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第二十四讲 三角函数的图象与性质
一、自我诊断 知己知彼
1．函数y＝tan 2x的定义域是(　　)
A. B.
C. D.
【答案】　D
【解析】　由2x≠k π＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，
∴y＝tan 2x的定义域为.
2．函数f(x)＝2sin x cos x是(　　)．
A．最小正周期为2 π的奇函数 B．最小正周期为2 π的偶函数
C．最小正周期为π的奇函数 D．最小正周期为π的偶函数
【答案】　C
【解析】　f(x)＝2sin x cos x＝sin 2x. ∴f(x)是最小正周期为π的奇函数．
3．将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到y＝sin的图象，则f(x)＝(　　)
A.sin B．sin
C.sin D．sin
【答案】　B
【解析】　由题意知，先将函数y＝sin的图象上所有点的横坐标缩短到原来的，再将所得图象向右平移个单位长度即得到函数f(x)的图象，故f(x)＝sin＝sin.
4．已知函数f(x)＝A sin(ω x＋φ)的部分图象如图所示，则φ＝(　　)
A．－ B. C．－ D.
【答案】 D
【解析】由图可知A＝2，T＝4×＝π，故ω＝2，又f ＝2，所以2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，故φ＝＋2kπ，k∈Z，又|φ|<，所以φ＝.
5．已知函数f(x)＝2sin－1(ω>0)的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是(　　)
A．3　　 　B.　　 　C.　 　 　D.
【答案】 A
【解析】将f(x)的图象向右平移个单位后得到图象的函数解析式为2sin[ω(x－)＋]－1＝2sin－1，所以＝2kπ，k∈Z，所以ω＝3k，k∈Z.因为ω>0，k∈Z，所以ω的最小值为3，故选A.
二、温故知新 夯实基础
1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R {x|x∈R且x≠＋，k∈Z}
值域 [－1,1] [－1,1] R
单调性 在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递增； 在[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z) 上递减 在(k∈Z) 上递增； 在[](k∈Z) 上递减 在(－＋2kπ，+2kπ)(k∈Z)上递增；
最值 当x＝＋2kπ(k∈Z)时， y max＝1； 当x＝－＋2kπ(k∈Z)时， y min＝－1 当x＝2kπ(k∈Z)时， y max＝1； 当x＝π＋2kπ(k∈Z)时， y min＝－1
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称中心 (，0)(k∈Z) (＋，0) (k∈Z) (，0)(k∈Z)
对称轴方程 x＝＋(k∈Z) x＝(k∈Z)
周期 2π 2π π
2．y＝A sin(ω x＋φ)的有关概念
y＝A sin(ω x＋φ) (A>0，ω>0)，x∈R 振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝ f＝＝ ω x＋φ φ
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin(ω x＋φ) (A>0，ω>0)的图象的步骤如下：
三、典例剖析 举一反三
考点一　三角函数的三要素
（一）典例剖析
例1..函数f(x)＝－2tan(2x＋)的定义域是____________．
【答案】　{x|x≠＋，k∈Z}　
【解析】　由2x＋≠＋，k∈Z，得x≠＋，k∈Z，
所以f(x)的定义域为{x|x≠＋，k∈Z}．
【易错点】　忽略正切函数的定义域要求
【方法点拨】　熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的定义域要求
例2.不等式＋2cos x≥0的解集是________.
【答案】　　
【解析】　由＋2cos x≥0，得cos x≥－，
由余弦函数的图象，得在一个周期[－π，π]上，
不等式cos x≥－的解集为，
故原不等式的解集为.
【易错点】　忽略周期
【方法点拨】　
（1）结合函数图像解不等式
（2）利用单位圆解不等式
例3.函数f(x)＝sin＋cos的最大值为(　　)
A. B.1 C. D.
【答案】　A
【解析】　cos＝cos＝sin，
则f(x)＝sin＋sin＝sin，函数的最大值为.
【易错点】　忽略了利用诱导公式将角度进行合理转化
【方法点拨】　常见正弦型函数、余弦型函数、正切型函数值域：
f(x)＝A sin(ω x＋φ)，，值域
f(x)＝A cos(ω x＋φ)，，值域
f(x)＝A tan(ω x＋φ)，，值域R
例4．函数f(x)＝3sin(2x－)在区间[0，]上的值域为(　　)
A．[－，] B．[－，3] C．[－，] D．[－，3]
【答案】　B
【解析】当x∈[0，]时，2x－∈[－，]，
sin(2x－)∈[－，1]，故3sin(2x－)∈[－，3]，即f(x)的值域为[－，3]．
【易错点】　忽略x∈[0，]范围为题
【方法点拨】　对于三角函数的值域问题一定要结合函数本身的定义域来进行求解和判断，做到范围清晰，不重不漏.
（二）举一反三
1.函数y＝lg(sin x)＋ 的定义域为 　.
【答案】　
【解析】　要使函数有意义必须有
即解得
∴2kπ＜x≤＋2kπ(k∈Z)，
∴函数的定义域为.
2．函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为 (　　)．
A．2－ B．0 C．－1 D．－1－
【答案】　A
【解析】　∵0≤x≤9，∴－≤x－≤，∴－≤sin≤1，∴－≤2sin≤2.
∴函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为2－.
3．函数y＝sin2x＋sin x－1的值域为(　　)．
A． B. C. D.
【答案】　C
【解析】　(数形结合法)y＝sin2x＋sin x－1，令sin x＝t，则有y＝t2＋t－1，t∈[－1,1]，画出函数图像如图所示，从图像可以看出，当t＝－及t＝1时，函数取最值，代入y＝t2＋t－1可得y∈.
考点二 三角函数的性质
（一）典例剖析
例1．(多选)已知函数f(x)＝cos·sinx，则函数f(x)满足(　　)
A.最小正周期T＝π B.图象关于点对称
C.在区间上为减函数 D.图象关于直线x＝对称
【答案】　AD
【解析】　f(x)＝(cosx－sinx)sinx＝＝＝sin－.所以函数f(x)的最小正周期T＝＝π，故A正确；将x＝代入f(x)＝sin－，求得f＝－，此时函数f(x)取得最大值．故函数f(x)的图象关于直线x＝对称，且函数f(x)的图象不关于对称，故B不正确，D正确；令u＝2x＋，则函数f(x)改写为y＝sinu－，因为u＝2x＋在上为增函数，所以y＝sinu－在上为增函数，所以函数f(x)在上为增函数，故C不正确.
例2．若f(x)＝2sin ω x＋1 (ω>0)在区间[－，]上是增函数，则ω的取值范围是__________．
【答案】　(0，]
【解析】　方法一　由2kπ－≤ω x≤2kπ＋，k∈Z，得f(x)的增区间是[－，＋]，k∈Z.
因为f(x)在[－，]上是增函数，所以[－，] [－，]．
所以－≥－且≤，所以ω∈(0，]．
方法二　因为x∈[－，]，ω>0.所以ω x∈[－，]，
又f(x)在区间[－，]上是增函数，所以[－，] [－，]，
则又ω>0，得0<ω≤.
【易错点】　忽略[－，]时函数增区间的子区间
【方法点拨】　根据正弦函数的性质，确定函数在包含原点的增区间，给出的区间是函数增区间的子区间，从而求出字母ω的范围
例3.把函数f(x)＝2sin(x＋2φ)的图象向左平移个单位长度之后，所得图象关于直线x＝对称，且f(0)A. B. C.－ D.－
【答案】　C
【解析】　把函数f(x)＝2sin(x＋2φ)的图象向左平移个单位长度之后，
得y＝2sin＝2cos(x＋2φ)＝g(x)的图象，
根据所得图象关于直线x＝对称，可得g(0)＝g，
即2cos 2φ＝2cos＝－2sin 2φ，即tan 2φ＝－1. 又f(0)故有2sin 2φ<2sin＝2cos φ，即sin φ<，结合选项，φ＝－.
【易错点】　忽略平移之后诱导公式的运用使计算简便
【方法点拨】　图像平移是横坐标的左右平移和纵坐标的上下平移，注意方向和符号
例4．已知函数f(x)＝2sin(ω x＋φ)，对于任意x都有＝，则的值为________．
【答案】　2或－2
【解析】　∵＝， ∴x＝是函数f(x)＝2sin(ω x＋φ)的一条对称轴．∴＝±2.
【易错点】　忽略x＝是函数对称轴
【方法点拨】　熟练掌握正弦函数、余弦函数的图像和性质
例5．已知ω>0,0<φ<π，直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ω x＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝ (　　)．
A. B. C. D.
【答案】　A
【解析】　由题意可知函数f(x)的周期T＝2×＝2π，故ω＝1，
∴f(x)＝sin(x＋φ)，令x＋φ＝＋(k∈Z)，将x＝代入可得φ＝＋(k∈Z)，∵0<φ<π，∴φ＝.
【易错点】　忽略函数的周期
【方法点拨】 通过函数的对称轴求出函数的周期是常见题型，然后利用对称轴以φ及的范围求解即可
例6.如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点(，0)中心对称，那么|φ|的最小值为(　　)
A. B. C. D.
【答案】　A
【解析】　由题意得3cos(2×＋φ)＝3cos(＋φ＋2π)＝3cos(＋φ)＝0，
∴＋φ＝＋，k∈Z，
∴φ＝－，k∈Z，取k＝0，得|φ|的最小值为.
【易错点】　计算错误
【方法点拨】　利用函数的对称中心求出φ的表达式，最后确定最小值
（二）举一反三
1．下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是
A．f(x)=|cos2x| B．f(x)=|sin2x|
C．f(x)=cos|x| D．f(x)=sin|x|
【答案】A
【解析】作出因为的图象如下图1，知其不是周期函数，排除D；
因为，周期为，排除C；
作出图象如图2，由图象知，其周期为，在区间(，)单调递增，A正确；
作出的图象如图3，由图象知，其周期为，在区间(，)单调递减，排除B，
故选A．
图1
图2
图3
【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养，画出各函数图象，即可作出选择．本题也可利用二级结论：①函数的周期是函数周期的一半；②不是周期函数.
2.函数f(x)＝sin的单调减区间为________．
【答案】 ，k∈Z　
【解析】　已知函数可化为f(x)＝－sin，
欲求函数的单调减区间，只需求f(x)＝sin的单调增区间．
由2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，得－≤x≤＋，k∈Z.
故所给函数的单调减区间为．
3.已知函数f(x)＝sin＋，ω>0，x∈R，且f(α)＝－，f(β)＝.若|α－β|的最小值为，则f＝________，函数f(x)的单调递增区间为________．
【答案】　　，k∈Z
【解析】　函数f(x)＝sin＋，ω>0，x∈R，
由f(α)＝－，f(β)＝，且|α－β|的最小值为，
得＝，即T＝3π＝，所以ω＝.
所以f(x)＝sin＋.则f＝sin＋＝.
由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋3kπ≤x≤π＋3kπ，k∈Z，
即函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.
4.若函数y＝cos(ω x＋) (ω∈N*)图象的一个对称中心是(，0)，则ω的最小值为(　　)
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】　B
【解析】　由题意知π＋＝＋ (k∈Z)，∴ω＝6k＋2(k∈Z)，又ω∈N*，∴ω min＝2.
考点四 函数y＝A sin(ω x＋φ)的图像及应用
（一）典例剖析
例1．将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是(　　)
A．y＝sin(2x－) B．y＝sin(2x－)
C．y＝sin(x－) D．y＝sin(x－)
【答案】　C
【解析】y＝sin xy＝sin(x－)y＝sin(x－)．
【易错点】　图像的伸缩变换
【方法点拨】　图象变换：由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝A sin(ω x＋φ)的图象，有两种主要途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”
例2.已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象如图所示，则函数f(x)的对称中心可以为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】　D
【解析】　由图可知A＝＝2，b＝＝1，T＝2×＝π，所以ω＝2，
所以f(x)＝2sin(2x＋φ)＋1，因为点在函数f(x)的图象上．所以3＝2sin＋1，
即sin＝1.所以＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，又|φ|<，所以φ＝，故f(x)＝2sin＋1，
令2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)，当k＝0时，x＝－.
所以函数f(x)的对称中心可以为.
【易错点】　忽略φ的范围，思路不清
【方法点拨】　求y＝A sin(ω x＋φ)＋B(A>0，ω>0)解析式的步骤：
(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝.
(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝.
(3)求φ，常用方法如下：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ω x＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ω x＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ω x＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ω x＋φ＝；“第五点”为ω x＋φ＝2π.
（二）举一反三
1．已知函数是奇函数，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为．若的最小正周期为，且，则
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】∵为奇函数，∴；
又∴，
又，∴，
∴，故选C.
2.已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝，则下面结论正确的是(　　)
A. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
【答案】　D
【解析】易知C1：y＝cos x＝，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝的图象，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，可得函数y＝＝的图象，即曲线C2，因此D项正确.
3．(多选)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图，则(　　)
A．函数f(x)的对称轴方程为x＝4k＋1(k∈Z)
B.函数f(x)的递减区间为(k∈Z)
C.函数f(x)的递增区间为[8k＋1,8k＋5](k∈Z)
D.f(x)≥1的解集为(k∈Z)
【答案】　AD
【解析】　由题图知，A＝2，函数f(x)的最小正周期T＝4×(3－1)＝8，故ω＝＝，
所以f(x)＝2sin，因为点(1,2)在图象上，所以2sin＝2，因为|φ|<，
所以φ＝，即f(x)＝2sin，由x＋＝kπ＋(k∈Z)得x＝4k＋1(k∈Z)，
即函数f(x)的对称轴方程为x＝4k＋1(k∈Z)，所以A正确；由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得8k＋1≤x≤8k＋5(k∈Z)，即函数f(x)的单调减区间为[8k＋1,8k＋5](k∈Z)，所以B，C错误；
由2sin≥1，得sin≥，所以2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
解得8k－≤x≤8k＋(k∈Z)，即不等式f(x)≥1的解集为(k∈Z)，所以D正确
4.设偶函数f(x)＝A sin(ω x＋φ) (A>0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML＝90°，KL＝1，则f()的值为________．
【答案】　
【解析】由题意知，点M到x轴的距离是，根据题意可设f(x)＝cos ω x，
又由题图知·＝1，所以ω＝π，所以f(x)＝cos π x，故f()＝cos ＝.
5．若将函数f(x)＝sin(2x＋)的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是________．
【答案】　
【解析】　∵函数f(x)＝sin(2x＋)的图象向右平移φ个单位得到g(x)＝sin[2(x－φ)＋]＝sin(2x＋－2φ)，
又∵g(x)是偶函数，∴－2φ＝＋(k∈Z)，∴φ＝－－(k∈Z)．
当k＝－1时，φ取得最小正值.
四、分层训练 能力进阶
【基础】
1．函数y＝的定义域为______________．
【答案】　[2kπ＋，2kπ＋π]，k∈Z
【解析】　由2sin x－1≥0，得sin x≥，
∴2kπ＋≤x≤2kπ＋π，k∈Z
2．已知函数f(x)＝sin(ω x＋) (ω>0)的最小正周期为π，则f()等于(　　)
A．1 B. C．－1 D．－
【答案】　A
【解析】　∵T＝π，∴ω＝2，∴f()＝sin(2×＋)＝sin ＝1.
3．若函数f(x)＝－cos 2x，则f(x)的一个递增区间为(　　)
A．(－，0) B．(0，) C．(，) D．(，π)
【答案】　B
【解析】　由f(x)＝－cos 2x知递增区间为[，＋]，k∈Z，故只有B项满足．
4．关于函数y＝tan(2x－)，下列说法正确的是(　　)
A．是奇函数 B．在区间(0，)上单调递减
C．(，0)为其图象的一个对称中心 D．最小正周期为π
【答案】　C
【解析】　函数y＝tan(2x－)是非奇非偶函数，A错误；在区间(0，)上单调递增，B错误；
最小正周期为，D错误．
∵当x＝时，tan(2×－)＝0，∴(，0)为其图象的一个对称中心，故选C.
5. 若函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点对称，则|φ|的最小值为(　　)
A. B. C. D.
【答案】　A
【解析】　由题意得3cos＝3cos＝3cos＝0，∴＋φ＝kπ＋，k∈Z，
∴φ＝kπ－，k∈Z.取k＝0，得|φ|的最小值为.
6.把函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图象向左平移个单位，得到的函数图象的解析式是(　　)
A．y＝cos 2x B．y＝－sin 2x
C．y＝sin(2x－) D．y＝sin(2x＋)
【答案】　A
【解析】由y＝sin x图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，所得图象的解析式为y＝sin 2x，再向左平移个单位得y＝sin2(x＋)，即y＝cos 2x.
【巩固】
1．已知的最大值为，若存在实数，使得对任意实数总有成立，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】 B
【解析】
所以 ,选B.
2.已知函数f(x)＝sin(x＋)，其中x∈[－，a]，若f(x)的值域是[－，1]，则实数a的取值范围是________．
【答案】　[，π]
【解析】 ∵x∈[－，a]，∴x＋∈[－，a＋]，
∵x＋∈[－，]时，f(x)的值域为[－，1]，
∴由函数的图象知≤a＋≤，∴≤a≤π.
3.已知函数f(x)＝sin(ω x＋φ) (ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，则y＝f(x＋)取得最小值时x的集合为(　　)
A．{x|x＝－，k∈Z} B．{x|x＝－，k∈Z}
C．{x|x＝2kπ－，k∈Z} D．{x|x＝2kπ－，k∈Z}
【答案】　B
【解析】根据所给图象，周期T＝4×(－)＝π，故π＝，∴ω＝2，因此f(x)＝sin(2x＋φ)，另外图象经过点(，0)，代入有2×＋φ＝(k∈Z)，再由|φ|<，得φ＝－，∴f(x＋)＝sin(2x＋)，当2x＋＝－＋2kπ (k∈Z)，即x＝－＋(k∈Z)时，y＝f(x＋)取得最小值．
4. 将函数f(x)＝sin(2x＋θ)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若f(x)，g(x)的图象都经过点P，则φ的值可以是(　　)
A. B. C. D.
【答案】　B
【解析】　由题意知g(x)＝sin(2x＋θ－2φ)，由f(0)＝sinθ＝，－<θ<，知θ＝.
由g(0)＝sin(θ－2φ)＝sin＝，得－2φ＝＋2kπ(k∈Z)或－2φ＝＋2kπ(k∈Z)，
即φ＝－kπ(k∈Z)或φ＝－－kπ(k∈Z)，当k＝－1时，φ＝.故选B.
5.将函数y＝sin x的图象向左平移个单位后得到函数y＝f(x)的图象，已知函数y＝f(x)与y＝sin(2x＋φ)(0≤φ≤π)的图象有一个横坐标为的交点，则φ＝________.
【答案】　
【解析】　依题意，f(x)＝sin＝cos x.
又y＝f(x)与y＝sin(2x＋φ)的图象有一个横坐标为的交点.
∴cos＝sin，即sin＝sin，
∴＝＋φ＋2kπ，k∈Z或＋＋φ＝π＋2kπ，k∈Z，
即φ＝－－2kπ，k∈Z或φ＝＋2kπ，k∈Z，且0≤φ≤π，则φ＝.
6.已知函数f(x)＝sin(ω x＋φ)的最小正周期为4π，且 x∈R，有f(x)≤成立，则f(x)图象的一个对称中心坐标是(　　)
A. B. C. D.
【答案】　A
【解析】由f(x)＝sin(ω x＋φ)的最小正周期为4π，得ω＝.因为f(x)≤恒成立，所以f(x)max＝，即×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，
由|φ|<，得φ＝，故f(x)＝sin.
令x＋＝(k∈Z)，得x＝2kπ－(k∈Z)，
故f(x)图象的对称中心为(k∈Z)，
当k＝0时，f(x)图象的对称中心为.
【拔高】
1.已知函数f(x)＝2sinωxsin2－sin2ωx(ω>0)在区间上是增函数，且在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
【答案】　D
【解析】　f(x)＝2sinωx ·－sin2ωx＝sinωx(1＋sinωx)－sin2ωx＝sinωx.
所以区间(ω>0)是函数f(x)含原点的递增区间.
又因为函数f(x)在上单调递增，
所以 ，所以
又ω>0，所以0<ω≤.
又因为函数f(x)在区间[0，π]上恰好取得一次最大值.
由ωx＝2kπ＋，k∈Z，解得x＝＋，k∈Z.所以当x＝＋，k∈Z时f(x)取得最大值，所以0≤≤π，解得ω≥.
综上知，ω的取值范围是.
2．关于函数f(x)＝sin|x|＋|sinx|有下述四个结论：
①f(x)是偶函数；②f(x)在区间单调递增；
③f(x)在[－π，π]有4个零点；④f(x)的最大值为2.
其中所有正确结论的编号是(　　)
A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
【答案】C
【解析】　①中，f(－x)＝sin|－x|＋|sin(－x)|＝sin|x|＋|sinx|＝f(x)，
∴f(x)是偶函数，①正确．
②中，当x∈时，f(x)＝sinx＋sinx＝2sinx，函数单调递减，②错误．
③中，当x＝0时，f(x)＝0，当x∈(0，π]时，f(x)＝2sinx，令f(x)＝0，得x＝π.又f(x)是偶函数，
∴函数f(x)在[－π，π]上有3个零点，③错误．
④中，∵sin|x|≤|sinx|，∴f(x)≤2|sinx|≤2，
当x＝＋2kπ(k∈Z)或x＝－＋2kπ(k∈Z)时，
f(x)能取得最大值2，故④正确．
综上，①④正确．故选C.
3．已知函数f(x)＝asin＋a＋b.
(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若x∈[0，π]，函数f(x)的值域是[5,8]，求a，b的值．
【答案】(1) (k∈Z)．(2) ，a＝3－3，b＝5或a＝3－3，b＝8.【解析】 (1)当a＝－1时，f(x)＝－sin＋b－1，
由2kπ＋≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
得2kπ＋≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．
(2)因为0≤x≤π，所以≤x＋≤，
所以－≤sin≤1，依题意知a≠0.
①当a>0时，有
所以a＝3－3，b＝5.
②当a<0时，有
所以a＝3－3，b＝8.
综上所述，a＝3－3，b＝5或a＝3－3，b＝8.第二十四讲 三角函数的图象与性质
一、自我诊断 知己知彼
1．函数y＝tan 2x的定义域是(　　)
A. B.
C. D.
2．函数f(x)＝2sin x cos x是(　　)．
A．最小正周期为2 π的奇函数 B．最小正周期为2 π的偶函数
C．最小正周期为π的奇函数 D．最小正周期为π的偶函数
3．将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到y＝sin的图象，则f(x)＝(　　)
A.sin B．sin
C.sin D．sin
4．已知函数f(x)＝A sin(ω x＋φ)的部分图象如图所示，则φ＝(　　)
A．－ B. C．－ D.
5．已知函数f(x)＝2sin－1(ω>0)的图象向右平移个单位后与原图象重合，则ω的最小值是(　　)
A．3　　 　B.　　 　C.　 　 　D.
二、温故知新 夯实基础
1．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R {x|x∈R且x≠＋，k∈Z}
值域 [－1,1] [－1,1] R
单调性 在[－＋2kπ，＋2kπ](k∈Z)上递增； 在[＋2kπ，＋2kπ](k∈Z) 上递减 在(k∈Z) 上递增； 在[](k∈Z) 上递减 在(－＋2kπ，+2kπ)(k∈Z)上递增；
最值 当x＝＋2kπ(k∈Z)时， y max＝1； 当x＝－＋2kπ(k∈Z)时， y min＝－1 当x＝2kπ(k∈Z)时， y max＝1； 当x＝π＋2kπ(k∈Z)时， y min＝－1
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称中心 (，0)(k∈Z) (＋，0) (k∈Z) (，0)(k∈Z)
对称轴方程 x＝＋(k∈Z) x＝(k∈Z)
周期 2π 2π π
2．y＝A sin(ω x＋φ)的有关概念
y＝A sin(ω x＋φ) (A>0，ω>0)，x∈R 振幅 周期 频率 相位 初相
A T＝ f＝＝ ω x＋φ φ
3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝A sin(ω x＋φ) (A>0，ω>0)的图象的步骤如下：
三、典例剖析 举一反三
考点一　三角函数的三要素
（一）典例剖析
例1..函数f(x)＝－2tan(2x＋)的定义域是____________．
例2.不等式＋2cos x≥0的解集是________.
例3.函数f(x)＝sin＋cos的最大值为(　　)
A. B.1 C. D.
例4．函数f(x)＝3sin(2x－)在区间[0，]上的值域为(　　)
A．[－，] B．[－，3] C．[－，] D．[－，3]
（二）举一反三
1.函数y＝lg(sin x)＋ 的定义域为 　.
2．函数y＝2sin(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为 (　　)．
A．2－ B．0 C．－1 D．－1－
3．函数y＝sin2x＋sin x－1的值域为(　　)．
A． B. C. D.
考点二 三角函数的性质
（一）典例剖析
例1．(多选)已知函数f(x)＝cos·sinx，则函数f(x)满足(　　)
A.最小正周期T＝π B.图象关于点对称
C.在区间上为减函数 D.图象关于直线x＝对称
例2．若f(x)＝2sin ω x＋1 (ω>0)在区间[－，]上是增函数，则ω的取值范围是__________．
例3.把函数f(x)＝2sin(x＋2φ)的图象向左平移个单位长度之后，所得图象关于直线x＝对称，且f(0)A. B. C.－ D.－
例4．已知函数f(x)＝2sin(ω x＋φ)，对于任意x都有＝，则的值为________．
例5．已知ω>0,0<φ<π，直线x＝和x＝是函数f(x)＝sin(ω x＋φ)图象的两条相邻的对称轴，则φ＝ (　　)．
A. B. C. D.
例6.如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点(，0)中心对称，那么|φ|的最小值为(　　)
A. B. C. D.
（二）举一反三
1．下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是
A．f(x)=|cos2x| B．f(x)=|sin2x|
C．f(x)=cos|x| D．f(x)=sin|x|
2.函数f(x)＝sin的单调减区间为________．
3. 已知函数f(x)＝sin＋，ω>0，x∈R，且f(α)＝－，f(β)＝.若|α－β|的最小值为，则f＝________，函数f(x)的单调递增区间为________．
4.若函数y＝cos(ω x＋) (ω∈N*)图象的一个对称中心是(，0)，则ω的最小值为(　　)
A．1 B．2 C．4 D．8
考点四 函数y＝A sin(ω x＋φ)的图像及应用
（一）典例剖析
例1．将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是(　　)
A．y＝sin(2x－) B．y＝sin(2x－)
C．y＝sin(x－) D．y＝sin(x－)
例2.已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋b的图象如图所示，则函数f(x)的对称中心可以为(　　)
A. B.
C. D.
（二）举一反三
1．已知函数是奇函数，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为．若的最小正周期为，且，则
A． B．
C． D．
2.已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝，则下面结论正确的是(　　)
A. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B. 把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D. 把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
3．(多选)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图，则(　　)
A．函数f(x)的对称轴方程为x＝4k＋1(k∈Z)
B.函数f(x)的递减区间为(k∈Z)
C.函数f(x)的递增区间为[8k＋1,8k＋5](k∈Z)
D.f(x)≥1的解集为(k∈Z)
4.设偶函数f(x)＝A sin(ω x＋φ) (A>0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM为等腰直角三角形，∠KML＝90°，KL＝1，则f()的值为________．
5．若将函数f(x)＝sin(2x＋)的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是________．
四、分层训练 能力进阶
【基础】
1．函数y＝的定义域为______________．
2．已知函数f(x)＝sin(ω x＋) (ω>0)的最小正周期为π，则f()等于(　　)
A．1 B. C．－1 D．－
3．若函数f(x)＝－cos 2x，则f(x)的一个递增区间为(　　)
A．(－，0) B．(0，) C．(，) D．(，π)
4．关于函数y＝tan(2x－)，下列说法正确的是(　　)
A．是奇函数 B．在区间(0，)上单调递减
C．(，0)为其图象的一个对称中心 D．最小正周期为π
5. 若函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点对称，则|φ|的最小值为(　　)
A. B. C. D.
6.把函数y＝sin x的图象上所有点的横坐标缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把所得函数图象向左平移个单位，得到的函数图象的解析式是(　　)
A．y＝cos 2x B．y＝－sin 2x
C．y＝sin(2x－) D．y＝sin(2x＋)
【巩固】
1．已知的最大值为，若存在实数，使得对任意实数总有成立，则的最小值为（ ）
A. B. C. D.
2.已知函数f(x)＝sin(x＋)，其中x∈[－，a]，若f(x)的值域是[－，1]，则实数a的取值范围是________．
3.已知函数f(x)＝sin(ω x＋φ) (ω>0，|φ|<)的部分图象如图所示，则y＝f(x＋)取得最小值时x的集合为(　　)
A．{x|x＝－，k∈Z} B．{x|x＝－，k∈Z}
C．{x|x＝2kπ－，k∈Z} D．{x|x＝2kπ－，k∈Z}
4.将函数f(x)＝sin(2x＋θ)的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度后得到函数g(x)的图象，若f(x)，g(x)的图象都经过点P，则φ的值可以是(　　)
A. B. C. D.
5.将函数y＝sin x的图象向左平移个单位后得到函数y＝f(x)的图象，已知函数y＝f(x)与y＝sin(2x＋φ)(0≤φ≤π)的图象有一个横坐标为的交点，则φ＝________.
6.已知函数f(x)＝sin(ω x＋φ)的最小正周期为4π，且 x∈R，有f(x)≤成立，则f(x)图象的一个对称中心坐标是(　　)
A. B. C. D.
【拔高】
1. 已知函数f(x)＝2sinωxsin2－sin2ωx(ω>0)在区间上是增函数，且在区间[0，π]上恰好取得一次最大值，则ω的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
2．关于函数f(x)＝sin|x|＋|sinx|有下述四个结论：
①f(x)是偶函数；②f(x)在区间单调递增；
③f(x)在[－π，π]有4个零点；④f(x)的最大值为2.
其中所有正确结论的编号是(　　)
A．①②④ B．②④ C．①④ D．①③
3．已知函数f(x)＝asin＋a＋b.
(1)若a＝－1，求函数f(x)的单调递增区间；
(2)若x∈[0，π]，函数f(x)的值域是[5,8]，求a，b的值．

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