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第二十一讲 平面向量
一、自我诊断 知己知彼
1．(多选)下列命题中，不正确的是(　　)
A.若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B.若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b
C.若λa＝0(λ为实数)，则λ必为零
D.已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线
【答案】　ABCD
【解析】　A错误，如在 ABCD中，＝，但是这两个向量的起点和终点分别不重合；B错误，模相等的两个向量，方向关系不确定；C错误，若λa＝0(λ为实数)，则λ＝0或a＝0；D错误，当λ＝μ＝0时，λa＝μb＝0，但a与b不一定共线．故选ABCD.
2．已知a，b是不共线的向量，＝a＋b，＝a＋b(λ，μ∈R)，那么A，B，C三点共线的充要条件是(　　)
A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1 C．＝－1 D．＝1
【答案】　D
【解析】　由＝a＋b，＝a＋b(λ，μ∈R)及A，B，C三点共线得＝t，
所以a＋b＝t(a＋b)＝ta＋tb，即可得所以＝1，故选D.
3．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为，则|a＋b|＝(　　)
A．1 B. C. D．2
【答案】 C
【解析】 由题意可得|a|＝|b|＝1，又它们的夹角为，
所以|a＋b|2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝1＋1＋2×1×1×cos＝3，故|a＋b|＝，故选C.
4．已知向量a，b满足a·(a－b)＝2，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为(　　)
A. B. C. D.
【答案】 D
【解析】 由a·(a－b)＝2，得a2－a·b＝2，即|a|2－|a||b|cos〈a，b〉＝1－2cos〈a，b〉＝2.
所以cos〈a，b〉＝－，所以〈a，b〉＝，故选D.
5.已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
【答案】　C
【解析】　由原等式，得－＝λ(＋)，即＝λ(＋)，根据平行四边形法则，知＋是△ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量的2倍，所以点P的轨迹必过△ABC的重心．
二、温故知新 夯实基础
1.平面向量的概念及线性运算
1.1．向量的有关概念
名称 定义 备注
向量 既有大小，又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量
零向量 长度为0的向量；其方向是任意的 记作
单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a的单位向量为±
平行向量 方向相同或相反的非零向量 与任一向量平行或共线
共线向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量
相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量 长度相等且方向相反的向量 的相反向量为
1.2.向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 (1)交换律： a＋b＝b＋a； (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|a|＝|λ||a|； (2)当λ>0时，a的方向与a的方向相同；当λ<0时，a的方向与a的方向相反；当λ＝0时，a＝0 (1)λ(a)＝()a； (2)(λ＋μ)a＝a＋a； (3)λ(a＋b)＝＋b
1.3.共线向量定理
向量a与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝a.
知识拓展：＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.
2.平面向量基本定理及坐标运算
2.1．平面向量基本定理
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
2.2．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐标的求法
若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
2.3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b0,.a、b共线 x1y2－x2y1＝0.
3.平面向量的数量积
3.1．向量的夹角
已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是：．
3.2．平面向量的数量积
定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b
投影 |a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影， |b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影
几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积
3.3.平面向量数量积的性质
设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则
(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ.(2)ab a·b＝0.
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.(4)cos θ＝.(5)|a·b|≤|a||b|.
3.4．平面向量数量积满足的运算律
(1)a·b＝b·a；(2)(a)·b＝λ(a·b)＝a·(b)(为实数)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
3.5．平面向量数量积有关性质的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到
(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离AB＝||＝.
(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则ab x1x2＋y1y2＝0.
(4)若a，b都是非零向量，θ是a与b的夹角，则cos θ＝＝.
4.平面向量的综合运用
4.1．向量在平面几何中的应用
(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：
问题类型 所用知识 公式表示
线平行、点共线等问题 共线向量定理 a∥b a＝b x1y2－x2y1＝0， 其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b ù0
垂直问题 数量积的运算性质 ab a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量
夹角问题 数量积的定义 cos θ＝(θ为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量
长度问题 数量积的定义 |a|＝＝， 其中a＝(x，y)，a为非零向量
(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：
平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题．
4.2．平面向量在物理中的应用
(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．
(2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ为F与s的夹角)．
4.3．向量与相关知识的交汇
平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)，解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题．
三、典例剖析 举一反三
考点一　平面向量的概念及线性运算
（一）典例剖析
例1 已知O，A，B，C为同一平面内的四个点，若2＋＝0，则向量等于(　　)
A.－ B．－＋ C．2－ D．－＋2
【答案】 C
【解析】 因为＝－，＝－，
所以2＋＝2(－)＋(－)＝－2＋＝0，
所以＝2－，故选C.
【易错点】 对于向量的线性计算中加减法运算公式的不清晰
【方法点拨】 向量的加减法在计算过程中要严格按照三角形法则和平行四边形法则来进行计算，对于图形中的向量计算要参照图形本身，注意向量的方向。
例2 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且＝2，则＝(　　)
A.－ B.＋
C.－ D.＋
【答案】　C
【解析】　因为＝2，所以＝，又因为＝，所以＝－，所以＝＋＝－＋＝－(＋)＋＝－.
【易错点】 不清楚三点共线的结论
【方法点拨】 平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略
(1)向量加法或减法的几何意义．向量加法和减法均适合三角形法则．
(2)求已知向量的和．一般共起点的向量求和用平行四边形法则；求差用三角形法则；求首尾相连向量的和用三角形法则．
(3)求参数问题可以通过研究向量间的关系，通过向量的运算将向量表示出来，进行比较求参数的值．
例3设向量a，b不平行，向量λ a＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____________.
【答案】　
【解析】　因为向量a，b不平行，a＋2b0，又向量λ a＋b与a＋2b平行，
则存在唯一的实数μ，使λ a＋b＝μ(a＋2b)成立，
即λ a＋b＝μ a＋2μb，则得解得λ＝μ＝.
【易错点】 用错向量共线的条件
【方法点拨】 向量a、b共线是指存在不全为零的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0成立，若λ1a＋λ2b＝0，当且仅当λ1＝λ2＝0时成立，则向量a、b不共线．
（二）举一反三
1．已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是(　　)
A．a＋b＝0 B．a＝b C．a与b共线反向 D．存在正实数λ，使a＝λb
【答案】 D
【解析】 因为a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|.则a与b共线同向，故D正确．
2．如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为AB，AD上的点，且＝，连接AC，MN交于点P，若＝，则点N在AD上的位置为(　　)
A．AD中点
B.AD上靠近点D的三等分点
C.AD上靠近点D的四等分点
D.AD上靠近点D的五等分点
【答案】　B
【解析】　设＝λ，因为＝＝(＋)＝＝＋，又M，N，P三点共线，所以＋＝1，解得λ＝，所以＝，所以点N是AD上靠近点D的三等分点.
3．在平行四边形ABCD中，M为BC的中点．若＝λ＋μ，则λ－μ＝________.
【答案】
【解析】如图，在平行四边形ABCD中，＝，所以＝＋＝＋＝＋(－)＝＋(－)＝＋－，所以＝＋，所以＝＋，所以λ＝，μ＝，所以λ－μ＝.
考点二 平面向量基本定理及坐标运算
（一）典例剖析
例1．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于(　　)
A．－a＋b B.a－b C.a－b D．－a＋b
【答案】 B
【解析】 设c＝x a＋y b，则(－1,2)＝x(1,1)＋y(1，－1)＝(x＋y，x－y)
，解得，则c＝a－b，选B.
【易错点】 不能正确使用平面向量基本定理解题
【方法点拨】 平面向量基本定理应用的实质和一般思路
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．
(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
例2．在ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4,3)，＝(1,5)，则等于(　　)
A．(－2,7) B．(－6,21) C．(2，－7) D．(6，－21)
【答案】 B
【解析】 ＝3＝3(2－)＝6－3＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)．
【易错点】 找错点P位置，导致计算错误
【方法点拨】 向量的位置关系与向量的坐标运算是考试的高频考点，一定要数量掌握计算公式。
(1) 向量的坐标与点的坐标有所不同，相等向量的坐标是相同的，但起点、终点的坐标却可以不同，以原点O为起点的向量的坐标与点A的坐标相同．
(2) 若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b的充要条件不能表示成＝，因为x2，y2有可能等于0，所以应表示为x1y2－x2y1＝0.同时，a∥b的充要条件也不能错记为：x1x2－y1y2＝0，x1y1－x2y2＝0等．
例3.　在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若＝a，＝b，则等于(　　)
A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b
【答案】　C
【解析】
＝a，＝b，
＝＋＝＋＝a＋b.
E是OD的中点，＝，DF＝AB.
＝＝(－)＝×[－－(－)]＝－＝a－b，
＝＋＝a＋b＋a－b＝a＋b，故选C.
【易错点】 用错点E、点F的位置
【方法点拨】 平面向量基本定理与线性运算的综合应用，要具体问题具体分析，数形结合
（二）举一反三
1.如图，在ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________．
【答案】　
【解析】　设＝k，kR.
因为＝＋＝＋k＝＋k(－)＝＋k(－)＝(1－k)＋，
且＝m＋，所以1－k＝m，＝，解得k＝，m＝.
2．已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)，若a－2b与c共线，则k＝________.
【答案】 1
【解析】 a－2b＝(，3)，且a－2b与c共线，×－3k＝0，解得k＝1.
3．已知在平行四边形ABCD中，＝(3,7)，＝(－2,3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】　C
【解析】　＝－＝－(＋)＝－[(－2,3)＋(3,7)]＝－(1,10)＝.
考点三 平面向量的数量积
（一）典例剖析
例1．已知向量a与b的夹角为30°，且|a|＝1，|2a－b|＝1，则|b|等于(　　)
A. B. C. D.
【答案】　C
【解析】　由题意可得a·b＝|b|cos 30°＝|b|,4a2－4a·b＋b2＝1，即4－2|b|＋b2＝1，
由此求得|b|＝， 故选C.
【易错点】 平面向量数量积公式用错
【方法点拨】 平面向量数量积求解问题的策略
(1)求两向量的夹角：cos θ＝，要注意θ∈[0，π]．
(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b a·b＝0 |a－b|＝|a＋b|.
(3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：
①a2＝a·a＝|a|2或|a|＝.②|a±b|＝＝.
③若a＝(x，y)，则|a|＝.
例2.已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.
【答案】　2
【解析】　|a＋2b|2＝|a|2＋2|a|·|2b|·cos 60°＋(2|b|)2＝22＋2×2×2×＋22＝4＋4＋4＝12，
|a＋2b|＝＝2.
【易错点】 忽略向量的模被平方之后公式的合理利用，忽略答案要开方
【方法点拨】 利用数量积求解长度问题是数量积的重要应用，要掌握此类问题的处理方法
例3.平面向量a，b满足|a|＝4，|b|＝2，a＋b在a上的投影为5，则|a－2b|的模为(　　)
A.2 B.4 C.8 D.16
【答案】　B
【解析】　|a＋b|cos〈a＋b，a〉＝|a＋b|·＝＝＝5；
a·b＝4.(a－2b)2＝a2－4a·b＋4b2＝16－16＋16＝16.|a－2b|＝4.
【易错点】 不能合理利用a＋b在a上的投影为5这个条件
【方法点拨】 投影概念：
|a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影,|b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影.
（二）举一反三
1．已知矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，则·＝(　　)
A．1 　B．－1
C. D．2
【答案】　B
【解析】　设＝a，＝b，则a·b＝0，∵|a|＝，|b|＝1，
∴·＝(a＋b)·(－b)＝－a·b－b2＝－1.
2．已知向量a，b满足a·(b＋a)＝2，且a＝(1,2)，则向量b在a方向上的投影为(　　)
A. B．－
C．－ D．－
【答案】 D
【解析】 由a＝(1,2)，可得|a|＝，由a·(b＋a)＝2，可得a·b＋a2＝2，∴a·b＝－3，
∴向量b在a方向上的投影为＝－.
3．已知平面向量a，b满足a·(a＋b)＝3，且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与b夹角的正弦值为(　　)
A．－ B．－ C. D.
【答案】 D
【解析】　a·(a＋b)＝a2＋a·b＝22＋2×1×cos〈a，b〉＝4＋2cos〈a，b〉＝3，
cos〈a，b〉＝－，又〈a，b〉[0，]，sin〈a，b〉＝＝.
4. 如图，在ABC中，若|＋|＝|－|，AB＝2，AC＝1，E，F为BC边的三等分点，则·等于(　　)
A. B. C. D.
【答案】　B
【解析】　若|＋|＝|－|，则2＋2＋2·＝2＋2－2·，即有·＝0.E，F为BC边的三等分点，则·＝(＋)·(＋)＝·＝·＝2＋2＋·＝×(1＋4)＋0＝.故选B.
5．若O为ABC所在平面内任一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则ABC的形状为(　　)
A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
【答案】　C
【解析】　因为(－)·(＋－2)＝0，即·(＋)＝0，因为－＝，
所以(－)·(＋)＝0，即||＝||，所以△ABC是等腰三角形，故选C.
考点四 平面向量的综合运用
（一）典例剖析
例1．已知点A(－2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足·＝x2，则点P的轨迹是(　　)
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
【答案】　D
【解析】　＝(－2－x，－y)，＝(3－x，－y)，
·＝(－2－x)(3－x)＋y2＝x2， y2＝x＋6，即点P的轨迹是抛物线．
【易错点】 对于题目理解的不透彻，导致建立不出向量数量积模型
【方法点拨】 准确转化数量积计算的相关向量
例2．设ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C等于(　　)
A. B. C. D.
【答案】　C
【解析】　依题意得sin A cos B＋cos A sin B＝1＋cos(A＋B)，
sin(A＋B)＝1＋cos(A＋B)，sin C＋cos C＝1,2sin(C＋)＝1，
sin(C＋)＝.又【易错点】 忽略角C的范围
【方法点拨】 已知a与b为不共线向量，且a与b的夹角为θ，则
①a·b>0 0°<θ<90°；
②a·b＝0 θ＝90°；
③a·b<0 90°<θ<180°.
特别的：1、在利用两向量的夹角公式判断夹角的取值范围时，要注意两向量是否共线．
2、与三角函数相结合考查向量的数量积的坐标运算及其应用是高考热点题型．解答此类问题，除了要熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、向量模、夹角的坐标运算公式外，还应掌握三角恒等变换的相关知识．
（二）举一反三
1.在平行四边形ABCD中，||＝12，||＝8.若点M，N满足＝3，＝2，则·＝(　　)
A．20　　　　　　　 　B．15
C．36 D．6
【答案】 C
【解析】　法一：由＝3，＝2知，点M是BC的一个四等分点，且BM＝BC，点N是DC的一个三等分点，且DN＝DC，所以＝＋＝＋，＝＋＝＋，所以＝－＝＋－＝－ ，所以·＝·＝·＝ ＝＝36，故选C.
法二：不妨设∠DAB为直角，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系．则M(12,6)，N(8,8)，所以＝(12,6)，＝(4，－2)，所以·＝12×4＋6×(－2)＝36，故选C.
2．平面直角坐标系x O y中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足·＝4，则点P的轨迹方程是____________．
【答案】　x＋2y－4＝0
【解析】　由·＝4，得(x，y)·(1,2)＝4，即x＋2y＝4.
3．已知在ABC中，||＝10，·＝－16，D为边BC的中点，则||等于(　　)
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】　D
【解析】　在ABC中，由余弦定理可得，AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝BC2，
又·＝||·||·cos A＝－16，所以AB2＋AC2＋32＝100，AB2＋AC2＝68.
又D为边BC的中点，所以＋＝2，两边平方得4||2＝68－32＝36，解得||＝3
四、分层训练 能力进阶
【基础】
1.设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λ n是m·n<0的(　　)
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】　A
【解析】　存在负数λ，使得m＝λ n，则m·n＝λ n·n＝λ|n|2<0，因而是充分条件，反之m·n<0，不能推出m，n方向相反，则不是必要条件.
2.若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(O－O)·(O＋O－2O)＝0，则△ABC的形状为(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．正三角形 D．等腰直角三角形
【答案】　A
【解析】　由(－)·(＋－2)＝0，得·(＋)＝0，∵－＝，
∴(－)·(＋)＝0，即||＝||，∴△ABC是等腰三角形．
3．(2020·南充摸底)原点O是△ABC内一点，顶点A在x轴上，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，||＝2，||＝1，||＝3，若＝λ＋μ，则＝(　　)
A．－ B. C．－ D.
【答案】　D
【解析】　建立如图所示的平面直角坐标系，则A(2，0)，B，C，
因为＝λ＋μ，
由向量相等的坐标表示可得解得即＝.
【巩固】
1．已知向量，和在正方形网格中的位置如图所示，若＝λ＋μ，则λ μ＝________.
【答案】 －3
【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系x A y，则＝(2，－2)，＝(1,2)，＝(1,0)，由题意可知(2，－2)＝λ(1,2)＋μ(1,0)，即解得所以λ μ＝－3.
2．ABC外接圆圆心为O，半径为1,2＝＋，且||＝||，则向量在向量方向的投影为(　　)
A. B. C．－ D．－
【答案】 A
【解析】 因为2＝＋,所以2＝－＋－，所以＝－，
所以O，B，C三点共线，即ABAC.
又因为||＝||＝1，所以||＝2，所以·＝·(－)＝1，
故向量在向量上的投影为，选A.
3．如图，已知点P是边长为2的正三角形ABC的边BC上的动点，则·(＋)(　　)
A．最大值为8 B．为定值6 C．最小值为2 D．与P的位置有关
【答案】 B
【解析】 设BC的中点为D，连接AD，，的夹角为θ，
则有·(＋)＝2·＝2||·(||cosθ)＝2||2＝6.
4.在ABC中，已知向量与满足(＋)·＝0，且·＝，则ABC为(　　)
A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．三边均不相等的三角形
【答案】　A　
【解析】 ，分别为平行于，的单位向量，
由平行四边形法则可知＋为BAC的平分线．
因为(＋)·＝0，所以BAC的平分线垂直于BC，所以AB＝AC.
又·＝··cosBAC＝，所以cosBAC＝，
又0【拔高】
1．设A，B，C是半径为1的圆O上的三点，且⊥，则(－)·(－)的最大值是(　　)
A．1＋ 　B．1－
C.－1 D．1
【答案】 A
【解析】 　如图，作出，使得＋＝，则(－)·(－)＝2－·－·＋·＝1－(＋)·＝1－·，由图可知，当点C在OD的反向延长线与圆O的交点处时，·取得最小值，最小值为－，此时(－)·(－)取得最大值，最大值为1＋，故选A.
2．在△ABC中，BC＝5，G，O分别为△ABC的重心和外心，且·＝5，则△ABC的形状是(　　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．上述三种情况都有可能
【答案】 B
【解析】 　如图，在△ABC中，G，O分别为△ABC的重心和外心，取BC的中点D，连接AD，OD，OG，则OD⊥BC，GD＝AD，结合＝＋，＝(＋)，·＝5，得(＋)·＝·＝－(＋)·＝5，即－(＋)·(－)＝5，∴2－2＝－30.又BC＝5，则||2＝||2＋||2>||2＋||2，结合余弦定理有cos C<0，∴3．已知向量a＝(cos x，－1)，b＝，函数f(x)＝(a＋b)·a－2.
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知函数f(x)的图象经过点，b，a，c成等差数列，且·＝9，求a的值．
【答案】(1) T＝π，单调递增区间为(k∈Z)．(2)
【解析】 (1)∵f(x)＝(a＋b)·a－2＝|a|2＋a·b－2＝cos2x＋1＋sin xcos x＋－2
＝(cos 2x＋1)＋1＋sin 2x－＝cos 2x＋sin 2x＝sin，
∴f(x)的最小正周期T＝＝π.
由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
∴f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)由f(A)＝sin＝，得2A＋＝＋2kπ或2A＋＝＋2kπ(k∈Z)，
又0∵·＝bccos A＝bc＝9，∴bc＝18.
由余弦定理得，，解得.第二十一讲 平面向量
一、自我诊断 知己知彼
1. (多选)下列命题中，不正确的是(　　)
A.若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合
B.若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b
C.若λa＝0(λ为实数)，则λ必为零
D.已知λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线
2．已知a，b是不共线的向量，＝a＋b，＝a＋b(λ，μ∈R)，那么A，B，C三点共线的充要条件是(　　)
A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1 C．＝－1 D．＝1
3．已知a，b均为单位向量，它们的夹角为，则|a＋b|＝(　　)
A．1 B. C. D．2
4．已知向量a，b满足a·(a－b)＝2，且|a|＝1，|b|＝2，则a与b的夹角为(　　)
A. B. C. D.
5.已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的(　　)
A．内心 B．外心 C．重心 D．垂心
二、温故知新 夯实基础
1.平面向量的概念及线性运算
1.1．向量的有关概念
名称 定义 备注
向量 既有大小，又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量
零向量 长度为0的向量；其方向是任意的 记作
单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a的单位向量为±
平行向量 方向相同或相反的非零向量 与任一向量平行或共线
共线向量 方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量
相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大小
相反向量 长度相等且方向相反的向量 的相反向量为
1.2.向量的线性运算
向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律
加法 求两个向量和的运算 (1)交换律： a＋b＝b＋a； (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法 求a与b的相反向量－b的和的运算 a－b＝a＋(－b)
数乘 求实数λ与向量a的积的运算 (1)|a|＝|λ||a|； (2)当λ>0时，a的方向与a的方向相同；当λ<0时，a的方向与a的方向相反；当λ＝0时，a＝0 (1)λ(a)＝()a； (2)(λ＋μ)a＝a＋a； (3)λ(a＋b)＝＋b
1.3.共线向量定理
向量a与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝a.
知识拓展：＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线，则λ＋μ＝1.
2.平面向量基本定理及坐标运算
2.1．平面向量基本定理
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1、λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.
其中，不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．
2.2．平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘及向量的模
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，
＝(λx1，λy1)，|a|＝.
(2)向量坐标的求法
若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝.
2.3．平面向量共线的坐标表示
设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b0,.a、b共线 x1y2－x2y1＝0.
3.平面向量的数量积
3.1．向量的夹角
已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是：．
3.2．平面向量的数量积
定义 设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos θ叫做a与b的数量积，记作a·b
投影 |a|cos θ叫做向量a在b方向上的投影， |b|cos θ叫做向量b在a方向上的投影
几何意义 数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积
3.3.平面向量数量积的性质
设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则
(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ.(2)ab a·b＝0.
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.
特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.(4)cos θ＝.(5)|a·b|≤|a||b|.
3.4．平面向量数量积满足的运算律
(1)a·b＝b·a；(2)(a)·b＝λ(a·b)＝a·(b)(为实数)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
3.5．平面向量数量积有关性质的坐标表示
设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到
(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离AB＝||＝.
(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则ab x1x2＋y1y2＝0.
(4)若a，b都是非零向量，θ是a与b的夹角，则cos θ＝＝.
4.平面向量的综合运用
4.1．向量在平面几何中的应用
(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：
问题类型 所用知识 公式表示
线平行、点共线等问题 共线向量定理 a∥b a＝b x1y2－x2y1＝0， 其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，b ù0
垂直问题 数量积的运算性质 ab a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a，b为非零向量
夹角问题 数量积的定义 cos θ＝(θ为向量a，b的夹角)，其中a，b为非零向量
长度问题 数量积的定义 |a|＝＝， 其中a＝(x，y)，a为非零向量
(2)用向量方法解决平面几何问题的步骤：
平面几何问题向量问题解决向量问题解决几何问题．
4.2．平面向量在物理中的应用
(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．
(2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移s的数量积，即W＝F·s＝|F||s|cos θ(θ为F与s的夹角)．
4.3．向量与相关知识的交汇
平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)，解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题．
三、典例剖析 举一反三
考点一　平面向量的概念及线性运算
（一）典例剖析
例1 已知O，A，B，C为同一平面内的四个点，若2＋＝0，则向量等于(　　)
A.－ B．－＋ C．2－ D．－＋2
例2如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且＝2，则＝(　　)
A.－ B.＋
C.－ D.＋
例3设向量a，b不平行，向量λ a＋b与a＋2b平行，则实数λ＝____________.
（二）举一反三
1．已知a，b是两个非零向量，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则下列说法正确的是(　　)
A．a＋b＝0 B．a＝b C．a与b共线反向 D．存在正实数λ，使a＝λb
2．如图，在平行四边形ABCD中，M，N分别为AB，AD上的点，且＝，连接AC，MN交于点P，若＝，则点N在AD上的位置为(　　)
A．AD中点
B.AD上靠近点D的三等分点
C.AD上靠近点D的四等分点
D.AD上靠近点D的五等分点
3．在平行四边形ABCD中，M为BC的中点．若＝λ＋μ，则λ－μ＝________.
考点二 平面向量基本定理及坐标运算
（一）典例剖析
例1．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于(　　)
A．－a＋b B.a－b C.a－b D．－a＋b
例2．在ABC中，点P在BC上，且＝2，点Q是AC的中点，若＝(4,3)，＝(1,5)，则等于(　　)
A．(－2,7) B．(－6,21) C．(2，－7) D．(6，－21)
例3.　在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，E是线段OD的中点，AE的延长线与CD交于点F.若＝a，＝b，则等于(　　)
A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b
（二）举一反三
1.如图，在ABC中，＝，P是BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为________．
2．已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)，若a－2b与c共线，则k＝________.
3．已知在平行四边形ABCD中，＝(3,7)，＝(－2,3)，对角线AC与BD交于点O，则的坐标为(　　)
A. B.
C. D.
考点三 平面向量的数量积
（一）典例剖析
例1．已知向量a与b的夹角为30°，且|a|＝1，|2a－b|＝1，则|b|等于(　　)
A. B. C. D.
例2.已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.
例3.平面向量a，b满足|a|＝4，|b|＝2，a＋b在a上的投影为5，则|a－2b|的模为(　　)
A.2 B.4 C.8 D.16
（二）举一反三
1．已知矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，则·＝(　　)
A．1 　B．－1
C. D．2
2．已知向量a，b满足a·(b＋a)＝2，且a＝(1,2)，则向量b在a方向上的投影为(　　)
A. B．－
C．－ D．－
3．已知平面向量a，b满足a·(a＋b)＝3，且|a|＝2，|b|＝1，则向量a与b夹角的正弦值为(　　)
A．－ B．－ C. D.
4. 如图，在ABC中，若|＋|＝|－|，AB＝2，AC＝1，E，F为BC边的三等分点，则·等于(　　)
A. B. C. D.
5．若O为ABC所在平面内任一点，且满足(－)·(＋－2)＝0，则ABC的形状为(　　)
A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形
考点四 平面向量的综合运用
（一）典例剖析
例1．已知点A(－2,0)，B(3,0)，动点P(x，y)满足·＝x2，则点P的轨迹是(　　)
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
例2．设ABC的三个内角为A，B，C，向量m＝(sin A，sin B)，n＝(cos B，cos A)，若m·n＝1＋cos(A＋B)，则C等于(　　)
A. B. C. D.
（二）举一反三
1.在平行四边形ABCD中，||＝12，||＝8.若点M，N满足＝3，＝2，则·＝(　　)
A．20　　　　　　　 　B．15
C．36 D．6
2．平面直角坐标系x O y中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足·＝4，则点P的轨迹方程是____________．
3．已知在ABC中，||＝10，·＝－16，D为边BC的中点，则||等于(　　)
A．6 B．5 C．4 D．3
四、分层训练 能力进阶
【基础】
1.设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λ n是m·n<0的(　　)
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
2.若O为△ABC所在平面内任一点，且满足(O－O)·(O＋O－2O)＝0，则△ABC的形状为(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．正三角形 D．等腰直角三角形
3．原点O是△ABC内一点，顶点A在x轴上，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，||＝2，||＝1，||＝3，若＝λ＋μ，则＝(　　)
A．－ B. C．－ D.
【巩固】
1．已知向量，和在正方形网格中的位置如图所示，若＝λ＋μ，则λ μ＝________.
2．ABC外接圆圆心为O，半径为1,2＝＋，且||＝||，则向量在向量方向的投影为(　　)
A. B. C．－ D．－
3．如图，已知点P是边长为2的正三角形ABC的边BC上的动点，则·(＋)(　　)
A．最大值为8 B．为定值6 C．最小值为2 D．与P的位置有关
4.在ABC中，已知向量与满足(＋)·＝0，且·＝，则ABC为(　　)
A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰非等边三角形 D．三边均不相等的三角形
【拔高】
1．设A，B，C是半径为1的圆O上的三点，且⊥，则(－)·(－)的最大值是(　　)
A．1＋ 　B．1－
C.－1 D．1
2．在△ABC中，BC＝5，G，O分别为△ABC的重心和外心，且·＝5，则△ABC的形状是(　　)
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．上述三种情况都有可能
3．已知向量a＝(cos x，－1)，b＝，函数f(x)＝(a＋b)·a－2.
(1)求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间；
(2)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知函数f(x)的图象经过点，b，a，c成等差数列，且·＝9，求a的值．

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