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第二十六讲 等差数列
一、自我诊断 知己知彼
1．在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6等于(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．6
2．记为正项等差数列的前项和，若，则_________.
{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和．若S10＝S11，则a1＝(　　)
A．18　　　 B．20 C．22 D．24
4．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于(　　)．
A．6 B．7 C．8 D．9
5．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则使得为整数的正整数的个数是 (　　)．
A．2 B．3 C．4 D．5
6．已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，an＋1＝1－，bn＝，其中n∈N*.求证：数列{bn}是等差数列，并求出数列{an}的通项公式．
二、温故知新 夯实基础
1．等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．
2．等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d.
3．等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项．
4．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.
(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(6)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列．
5．等差数列的前n项和公式
设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝.或Sn＝na1＋d.
6．等差数列的前n项和公式与函数的关系
Sn＝n2＋n.
数列{an}是等差数列 Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．
7．等差数列的前n项和的最值
在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．
三、典例剖析 举一反三
考点一　等差数列基本量的运算
（一）典例剖析
例1．若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7＝(　　)
A．12　　　　　　B．13 C．14 D．15
例2．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　)
A．1 B．2 C．4 D．8
例3．已知数列{an}(n∈N*)是等差数列，Sn是其前n项和．若a2a5＋a8＝0，S9＝27，则S8的值是________．
（二）举一反三
1. 记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝(　　)
A．－12　　　　　　　　　 　 B．－10
C．10 D．12
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a5＝10，S4＝16，则数列{an}的公差为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
3．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1≠0，a2＝3a1，则＝________.
4．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于(　　)．
A．－1 B．1 C．3 D．7
5．等差数列{an}的前m项和为30，前3m项和为90，则它的前2m项和为________．
考点二 等差数列的判定与证明
（一）典例剖析
例1.已知数列{an}满足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n.
(1)求a2，a3；
(2)证明数列是等差数列，并求{an}的通项公式．
例2.在数列{an}中，a1＝2，an是1与anan＋1的等差中项．
(1)求证：数列是等差数列，并求的通项公式；
例3.已知数列{an}是等差数列，bn＝a－a.
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
(2)若a1＋a3＋a5＋…＋a25＝130，a2＋a4＋a6＋…＋a26＝143－13k(k为常数)，求数列{bn}的通项公式．
（二）举一反三
1.在数列{an}中，若a1＝1，a2＝，＝＋(n∈N*)，则该数列的通项为(　　)
A．an＝ B．an＝ C．an＝ D．an＝
数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2.
（1）设bn＝an＋1－an，证明{bn}是等差数列；
（2）求{an}的通项公式．
3．已知数列{an}满足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝.
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
考点三 等差数列的性质及前n项和
（一）典例剖析
例1．在等差数列{an}中，a1＝29，S10＝S20，则数列{an}的前n项和Sn的最大值为(　　)
A．S15　　　　　　B．S16 C．S15或S16 D．S17
例2．已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，2＋a5＝a6＋a3，则S7等于(　　)
A．2 B．7 C．14 D．28
例3.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 018，－＝6，则S2 020＝________.
（二）举一反三
1.设Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，若a5＝2b5，则＝(　　)
A．2　　　　　　　 　B．3
C．4 D．6
2.在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________.
3.已知{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b10＝9，a3＋b8＝15，则a5＋b6＝________.
4.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S13>0，S14<0，则Sn取最大值时n的值为(　　)
A．6 B．7 C．8 D．13
5.在等差数列{an}中，a1＝－2 021，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2 021的值等于(　　)
A．－2 021 B．－2 019 C．－2 022 D．－2 018
四、分层训练 举一反三
【基础】
1.记等差数列{an}的前n项和为Sn.若a6＝16，S5＝35，则{an}的公差为(　　)
A．3 B．2 C．－2 D．－3
2.等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若＝，则等于(　　)
A. B. C. D.
3．在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝，则a4＝(　　)
A. B．1 C. D.
4．已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________.
5．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n－1(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log4an＋1，求{bn}的前n项和Tn.
【巩固】
1．若等差数列{an}的前17项和S17＝51，则a5－a7＋a9－a11＋a13＝________.
2．等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝________.
3．在等差数列{an}中，若<－1，且它的前n项和Sn有最大值，则使Sn>0成立的正整数n的最大值是(　　)
A．15 B．16 C．17 D．14
4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1>0，a3＋a10>0，a6a7<0，则满足Sn>0的最大自然数n的值为(　　)
A．6 B．7 C．12 D．13
5.已知数列{an}中,a1=,an=2-(n≥2,n∈N*),数列{bn}满足bn=(n∈N*).
(1)求证:数列{bn}是等差数列.
(2)求数列{an}中的通项公式an.
【拔高】
1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S6>S7>S5，则满足SnSn＋1<0的正整数n的值为(　　)
A．10 B．11 C．12 D．13
2．设等差数列{an}满足a3＋a7＝36，a4a6＝275，且anan＋1有最小值，则这个最小值为________．
3．已知数列{an}满足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n.
(1)求a2，a3；
(2)证明数列是等差数列，并求{an}的通项公式．第二十六讲 等差数列
一、自我诊断 知己知彼
1．在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6等于(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．6
【答案】B
【解析】由等差数列的性质，得a6＝2a4－a2＝2×2－4＝0，故选B.
2．记为正项等差数列的前项和，若，则_________.
【答案】
【解析】设等差数列的公差为，由题得，所以
所以.所以.故答案为.
{an}为等差数列，公差d＝－2，Sn为其前n项和．若S10＝S11，则a1＝(　　)
A．18　　　 B．20 C．22 D．24
【答案】 B
【解析】 由S10＝S11得a11＝S11－S10＝0，a1＝a11＋(1－11)d＝0＋(－10)×(－2)＝20.
4．设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a1＝－11，a4＋a6＝－6，则当Sn取最小值时，n等于(　　)．
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】A
【解析】由a4＋a6＝a1＋a9＝－11＋a9＝－6，得a9＝5，从而d＝2，所以Sn＝－11n＋n(n－1)＝n2－12n＝(n－6)2－36，因此当Sn取得最小值时，n＝6.
5．已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且＝，则使得为整数的正整数的个数是 (　　)．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】由＝得：＝＝＝，要使为整数，则需＝7＋为整数，所以n＝1,2,3,5,11，共有5个．
6．(2020·日照模拟)已知数列{an}，{bn}满足a1＝1，an＋1＝1－，bn＝，其中n∈N*.求证：数列{bn}是等差数列，并求出数列{an}的通项公式．
【答案】an＝
【解析】　∵bn＋1－bn＝－＝－＝－＝2，
∴数列{bn}是公差为2的等差数列，又b1＝＝2，∴bn＝2＋(n－1)×2＝2n，
∴2n＝，解得an＝.
二、温故知新 夯实基础
1．等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示．
2．等差数列的通项公式
如果等差数列{an}的首项为a1，公差为d，那么它的通项公式是an＝a1＋(n－1)d.
3．等差中项
由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项．
4．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.
(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．
(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(6)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列．
5．等差数列的前n项和公式
设等差数列{an}的公差为d，其前n项和Sn＝.或Sn＝na1＋d.
6．等差数列的前n项和公式与函数的关系
Sn＝n2＋n.
数列{an}是等差数列 Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)．
7．等差数列的前n项和的最值
在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．
三、典例剖析 举一反三
考点一　等差数列基本量的运算
（一）典例剖析
例1．若等差数列{an}的前5项和S5＝25，且a2＝3，则a7＝(　　)
A．12　　　　　　B．13 C．14 D．15
【答案】 B
【解析】设等差数列{an}的公差为d，由S5＝，得＝25，解得a4＝7，
所以7＝3＋2d，解得d＝2，所以a7＝a4＋3d＝7＋3×2＝13.
【易错点】在求解数列基本量运算中，要注意公式使用时的准确性与合理性，更要注意运算的准确性．
【方法点拨】等差数列前n项和公式的应用方法
根据不同的已知条件选用两个求和公式，若已知首项和公差，则使用公式Sn＝na1＋d；若已知通项公式，则使用公式Sn＝，同时注意与性质“a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…”的结合使用．
例2．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　)
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】 C
【解析】设等差数列{an}的公差为d，则由得
即解得d＝4.
【易错点】注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程组时，要注意整体代换思想的运用，使运算更加便捷．
【方法点拨】等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d，然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解．
例3．已知数列{an}(n∈N*)是等差数列，Sn是其前n项和．若a2a5＋a8＝0，S9＝27，则S8的值是________．
【答案】16
【解析】　方法一　设等差数列{an}的公差为d，则a2a5＋a8＝(a1＋d)(a1＋4d)＋a1＋7d＝a＋4d2＋5a1d＋a1＋7d＝0，S9＝9a1＋36d＝27，解得a1＝－5，d＝2，则S8＝8a1＋28d＝－40＋56＝16.
方法二　∵S9＝×9＝27，∴a1＋a9＝6，∴a2＋a8＝2a5＝6，∴a5＝3，则a2a5＋a8＝3a2＋a8＝0，
即2a2＋6＝0，∴a2＝－3，则a8＝9，∴其公差d＝＝2，∴a1＝－5，∴S8＝8×＝16.
【易错点】注意运算的准确性．在遇到一些较复杂的方程时，要注意先进行化简，使运算更加便捷．
【方法点拨】综合运用等差数列的性质进行求解.
（二）举一反三
1. 记Sn为等差数列{an}的前n项和，若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝(　　)
A．－12　　　　　　　　 　 B．－10
C．10 D．12
【答案】B
【解析】　设等差数列{an}的公差为d，由3S3＝S2＋S4，得3(3a1＋3d)＝2a1＋d＋4a1＋6d，即3a1＋2d＝0.将a1＝2代入上式，解得d＝－3，故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10.
2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a5＝10，S4＝16，则数列{an}的公差为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B
【解析】　设等差数列{an}的公差为d，则由题意，得解得故选B.
3．记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1≠0，a2＝3a1，则＝________.
【答案】　4
【解析】　设等差数列{an}的公差为d，由a2＝3a1，
即a1＋d＝3a1，得d＝2a1，所以＝＝＝＝4.
4．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，则a20等于(　　)．
A．－1 B．1 C．3 D．7
【答案】　B
【解析】　两式相减，可得3d＝－6，d＝－2.由已知可得3a3＝105，a3＝35，
所以a20＝a3＋17d＝35＋17×(－2)＝1.
5．等差数列{an}的前m项和为30，前3m项和为90，则它的前2m项和为________．
【答案】　60
【解析】　由Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，可得2(S2m－Sm)＝Sm＋S3m－S2m，
即S2m＝＝＝60.
考点二 等差数列的判定与证明
（一）典例剖析
例1.已知数列{an}满足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n.
(1)求a2，a3；
(2)证明数列是等差数列，并求{an}的通项公式．
【答案】(1) a2＝6.a3＝15， (2) an＝2n2－n.
【解析】(1)由已知，得a2－2a1＝4，则a2＝2a1＋4，又a1＝1，所以a2＝6.
由2a3－3a2＝12，得2a3＝12＋3a2，所以a3＝15.
(2)证明：由已知nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n，得＝2，即－＝2，
所以数列是首项＝1，公差d＝2的等差数列．
则＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以an＝2n2－n.
【易错点】用定义证明等差数列时，容易漏掉对起始项的检验，从而产生错解．
【方法点拨】等差数列的判定与证明方法
方　法 解　读 适合题型
定义法 对于任意自然数n(n≥2)，an－an－1(n≥2，n∈N*)为同一常数 {an}是等差数列 解答题中证明问题
等差中项法 2an－1＝an＋an－2(n≥3，n∈N*)成立 {an}是等差数列
通项公式法 an＝pn＋q(p，q为常数)对任意的正整数n都成立 {an}是等差数列 选择、填空题中的判定问题
前n项和公 式法 验证Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)对任意的正整数n都成立 {an}是等差数列
例2.在数列{an}中，a1＝2，an是1与anan＋1的等差中项．
(1)求证：数列是等差数列，并求的通项公式；
【答案】(1) 证明见解析，an＝
【解析】 　(1)∵an是1与anan＋1的等差中项，∴2an＝1＋anan＋1，∴an＋1＝，
∴an＋1－1＝－1＝，∴＝＝1＋，∵＝1，
∴数列是首项为1，公差为1的等差数列，
∴＝1＋(n－1)＝n，∴an＝.
【易错点】注意运算的准确性以及技巧性，要注意整体代换思想的运用，使运算更加便捷．
【方法点拨】利用整体思想进行运算，按照新构造的数列形式进行代入计算求解.
例3.已知数列{an}是等差数列，bn＝a－a.
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
(2)若a1＋a3＋a5＋…＋a25＝130，a2＋a4＋a6＋…＋a26＝143－13k(k为常数)，求数列{bn}的通项公式．
【答案】(1) 略， (2) bn＝－2(1－k)2n＋25k2－30k＋5.
【解析】 (1)证明：设{an}的公差为d，
则bn＋1－bn＝(a－a)－(a－a)＝2a－(an＋1－d)2－(an＋1＋d)2＝－2d2，
∴数列{bn}是以－2d2为公差的等差数列．
(2)∵a1＋a3＋a5＋…＋a25＝130，a2＋a4＋a6＋…＋a26＝143－13k，∴13d＝13－13k，∴d＝1－k.
又13a1＋×2d＝130，∴a1＝－2＋12k，
∴an＝a1＋(n－1)d＝(－2＋12k)＋(n－1)(1－k)＝(1－k)n＋13k－3，
∴bn＝a－a＝(an＋an＋1)(an－an＋1)＝－2(1－k)2n＋25k2－30k＋5.
【易错点】注意运算的准确性以及技巧性，要注意整体代换思想的运用，使运算更加便捷．
【方法点拨】利用整体思想进行运算，按照新构造的数列形式进行代入计算求解.
（二）举一反三
1.在数列{an}中，若a1＝1，a2＝，＝＋(n∈N*)，则该数列的通项为(　　)
A．an＝ B．an＝ C．an＝ D．an＝
【答案】　A
【解析】　由已知式＝＋可得－＝－，知{}是首项为＝1，公差为－＝2－1＝1的等差数列，所以＝n，即an＝.
数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝2an＋1－an＋2.
（1）设bn＝an＋1－an，证明{bn}是等差数列；
（2）求{an}的通项公式．
【答案】(1) 略， (2) an＝n2－2n＋2.
【解析】（1）证明　由an＋2＝2an＋1－an＋2，得an＋2－an＋1＝an＋1－an＋2，即bn＋1＝bn＋2.
又b1＝a2－a1＝1，所以{bn}是首项为1，公差为2的等差数列．
（2）解　由（1）得bn＝1＋2(n－1)＝2n－1，即an＋1－an＝2n－1.于是 (ak＋1－ak)＝ (2k－1)，
所以an＋1－a1＝n2，即an＋1＝n2＋a1.
又a1＝1，所以{an}的通项公式为an＝n2－2n＋2.
3．已知数列{an}满足(an＋1－1)(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝.
(1)证明：数列{bn}是等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
【答案】（1）略，（2）an＝
【解析】(1)证明　∵－＝，∴bn＋1－bn＝，∴{bn}是首项为1，公差为的等差数列．
(2)　由(1)及b1＝＝＝1，知bn＝n＋，∴an－1＝，∴an＝.
考点三 等差数列的性质及前n项和
（一）典例剖析
例1．在等差数列{an}中，a1＝29，S10＝S20，则数列{an}的前n项和Sn的最大值为(　　)
A．S15　　　　　　B．S16 C．S15或S16 D．S17
【答案】 A
【解析】∵a1＝29，S10＝S20，∴10a1＋d＝20a1＋d，解得d＝－2，
∴Sn＝29n＋×(－2)＝－n2＋30n＝－(n－15)2＋225.∴当n＝15时，Sn取得最大值．
【易错点】本题数较大，容易出现计算错误.
【方法点拨】求等差数列前n项和的最值的方法
(1)运用配方法转化为二次函数，借助二次函数的单调性以及数形结合的思想，从而使问题得解．
(2)通项公式法：求使an≥0(an≤0)成立时最大的n值即可．一般地，等差数列{an}中，若a1＞0，且Sp＝Sq(p≠q)，则：
①若p＋q为偶数，则当n＝时，Sn最大；
②若p＋q为奇数，则当n＝或n＝时，Sn最大．
(3)邻项变号法：①a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；
②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.
例2．已知数列{an}为等差数列，Sn为其前n项和，2＋a5＝a6＋a3，则S7等于(　　)
A．2 B．7 C．14 D．28
【答案】 C
【解析】　∵2＋a5＝a6＋a3，∴2＋a4＋d＝a4＋2d＋a4－d，解得a4＝2，
∴S7＝＝7a4＝14.故选C.
【易错点】本题容易出现计算错误.
【方法点拨】等差数列性质的应用
例3.已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 018，－＝6，则S2 020＝________.
【答案】 2020
【解析】　由等差数列的性质可得也为等差数列．设其公差为d，则－＝6d＝6，∴d＝1.
故＝＋2 019d＝－2 018＋2 019＝1，∴S2 020＝1×2 020＝2 020.
【易错点】由于数比较大计算错误．
【方法点拨】等差数列的性质
(1)项的性质：在等差数列{an}中，
①an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，d＝；
②若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.
(2)和的性质：在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则
①S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)；
②依次k项和成等差数列，即Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…成等差数列．
一般地，等差数列{an}中，若a1＞0，且Sp＝Sq，若p＋q为奇数，则当n＝或n＝时，Sn最大．
（二）举一反三
1.设Sn，Tn分别是等差数列{an}，{bn}的前n项和，若a5＝2b5，则＝(　　)
A．2　　　　　　　 　B．3
C．4 D．6
【答案】A
【解析】由a5＝2b5，得＝2，所以＝＝＝2，故选A.
2.在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝25，则a2＋a8＝________.
【答案】 10　
【解析】因为{an}是等差数列，所以a3＋a7＝a4＋a6＝a2＋a8＝2a5，a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝5a5＝25，所以a5＝5，故a2＋a8＝2a5＝10.
3.已知{an}，{bn}都是等差数列，若a1＋b10＝9，a3＋b8＝15，则a5＋b6＝________.
【答案】21
【解析】 因为{an}，{bn}都是等差数列，所以2a3＝a1＋a5，2b8＝b10＋b6，所以2(a3＋b8)＝(a1＋b10)＋(a5＋b6)，即2×15＝9＋(a5＋b6)，解得a5＋b6＝21.
4.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S13>0，S14<0，则Sn取最大值时n的值为(　　)
A．6 B．7 C．8 D．13
【答案】　B
【解析】　根据S13>0，S14<0，可以确定a1＋a13＝2a7>0，a1＋a14＝a7＋a8<0，
所以可以得到a7>0，a8<0，所以Sn取最大值时n的值为7，故选B.
5.在等差数列{an}中，a1＝－2 021，其前n项和为Sn，若－＝2，则S2 021的值等于(　　)
A．－2 021 B．－2 019 C．－2 022 D．－2 018
【答案】A
【解析】 由题意知，数列{}为等差数列，其公差为1，
∴S2 021＝－2 021.
四、分层训练 举一反三
【基础】
1.记等差数列{an}的前n项和为Sn.若a6＝16，S5＝35，则{an}的公差为(　　)
A．3 B．2 C．－2 D．－3
【答案】A　
【解析】由等差数列性质可知，S5＝×5＝5a3＝35，解得a3＝7，故d＝＝3.故选A.
2.等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若＝，则等于(　　)
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】＝＝＝＝＝＝.
3．在数列{an}中，a1＝3，an＋1＝，则a4＝(　　)
A. B．1 C. D.
【答案】 A
【解析】依题意得＝＝＋，－＝，
故数列是以＝为首项、为公差的等差数列，则＝＋＝，an＝，a4＝.
4．已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和．若a1＝6，a3＋a5＝0，则S6＝________.
【答案】6
【解析】∵a3＋a5＝2a4，∴a4＝0.∵a1＝6，a4＝a1＋3d，∴d＝－2.∴S6＝6a1＋d＝6×6－30＝6.
5．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n－1(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝log4an＋1，求{bn}的前n项和Tn.
【答案】(1) an＝2n－1(n∈N*)， (2) Tn＝
【解析】(1)当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，当n＝1时，a1＝2－1＝1，满足an＝2n－1，
∴数列{an}的通项公式为an＝2n－1(n∈N*)．
(2)由(1)得，bn＝log4an＋1＝，则bn＋1－bn＝－＝，∴数列{bn}是首项为1，公差d＝的等差数列，∴Tn＝nb1＋d＝.
【巩固】
1．若等差数列{an}的前17项和S17＝51，则a5－a7＋a9－a11＋a13＝________.
【答案】3
【解析】因为S17＝×17＝17a9＝51，所以a9＝3.根据等差数列的性质知a5＋a13＝a7＋a11，
所以a5－a7＋a9－a11＋a13＝a9＝3.
2．等差数列{an}，{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，且＝，则＝________.
【答案】
【解析】　在等差数列中，S19＝19a10，T19＝19b10，因此＝＝＝.
3．在等差数列{an}中，若<－1，且它的前n项和Sn有最大值，则使Sn>0成立的正整数n的最大值是(　　)
A．15 B．16 C．17 D．14
【答案】C
【解析】　∵等差数列{an}的前n项和有最大值，∴等差数列{an}为递减数列，
又<－1，∴a9>0，a10<0，∴a9＋a10<0，又S18＝＝9(a9＋a10)<0，S17＝＝17a9>0，
∴Sn>0成立的正整数n的最大值是17.故选C.
4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1>0，a3＋a10>0，a6a7<0，则满足Sn>0的最大自然数n的值为(　　)
A．6 B．7 C．12 D．13
【答案】 C
【解析】因为a1>0，a6a7<0，所以a6>0，a7<0，等差数列的公差小于零，又a3＋a10＝a1＋a12>0，a1＋a13＝2a7<0，所以S12>0，S13<0，所以满足Sn>0的最大自然数n的值为12.
5.已知数列{an}中,a1=,an=2-(n≥2,n∈N*),数列{bn}满足bn=(n∈N*).
(1)求证:数列{bn}是等差数列.
(2)求数列{an}中的通项公式an.
【答案】见解析
【解析】.(1)证明 因为an=2-(n≥2,n∈N*),bn=所以n≥2时,bn-bn-1==1.又b1==-,所以数列{bn}是以-为首项,1为公差的等差数列.
(2)解 由(1)知,bn=n-,则an=1+=1+
【拔高】
1．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S6>S7>S5，则满足SnSn＋1<0的正整数n的值为(　　)
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】C
【解析】.由S6>S7>S5，得S7＝S6＋a7S5，所以a7<0，a6＋a7>0，所以S13＝＝13a7<0，S12＝＝6(a6＋a7)>0，所以S12S13<0，即满足SnSn＋1<0的正整数n的值为12，故选C.
2．设等差数列{an}满足a3＋a7＝36，a4a6＝275，且anan＋1有最小值，则这个最小值为________．
【答案】-12
【解析】设等差数列{an}的公差为d，∵a3＋a7＝36，∴a4＋a6＝36，又a4a6＝275，
联立，解得或当时，可得此时an＝7n－17，a2＝－3，a3＝4，易知当n≤2时，an<0，当n≥3时，an>0，∴a2a3＝－12为anan＋1的最小值；
当时，可得此时an＝－7n＋53，a7＝4，a8＝－3，易知当n≤7时，an>0，当n≥8时，an<0，∴a7a8＝－12为anan＋1的最小值．
综上，anan＋1的最小值为－12.
3．已知数列{an}满足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n.
(1)求a2，a3；
(2)证明数列是等差数列，并求{an}的通项公式．
【答案】(1) a2＝6，a3＝15；（2）an＝2n2－n
【解析】(1)由已知，得a2－2a1＝4，则a2＝2a1＋4，又a1＝1，所以a2＝6.
由2a3－3a2＝12，得2a3＝12＋3a2，所以a3＝15.
(2)由已知nan＋1－(n＋1)an＝2n(n＋1)，得＝2，即－＝2，
所以数列是首项＝1，公差d＝2的等差数列．则＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以an＝2n2－n.

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