第29讲 直线与方程讲义-2022届高考一轮复习理科数学( 全国通用版)

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第29讲 直线与方程讲义-2022届高考一轮复习理科数学( 全国通用版)

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第二十九讲 直线与方程
一、自我诊断 知己知彼
1.如果A·C<0且B·C<0,那么直线Ax+By+C=0不通过(  )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2. 若过点M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于1,则m的值为(  )
A.1 B.4 C.1或3 D.1或4
3.线2x+(m+1)y+4=0与直线mx+3y-2=0平行,则m等于(  )
A.2 B.-3 C.2或-3 D.-2或-3
4.若直线(3a+2)x+(1-4a)y+8=0与(5a-2)x+(a+4)y-7=0垂直,则a=________.
5.已知点(a,2)(a>0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a等于(  )
A. B.2- C.-1 D.+1
二、温故知新 夯实基础
1.直线的倾斜角
(1)定义:当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°.
(2)范围:直线l倾斜角的范围是[0°,180°).
2.斜率公式
(1)若直线l的倾斜角α≠90°,则斜率k=tan_α.
(2)P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直线l上且x1≠x2,则l的斜率k=.
3.直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 y-y0=k(x-x0) 不含直线x=x0
斜截式 y=kx+b 不含垂直于x轴的直线
两点式 = 不含直线x=x1 (x1≠x2)和直线y=y1 (y1≠y2)
截距式 +=1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax+By+C=0(A2+B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用
4.两条直线的位置关系
(1)两条直线平行与垂直
①两条直线平行:
(ⅰ)对于两条不重合的直线l1,l2,若其斜率分别为k1,k2,则有l1∥l2 k1=k2.
(ⅱ)当直线l1,l2不重合且斜率都不存在时,l1∥l2.
②两条直线垂直:
(ⅰ)如果两条直线l1,l2的斜率存在,设为k1,k2,则有l1⊥l2 k1·k2=-1.
(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在,而另一条的斜率为0时,l1⊥l2.
(2)两条直线的交点
直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则l1与l2的交点坐标就是方程组的解.
5.几种距离
(1)两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离|P1P2|=.
(2)点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=.
(3)两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0(其中C1≠C2)间的距离d= .
三、典例剖析 举一反三
考点一 倾斜角与斜率
(一)典例剖析
例1 .直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
(二)举一反三
1、已知点A(1,3),B(-2,-1).若直线l:y=k(x-2)+1与线段AB恒相交,则k的取值范围是(  )
A.k≥ B.k≤-2
C.k≥或k≤-2 D.-2≤k≤
2、直线的斜率,则直线的倾斜角的范围为 .
3.若A(4,3),B(5,a),C(6,5)三点共线,则a的值为________.
4.曲线在点P处的切线的斜率为4,则P点的坐标为( )
(A) (B)或
(C) (D)或
考点二 直线方程
(一)典例剖析
例1. 求过点P(2,3),并且在两轴上的截距互为相反数的直线方程 ( )
A. B.或
C. D.或
(二)举一反三
1、把直线x-y+-1=0绕点(1,)逆时针旋转15°后,所得直线l的方程是
2、直线经过的定点坐标为 .
考点三 直线位置关系
(一)典例剖析
例1过点(-1,3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为( )
A.2x+y-1=0 B.2x+y-5=0
C.x+2y-5=0 D.x-2y+7=0
(二)举一反三
1、过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________.
2.直线l1:mx-2y+1=0,l2:x-(m-1)y-1=0,则“m=2”是“l1∥l2”的(  )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.直线与直线互相垂直,则的值为( )
A. B. C. D.
考点四 距离及综合问题
(一)典例剖析
例1直线2x+2y+1=0,x+y+2=0之间的距离是______.
(二)举一反三
1、若P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0上任意一点,则|PQ|的最小值为(  )
A. B. C. D.
2.已知入射光线经过点M(-3,4),被直线l:x-y+3=0反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为________.
3.点是直线:上的动点,点,则的长的最小值是( )
A. B. C. D.
4.直线2x-y+3=0关于直线x-y+2=0对称的直线方程是______________.
四、分层训练 能力进阶
【基础】
1、过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零,则该直线方程为  
A. B.
C.或 D.或
2、过点且与直线平行的直线方程是( ).
A. B.
C. D.
3、点 到直线的距离是________________.
4、直线kx+y+2=-k,当k变化时,所有的直线都过定点______________.
5、已知直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则a的值是(  )
A.1 B.-1
C.-2或-1 D.-2或1
6、过点引直线,使点,到它的距离相等,则这条直线的方程为 .
【巩固】
1、直线关于轴对称的直线方程为( )
A. B.
C. D.
2、若直线l1:x+ay+6=0与l2:(a-2)x+3y+2a=0平行,则l1与l2之间的距离为(  )
A. B.4 C. D.2
3、已知两条直线l1:(a-1)x+2y+1=0,l2:x+ay+3=0平行,则a等于(  )
A.-1 B.2
C.0或-2 D.-1或2
【拔高】
1.若直线l1:x-3y+2=0与直线l2:mx-y+b=0关于x轴对称,则m+b=(  )
A. B.-1
C.- D.1
2.已知A,B是x轴上的两点,点P的横坐标为2,且|PA|=|PB|,若直线PA的方程为x-y+1=0,则直线PB的方程是(  )
A.2x+y-7=0 B.x+y-5=0
C.2y-x-4=0 D.2x-y-1=0
3.如图中的直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则 (  )
A.k1C.k34.若三条直线y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0相交于同一点,则点(m,n)到原点的距离的最小值为(  )
A. B. C.2 D.2第二十九讲 直线与方程
一、自我诊断 知己知彼
1.如果A·C<0且B·C<0,那么直线Ax+By+C=0不通过(  )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】C
【解析】由已知得直线Ax+By+C=0在x轴上的截距->0,在y轴上的截距->0,故直线经过第一、二、四象限,不经过第三象限.
2. 若过点M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于1,则m的值为(  )
A.1 B.4 C.1或3 D.1或4
【答案】A
【解析】由题意得=1,解得m=1.
3.线2x+(m+1)y+4=0与直线mx+3y-2=0平行,则m等于(  )
A.2 B.-3 C.2或-3 D.-2或-3
【答案】C
【解析】直线2x+(m+1)y+4=0与直线mx+3y-2=0平行,则有=≠,故m=2或-3.故选C.
4.若直线(3a+2)x+(1-4a)y+8=0与(5a-2)x+(a+4)y-7=0垂直,则a=________.
【答案】0或1
【解析】由两直线垂直的充要条件,得(3a+2)(5a-2)+(1-4a)(a+4)=0,解得a=0或a=1.
5.已知点(a,2)(a>0)到直线l:x-y+3=0的距离为1,则a等于(  )
A. B.2- C.-1 D.+1
【答案】C
【解析】由题意得=1.解得a=-1+或a=-1-.∵a>0,∴a=-1+.
二、温故知新 夯实基础
1.直线的倾斜角
(1)定义:当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准,x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角.当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°.
(2)范围:直线l倾斜角的范围是[0°,180°).
2.斜率公式
(1)若直线l的倾斜角α≠90°,则斜率k=tan_α.
(2)P1(x1,y1),P2(x2,y2)在直线l上且x1≠x2,则l的斜率k=.
3.直线方程的五种形式
名称 方程 适用范围
点斜式 y-y0=k(x-x0) 不含直线x=x0
斜截式 y=kx+b 不含垂直于x轴的直线
两点式 = 不含直线x=x1 (x1≠x2)和直线y=y1 (y1≠y2)
截距式 +=1 不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式 Ax+By+C=0(A2+B2≠0) 平面直角坐标系内的直线都适用
4.两条直线的位置关系
(1)两条直线平行与垂直
①两条直线平行:
(ⅰ)对于两条不重合的直线l1,l2,若其斜率分别为k1,k2,则有l1∥l2 k1=k2.
(ⅱ)当直线l1,l2不重合且斜率都不存在时,l1∥l2.
②两条直线垂直:
(ⅰ)如果两条直线l1,l2的斜率存在,设为k1,k2,则有l1⊥l2 k1·k2=-1.
(ⅱ)当其中一条直线的斜率不存在,而另一条的斜率为0时,l1⊥l2.
(2)两条直线的交点
直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则l1与l2的交点坐标就是方程组的解.
5.几种距离
(1)两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离|P1P2|=.
(2)点P0(x0,y0)到直线l:Ax+By+C=0的距离d=.
(3)两条平行线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0(其中C1≠C2)间的距离d= .
三、典例剖析 举一反三
考点一 倾斜角与斜率
(一)典例剖析
例1 .直线的倾斜角是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】化直线为斜截式可得,所以直线的斜率为,设直线的倾斜角为,则.
【易错点】正切值易混
【方法点拨】我们平时在解题时能遇到的与斜率有关的公式如下: .本题利用直线方程求出直线的斜率,再利用倾斜角与斜率的关系求出倾斜角.
(二)举一反三
1、已知点A(1,3),B(-2,-1).若直线l:y=k(x-2)+1与线段AB恒相交,则k的取值范围是(  )
A.k≥ B.k≤-2
C.k≥或k≤-2 D.-2≤k≤
【答案】D
【解析】 直线l:y=k(x-2)+1经过定点P(2,1),∵kPA==-2,kPB==,
又直线l:y=k(x-2)+1与线段AB恒相交,∴-2≤k≤.
2、直线的斜率,则直线的倾斜角的范围为 .
【答案】
【解析】因为,所以,即,又,所以直线的倾斜角的范围为.
3.若A(4,3),B(5,a),C(6,5)三点共线,则a的值为________.
【答案】4
【解析】由题意知kAB=kAC,即==1,解得a=4.
4.曲线在点P处的切线的斜率为4,则P点的坐标为( )
(A) (B)或
(C) (D)或
【答案】B
【解析】设, , .由导数的几何意义可得. ,
或.故选B.
考点二 直线方程
(一)典例剖析
例1. 求过点P(2,3),并且在两轴上的截距互为相反数的直线方程 ( )
A.
B.或
C.
D.或
【答案】B
【解析】设或,将代入求出,或.
【易错点】容易忽视截距为零的情况,此时直线过原点.
【方法点拨】牵涉到横纵截距问题可以考虑设直线的截距式方程,但是要注意当直线过原点时,横纵截距同时为0,也满足要求.
(二)举一反三
1、把直线x-y+-1=0绕点(1,)逆时针旋转15°后,所得直线l的方程是
【答案】
【解析】由题可知,直线与x轴的夹角是45°,当其绕点逆时针旋转15°后,直线与x轴的夹角变成60°,此时直线的斜率,设直线,经过点(1,),解得b=0,故直线为;
2、直线经过的定点坐标为 .
【答案】
【解析】整理得:,
即,则由,解得:,所以直线过定点.
考点三 直线位置关系
(一)典例剖析
例1过点(-1,3)且垂直于直线x-2y+3=0的直线方程为( )
A.2x+y-1=0 B.2x+y-5=0
C.x+2y-5=0 D.x-2y+7=0
【答案】A
【解析】设与直线x-2y+3=0垂直的直线为2x+y+c=0,把点(-1,3)代入,可得c=-1,所以所求直线方程为2x+y-1=0,故选A
【易错点】易遗忘两直线垂直斜率成积-1条件
【方法点拨】解决此题的关键是掌握简单的直线系方程,即: 与直线ax+by+c=0平行的直线为ax+by+n=0;与直线ax+by+c=0垂直的直线为bx-ay+m=0,
(二)举一反三
1、过点P(2,3)且在两坐标轴上截距相等的直线方程为________________.
【答案】3x-2y=0或x+y-5=0
【解析】 解析 当截距为0时,直线方程为3x-2y=0;
当截距不为0时,设直线方程为+=1,则+=1,解得a=5.所以直线方程为x+y-5=0.
2.直线l1:mx-2y+1=0,l2:x-(m-1)y-1=0,则“m=2”是“l1∥l2”的(  )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】 由l1∥l2得-m(m-1)=1×(-2),得m=2或m=-1,经验证,当m=-1时,直线l1与l2重合,舍去,所以“m=2”是“l1∥l2”的充要条件,故选C.
3.直线与直线互相垂直,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】当时,直线的斜率,直线的斜率,因为直线与直线互相垂直,则;
当时,直线化为,直线化为,二直线不垂直;当时,直线化为,直线化为,二直线不垂直;选
考点四 距离及综合问题
(一)典例剖析
例1直线2x+2y+1=0,x+y+2=0之间的距离是______.
【答案】
【解析】先将2x+2y+1=0化为x+y+=0,则两平行线间的距离为d==.
【易错点】系数不统一
【方法点拨】平行线间的距离.
(二)举一反三
1、若P,Q分别为直线3x+4y-12=0与6x+8y+5=0上任意一点,则|PQ|的最小值为(  )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因为=≠,所以两直线平行,将直线3x+4y-12=0化为6x+8y-24=0,由题意可知|PQ|的最小值为这两条平行直线间的距离,即=,所以|PQ|的最小值
为.
2.已知入射光线经过点M(-3,4),被直线l:x-y+3=0反射,反射光线经过点N(2,6),则反射光线所在直线的方程为________.
【答案】6x-y-6=0
【解析】设点M(-3,4)关于直线l:x-y+3=0的对称点为M′(a,b),则反射光线所在直线过点M′,所以解得a=1,b=0.又反射光线经过点N(2,6),所以所求直线的方程为=,即6x-y-6=0.
3.点是直线:上的动点,点,则的长的最小值是( )
(A) (B) (C) (D)
【答案】C
【解析】由点到直线的距离公式求得,点及直线的距离是,则的最小值是.
4.直线2x-y+3=0关于直线x-y+2=0对称的直线方程是______________.
【答案】x-2y+3=0
【解析】设所求直线上任意一点P(x,y),则P关于x-y+2=0的对称点为P′(x0,y0),
由得
∵点P′(x0,y0)在直线2x-y+3=0上,∴2(y-2)-(x+2)+3=0,即x-2y+3=0.
四、分层训练 能力进阶
【基础】
1、过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零,则该直线方程为  
A. B.
C.或 D.或
【答案】D
【解析】当直线过原点时,可得斜率为,故直线方程为,即
当直线不过原点时,设方程为,代入点可得,解得,方程为,
故所求直线方程为:或,故选D.
2、过点且与直线平行的直线方程是( ).
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】因为所求直线与直线平行,所以设所求直线为,又过点,代入求出,所以所求直线为,故选A。
3、点 到直线的距离是________________.
【答案】
【解析】根据点到直线的距离公式.
4、直线kx+y+2=-k,当k变化时,所有的直线都过定点______________.
【答案】(-1,-2)
【解析】 kx+y+2=-k可化为y+2=-k(x+1),根据直线方程的点斜式可知,此类直线恒过定点(-1,-2).
5、已知直线l:ax+y-2-a=0在x轴和y轴上的截距相等,则a的值是(  )
A.1 B.-1
C.-2或-1 D.-2或1
【答案】D
【解析】 令x=0,y=2+a,令y=0,x=,则2+a=.即(a+2)(a-1)=0,
∴a=-2或a=1.
6、过点引直线,使点,到它的距离相等,则这条直线的方程为 .
【答案】
【解析】显然直符合题意,此直线过线段的中点,又,时方程为,化简为,因此所求直线方程为或.
【巩固】
1、直线关于轴对称的直线方程为( )
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】∵直线:的斜率为,且于轴交于点,又∵直线与直线:关于轴对称,∴直线的斜率为,且过点,则直线的方程为,即.故选A.
2、若直线l1:x+ay+6=0与l2:(a-2)x+3y+2a=0平行,则l1与l2之间的距离为(  )
A. B.4 C. D.2
【答案】C
【解析】∵l1∥l2,∴a≠2且a≠0,∴=≠,解得a=-1,
∴l1与l2的方程分别为l1:x-y+6=0,l2:x-y+=0,∴l1与l2的距离d==.
3、已知两条直线l1:(a-1)x+2y+1=0,l2:x+ay+3=0平行,则a等于(  )
A.-1 B.2
C.0或-2 D.-1或2
【答案】D
【解析】方法一 ∵直线l1:(a-1)x+2y+1=0的斜率存在.又∵l1∥l2,∴=-,
∴a=-1或a=2,又两条直线在y轴上的截距不相等.∴a=-1或a=2时满足两条直线平行.
方法二 由A1B2-A2B1=0得,(a-1)a-1×2=0,解得a=-1或a=2.
由A1C2-A2C1≠0,得(a-1)×3-1×1≠0.所以a=-1或a=2.
【拔高】
1.若直线l1:x-3y+2=0与直线l2:mx-y+b=0关于x轴对称,则m+b=(  )
A. B.-1
C.- D.1
【答案】B
【解析】 直线l1:x-3y+2=0关于x轴对称的直线为x+3y+2=0.由题意知m≠0.
因为mx-y+b=0,即x-+=0,且直线l1与l2关于x轴对称,
所以有解得则m+b=-+=-1.
2.已知A,B是x轴上的两点,点P的横坐标为2,且|PA|=|PB|,若直线PA的方程为x-y+1=0,则直线PB的方程是(  )
A.2x+y-7=0 B.x+y-5=0
C.2y-x-4=0 D.2x-y-1=0
【答案】B
【解析】 由|PA|=|PB|得点P一定在线段AB的垂直平分线上,根据直线PA的方程为x-y+1=0,可得A(-1,0),将x=2代入直线x-y+1=0,得y=3,所以P(2,3),所以B(5,0),所以直线PB的方程是x+y-5=0,选B.
3.如图中的直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则 (  )
A.k1C.k3【答案】D
【解析】直线l1的倾斜角α1是钝角,故k1<0,直线l2与l3的倾斜角α2与α3均为锐角且α2>α3,所以0因此k14.若三条直线y=2x,x+y=3,mx+ny+5=0相交于同一点,则点(m,n)到原点的距离的最小值为(  )
A. B. C.2 D.2
【答案】A
【解析】联立解得x=1,y=2.把(1,2)代入mx+ny+5=0可得,m+2n+5=0.
∴m=-5-2n.∴点(m,n)到原点的距离d===≥,
当n=-2,m=-1时取等号.∴点(m,n)到原点的距离的最小值为.

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