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专题八 幂函数及图像性质
一、幂函数--定义、一般形式
【知识点】
定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中底数是自变量，为常数。
一般形式：。
例题1（1）如果函数是关于的幂函数，那么的值为　　．
答案：1或2
解析：由幂函数自变量的系数为1可得的值1或2，经检验两个值都成立。
(2) 若幂函数满足，则　 　．
答案：
解析：设，则，
举一反三：
【变式1】幂函数的图像经过点，若满足，则　 　．
答案：
解析：由幂函数图像经过点可得，，。
【变式2】已知幂函数的图象过点，则___________.
【答案】【详解】
因为是幂函数，所以，，又的图象过点，
所以，解得，所以.故答案为：.
二、幂函数---常见幂函数图像
【知识点】
1. 幂函数的图像
当分别为时，函数在同一坐标系中的图像如下图：
幂函数的性质
所有的幂函数在都有定义，并且图像都过点；
如果，则幂函数的图像经过原点，在区间上是增函数，注意增长速度的快慢；
如果，则幂函数的图像不经过原点，在区间上是减函数；
对于形如的幂函数，当为偶数时，为偶函数；当都为奇数时，为奇函数；为偶数时，为非奇非偶函数，并且图像只在第一象限或者第一象限及原点处。
例题2．(1)函数的图像是（ ）．
答案：A 解析：为偶函数，因为指数大于1，图像关于轴对称与的图像类似。
(2)已知幂函数在第一象限内的图像如图所示，且分别取，则相应曲线的值依次为　 　．
答案：
(3).如图所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（ ）
A．①，②，③，④ B．①，②，③，④
C．①，②，③，④ D．①，②，③，④
【答案】B【详解】
对于图①，函数图象关于原点对称，为奇函数，且在上递增，故只有符合；
对于图②，函数图象关于轴对称，为偶函数，且在上递增，故只有符合；
对于图③，函数的定义域为，且为增函数，故符合；
对于图④，函数的定义域为，且为奇函数，并且在上递减，故符合.
(4)已知幂函数（m，，m，n互质），下列关于的结论正确的是（ ）
A．m，n是奇数时，幂函数是奇函数
B．m是偶数，n是奇数时，幂函数是偶函数
C．m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数
D．时，幂函数在上是减函数
【答案】AC【详解】
，
当m，n是奇数时，幂函数是奇函数，故A中的结论正确；
当m是偶数，n是奇数，幂函数/在时无意义，故B中的结论错误
当m是奇数，n是偶数时，幂函数是偶函数，故C中的结论正确；
时，幂函数在上是增函数，故D中的结论错误；
(5)若幂函数（且互素）的图象如下图所示，则下列说法中正确的是（ ）
A．0< B．m是偶数，n是奇数
C．m是偶数，n是奇数，且 D．m、n是偶数，且
【答案】ABC
【详解】图象在右侧上升但上升幅度比小，，A正确；
图象关于轴对称，函数为偶函数，是偶数，是奇数，B正确；
则C也正确，D错误．
故选：ABC．
(6)设幂函数的图象过点，则：①的定义域为；②是奇函数；③是减函数；④当时，
其中正确的有_________．
【答案】②④【详解】
设，因为函数的图象过点，所以，解得，
根据幂函数的图象，可知①不正确，②正确，③说法有误，应该是在上是减函数，在上是减函数，但在整个定义域上不是减函数；
对于④，设点，，点为线段的中点，点，由图可知，点在点的下方，所以．
故答案为②④．
举一反三：【变式1】 幂函数的图像过点，则函数图像是（ ）
A. B.
C. D.
答案：D解析：先求出函数解析式，。
【变式2】函数的图像是（ ）
A. B.
C. D.
答案：C函数定义域为，排除A,B；因为大于1，函数为下凸型递增抛物线，参考的图像。
【变式3】如图是函数的图像，则下列结论正确的是（ ）
A. 是奇数，且 B. 是偶数，是奇数，且
C. 是偶数，是奇数，且 D. 是奇数，是偶数，且
答案：C
解析：图像关于轴对称，为偶数，排除A,D；图像为上凸型递增抛物线，参考的图像，指数小于1。
【变式4】直线，，及幂函数将直角坐标系第一象限分为8个部分（如图所示），那么幂函数的图像在第一象限中经过（ ）
A．③⑦ B．③⑧ C．④⑦ D．①⑤
【答案】D
【详解】在直线的左侧，幂函数的指数越大越接近于轴，，
在的左侧位于左侧，故经过⑤，在直线的右侧，幂函数的指数越小越接近于轴，
在的右侧位于上方的下方，故经过①.故选：D.
【变式5】已知幂函数在第一象限内的图象如图所示．若则与曲线，，，对应的的值依次为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【详解】
由幂函数的图象与性质，在第一象限内，在的右侧部分的图象，图象由下至上，幂指数依次增大，曲线，，，对应的的值依次为：
故选：C.
【变式6】已知幂函数的部分图象如图，则点所在象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C【详解】
根据幂函数的部分图象，可得a为正偶数，；b为奇数且，
∴，且，故点在第三象限，故选：C.
三、幂函数—幂函数参数问题
【知识点】
需要掌握五种常见幂函数的定义域、单调性和奇偶性，如下表所示：
函数性质
定义域
值域
奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增 增 增
例题3(1) 若，则实数的取值范围是　 　．
答案：
解析：易知的定义域为，在定义域内是增函数，所以 ，解得。
(2)若不等式成立，求的取值范围。
答案：
解析：原不等式可以转化为，是增函数，故，求出结果即可。
答案：1
(3)幂函数与在上都是增函数，则满足条件的（ ）
A. 0 B. 1或2 C. 2 D. 0或3
答案：C
解析：由幂函数性质易得
(4)在函数①；②；③；④；⑤；⑥中定义域与值域相等的有_________个.
【答案】3【详解】
①的定义域为，值域为.
②的定义域为，值域为.
③的定义域为，值域为.
④的定义域为，值域为.
⑤的定义域为，值域为.
⑥的定义域为，值域为.
故定义域与值域相等的有①, ②和⑤
故答案为：3
举一反三：
【变式1】已知幂函数，若，则的取值范围是　 　．
答案：
解析：函数的定义域是，且单调递减，所以 ，解得 。
【变式2】求下列函数的定义域和值域：
（1）函数的定义域是_____，值域是_____；
（2）函数的定义域是_____，值域是_____；
（3）函数的定义域是_____，值域是_____；
（4）函数的定义域是_____，值域是_____.
【答案】R. . . . . . . .
【详解】（1）的定义域为，值域为.
（2）的定义域为，值域为.
（3）的定义域为，值域为.（4）的定义域为，值域为
(3)已知幂函数为偶函数，则（ ）
A. 1 B. 2 C. 1或2 D. 3
答案：A
【变式4】若幂函数在上是减函数，则的值可能是（ ）
A. 1 B. 2 C. D. -1
答案：D
【变式5】已知函数是幂函数，且在上是增函数，则实数　 　．
答案：3
四幂函数比较大小问题
例题4(1)若且，则与的大小关系是_________．
【答案】【详解】因为。所以。由因为函数，在上单调递减，所以。故答案为：
（2）已知实数a，b满足等式a＝b，下列五个关系式：①0【答案】①③⑤【详解】
、时，没意义，②④不可能成立；’画出与的图象(如图)，
已知，作直线，若或1，则，⑤能成立；若，则，①能成立；若，则，③能成立，所以可能成立的式子有①③⑤，故答案为①③⑤.
（3）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D【详解】根据函数单调递减知：；
根据函数单调递增知：，故.
举一反三：【变式1】已知，若，则下列各式中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C【详解】因为函数在上是增函数，又，故，故选：C.
【变式2】设，，，则、、的大小关系为
A． B． C． D．
【答案】B【详解】由题意得：，，
在上是增函数且本题正确选项：
【变式3】已知实数a，b满足等式，给出下列五个关系式：①；②；③；④；⑤，其中，可能成立的关系式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．5个
【答案】C【详解】在同一坐标系中画出函数和的图像，如图所示：
数形结合可知，在（1）处；在（2）处；在（3）处；
在（4）处；在或也满足，故①②⑤对
例题5(1)已知幂函数在上是增函数，函数,当时，记的值域分别为集合，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：由已知条件求得。当时，；。由得 ，即。
(2) 已知幂函数的图像过点，函数是偶函数，且当时，。
求的解析式；
解不等式：。
答案：（1）， ；（2）
解析：（1）由幂函数定义可得；当时，，，又因为是偶函数，所以。
利用单调性和奇偶性很容易得到不等式的解集为。
举一反三：
【变式1】已知幂函数（）在是严格减函数，且为偶函数.
（1）求的解析式；
（2）讨论函数的奇偶性，并说明理由.
【答案】（1）；（2）当时，为偶函数；当时，为奇函数；当且时，为非奇非偶函数.理由见解析.
【详解】（1）因为幂函数（）在是严格减函数，
所以，即 ，解得：，
因为，所以，
当时，，此时为奇函数，不符合题意；
当时，，此时为偶函数，符合题意；
当时，，此时为奇函数，不符合题意；
所以
（2），
令
当时，，，此时是奇函数，
当时，，此时是偶函数，
当且时，，，
，，此时是非奇非偶函数函数.
【变式2】已知幂函数，满足
（1）求函数的解析式．
（2）若函数，是否存在实数m使得的最小值为0？
（3）若函数，是否存在实数，使函数在上的值域为？若存在，求出实数n的取值范围；若不存在，说明理由．
【答案】（1）；（2）存在，；（3）存在，.
【详解】（1）因为是幂函数，
所以，即，解得或.
当时，，在为减函数，不满足.
当时，，在为增函数，满足.
所以；
（2），
令，因为，所以，
则令，，开口向上，对称轴为.
①当，即时，函数在为增函数，
，解得；
②当，即时，，
解得，不符合题意，舍去；
当，即时，函数在为减函数，，解得，不符合题意，舍去.
综上所述：存在，使得的最小值为；
（3），易见在定义域范围内为减函数，
若存在实数，使函数在上的值域为，
则，
②①得：，
所以，而，
则③.
将③代入②得：.
令，由，知，得，即.
所以，在区间单调递减，
所以，
故存在实数，使函数在上的值域为，实数的取值范 2 / 2

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