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第三十讲 圆
一、自我诊断 知己知彼
1. 以点A（-5，4）为圆心，4为半径的圆的方程是（ ）
A. B.
C. D.
2．圆M：x2＋y2＋2x＋2y－5＝0的圆心坐标为(　　)
A．(1，) B．(1，－)
C．(－1，) D．(－1，－)
3．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－3，－1] B．[－1,3]
C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
4．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为(　　)
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
5．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　)
A．相切 B．相交
C．相离 D．不确定
二、温故知新 夯实基础
1．圆的定义与方程
定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
方程 标准式 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心为(a，b)
半径为r
一般式 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 充要条件：D2＋E2－4F>0
圆心坐标：
半径r＝
2．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系．
dr 相离．
(2)代数法：
3．圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，
圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0).
方法 位置关系　 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况
外离 d>r1＋r2 无解
外切 d＝r1＋r2 一组实数解
相交 |r1－r2|内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解
内含 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 无解
三、典例剖析 举一反三
考点一 圆的方程
（一）典例剖析
例1 已知点，，则以线段为直径的圆的方程是 ．
（二）举一反三
1、圆的圆心到直线的距离 .
2、若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是(　　)
A．－1C．a>1或a<－1 D．a＝±4
3.点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是(　　)
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
4.若圆经过点（2,0）,（0,4）,（0,2）求：
（1）圆的方程
（2）圆的圆心和半径
考点二 直线与圆位置关系
（一）典例剖析
例1 过点A(4,1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2，1)，则圆C的方程为__________．
（二）举一反三
1.直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
2.直线被圆截得弦的长为 ．
3.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的标准方程为________________．
4..以为圆心，并且与直线相切的圆的方程为 .
考点三 两圆位置关系
（一）典例剖析
例1已知点P在圆x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是__________．
（二）举一反三
1、圆与圆的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．内含
2两圆C1：x2＋y2＋2x－6y－26＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋4＝0的位置关系是(　　)
A．内切 B．外切
C．相交 D．外离
3.若圆与圆的公共弦的长为8，则___________．
考点四 圆的综合问题
（一）典例剖析
例1已知圆C：x2+y2+4x﹣6y﹣3=0．
（1）求过点M（﹣6，﹣5）的圆C的切线方程；
（2）过点N（1，3）作直线与圆C交于A、B两点，求△ABC的最大面积及此时直线AB的斜率．
（二）举一反三
1、圆上的点到直线的距离的最小值是
2．圆与圆的公共弦的长为　　
A． B． C． D．
3.已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.
(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；
(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2时，求直线l的方程．
四、分层训练 能力进阶
【基础】
1、已知直线与圆相交于，两点，则　　
A． B． C． D．2
2、与圆（x－2）2＋（y＋1）2＝4外切于点A（4，－1）且半径为1的圆的方程为________．
3、设为直线与圆的两个交点，则（ ）
A． B． C． D．
4、圆与直线的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交或相切
C．相交 D．相交，相切或相离
5、已知直线是圆的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则　　
A．1 B．2 C．4 D．8
6、直线与圆相切，则　　
A．或15 B．5或 C．或1 D．或21
【巩固】
1、若点在圆上，弦的中点为，则直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
2、已知点是圆 内的一点，直线是以为中点的弦所在直线，直线的方程为，那么（ ）
A、与圆相交 B、与圆相切
B、与圆相离 D、与圆相离
3、直线与圆相交于两点，且，则实数的值等于（ ）
A． B．1
C．或 D．1或-1
4、直线被圆所截得的最短弦长等于（ ）
A． B． C． D．
5.一个圆的圆心在直线x- y -1= 0上，与直线4x + 3y + 14 = 0相切，在3x+4y+10=0上截得弦长为6，求圆的方程．
【拔高】
1．已知圆，直线．若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则的值为　　
A．2 B．3 C．4 D．6
2由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为________．
3．已知点和点关于直线对称，斜率为的直线过点交于点，若的面积为2，则的值为　　
A．3或 B．0 C． D．3
4．圆是以直线上的定点为圆心，半径，圆的方程为　　
A． B．
C． D．
5．已知圆M：(x－2)2＋(y－2)2＝2，圆N：x2＋(y－8)2＝40，经过原点的两直线l1，l2满足l1⊥l2，且l1交圆M于不同两点A，B，l2交圆N于不同两点C，D，记l1的斜率为k.
(1)求k的取值范围；
(2)若四边形ABCD为梯形，求k的值．
6．已知曲线C上任意一点到点A(1，－2)的距离与到点B(2，－4)的距离之比均为.
(1)求曲线C的方程；
(2)设点P(1，－3)，过点P作两条相异的直线分别与曲线C相交于E，F两点，且直线PE和直线PF的倾斜角互补，求线段EF的最大值．第三十讲 圆
一、自我诊断 知己知彼
1. 以点A（-5，4）为圆心，4为半径的圆的方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】圆的标准方程为：，圆心为，半径为，所以方程为：，故选C.
2．圆M：x2＋y2＋2x＋2y－5＝0的圆心坐标为(　　)
A．(1，) B．(1，－) C．(－1，) D．(－1，－)
【答案】D
【解析】圆M的圆心坐标为x＝－＝－1.y＝－＝－.故选D.
3．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是(　　)
A．[－3，－1] B．[－1,3]
C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)
答案　C
【解析】由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为，∴≤，即|a＋1|≤2，解得－3≤a≤1.
4．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为(　　)
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
【答案】B
【解析】两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d＝＝.
∵3－25．已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是(　　)
A．相切 B．相交
C．相离 D．不确定
【答案】B
【解析】　因为M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，所以a2＋b2>1，而圆心O到直线ax＋by＝1的距离
d＝＝<1.所以直线与圆相交．
二、温故知新 夯实基础
1．圆的定义与方程
定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆
方程 标准式 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0) 圆心为(a，b)
半径为r
一般式 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 充要条件：D2＋E2－4F>0
圆心坐标：
半径r＝
2．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法
(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆的半径r的大小关系．
dr 相离．
(2)代数法：
3．圆与圆的位置关系
设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，
圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0).
方法 位置关系　 几何法：圆心距d与r1，r2的关系 代数法：联立两圆方程组成方程组的解的情况
外离 d>r1＋r2 无解
外切 d＝r1＋r2 一组实数解
相交 |r1－r2|内切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一组实数解
内含 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 无解
三、典例剖析 举一反三
考点一 圆的方程
（一）典例剖析
例1 已知点，，则以线段为直径的圆的方程是 ．
【答案】
【解析】根据中点坐标公式知以线段为直径的圆的圆心为（-1，1），半径为,所以所求圆的方程为.
【易错点】中点公式易出错
【方法点拨】求圆的标准方程，关键是求出圆心和半径.利用中点坐标公式求出圆心,再用两点间距离公式求出半径.
（二）举一反三
1、圆的圆心到直线的距离 .
【答案】3
【解析】由已知圆心为，由点到直线的距离公式得，
2、若点(1,1)在圆(x－a)2＋(y＋a)2＝4的内部，则实数a的取值范围是(　　)
A．－1C．a>1或a<－1 D．a＝±4
【答案】A
【解析】∵点(1,1)在圆内，∴(1－a)2＋(a＋1)2<4，即－13.点P(4，－2)与圆x2＋y2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是(　　)
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
【答案】A
【解析】设圆上任意一点为(x1，y1)，中点为(x，y)，则即
代入x2＋y2＝4得(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化简得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
4.若圆经过点（2,0）,（0,4）,（0,2）求：
（1）圆的方程
（2）圆的圆心和半径
【答案】（1）；（2）圆心为（3,3），半径.
【解析】（1）设圆的一般式为将已知点代入方程得解得,所以圆的方程为
(2)，所以圆心为（3,3）=
考点二 直线与圆位置关系
（一）典例剖析
例1 过点A(4,1)的圆C与直线x－y－1＝0相切于点B(2，1)，则圆C的方程为__________．
【答案】(x－3)2＋y2＝2
【解析】方法一　由已知kAB＝0，所以AB的中垂线方程为x＝3.①
过点B且垂直于直线x－y－1＝0的直线方程为y－1＝－(x－2)，即x＋y－3＝0，②
联立①②，解得所以圆心坐标为(3,0)，半径r＝＝，
所以圆C的方程为(x－3)2＋y2＝2.
方法二　设圆方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，因为点A(4,1)，B(2,1)都在圆上，故
又因为＝－1，解得a＝3，b＝0，r＝，
故所求圆的方程为(x－3)2＋y2＝2.
【易错点】利用代数法判断直线与圆的位置关系时的注意点
(1)代入消元过程中消x还是消y取决于直线方程的特点，尽量减少分类讨论，如若直线方程为x－ay＋1＝0，则应将其化为x＝ay－1，然后代入消x.
(2)利用判别式判断方程是否有根时，应注意二次项系数是否为零，若二次项系数为零，则判别式无意义．
【方法点拨】 (1)直接法：直接求出圆心坐标和半径，写出方程．
(2)待定系数法
①若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，求出a，b，r的值；
②选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值
（二）举一反三
1.直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是(　　)
A．相交 B．相切
C．相离 D．不确定
【答案】A
【解析】　方法一　由题意知，圆心(0,1)到直线l的距离d＝<1<，故直线l与圆相交．
方法二　直线l：mx－y＋1－m＝0过定点(1,1)，因为点(1,1)在圆x2＋(y－1)2＝5的内部，
所以直线l与圆相交．
2.直线被圆截得弦的长为 ．
【答案】
【解析】将圆的方程化为标准式，可得，利用点到直线的距离可以求得弦心距为，根据圆中的特殊三角形，可知其弦长为．
3.已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上，且圆心到直线2x－y＝0的距离为，则圆C的标准方程为________________．
【答案】(x－2)2＋y2＝9
【解析】因为圆C的圆心在x轴的正半轴上，设C(a,0)，且a＞0，所以圆心到直线2x－y＝0的距离d＝＝，解得a＝2，所以圆C的半径r＝|CM|＝＝3，所以圆C的标准方程为(x－2)2＋y2＝9.
4..以为圆心，并且与直线相切的圆的方程为 .
【答案】或
【解析】因为 ，所以，所求圆的方程为：，化为一般方程为：，所以答案应填：或.
考点三 两圆位置关系
（一）典例剖析
例1已知点P在圆x2＋y2－8x－4y＋11＝0上，点Q在圆x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0上，则|PQ|的最小值是__________．
【答案】3－5
【解析】两圆的圆心和半径分别为C1（4,2），r1＝3，C2（－2，－1），r2＝2，∴|PQ|min＝|C1C2|－r1－r2＝－3－2＝3－5.
【易错点】(1)混淆圆与圆的位置关系及直线与圆的位置关系的判断方法．一定要牢记，联立两圆方程，构成方程组，当方程组有一组解时，两圆只有一个交点，两圆可能外切，也可能内切；当方程组无解时，两圆没有交点，两圆可能外离，也可能内含．
(2)求两圆公共弦所在的直线或弦长时，方法不当(采用求交点后，求公共弦长或公共弦所在的直线方程)而致误．
【方法点拨】利用几何性质处理圆中的最值问题.
（二）举一反三
1、圆与圆的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．内含
【答案】B
【解析】因,则,故两圆相交,应选B.
2两圆C1：x2＋y2＋2x－6y－26＝0，C2：x2＋y2－4x＋2y＋4＝0的位置关系是(　　)
A．内切 B．外切
C．相交 D．外离
【答案】A
【解析】　由于圆C1的标准方程为(x＋1)2＋(y－3)2＝36，故圆心为C1(－1,3)，半径为6；圆C2的标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝1，故圆心为C2(2，－1)，半径为1.因此，两圆的圆心距|C1C2|＝＝5＝6－1，显然两圆内切．
3.若圆与圆的公共弦的长为8，则___________．
【答案】或.
【解析】将两圆的方程相减即可得到两圆公共弦所在的直线方程即，根据弦长与半径以及弦心距之间的关系即可得到，即可得到，从而解得或.
考点四 圆的综合问题
（一）典例剖析
例1已知圆C：x2+y2+4x﹣6y﹣3=0．
（1）求过点M（﹣6，﹣5）的圆C的切线方程；
（2）过点N（1，3）作直线与圆C交于A、B两点，求△ABC的最大面积及此时直线AB的斜率．
【答案】（1）或；（2），．
【解析】(1)圆C：x2+y2+4x﹣6y﹣3=0，即（x+2）2+（y﹣3）2=16,表示以（﹣2，3）为圆心,半径等于4的圆．
由于点M（﹣6，﹣5）到圆心的距离等于=4,大于半径4,故点M在圆的外部．
当切线的斜率不存在时，切线方程为x=﹣6符合题意．
当切线的斜率存在时，设切线斜率为k，则切线方程为y+5=k（x+6），即kx﹣y+6k﹣5=0，
所以，圆心到切线的距离等于半径，即=4，解得k=,此时，切线为3x﹣4y﹣2=0．
综上可得，圆的切线方程为x=﹣6，或3x﹣4y﹣2=0．
（2）当直线AB的斜率不存在时，x=1，y=3±，△ABC的面积S=3当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y﹣3=k（x﹣1），即kx﹣y+3﹣k=0，
圆心（﹣2，3）到直线AB的距离d=，线段AB的长度|AB|=2，
∴△ABC的面积S=|AB|d=≤=8
当且仅当d2=8时取等号，此时=2，解得k=±2．
所以，△OAB的最大面积为8，此时直线AB的斜率为±2．
【易错点】求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意切线斜率不存在的情况．
【方法点拨】本题主要考查了圆的切线方程的求解、直线与圆的位置关系的应用，其中涉及到点到直线的距离公式、基本不等式的应用、三角形的面积等知识的应用，着重考查了分类讨论思想和学生的推理与运算能力，解答中当直线的斜率存在时，设直线的方程，利用圆心到直线的距离和线段的长度表示出三角形的面积是解答的关键．属于中档试题．
（二）举一反三
1、圆上的点到直线的距离的最小值是
【答案】4
【解析】先看圆心到直线的距离，结果大于半径，可知直线与圆相离，进而可知圆上的点到直线的最小距离为圆心到直线的距离减去圆的半径。圆心（0，0）到直线的距离为：，∴圆上的点到直线的最小距离为：5-1=4，故答案为：4
2．圆与圆的公共弦的长为　　
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】圆与圆方程相减得：，
圆心到直线的距离，，
则公共弦长为．故选：．
3.已知圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.
(1)当a为何值时，直线l与圆C相切；
(2)当直线l与圆C相交于A，B两点，且|AB|＝2时，求直线l的方程．
【答案】(1) a＝－，（2）x－y＋2＝0或7x－y＋14＝0.
【解析】(1)根据题意，圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，则圆C的标准方程为x2＋(y－4)2＝4，其圆心为(0,4)，半径r＝2，若直线l与圆C相切，则有＝2，解得a＝－.
(2)设圆心C到直线l的距离为d，则2＋d2＝r2，即2＋d2＝4，解得d＝，
则有d＝＝，解得a＝－1或－7，则直线l的方程为x－y＋2＝0或7x－y＋14＝0.
四、分层训练 能力进阶
【基础】
1、已知直线与圆相交于，两点，则　　
A． B． C． D．2
【答案】C
【解析】由，得．
圆的圆心坐标为，半径为．圆心到直线的距离，
．故选：．
2、与圆（x－2）2＋（y＋1）2＝4外切于点A（4，－1）且半径为1的圆的方程为________．
【答案】（x－5）2＋（y＋1）2＝1
【解析】设所求圆的圆心为P（a，b），则＝1①
由两圆外切，得＝1＋2＝3②
联立①②，解得a＝5，b＝－1，所以，所求圆的方程为（x－5）2＋（y＋1）2＝1.
3、设为直线与圆的两个交点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由圆的圆心坐标为，半径为，因为圆心在直线上，所以弦为圆的直径，所以，故选D.
4、圆与直线的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交或相切
C．相交 D．相交，相切或相离
【答案】B
【解析】由直线的性质可得其恒过定点，将点代入，
得，则直线过圆上的点，所以直线与圆的位置关系为相交或相切，故选项为B.
5、已知直线是圆的对称轴，过点作圆的一条切线，切点为，则　　
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【解析】已知直线是圆的对称轴，
圆心，半径，所以直线过圆心，故，故，
所以点，，，
故选：．
6、直线与圆相切，则　　
A．或15 B．5或 C．或1 D．或21
【答案】A
【解析】圆的标准方程为，
直线与圆相切，
由圆心到直线的距离等于半径得，，
故，或15，故选：．
【巩固】
1、若点在圆上，弦的中点为，则直线的方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为直线的斜率为，所以由垂径定理得直线的斜率为，直线的方程是，，选D．
2、已知点是圆 内的一点，直线是以为中点的弦所在直线，直线的方程为，那么（ ）
A、与圆相交 B、与圆相切
B、与圆相离 D、与圆相离
【答案】C
【解析】以点为中点的弦所在的直线的斜率是，直线，点是圆内一点，所以，所以圆心到距离是，故相离，故选C．
3、直线与圆相交于两点，且，则实数的值等于（ ）
A． B．1
C．或 D．1或-1
【答案】C
【解析】因,故,即,应选C.
4、直线被圆所截得的最短弦长等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】直线过定点，此点在圆内，圆的圆心为，半径为，弦长最短时，直线与垂直，，则最短弦长为．故选C．
5.一个圆的圆心在直线x- y -1= 0上，与直线4x + 3y + 14 = 0相切，在3x+4y+10=0上截得弦长为6，求圆的方程．
【答案】.
【解析】由题意设圆心为，半径为，利用圆与直线相切，在上截得弦长为，列出方程组，求出，，得到圆的方程．
试题解析：由圆心在直线上，可设圆心为，半径为，由题意可得，经计算得，
所以所求圆的方程为.
【拔高】
1．已知圆，直线．若圆上恰有三个点到直线的距离为1，则的值为　　
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】A
【解析】圆心，则点到直线的距离，
又因为圆上恰有三个点到直线的距离为1，所以圆心到直线的距离，即，故选：．
2由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为________．
【答案】
【解析】　设直线上一点P，切点为Q，圆心为M，M的坐标为(3,0)，
则|PQ|即为切线长，|MQ|为圆M的半径，长度为1，
|PQ|＝＝，要使|PQ|最小，即求|PM|最小值，此题转化为求直线y＝x＋1上的点到圆心M的最小距离，
设圆心到直线y＝x＋1的距离为d，则d＝＝2，
∴|PM|的最小值为2，|PQ|＝＝＝.
3．已知点和点关于直线对称，斜率为的直线过点交于点，若的面积为2，则的值为　　
A．3或 B．0 C． D．3
【答案】B
【解析】设直线为，点到直线的距离为，
设到直线的距离为，由，故，
所以，由，得，
由，化简得，即，
故选：．
4．圆是以直线上的定点为圆心，半径，圆的方程为　　
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由，可得，所以直线过的交点，解得：，，即直线过定点，则所求圆的方程为．故选：．
5．已知圆M：(x－2)2＋(y－2)2＝2，圆N：x2＋(y－8)2＝40，经过原点的两直线l1，l2满足l1⊥l2，且l1交圆M于不同两点A，B，l2交圆N于不同两点C，D，记l1的斜率为k.
(1)求k的取值范围；
(2)若四边形ABCD为梯形，求k的值．
【解析】(1)显然k≠0，所以可设l1的方程为y＝kx，则l2的方程为y＝－x.
依题意得点M到直线l1的距离d1＝＜.
整理，得k2－4k＋1＜0，
解得2－＜k＜2＋.①
同理，点N到直线l2的距离d2＝＜2，
解得－＜k＜.②
由①②可得2－＜k＜，
所以k的取值范围为.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，
将直线l1的方程代入圆M的方程，得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋6＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝.
将直线l2的方程代入圆N的方程，得(1＋k2)x2＋16kx＋24k2＝0，
所以x3＋x4＝－，x3x4＝.
由四边形ABCD为梯形可得＝，所以＋＋2＝＋＋2，所以＝，
所以(1＋k)2＝4，解得k＝1或k＝－3(舍去)．
故k的值为1.
6．已知曲线C上任意一点到点A(1，－2)的距离与到点B(2，－4)的距离之比均为.
(1)求曲线C的方程；
(2)设点P(1，－3)，过点P作两条相异的直线分别与曲线C相交于E，F两点，且直线PE和直线PF的倾斜角互补，求线段EF的最大值．
【解析】(1)设曲线C上的任意一点为Q(x，y)，由题意得＝，整理得x2＋y2＝10，故曲线C的方程为x2＋y2＝10.
(2)由题意知，直线PE和直线PF的斜率存在，且互为相反数，因为P(1，－3)，故可设直线PE的方程为y＋3＝k(x－1)，联立方程得消去y得(1＋k2)x2－2k(k＋3)x＋k2＋6k－1＝0，因为P(1，－3)在圆上，所以x＝1一定是该方程的解，故可得xE＝，同理可得xF＝，所以kEF＝＝＝＝－，故直线EF的斜率为定值－，设直线EF的方程为y＝－x＋b，则圆C的圆心(0,0)到直线EF的距离d＝，所以|EF|＝2＝2 ，
所以当b＝0时，线段EF取得最大值，最大值为2.

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