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第二十九讲 直线与方程
一、自我诊断 知己知彼
1．如果A·C<0且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2. 若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　　)
A．1 B．4 C．1或3 D．1或4
3．线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m等于(　　)
A．2 B．－3 C．2或－3 D．－2或－3
4．若直线(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0与(5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0垂直，则a＝________.
5．已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于(　　)
A. B．2－ C.－1 D.＋1
二、温故知新 夯实基础
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
(2)范围：直线l倾斜角的范围是[0°，180°)．
2．斜率公式
(1)若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝tan_α.
(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1≠x2，则l的斜率k＝.
3．直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0
斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线
两点式 ＝ 不含直线x＝x1 (x1≠x2)和直线y＝y1 (y1≠y2)
截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用
4．两条直线的位置关系
(1)两条直线平行与垂直
①两条直线平行：
(ⅰ)对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2 k1＝k2.
(ⅱ)当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
②两条直线垂直：
(ⅰ)如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2 k1·k2＝－1.
(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.
(2)两条直线的交点
直线l1:A1x＋B1y＋C1＝0,l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解．
5．几种距离
(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝.
(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝ .
三、典例剖析 举一反三
考点一 倾斜角与斜率
（一）典例剖析
例1 .直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
（二）举一反三
1、已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB恒相交，则k的取值范围是(　　)
A．k≥ B．k≤－2
C．k≥或k≤－2 D．－2≤k≤
2、直线的斜率，则直线的倾斜角的范围为 ．
3.若A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为________．
4.曲线在点P处的切线的斜率为4，则P点的坐标为（ ）
（A） （B）或
（C） （D）或
考点二 直线方程
（一）典例剖析
例1. 求过点P（2，3），并且在两轴上的截距互为相反数的直线方程 （ ）
A． B．或
C． D．或
（二）举一反三
1、把直线x－y＋－1＝0绕点（1，）逆时针旋转15°后，所得直线l的方程是
2、直线经过的定点坐标为 ．
考点三 直线位置关系
（一）典例剖析
例1过点（－1，3）且垂直于直线x－2y+3=0的直线方程为（ ）
A．2x+y－1=0 B．2x+y－5=0
C．x+2y－5=0 D．x－2y+7=0
（二）举一反三
1、过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________．
2.直线l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3.直线与直线互相垂直，则的值为（ ）
A． B. C． D．
考点四 距离及综合问题
（一）典例剖析
例1直线2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之间的距离是______．
（二）举一反三
1、若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为(　　)
A. B. C. D.
2.已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．
3.点是直线：上的动点，点，则的长的最小值是（ ）
A. B. C. D.
4.直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是______________．
四、分层训练 能力进阶
【基础】
1、过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为　　
A． B．
C．或 D．或
2、过点且与直线平行的直线方程是（ ）．
A． B．
C． D．
3、点 到直线的距离是________________.
4、直线kx＋y＋2＝－k，当k变化时，所有的直线都过定点______________．
5、已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是(　　)
A．1 B．－1
C．－2或－1 D．－2或1
6、过点引直线，使点，到它的距离相等，则这条直线的方程为 ．
【巩固】
1、直线关于轴对称的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
2、若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2之间的距离为(　　)
A. B．4 C. D．2
3、已知两条直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0平行，则a等于(　　)
A．－1 B．2
C．0或－2 D．－1或2
【拔高】
1．若直线l1：x－3y＋2＝0与直线l2：mx－y＋b＝0关于x轴对称，则m＋b＝(　　)
A. B．－1
C．－ D．1
2．已知A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是(　　)
A．2x＋y－7＝0 B．x＋y－5＝0
C．2y－x－4＝0 D．2x－y－1＝0
3.如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则 (　　)
A．k1C．k34.若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离的最小值为(　　)
A. B. C．2 D．2第二十九讲 直线与方程
一、自我诊断 知己知彼
1．如果A·C<0且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过(　　)
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【解析】由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－>0，在y轴上的截距－>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．
2. 若过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　　)
A．1 B．4 C．1或3 D．1或4
【答案】A
【解析】由题意得＝1，解得m＝1.
3．线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则m等于(　　)
A．2 B．－3 C．2或－3 D．－2或－3
【答案】C
【解析】直线2x＋(m＋1)y＋4＝0与直线mx＋3y－2＝0平行，则有＝≠，故m＝2或－3.故选C.
4．若直线(3a＋2)x＋(1－4a)y＋8＝0与(5a－2)x＋(a＋4)y－7＝0垂直，则a＝________.
【答案】0或1
【解析】由两直线垂直的充要条件，得(3a＋2)(5a－2)＋(1－4a)(a＋4)＝0，解得a＝0或a＝1.
5．已知点(a,2)(a>0)到直线l：x－y＋3＝0的距离为1，则a等于(　　)
A. B．2－ C.－1 D.＋1
【答案】C
【解析】由题意得＝1.解得a＝－1＋或a＝－1－.∵a>0，∴a＝－1＋.
二、温故知新 夯实基础
1．直线的倾斜角
(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.
(2)范围：直线l倾斜角的范围是[0°，180°)．
2．斜率公式
(1)若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝tan_α.
(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1≠x2，则l的斜率k＝.
3．直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 y－y0＝k(x－x0) 不含直线x＝x0
斜截式 y＝kx＋b 不含垂直于x轴的直线
两点式 ＝ 不含直线x＝x1 (x1≠x2)和直线y＝y1 (y1≠y2)
截距式 ＋＝1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用
4．两条直线的位置关系
(1)两条直线平行与垂直
①两条直线平行：
(ⅰ)对于两条不重合的直线l1，l2，若其斜率分别为k1，k2，则有l1∥l2 k1＝k2.
(ⅱ)当直线l1，l2不重合且斜率都不存在时，l1∥l2.
②两条直线垂直：
(ⅰ)如果两条直线l1，l2的斜率存在，设为k1，k2，则有l1⊥l2 k1·k2＝－1.
(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在，而另一条的斜率为0时，l1⊥l2.
(2)两条直线的交点
直线l1:A1x＋B1y＋C1＝0,l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1与l2的交点坐标就是方程组的解．
5．几种距离
(1)两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)之间的距离|P1P2|＝.
(2)点P0(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝.
(3)两条平行线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0(其中C1≠C2)间的距离d＝ .
三、典例剖析 举一反三
考点一 倾斜角与斜率
（一）典例剖析
例1 .直线的倾斜角是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】化直线为斜截式可得，所以直线的斜率为，设直线的倾斜角为，则．
【易错点】正切值易混
【方法点拨】我们平时在解题时能遇到的与斜率有关的公式如下： .本题利用直线方程求出直线的斜率，再利用倾斜角与斜率的关系求出倾斜角.
（二）举一反三
1、已知点A(1,3)，B(－2，－1)．若直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB恒相交，则k的取值范围是(　　)
A．k≥ B．k≤－2
C．k≥或k≤－2 D．－2≤k≤
【答案】D
【解析】　直线l：y＝k(x－2)＋1经过定点P(2,1)，∵kPA＝＝－2，kPB＝＝，
又直线l：y＝k(x－2)＋1与线段AB恒相交，∴－2≤k≤.
2、直线的斜率，则直线的倾斜角的范围为 ．
【答案】
【解析】因为，所以，即，又，所以直线的倾斜角的范围为．
3.若A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为________．
【答案】4
【解析】由题意知kAB＝kAC，即＝＝1，解得a＝4.
4.曲线在点P处的切线的斜率为4，则P点的坐标为（ ）
（A） （B）或
（C） （D）或
【答案】B
【解析】设, , .由导数的几何意义可得. ,
或.故选B.
考点二 直线方程
（一）典例剖析
例1. 求过点P（2，3），并且在两轴上的截距互为相反数的直线方程 （ ）
A．
B．或
C．
D．或
【答案】B
【解析】设或，将代入求出，或．
【易错点】容易忽视截距为零的情况,此时直线过原点.
【方法点拨】牵涉到横纵截距问题可以考虑设直线的截距式方程,但是要注意当直线过原点时,横纵截距同时为0,也满足要求.
（二）举一反三
1、把直线x－y＋－1＝0绕点（1，）逆时针旋转15°后，所得直线l的方程是
【答案】
【解析】由题可知，直线与x轴的夹角是45°，当其绕点逆时针旋转15°后，直线与x轴的夹角变成60°，此时直线的斜率，设直线，经过点（1，），解得b=0，故直线为；
2、直线经过的定点坐标为 ．
【答案】
【解析】整理得：，
即，则由，解得：，所以直线过定点．
考点三 直线位置关系
（一）典例剖析
例1过点（－1，3）且垂直于直线x－2y+3=0的直线方程为（ ）
A．2x+y－1=0 B．2x+y－5=0
C．x+2y－5=0 D．x－2y+7=0
【答案】A
【解析】设与直线x-2y+3=0垂直的直线为2x+y+c=0，把点（-1,3）代入，可得c=-1，所以所求直线方程为2x+y-1=0，故选A
【易错点】易遗忘两直线垂直斜率成积-1条件
【方法点拨】解决此题的关键是掌握简单的直线系方程，即: 与直线ax+by+c=0平行的直线为ax+by+n=0;与直线ax+by+c=0垂直的直线为bx-ay+m=0,
（二）举一反三
1、过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________．
【答案】3x－2y＝0或x＋y－5＝0
【解析】　解析　当截距为0时，直线方程为3x－2y＝0；
当截距不为0时，设直线方程为＋＝1，则＋＝1，解得a＝5.所以直线方程为x＋y－5＝0.
2.直线l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，则“m＝2”是“l1∥l2”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】　由l1∥l2得－m(m－1)＝1×(－2)，得m＝2或m＝－1，经验证，当m＝－1时，直线l1与l2重合，舍去，所以“m＝2”是“l1∥l2”的充要条件，故选C.
3.直线与直线互相垂直，则的值为（ ）
A． B. C． D．
【答案】C
【解析】当时，直线的斜率，直线的斜率，因为直线与直线互相垂直，则；
当时，直线化为，直线化为，二直线不垂直；当时，直线化为，直线化为，二直线不垂直；选
考点四 距离及综合问题
（一）典例剖析
例1直线2x＋2y＋1＝0，x＋y＋2＝0之间的距离是______．
【答案】
【解析】先将2x＋2y＋1＝0化为x＋y＋＝0，则两平行线间的距离为d＝＝.
【易错点】系数不统一
【方法点拨】平行线间的距离.
（二）举一反三
1、若P，Q分别为直线3x＋4y－12＝0与6x＋8y＋5＝0上任意一点，则|PQ|的最小值为(　　)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为＝≠，所以两直线平行，将直线3x＋4y－12＝0化为6x＋8y－24＝0，由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离，即＝，所以|PQ|的最小值
为.
2.已知入射光线经过点M(－3,4)，被直线l：x－y＋3＝0反射，反射光线经过点N(2,6)，则反射光线所在直线的方程为________．
【答案】6x－y－6＝0
【解析】设点M(－3,4)关于直线l：x－y＋3＝0的对称点为M′(a，b)，则反射光线所在直线过点M′，所以解得a＝1，b＝0.又反射光线经过点N(2,6)，所以所求直线的方程为＝，即6x－y－6＝0.
3.点是直线：上的动点，点，则的长的最小值是（ ）
（A） （B） （C） （D）
【答案】C
【解析】由点到直线的距离公式求得，点及直线的距离是，则的最小值是．
4.直线2x－y＋3＝0关于直线x－y＋2＝0对称的直线方程是______________．
【答案】x－2y＋3＝0
【解析】设所求直线上任意一点P(x，y)，则P关于x－y＋2＝0的对称点为P′(x0，y0)，
由得
∵点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上，∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0，即x－2y＋3＝0.
四、分层训练 能力进阶
【基础】
1、过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为　　
A． B．
C．或 D．或
【答案】D
【解析】当直线过原点时，可得斜率为，故直线方程为，即
当直线不过原点时，设方程为，代入点可得，解得，方程为，
故所求直线方程为：或，故选D．
2、过点且与直线平行的直线方程是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】因为所求直线与直线平行，所以设所求直线为，又过点，代入求出，所以所求直线为，故选A。
3、点 到直线的距离是________________.
【答案】
【解析】根据点到直线的距离公式.
4、直线kx＋y＋2＝－k，当k变化时，所有的直线都过定点______________．
【答案】(－1，－2)
【解析】　kx＋y＋2＝－k可化为y＋2＝－k(x＋1)，根据直线方程的点斜式可知，此类直线恒过定点(－1，－2)．
5、已知直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a的值是(　　)
A．1 B．－1
C．－2或－1 D．－2或1
【答案】D
【解析】　令x＝0，y＝2＋a，令y＝0，x＝，则2＋a＝.即(a＋2)(a－1)＝0，
∴a＝－2或a＝1.
6、过点引直线，使点，到它的距离相等，则这条直线的方程为 ．
【答案】
【解析】显然直符合题意，此直线过线段的中点，又，时方程为，化简为，因此所求直线方程为或．
【巩固】
1、直线关于轴对称的直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】∵直线：的斜率为，且于轴交于点，又∵直线与直线：关于轴对称，∴直线的斜率为，且过点，则直线的方程为，即.故选A．
2、若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l1与l2之间的距离为(　　)
A. B．4 C. D．2
【答案】C
【解析】∵l1∥l2，∴a≠2且a≠0，∴＝≠，解得a＝－1，
∴l1与l2的方程分别为l1：x－y＋6＝0，l2：x－y＋＝0，∴l1与l2的距离d＝＝.
3、已知两条直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0，l2：x＋ay＋3＝0平行，则a等于(　　)
A．－1 B．2
C．0或－2 D．－1或2
【答案】D
【解析】方法一　∵直线l1：(a－1)x＋2y＋1＝0的斜率存在．又∵l1∥l2，∴＝－，
∴a＝－1或a＝2，又两条直线在y轴上的截距不相等．∴a＝－1或a＝2时满足两条直线平行．
方法二　由A1B2－A2B1＝0得，(a－1)a－1×2＝0，解得a＝－1或a＝2.
由A1C2－A2C1≠0，得(a－1)×3－1×1≠0.所以a＝－1或a＝2.
【拔高】
1．若直线l1：x－3y＋2＝0与直线l2：mx－y＋b＝0关于x轴对称，则m＋b＝(　　)
A. B．－1
C．－ D．1
【答案】B
【解析】　直线l1：x－3y＋2＝0关于x轴对称的直线为x＋3y＋2＝0.由题意知m≠0.
因为mx－y＋b＝0，即x－＋＝0，且直线l1与l2关于x轴对称，
所以有解得则m＋b＝－＋＝－1.
2．已知A，B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且|PA|＝|PB|，若直线PA的方程为x－y＋1＝0，则直线PB的方程是(　　)
A．2x＋y－7＝0 B．x＋y－5＝0
C．2y－x－4＝0 D．2x－y－1＝0
【答案】B
【解析】　由|PA|＝|PB|得点P一定在线段AB的垂直平分线上，根据直线PA的方程为x－y＋1＝0，可得A(－1,0)，将x＝2代入直线x－y＋1＝0，得y＝3，所以P(2，3)，所以B(5,0)，所以直线PB的方程是x＋y－5＝0，选B.
3.如图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则 (　　)
A．k1C．k3【答案】D
【解析】直线l1的倾斜角α1是钝角，故k1<0，直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2>α3，所以0因此k14.若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离的最小值为(　　)
A. B. C．2 D．2
【答案】A
【解析】联立解得x＝1，y＝2.把(1,2)代入mx＋ny＋5＝0可得，m＋2n＋5＝0.
∴m＝－5－2n.∴点(m，n)到原点的距离d＝＝＝≥，
当n＝－2，m＝－1时取等号．∴点(m，n)到原点的距离的最小值为.

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