，半径为2，点在圆外，
当直线l经过圆心时，d最小，
当直线l垂直于点A与圆心的连线时，d最大，
∴d的最小值为0，最大值为，故．
故答案为：
【变式3】直线被圆C：所截得的最短弦长为______．
【答案】4【详解】由题意，圆，可得圆心，半径，
则圆心到直线的距离为，
可得截得弦长为，
当时，弦长取得最小值，最小值为.故答案为：.
【变式4】过点与圆相交的所有直线中，被圆截得的弦最长时的直线方程是___________.
【答案】【详解】
由可得，所以圆心为，
由圆的性质可知圆的所有弦中直径最长，
所以所求直线过点且过圆心，
所求直线的斜率为，
根据斜截式方程可得：，即，
故答案为：.

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