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第二十七讲 等比数列
一、自我诊断 知己知彼
1．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q＝______.
【答案】
【解析】由题意知q3＝＝，∴q＝.
2.设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则＝________.
【答案】-11
【解析】设等比数列{an}的公比为q，∵8a2＋a5＝0，∴8a1q＋a1q4＝0.
∴q3＋8＝0，∴q＝－2，∴＝·＝＝＝－11.
3.若1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则的值为________．
【答案】－
【解析】　∵1，a1，a2，4成等差数列，∴3(a2－a1)＝4－1，∴a2－a1＝1.
又∵1，b1，b2，b3，4成等比数列，设其公比为q，则b＝1×4＝4，且b2＝1×q2>0，∴b2＝2，
∴＝＝－.
4.公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝18，若a1am＝9，则m的值为(　　)
A.8 B.9 C.10 D.11
【答案】C
【解析】由题意得，2a5a6＝18，a5a6＝9，∴a1am＝a5a6＝9，∴m＝10，故选C.
5．已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12＝(　　)
A．40 B．60 C．32 D．50
【答案】 B
【解析】由等比数列的性质可知，数列S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9是等比数列，
即数列4,8，S9－S6，S12－S9是等比数列，因此S9－S6＝16，S6＝12，S12－S9＝32，S12＝32＋16＋12＝60.
6．已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝4an－p，其中p为非零常数．
(1)求证：数列{an}为等比数列；
(2)若a2＝，求{an}的通项公式．
【答案】(1)略 (2) λ＝－1.
【解析】(1)证明：当n＝1时，S1＝4a1－p，得a1＝≠0.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(4an－p)－(4an－1－p)＝4an－4an－1，得3an＝4an－1，即＝，
所以数列{an}是首项为，公比为的等比数列．
(2)由(1)知，数列{an}的通项公式为an＝×n－1，又a2＝，可知p＝3，于是an＝n－1.
二、温故知新 夯实基础
1．等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．
2．等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·qn－1.
3．等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．
4．等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an.
(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．
5．等比数列的前n项和公式
等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，
当q＝1时，Sn＝na1；
当q≠1时，Sn＝＝.
6．等比数列前n项和的性质
公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.
三、典例剖析 举一反三
考点一　等比数列基本量的运算
（一）典例剖析
例1.设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则公比q等于(　　)
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】 D　
【解析】因为S2＝3，S4＝15，S4－S2＝12，所以两个方程左右两边分别相除，得q2＝4，
因为数列是正项等比数列，所以q＝2，故选D.
【易错点】解题过程中，要注意择适当的计算方法.
【方法点拨】巧用计算，能化繁为简。
例2.记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，S3＝，则S4＝________.
【答案】
【解析】 设等比数列的公比为q，则an＝a1qn－1＝qn－1.∵a1＝1，S3＝，∴a1＋a2＋a3＝1＋q＋q2＝，
即4q2＋4q＋1＝0，∴q＝－，∴S4＝＝.
【易错点】要注意选择适当的公式以及计算的准确性.
【方法点拨】在等比数列{an}中，首项a1与公比q是两个最基本的元素
例3.已知等比数列的前项和为，若，，则
A． B． C． D．6
【答案】A
【解析】设等比数列的首项为，公比为，因为且，
所以，解得或，
当，时，；
当，时，.
所以.
故选A．
【易错点】本题计算比较麻烦.
【方法点拨】本题主要考查等比数列的通项公式和前项和公式，考查学生对公式的熟练程度及计算能力
（二）举一反三
1.已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则
A．16 B．8
C．4 D．2
【答案】C
【解析】设正数的等比数列{an}的公比为，则，解得，，故选C．
2.已知数列是等比数列，，则__________.
【答案】
【解析】设的公比为，由，得，故.
故答案为：
3.已知等比数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，若a2＝2，S6－S4＝6a4，则a5＝(　　)
A．4 B．10
C．16 D．32
【答案】C
【解析】设公比为q(q>0)，S6－S4＝a5＋a6＝6a4，因为a2＝2，所以2q3＋2q4＝12q2，即q2＋q－6＝0，所以q＝2，则a5＝2×23＝16.
4.记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5=____________．
【答案】
【解析】设等比数列的公比为，由已知，所以又，
所以所以．
5.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＝－an＋n(n∈N*)．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)求数列{an－1}的前n项和Tn.
【答案】（1）证明见解析；（2）Tn＝－.
【解析】(1)证明　∵2Sn＝－an＋n，
当n＝1时，2a1＝－a1＋1，解得a1＝.
当n≥2时，2Sn－1＝－an－1＋n－1，
两式相减，得2an＝－an＋an－1＋1，即an＝an－1＋.∴an－＝，
又a1－＝－≠0，∴数列为等比数列．
(2)　由2S1＝－a1＋1，得a1＝.由(1)知，数列是以－为首项，为公比的等比数列．
∴an－＝－n－1＝－n，∴an＝－n＋，∴an－1＝－n－，
∴Tn＝－＝－.
考点二 等比数列的判定与证明
（一）典例剖析
例1.设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.
(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
【答案】(1)略 (2) an＝(3n－1)·2n－2.
【解析】 (1)证明　由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2，
得a1＋a2＝S2＝4a1＋2.∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.
又
由①－②，得an＋1＝4an－4an－1(n≥2)，∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2)．
∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1(n≥2)，故{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列．
(2)　由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，∴－＝，故{}是首项为，公差为的等差数列．
∴＝＋(n－1)·＝，故an＝(3n－1)·2n－2.
【易错点】注意讨论n的范围.
【方法点拨】证明新构造数列的一般方法是按照题目中给出的模型进行构造.
例2.已知数列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝n，记T2n为{an}的前2n项的和，bn＝a2n＋a2n－1，n∈N*.
(1)判断数列{bn}是否为等比数列，并求出bn；
(2)求T2n.
【答案】(1)证明过程略，bn＝ ，(2) T2n＝3－.
【解析】 (1)∵an·an＋1＝n，∴an＋1·an＋2＝n＋1，∴＝，即an＋2＝an.
∵bn＝a2n＋a2n－1，∴＝＝＝，
∵a1＝1，a1·a2＝，∴a2＝ b1＝a1＋a2＝.∴{bn}是首项为，公比为的等比数列．
∴bn＝×n－1＝.
(2)由(1)可知，an＋2＝an，
∴a1，a3，a5，…是以a1＝1为首项，以为公比的等比数列；a2，a4，a6，…是以a2＝为首项，以为公比的等比数列，
∴T2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝＝3－.
【易错点】本题第二问应注意进行分组求和.
【方法点拨】证明数列是否为等比数列一般常用定义法证明.
例3.已知数列{an}的前n项和为Sn，在数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.
(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；
(2)求数列{bn}的通项公式．
【答案】(1)略 (2) bn＝n.
【解析】(1)证明　∵an＋Sn＝n， ①
∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1， ②
②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，∴＝.
∵首项c1＝a1－1，又a1＋a1＝1.∴a1＝，∴c1＝－，公比q＝.
∴{cn}是以－为首项，公比为的等比数列．
(2)　由(1)可知cn＝·n－1＝－n，∴an＝cn＋1＝1－n.
∴当n≥2时，bn＝an－an－1＝1－n－＝n－1－n＝n.
又b1＝a1＝代入上式也符合，∴bn＝n.
【易错点】利用递推关系时要注意对n＝1时的情况进行验证．　
【方法点拨】若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列
（二）举一反三
1．已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝.
(1)求b1，b2，b3；
(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
(3)求{an}的通项公式．
【答案】(1) b1＝1，b2＝2，b3＝4.（2）{bn}是首项为1，公比为2的等比数列.（3）an＝n·2n－1.
【解析】(1)由条件可得an＋1＝an，将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4.
将n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12.从而b1＝1，b2＝2，b3＝4.
(2){bn}是首项为1，公比为2的等比数列．由条件可得＝，即bn＋1＝2bn，
又b1＝1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
(3)由(2)可得＝2n－1，所以an＝n·2n－1.
2.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.
(1)证明：{an＋}是等比数列，并求{an}的通项公式；
(2)证明：＋＋…＋<.
【答案】(1)略 (2) 略
【解析】证明　(1)由an＋1＝3an＋1，得an＋1＋＝3(an＋)．
又a1＋＝，所以{an＋}是首项为，公比为3的等比数列．
所以an＋＝，因此{an}的通项公式为an＝.
(2)由(1)知＝.因为当n≥1时，3n－1≥2×3n－1，所以≤.
于是＋＋…＋≤1＋＋…＋＝(1－)<，所以＋＋…＋<.
3．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝，Sn＝Sn－1＋an－1＋(n∈N*且n≥2)，数列{bn}满足：b1＝－，且3bn－bn－1＝n＋1(n∈N*且n≥2)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证：数列{bn－an}为等比数列．
【答案】见解析.
【解析】(1)解　由Sn＝Sn－1＋an－1＋，得Sn－Sn－1＝an－1＋，即an－an－1＝(n≥2且n∈N*)，
则数列{an}是以为首项，为公差的等差数列，因此an＝＋(n－1)× ＝n＋.
(2)证明　因为3bn－bn－1＝n＋1(n≥2)，所以bn＝bn－1＋(n＋1)(n≥2)，
bn－an＝bn－1＋(n＋1)－n－＝bn－1－n＋＝(n≥2)，
bn－1－an－1＝bn－1－(n－1)－＝bn－1－n＋(n≥2)，
所以bn－an＝(bn－1－an－1)(n≥2)，
因为b1－a1＝－10≠0，所以数列{bn－an}是以－10为首项，为公比的等比数列．
4．已知在正项数列{an}中，a1＝2，点An(，)在双曲线y2－x2＝1上．在数列{bn}中，点(bn，Tn)在直线y＝－x＋1上，其中Tn是数列{bn}的前n项和．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证：数列{bn}是等比数列．
【答案】（1）an＝n＋1.（2）见解析
【解析】(1)由已知点An在y2－x2＝1上知，an＋1－an＝1.∴数列{an}是一个以2为首项，1为公差的等差数列．
∴an＝a1＋(n－1)d＝2＋n－1＝n＋1.
(2)证明：∵点(bn，Tn)在直线y＝－x＋1上，∴Tn＝－bn＋1.①
∴Tn－1＝－bn－1＋1(n≥2)．②
①②两式相减，得bn＝－bn＋bn－1(n≥2)．∴bn＝bn－1，∴bn＝bn－1.
由①，令n＝1，得b1＝－b1＋1，∴b1＝.
∴数列{bn}是以为首项，为公比的等比数列．
考点三 等比数列的性质及前n项和
（一）典例剖析
例1．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S6＝30，S9＝70，则S3＝________.
【答案】　10
【解析】　根据等比数列的前n项和的性质，若Sn是等比数列的和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍是等比数列，得到(S6－S3)2＝S3(S9－S6)，解得S3＝10或S3＝90(舍)．
【易错点】没有注意到S2，S4-S2，S6-S4成等比数列这个性质.
【方法点拨】若公比不为1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.
例2.　在各项不为零的等差数列{an}中，2a2 019－a＋2a2 021＝0，数列{bn}是等比数列，且b2 020＝a2 020，则log2(b2 019·b2 021)的值为(　　)
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C　
【解析】　因为等差数列{an}中a2 019＋a2 021＝2a2 020，所以2a2 019－a＋2a2 021＝4a2 020－a＝0，
因为数列{an}各项不为零，所以a2 020＝4，因为数列{bn}是等比数列，所以b2 019·b2 021＝a＝16.
所以log2(b2 019·b2 021)＝log216＝4.故选C.
【易错点】不会运用等差数列的性质，从而无从下手.
【方法点拨】若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak+al＝am+an.
例3.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝，则＝________.
【答案】　
【解析】　方法一　∵S6∶S3＝1∶2，∴{an}的公比q≠1.由＝，得q3＝－，
∴＝＝.
方法二　∵{an}是等比数列，且＝，∴公比q≠－1，∴S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即(S6－S3)2＝S3·(S9－S6)，将S6＝S3代入得＝.
【易错点】在等比数列的基本运算问题中，一般是列出a1，q满足的方程组求解，但有时运算量较大，如果可利用等比数列的性质，便可减少运算量，提高解题的速度，要注意挖掘已知和隐含的条件．
【方法点拨】由于等比数列中，无论是通项公式还是前n项和公式，均与q的若干次幂有关，所以在解决等比数列问题时，经常出现高次方程，为达到降幂的目的，在解方程组时经常利用两式相除，达到整体消元的目的．
（二）举一反三
1.已知等比数列{an}的公比q＝－，该数列前9项的乘积为1，则a1等于(　　)
A．8 B．16 C．32 D．64
【答案】B
【解析】　由已知a1a2…a9＝1 ，又a1a9＝a2a8＝a3a7＝a4a6＝a ，所以a＝1 ，即a5＝1，所以a14＝1 ，a1＝16.故选B.
2.已知等比数列{an}中，a2a5a8＝－8，S3＝a2＋3a1，则a1＝(　　)
A. B．－
C．－ D．－
【答案】B
【解析】　设等比数列{an}的公比为q(q≠1)，因为S3＝a1＋a2＋a3＝a2＋3a1，所以＝q2＝2.因为a2a5a8＝a＝－8，所以a5＝－2，即a1q4＝－2，所以4a1＝－2，所以a1＝－，故选B.
3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且＝，则＝________(n≥2，且n∈N*)．
【答案】－
【解析】很明显等比数列的公比q≠1，则由题意可得，＝＝＝，解得q＝，
则＝＝＝＝－.
4．已知等比数列{an}中各项均为正数，Sn是其前n项和，且满足2S3＝8a1＋3a2，a4＝16，则S4＝________.
【答案】30
【解析】由题意得，2(a1＋a2＋a3)＝8a1＋3a2，所以2a3－a2－6a1＝0.
设{an}的公比为q(q>0)，则2a1q2－a1q－6a1＝0，即2q2－q－6＝0，解得q＝2或q＝－(舍去)．
因为a4＝16，所以a1＝2，则S4＝＝30.
5．设Sn为等差数列{an}的前n项和，S7=49，a2+a8=18.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若S3、a17、Sm成等比数列，求S3m.
【答案】见解析
【解析】（1）设等差数列{an}的公差为d，∵Sn为等差数列{an}的前n项和，S7=49，a2+a8=18，
∴ ，解得：d=2.∴
（2）由（1）知：.
∵成等比数列，∴，即9m2，解得m11.故
四、分层训练 能力进阶
【基础】
1．设等比数列{an}的公比为q，则下列结论正确的是(　　)
A．数列{anan＋1}是公比为q的等比数列
B．数列{an＋an＋1}是公比为q的等比数列
C．数列{an－an＋1}是公比为q的等比数列
D．数列是公比为的等比数列
【答案】D
【解析】　对于A，由＝q2(n≥2)知其是公比为q2的等比数列；对于B，若q＝－1，则{an＋an＋1}项中有0，不是等比数列；对于C，若q＝1，则数列{an－an＋1}项中有0，不是等比数列；对于D，＝＝，所以数列是公比为的等比数列，故选D.
2．《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2个月后，每对老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只.以此类推，假设n个月后共有老鼠只，则_____.
【答案】
【解析】由题意可得1个月后的老鼠的只数,
2个月后老鼠的只数,
3个月后老鼠的只数…，
n个月后老鼠的只数.
故答案为：.
3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝1(n∈N*)，则通项an＝________.
【答案】　
【解析】　∵an＋Sn＝1，①
∴a1＝，an－1＋Sn－1＝1(n≥2)，②
由①－②，得an－an－1＋an＝0，即＝(n≥2)，
∴数列{an}是首项为，公比为的等比数列，则an＝×()n－1＝.
4．等比数列{an}满足an>0，n∈N*，且a3·a2n－3＝22n(n≥2)，则当n≥1时，log2a1＋log2a2＋…＋log2a2n－1＝________.
【答案】2n2－n
【解析】由等比数列的性质，得a3·a2n－3＝a＝22n，从而得an＝2n，
∴log2a1＋log2a2＋…＋log2a2n－1＝log2[(a1a2n－1)·(a2a2n－2)·…·(an－1an＋1)an]＝log22n(2n－1)＝n(2n－1)＝2n2－n.
5．在各项均为正数的等比数列{an}中，已知a2a4＝16，a6＝32，记bn＝an＋an＋1，则数列{bn}的前5项和S5为________．
【答案】93.
【解析】设数列{an}的公比为q，由a＝a2a4＝16得，a3＝4，即a1q2＝4，又a6＝a1q5＝32，解得a1＝1，q＝2，所以an＝a1qn－1＝2n－1，bn＝an＋an＋1＝2n－1＋2n＝3·2n－1，
所以数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列，所以S5＝＝93.
【巩固】
1．若等比数列{an}的各项均为正数，a2＝3,4a＝a1a7，则a5等于(　　)
A. B. C．12 D．24
【答案】　D
【解析】　数列{an}是等比数列，各项均为正数，4a＝a1a7＝a，所以q2＝＝4，
所以q＝2.所以a5＝a2·q3＝3×23＝24，故选D.
2．等比数列{an}的前n项和为Sn＝32n－1＋r，则r的值为(　　)
A. B．－ C. D．－
【答案】B
【解析】当n＝1时，a1＝S1＝3＋r，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝32n－1－32n－3＝32n－3(32－1)＝8·32n－3＝8·32n－2·3－1＝·9n－1，
所以3＋r＝，即r＝－，故选B.
3.设各项都是正数的等比数列{an}，Sn为前n项和，且S10＝10，S30＝70，那么S40等于(　　)
A.150 B.－200 C.150或－200 D.400或－50
【答案】　A
【解析】　依题意，数列S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，因此有(S20－S10)2＝S10(S30－S20).
即(S20－10)2＝10(70－S20)，故S20＝－20或S20＝30，又S20＞0，因此S20＝30，S20－S10＝20，S30－S20＝40，
故S40－S30＝80.S40＝150.故选A.
4.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1 023个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为________．
【答案】
【解析】　由题意，得正方形的边长构成以为首项，以为公比的等比数列，现已知共得到1 023个正方形，则有1＋2＋…＋2n－1＝1 023，∴n＝10，∴最小正方形的边长为×9＝.
5．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，若bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列．
【答案】略
【解析】：因为an＋2＝Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1＋2－4an－2＝4an＋1－4an，
所以＝＝＝＝2.
因为S2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5.所以b1＝a2－2a1＝3.
所以数列{bn}是首项为3，公比为2的等比数列．
【拔高】
1．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝，且对任意正整数m，n都有am＋n＝am·an，若Sn【答案】
【解析】：因为am＋n＝am·an，令m＝1得an＋1＝a1·an，即＝a1＝，所以{an}为等比数列，所以an＝，所以Sn＝＝<，所以a≥.故a的最小值为.
2．已知数列{an}满足log2an＋1＝1＋log2an(n∈N*)，且a1＋a2＋a3＋…＋a10＝1，则log2(a101＋a102＋…＋a110)＝________.
【答案】100
【解析】因为log2an＋1＝1＋log2an，可得log2an＋1＝log22an，所以an＋1＝2an，所以数列{an}是以a1为首项，2为公比的等比数列，又a1＋a2＋…＋a10＝1，所以a101＋a102＋…＋a110＝(a1＋a2＋…＋a10)×2100＝2100，所以log2(a101＋a102＋…＋a110)＝log22100＝100.
3．已知数列{an}满足a1a2a3…an＝2n2(n∈N*)，且对任意n∈N*都有＋＋…＋A. B. C. D.
【答案】 D
【解析】依题意得，当n≥2时，an＝＝＝2n2－(n－1)2＝22n－1，又a1＝21＝22×1－1，因此an＝22n－1，＝，数列是以为首项，为公比的等比数列，等比数列的前n项和等于＝<，因此实数t的取值范围是.
4.已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0，，.
（I）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；
（II）求{an}和{bn}的通项公式.
【答案】（I）见解析；（2），.
【解析】（1）由题设得，即．
又因为a1+b1=l，所以是首项为1，公比为的等比数列．
由题设得，即．
又因为a1–b1=l，所以是首项为1，公差为2的等差数列．
（2）由（1）知，，．所以，
．第二十七讲 等比数列
一、自我诊断 知己知彼
1．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝，则公比q＝______.
2.设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则＝________.
3.若1，a1，a2，4成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则的值为________．
4.公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝18，若a1am＝9，则m的值为(　　)
A.8 B.9 C.10 D.11
5．已知数列{an}是等比数列，Sn为其前n项和，若a1＋a2＋a3＝4，a4＋a5＋a6＝8，则S12＝(　　)
A．40 B．60 C．32 D．50
6．已知数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝4an－p，其中p为非零常数．
(1)求证：数列{an}为等比数列；
(2)若a2＝，求{an}的通项公式．
二、温故知新 夯实基础
1．等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)．
2．等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·qn－1.
3．等比中项
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．
4．等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an.
(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，，{a}，{an·bn}，仍是等比数列．
5．等比数列的前n项和公式
等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，
当q＝1时，Sn＝na1；
当q≠1时，Sn＝＝.
6．等比数列前n项和的性质
公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn.
三、典例剖析 举一反三
考点一　等比数列基本量的运算
（一）典例剖析
例1.设正项等比数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝3，S4＝15，则公比q等于(　　)
A．5 B．4 C．3 D．2
例2.记Sn为等比数列{an}的前n项和，若a1＝1，S3＝，则S4＝________.
例3.已知等比数列的前项和为，若，，则
A． B． C． D．6
（二）举一反三
1.已知各项均为正数的等比数列的前4项和为15，且，则
A．16 B．8
C．4 D．2
2.已知数列是等比数列，，则__________.
3.已知等比数列{an}的各项均为正数，其前n项和为Sn，若a2＝2，S6－S4＝6a4，则a5＝(　　)
A．4 B．10
C．16 D．32
4.记Sn为等比数列{an}的前n项和．若，则S5=____________．
5.已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＝－an＋n(n∈N*)．
(1)求证：数列为等比数列；
(2)求数列{an－1}的前n项和Tn.
考点二 等比数列的判定与证明
（一）典例剖析
例1.设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2.
(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；
(2)求数列{an}的通项公式．
例2.已知数列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝n，记T2n为{an}的前2n项的和，bn＝a2n＋a2n－1，n∈N*.
(1)判断数列{bn}是否为等比数列，并求出bn；
(2)求T2n.
例3.已知数列{an}的前n项和为Sn，在数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.
(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；
(2)求数列{bn}的通项公式．
（二）举一反三
1．已知数列{an}满足a1＝1，nan＋1＝2(n＋1)an.设bn＝.
(1)求b1，b2，b3；
(2)判断数列{bn}是否为等比数列，并说明理由；
(3)求{an}的通项公式．
2.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋1.
(1)证明：{an＋}是等比数列，并求{an}的通项公式；
(2)证明：＋＋…＋<.
3．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝，Sn＝Sn－1＋an－1＋(n∈N*且n≥2)，数列{bn}满足：b1＝－，且3bn－bn－1＝n＋1(n∈N*且n≥2)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证：数列{bn－an}为等比数列．
4．已知在正项数列{an}中，a1＝2，点An(，)在双曲线y2－x2＝1上．在数列{bn}中，点(bn，Tn)在直线y＝－x＋1上，其中Tn是数列{bn}的前n项和．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求证：数列{bn}是等比数列．
考点三 等比数列的性质及前n项和
（一）典例剖析
例1．各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S6＝30，S9＝70，则S3＝________.
例2.　在各项不为零的等差数列{an}中，2a2 019－a＋2a2 021＝0，数列{bn}是等比数列，且b2 020＝a2 020，则log2(b2 019·b2 021)的值为(　　)
A．1 B．2 C．4 D．8
例3.设等比数列{an}的前n项和为Sn，若＝，则＝________.
（二）举一反三
1.已知等比数列{an}的公比q＝－，该数列前9项的乘积为1，则a1等于(　　)
A．8 B．16 C．32 D．64
2.已知等比数列{an}中，a2a5a8＝－8，S3＝a2＋3a1，则a1＝(　　)
A. B．－
C．－ D．－
3．已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且＝，则＝________(n≥2，且n∈N*)．
4．已知等比数列{an}中各项均为正数，Sn是其前n项和，且满足2S3＝8a1＋3a2，a4＝16，则S4＝________.
5．设Sn为等差数列{an}的前n项和，S7=49，a2+a8=18.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若S3、a17、Sm成等比数列，求S3m.
四、分层训练 能力进阶
【基础】
1．设等比数列{an}的公比为q，则下列结论正确的是(　　)
A．数列{anan＋1}是公比为q的等比数列
B．数列{an＋an＋1}是公比为q的等比数列
C．数列{an－an＋1}是公比为q的等比数列
D．数列是公比为的等比数列
2．《尘劫记》是在元代的《算学启蒙》和明代的《算法统宗》的基础上编撰的一部古典数学著作，其中记载了一个这样的问题：假设每对老鼠每月生子一次，每月生12只，且雌雄各半.1个月后，有一对老鼠生了12只小老鼠，一共有14只；2个月后，每对老鼠各生了12只小老鼠，一共有98只.以此类推，假设n个月后共有老鼠只，则_____.
3．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝1(n∈N*)，则通项an＝________.
4．等比数列{an}满足an>0，n∈N*，且a3·a2n－3＝22n(n≥2)，则当n≥1时，log2a1＋log2a2＋…＋log2a2n－1＝________.
5．在各项均为正数的等比数列{an}中，已知a2a4＝16，a6＝32，记bn＝an＋an＋1，则数列{bn}的前5项和S5为________．
【巩固】
1．若等比数列{an}的各项均为正数，a2＝3,4a＝a1a7，则a5等于(　　)
A. B. C．12 D．24
2．等比数列{an}的前n项和为Sn＝32n－1＋r，则r的值为(　　)
A. B．－ C. D．－
3.设各项都是正数的等比数列{an}，Sn为前n项和，且S10＝10，S30＝70，那么S40等于(　　)
A.150 B.－200 C.150或－200 D.400或－50
4.如图所示，正方形上连接着等腰直角三角形，等腰直角三角形腰上再连接正方形，…，如此继续下去得到一个树状图形，称为“勾股树”．若某勾股树含有1 023个正方形，且其最大的正方形的边长为，则其最小正方形的边长为________．
5．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，若bn＝an＋1－2an，求证：{bn}是等比数列．
【拔高】
1．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝，且对任意正整数m，n都有am＋n＝am·an，若Sn2．已知数列{an}满足log2an＋1＝1＋log2an(n∈N*)，且a1＋a2＋a3＋…＋a10＝1，则log2(a101＋a102＋…＋a110)＝________.
3．已知数列{an}满足a1a2a3…an＝2n2(n∈N*)，且对任意n∈N*都有＋＋…＋A. B. C. D.
4.已知数列{an}和{bn}满足a1=1，b1=0，，.
（I）证明：{an+bn}是等比数列，{an–bn}是等差数列；
（II）求{an}和{bn}的通项公式.

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