资源简介

第二十五讲 解三角形
一、自我诊断 知己知彼
1．在△ABC中，C＝60°，AC＝，AB＝，则A＝(　　)
A．15° B．45°
C．75° D．105°
【答案】　C
【解析】　在△ABC中，C＝60°，AC＝，AB＝，
由正弦定理得sinB＝＝＝.
因为AB>AC，所以C>B，
所以B∈，所以B＝45°，又C＝60°，
所以A＝180°－B－C＝180°－45°－60°＝75°.
2．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则角C＝ .
【答案】　
【解析】　因为3sin A＝5sin B，所以由正弦定理可得3a＝5b.因为b＋c＝2a，所以c＝2a－a＝a.
令a＝5，b＝3，c＝7，则由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C，
得49＝25＋9－2×3×5cos C，解得cos C＝－，所以C＝.
3．在△ABC中，a＝3，b＝2，cos C＝，则△ABC的面积为 ．
【答案】　4
【解析】　∵cos C＝，0∴S△ABC＝a b sin C＝×3×2×＝4.
如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高AD是60 m，则河流的宽度BC等于(　　)
A．240(－1) m B．180(－1) m
C．120(－1) m D．30(＋1) m
【答案】　C　
【解析】 　如图，在△ACD中，∠CAD＝90°－30°＝60°，AD＝60 m，所以CD＝AD·tan 60°＝60(m)．
在△ABD中，∠BAD＝90°－75°＝15°，
所以BD＝AD·tan 15°＝60(2－)(m)．
所以BC＝CD－BD＝60－60(2－)＝120(－1) (m)．
5．在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且(2b－c)cos A＝a cos C.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝3，b＝2c，求△ABC的面积．
【答案】(1) A＝，(2)
【解析】
(1)由(2b－c)cos A＝a cos C，得2sinBcosA＝sin A cos C＋sin C cos A，得2sinB·cos A＝sin(A＋C)，
所以2sinBcosA＝sin B，因为0所以sin B≠0.所以cos A＝，因为0(2)因为a＝3，b＝2c，由(1)知A＝，所以cos A＝＝＝，
解得c＝，所以b＝2.
所以S△ABC＝b c sin A＝×2××＝.
二、温故知新 夯实基础
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C
变形 (1)a＝2Rsin A， b＝2Rsin B， c＝2Rsin C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (4)a sin B＝b sin A， B sin C＝c sin B， A sin C＝c sin A. cos A＝； cos B＝； cos C＝
2.在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝b sin A b sin Ab
解的个数 一解 两解 一解 一解
3.三角形常用面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；
(2)；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．
4．仰角和俯角
与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．
5．方向角
相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．
6．方位角
指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．
三、典例剖析 举一反三
考点一　正弦定理
（一）典例剖析
例1．在△ABC中，C＝60°，AB＝，BC＝，那么A等于(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　
A．135° B．105° C．45° D．75°
【答案】　C
【解析】　由正弦定理知＝，即＝，所以sin A＝，又由题知，BC＜AB，∴A＝45°.
【易错点】　忽略了角的范围以及边长对角度大小的影响
【方法点拨】　已知两角和一条边利用正弦定理求边长最直接
例2．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是(　　)
A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定
【答案】 C
【解析】 由正弦定理得＝，∴sin B＝＝＝>1.
∴角B不存在，即满足条件的三角形不存在．
【易错点】　忽略三角函数值的值域
【方法点拨】　在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝b sin A b sin Ab
解的个数 一解 两解 一解 一解
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝5，B＝，sin A＝，则a＝________.
【答案】
【解析】 由＝，得＝，所以a＝.
【易错点】　定理内容不清晰
【方法点拨】　已知两角和一条边利用正弦定理求边长最直接
（二）举一反三
1.在△ABC中，a＝3，b＝2，A＝30°，则cos B＝________.
【答案】
【解析】由正弦定理可得sin B＝＝＝，∵a＝3>b＝2，∴B2．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，点D在BC边上，∠ADC＝45°，则AD的长度等于________．
【答案】　
【解析】 在△ABC中，∵AB＝AC＝2，BC＝2，∴cos C＝，∴sin C＝；在△ADC中，由正弦定理得，＝， ∴AD＝×＝.
3．在△ABC中，∠A＝，a＝c，则＝________.
【答案】 1
【解析】 ∵a＝c，∴sin∠A＝sin∠C，∵∠A＝，∴sin∠A＝，∴sin∠C＝，又∠C必为锐角，∴∠C＝，∵∠A＋∠B＋∠C＝π，∴∠B＝，∴∠B＝∠C，∴b＝c，∴＝1.
4．在△ABC中，若＝，则B的大小为(　　)
A．30°　　　　　　B．45° C．60° D．90°
【答案】 B
【解析】 　由正弦定理知，＝，∴sin B＝cos B，∴B＝45°.
5．已知△ABC的三边a，b，c所对的内角分别为A，B，C，且＝，则cos B的值为(　　)
A. B. C．－ D．－
【答案】 C
【解析】 根据正弦定理得＝＝，所以sin＝sin B＝2sincos，所以cos＝，所以cos B＝2cos2－1＝－.
6．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果满足条件：a sin A sin B＋bcos2A＝a，则＝(　　)
A．2 B．2 C. D.
【答案】 D
【解析】 由正弦定理及asinAsin B＋bcos2A＝a，得sinAsinAsinB＋sinBcos2A＝sinA，即sinB(sin2A＋cos2A)＝sinA，所以sinB＝sinA，所以＝，故选D.
考点二 余弦定理
（一）典例剖析
例1．已知a，b，c是△ABC三边之长，若满足等式(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C的大小为(　　)．
A．60° B．90° C．120° D．150°
【答案】　C
【解析】　由(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，得(a＋b)2－c2＝ab，∴c2＝a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2abcos C，
∴cos C＝－，∴C＝120°.
【易错点】　分辨不了余弦定理的变形
【方法点拨】　熟练掌握余弦定理的内容及其合理变形
例2．在△ABC中，2acos A＋b cos C＋c cos B＝0，则角A的大小为(　　)
A. B. C. D.
【答案】 C
【解析】 　由余弦定理得2acos A＋b·＋c·＝0，即2acos A＋a＝0，
∴cos A＝－，A＝.
【易错点】　用错定理导致计算麻烦
【方法点拨】　熟练掌握正余弦定理的内容，并能合理选择求解过程中用哪个定理计算较容易
例3．已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若cos A＝，c－a＝2，b＝3，则a＝________.
【答案】 2
【解析】 由余弦定理可知，a2＝b2＋c2－2bccos A a2＝9＋(a＋2)2－2·3·(a＋2)· a＝2.
【易错点】　不会利用边与边的关系
【方法点拨】　
1.熟练掌握正弦定理和余弦定理的内容对于解题尤为重要；
2.利用正、余弦定理解三角形的关键是合理地选择正弦或余弦定理进行边角互化，解题过程中注意隐含条件的挖掘以确定解的个数，注意应用A+B+C=．
（二）举一反三
1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos A＋acos B＝c2，a＝b＝2，则△ABC的周长为(　　)
A．7.5　　　　　　　　　 　B．7
C．6 D．5
【答案】 D
【解析】　(1)∵bcos A＋acos B＝c2，∴由余弦定理可得b·＋a·＝c2，整理可得2c2＝2c3，解得c＝1，则△ABC的周长为a＋b＋c＝2＋2＋1＝5.
2．已知△ABC的面积为，AC＝，∠ABC＝，则△ABC的周长等于 (　　)．
A．3＋ B．3 C．2＋ D.
【答案】　A
【解析】　由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，即a2＋c2－ac＝3.又△ABC的面积为acsin ＝，即ac＝2，所以a2＋c2＋2ac＝9，所以a＋c＝3，即a＋c＋b＝3＋，故选A.
3．已知△ABC的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为________．
【答案】　－
【解析】 依题意得，△ABC的三边长分别为a，a,2a(a>0)，
则最大边2a所对的角的余弦值为：＝－.
4．在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cosA＝(　　)
A. B. C．－ D．－
【答案】 C
【解析】 设△ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，由题意可得a＝csin＝c，则a＝c.在△ABC中，由余弦定理可得b2＝a2＋c2－ac＝c2＋c2－3c2＝c2，则b＝c.
由余弦定理，可得cosA＝＝＝－，故选C.
考点三 解三角形的实际应用
（一）典例剖析
例1．在某次测量中，在A处测得同一平面方向的B点的仰角是50°，且到A的距离为2，C点的俯角为70°，且到A的距离为3，则B、C间的距离为(　　)
A.　　 B. C. D.
【答案】 D
【解析】 因∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝3.
∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos ∠BAC＝4＋9－2×2×3×cos 120°＝19.
∴BC＝.
【易错点】　没有正确理解题意，不能将应用转化为可计算的三角模型
【方法点拨】　正弦定理、余弦定理及其在现实生活中的应用是高考的热点，主要利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题以及几何计算的实际问题，常与三角变换、三角函数的性质交汇命题
例2．如图所示，为了测量某障碍物两侧A，B间的距离，给定下列四组数据，不能确定A，B间距离的是(　　)．
　　　　　　　　　　　　　　　　
α，a，b B．α，β，a C．a，b，γ D．α，β，b
【答案】　A
【解析】　选项B中由正弦定理可求b，再由余弦定理可确定AB.选项C中可由余弦定理确定AB.选项D同B类似，故选A.
【易错点】　没有正确理解题意，不能将应用转化为可计算的三角模型
【方法点拨】　正弦定理、余弦定理及其在现实生活中的应用是高考的热点，主要利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题以及几何计算的实际问题，常与三角变换、三角函数的性质交汇命题
例3．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是 (　　)．
A．10海里 B．10海里 C．20海里 D．20海里
【解析】　如图所示，易知，在△ABC中，AB＝20海里，∠CAB＝30°，∠ACB＝45°， 根据正弦定理得＝，解得BC＝10(海里)．
【答案】　A
【易错点】　没有正确理解题意，不能将应用转化为可计算的三角模型
【方法点拨】　正弦定理、余弦定理及其在现实生活中的应用是高考的热点，主要利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形的度量问题以及几何计算的实际问题，常与三角变换、三角函数的性质交汇命题
（二）举一反三
1．如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的距离为(　　)
A．50 m B．50 m C．25 m D. m
【答案】 A
【解析】 由题意，得B＝30°.由正弦定理，得＝，
∴AB＝＝＝50(m)．
2. 如图，在湖面上高为10 m处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m) (　　)．
A．2.7 m B．17.3 m C．37.3 m D．373 m
【答案】　C
【解析】　在△ACE中，
tan 30°＝＝.∴AE＝(m)．
在△AED中，tan 45°＝＝，
∴AE＝(m)，∴＝，
∴CM＝＝10(2＋)≈37.3(m)．
3．如图所示，位于A处的信息中心获悉：在A处的正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在A处的南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cosθ等于(　　)
A. B. C. D.
【答案】 B
【解析】 在△ABC中，AB＝40，AC＝20，∠BAC＝120°，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos120°＝2 800，所以BC＝20.由正弦定理得sin∠ACB＝·sin∠BAC＝.由∠BAC＝120°知∠ACB为锐角，故cos∠ACB＝，故cosθ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACB·cos30°－sin∠ACB·sin30°＝.
考点四 解三角形综合问题
（一）典例剖析
例1．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且a＝1，b＝，则S△ABC＝ (　　)．
A. B. C. D．2
【解析】　∵A，B，C成等差数列，∴A＋C＝2B，∴B＝60°.
又a＝1，b＝，∴＝， ∴sin A＝＝×＝，
∴A＝30°，∴C＝90°.∴S△ABC＝×1×＝.
【答案】　C
【易错点】　忽略数列计算与三角函数的结合点
【方法点拨】　具体问题具体分析，合理利用所学知识综合解题
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2B＋cos B＝1－cos A cos C.
(1)求证：a，b，c成等比数列；
(2)若b＝2，求△ABC的面积的最大值．
【解析】 (1)证明：在△ABC中，cos B＝－cos(A＋C)．由已知，得
(1－sin2B)－cos(A＋C)＝1－cos A cos C，
∴－sin2B－(cos A cos C－sin A sin C)＝－cos A cos C，
化简，得sin2B＝sin A sin C. 由正弦定理，得b2＝ac，
∴a，b，c成等比数列．
(2)由(1)及题设条件，得ac＝4.
则cos B＝＝≥＝，
当且仅当a＝c时，等号成立．
∵0∴S△ABC＝ac sin B≤×4×＝.
∴△ABC的面积的最大值为.
【易错点】　不会用正弦定理将边和相应角的正弦值进行转化
【方法点拨】　1、熟练掌握正弦定理、余弦定理、面积公式
2、解三角形易出解答题目，要注意解题步骤和思路，以及问题之间的相互联系
例3．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足cos2C－cos2A＝2sin
(1)求角A的大小；
(2)若a＝，且b≥a，求2b－c的取值范围．
【解析】 (1)由已知得2sin2A－2sin2C＝，
化简得sin2A＝，∴sin A＝±，
又0(2)由＝＝，得b＝2sinB，c＝2sinC，因为b≥a，所以B≥A，所以A＝，
故2b－c＝4sinB－2sinC
＝4sinB－2sin＝3sinB－cos B
＝2sin.
因为b≥a，所以≤B<，
所以≤B－<，
所以2b－c的取值范围为[，2)．
【易错点】　忽略角的范围，定理应用不准确
【方法点拨】
1.化边为角
2.化角为边
3.利用正余弦定理进行灵活的边角互化
（二）举一反三
1. 在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cosB＝－.
(1)求b，c的值；(2)求sin(B－C)的值．
【解析】　(1)由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得b2＝32＋c2－2×3×c×.
因为b＝c＋2，所以(c＋2)2＝32＋c2－2×3×c×，解得c＝5，所以b＝7.
(2)由cosB＝－，得sinB＝.由正弦定理，得sinC＝sinB＝.
在△ABC中，B是钝角，所以C为锐角，所以cosC＝＝.
所以sin(B－C)＝sinBcosC－cosBsinC＝.
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为(　　)
A．直角三角形　　　　　B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形
【答案】 C
【解析】 　∵＝，∴＝，∴b＝c.又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，∴b2＋c2－a2＝bc，
∴cos A＝＝＝.∵A∈(0，π)，∴A＝，∴△ABC是等边三角形．
3．已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝，且b＝2acosB，c＝1，则△ABC的面积等于(　　)
A. B. C. D.
【答案】 A
【解析】 由正弦定理可得sinB＝2sinAcosB，即tanB＝2sinA＝，所以B＝，因此△ABC是一个正三角形，所以S△ABC＝××1×1＝.
4. (2020·郑州市高三阶段考试)在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，AC＝4，cos∠CAB＝.点D在线段BC上，且BD＝CD，AD＝.
(1)求AB的长；(2)求△ABD的面积.
【解析】(1)在△ABC中，由余弦定理，得a2＝c2＋42－8c·①
又在△ACD中，cos∠ADC＝＝，
在△ABD中，cos∠ADB＝＝，
又∠ADB＋∠ADC＝π，∴cos∠ADB＋cos∠ADC＝0，
即－2c2＋48＝0，②联立①②，得c＝6，即AB＝6.
(2)∵cos∠CAB＝，∴sin∠CAB＝，
又S△ABC＝b·c·sin∠CAB＝8，∴S△ABD＝S△ABC＝.
四、分层训练 举一反三
【基础】
1．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，bc＝4，则△ABC的面积为(　　)
A. B．1 C. D．2
【答案】 C
【解析】 ∵a2＝b2＋c2－bc，∴cosA＝，∴A＝，又bc＝4.∴△ABC的面积为bcsinA＝.
2.如图，为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30°，塔底C与A的连线同河岸成15°角，小王向前走了1 200 m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60°角，则电视塔CD的高度为________m.
【答案】 600
【解析】 在△ACM中，∠MCA＝60°－15°＝45°，∠AMC＝180°－60°＝120°，由正弦定理得＝，即＝，解得AC＝600.在△ACD中，
∵tan∠DAC＝＝，∴DC＝600×＝600.
3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为3，b－c＝2，cosA＝－，则a的值为________．
【答案】 8
【解析】 因为cosA＝－，所以sinA＝＝，S△ABC＝bcsinA＝bc×＝3.所以，bc＝24，则(b＋c)2＝(b－c)2＋4bc＝4＋4×24＝100，所以，b＋c＝10，又b－c＝2，所以，b＝6，c＝4，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝64，所以a＝8.
4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c－acosB＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状为(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】 D
【解析】 　因为c－acosB＝(2a－b)cos A， C＝π－(A＋B)，
所以由正弦定理得sin C－sin Acos B＝2sin Acos A－sin B·cos A，
所以sin Acos B＋cos Asin B－sin Acos B＝2sin Acos A－sin Bcos A，
所以cos A(sin B－sin A)＝0，
所以cos A＝0或sin B＝sin A，
所以A＝或B＝A或B＝π－A(舍去)，
所以△ABC为等腰或直角三角形．
5．如图，在△ABC中，AB＝2，cosB＝，点D在线段BC上．
(1)若∠ADC＝，求AD的长；
(2)若BD＝2DC，△ACD的面积为，求的值．
【解析】 (1)在△ABC中，∵cos B＝，∴sin B＝.
在△ABD中，＝，
又AB＝2，∠ADB＝，sin B＝，∴AD＝.
(2)∵BD＝2DC，
∴S△ABD＝2S△ADC，S△ABC＝3S△ADC， 又S△ADC＝，∴S△ABC＝4，
∵S△ABC＝AB·Bcsin B，即4＝×2×BC×，∴BC＝6.
∵S△ABD＝AB·ADsin∠BAD， S△ADC＝AC·ADsin∠CAD， S△ABD＝2S△ADC，
∴＝2·，
在△ABC中，AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB，
∴AC＝4，
∴＝2·＝4.
【巩固】
在△ABC中，内角A，B，C所对边分别是a，b，c，若sin2 ＝，则△ABC的形状一定是________．
【答案】 直角三角形
【解析】 由题意，得＝，即cos B＝，又由余弦定理，得＝，整理得a2＋b2＝c2，所以△ABC为直角三角形．
如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC＝15°，沿山坡前进50 m到达B处，又测得∠DBC＝45°，根据以上数据可得cos θ＝________.
【答案】 －1
【解析】 由∠DAC＝15°，∠DBC＝45°，可得∠DBA＝135°，∠ADB＝30°.
在△ABD中，根据正弦定理可得＝，
即＝，
所以BD＝100sin 15°＝100×sin(45°－30°)＝25(－)．
在△BCD中，由正弦定理得＝，
即＝，解得sin∠BCD＝－1.
所以cos θ＝cos(∠BCD－90°)＝sin∠BCD＝－1.
3．若△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若sin(C－A)＝sinB，且b＝4，则c2－a2＝(　　)
A．10 B．8
C．7 D．4
【答案】　B
【解析】　因为A＋B＋C＝π，所以sin(C－A)＝sinB＝sin(A＋C)，
即2sinCcosA－2cosCsinA＝sinAcosC＋cosAsinC，即sinCcosA＝3sinAcosC.
由正弦定理和余弦定理，得c·＝3a·，化简得c2－a2＝＝＝8.
4．在锐角三角形ABC中，若sinA＝2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是________．
【答案】 8
【解析】 由sinA＝sin(B＋C)＝2sinBsinC得sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBsinC，
两边同时除以cosBcosC得tanB＋tanC＝2tanBtanC，
令tanB＋tanC＝2tanBtanC＝m，
因为△ABC是锐角三角形，所以2tanBtanC>2，则tanBtanC>1，m>2，
又在三角形中有tanAtanBtanC＝－tan(B＋C)tanBtanC＝－·m＝
＝m－2＋＋4≥2＋4＝8，
当且仅当m－2＝，即m＝4时取等号，故tanAtanBtanC的最小值为8.
5．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝2a，则角A的取值范围是________．
【答案】　
【解析】　由已知及正弦定理得sin2AsinB＋sinBcos2A＝2sinA，即sinB(sin2A＋cos2A)＝2sinA，
∴sinB＝2sinA，∴b＝2a，由余弦定理得cosA＝＝＝≥＝，
当且仅当c＝a时取等号，∵A为三角形的内角，且y＝cosx在(0，π)上是减函数，
∴0【拔高】
1．在△ABC中，AD是BC边上的中线，∠ABD＝.若AB＝BD，则∠CAD＝________；若AC＝2AD＝2，则△ABC的面积为________．
【答案】　　
【解析】　设BD＝m，则AB＝m，BC＝2m，根据余弦定理，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos∠ABD＝m2，
AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABD＝m2，∴AD＝DC＝AC＝m，即△ACD是正三角形，
∴∠CAD＝.记△ABC的三内角∠BAC，∠ABC，∠ACB所对的三条边分别为a，b，c，则BD＝a，
由余弦定理可得，AD2＝AB2＋BD2－2AB·BDcos∠ABD，∴1＝c2＋2－ac，即4＝4c2＋a2－2ac，
又AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC，∴4＝c2＋a2－ac，于是，4c2＋a2－2ac＝c2＋a2－ac，
∴a＝c，代入c2＋a2－ac＝4可得c＝2，a＝2，∴S△ABC＝acsin∠ABC＝.
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB＝2a＋b.
(1)求角C的大小； (2)若△ABC的面积等于c，求ab的最小值．
【答案】(1) ； (2)
【解析】　(1)因为2ccosB＝2a＋b，所以由正弦定理，得2sinCcosB＝2sinA＋sinB.
因为A＋B＋C＝π，所以sinA＝sin(B＋C)．
所以2sinCcosB＝2sin(B＋C)＋sinB，整理，得2sinBcosC＋sinB＝0，
又00，故cosC＝－，因为0(2)因为S△ABC＝absinC＝ab.又S△ABC＝c，所以c＝3ab.
由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcosC＝a2＋b2＋ab，
因为a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时取“＝”．所以2ab＋ab≤9a2b2，即ab≥，
所以当a＝b时，ab取得最小值.
3. 已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°.E是边BC上一点，线段DE交AC于点F.
(1)若△CDE的面积为，求DE的长；(2)若CF＝4DF，求sin∠DFC.
【答案】(1) ；(2)
【解析】(1)依题意，得∠BCD＝∠DAB＝60°.
因为△CDE的面积S＝CD·CEsin∠BCD＝，
所以×2CE×＝，解得CE＝1.
在△CDE中，由余弦定理，得
DE＝
＝ ＝.
(2)解法一：依题意，得∠ACD＝30°，∠BDC＝60°，
设∠CDE＝θ，则0°<θ<60°.
在△CDF中，由正弦定理，得＝，
因为CF＝4DF，所以sinθ＝＝，所以cosθ＝，
所以sin∠DFC＝sin(30°＋θ)＝×＋×＝.
解法二：依题意，得∠ACD＝30°，∠BDC＝60°，
设∠CDE＝θ，则0°<θ<60°，
设CF＝4x，因为CF＝4DF，则DF＝x，
在△CDF中，由余弦定理，得
DF2＝CD2＋CF2－2CD·CFcos∠ACD，
即7x2＝4＋16x2－8x，解得x＝或x＝.
又因为CF≤AC＝，所以x≤，所以x＝，
所以DF＝，
在△CDF中，由正弦定理，得＝，
所以sin∠DFC＝＝.
4．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．
（1）求A；
（2）若，求sinC．
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）由已知得，故由正弦定理得．
由余弦定理得．
因为，所以．
（2）由（1）知，由题设及正弦定理得，
即，可得．
由于，所以，故
．
5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．
【答案】（1）B=60°；（2）.
【解析】（1）由题设及正弦定理得．
因为sinA0，所以．
由，可得，故．
因为，故，因此B=60°．
（2）由题设及（1）知△ABC的面积．
由正弦定理得．
由于△ABC为锐角三角形，故0°因此，△ABC面积的取值范围是．第二十五讲 解三角形
一、自我诊断 知己知彼
1．在△ABC中，C＝60°，AC＝，AB＝，则A＝(　　)
A．15° B．45°
C．75° D．105°
2．设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，若b＋c＝2a,3sin A＝5sin B，则角C＝ .
3．在△ABC中，a＝3，b＝2，cos C＝，则△ABC的面积为 ．
如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高AD是60 m，则河流的宽度BC等于(　　)
A．240(－1) m B．180(－1) m
C．120(－1) m D．30(＋1) m
5．在△ABC中，内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，且(2b－c)cos A＝a cos C.
(1)求角A的大小；
(2)若a＝3，b＝2c，求△ABC的面积．
二、温故知新 夯实基础
1．正弦定理、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
内容 ＝＝＝2R a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C
变形 (1)a＝2Rsin A， b＝2Rsin B， c＝2Rsin C； (2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； (3)a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C； (4)a sin B＝b sin A， B sin C＝c sin B， A sin C＝c sin A. cos A＝； cos B＝； cos C＝
2.在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝b sin A b sin Ab
解的个数 一解 两解 一解 一解
3.三角形常用面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；
(2)；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为三角形内切圆半径)．
4．仰角和俯角
与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．
5．方向角
相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．
6．方位角
指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．
三、典例剖析 举一反三
考点一　正弦定理
（一）典例剖析
例1．在△ABC中，C＝60°，AB＝，BC＝，那么A等于(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　
A．135° B．105° C．45° D．75°
例2．在△ABC中，已知b＝40，c＝20，C＝60°，则此三角形的解的情况是(　　)
A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝5，B＝，sin A＝，则a＝________.
（二）举一反三
1.在△ABC中，a＝3，b＝2，A＝30°，则cos B＝________.
2．如图，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，点D在BC边上，∠ADC＝45°，则AD的长度等于________．
3．在△ABC中，∠A＝，a＝c，则＝________.
4．在△ABC中，若＝，则B的大小为(　　)
A．30°　　　　　　B．45° C．60° D．90°
5．已知△ABC的三边a，b，c所对的内角分别为A，B，C，且＝，则cos B的值为(　　)
A. B. C．－ D．－
6．已知△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，如果满足条件：a sin A sin B＋bcos2A＝a，则＝(　　)
A．2 B．2 C. D.
考点二 余弦定理
（一）典例剖析
例1．已知a，b，c是△ABC三边之长，若满足等式(a＋b－c)(a＋b＋c)＝ab，则角C的大小为(　　)．
A．60° B．90° C．120° D．150°
例2．在△ABC中，2acos A＋b cos C＋c cos B＝0，则角A的大小为(　　)
A. B. C. D.
例3．已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若cos A＝，c－a＝2，b＝3，则a＝________.
（二）举一反三
1.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos A＋acos B＝c2，a＝b＝2，则△ABC的周长为(　　)
A．7.5　　　　　　　　　 　B．7
C．6 D．5
2．已知△ABC的面积为，AC＝，∠ABC＝，则△ABC的周长等于 (　　)．
A．3＋ B．3 C．2＋ D.
3．已知△ABC的三边长成公比为的等比数列，则其最大角的余弦值为________．
4．在△ABC中，B＝，BC边上的高等于BC，则cosA＝(　　)
A. B. C．－ D．－
考点三 解三角形的实际应用
（一）典例剖析
例1．在某次测量中，在A处测得同一平面方向的B点的仰角是50°，且到A的距离为2，C点的俯角为70°，且到A的距离为3，则B、C间的距离为(　　)
A.　　 B. C. D.
例2．如图所示，为了测量某障碍物两侧A，B间的距离，给定下列四组数据，不能确定A，B间距离的是(　　)．
　　　　　　　　　　　　　　　　
α，a，b B．α，β，a C．a，b，γ D．α，β，b
例3．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B，C两点间的距离是 (　　)．
A．10海里 B．10海里 C．20海里 D．20海里
（二）举一反三
1．如图，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的距离为(　　)
A．50 m B．50 m C．25 m D. m
2. 如图，在湖面上高为10 m处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m) (　　)．
A．2.7 m B．17.3 m C．37.3 m D．373 m
3．如图所示，位于A处的信息中心获悉：在A处的正东方向相距40海里的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在A处的南偏西30°、相距20海里的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cosθ等于(　　)
A. B. C. D.
考点四 解三角形综合问题
（一）典例剖析
例1．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若角A，B，C依次成等差数列，且a＝1，b＝，则S△ABC＝ (　　)．
A. B. C. D．2
在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cos2B＋cos B＝1－cos A cos C.
(1)求证：a，b，c成等比数列；
(2)若b＝2，求△ABC的面积的最大值．
例3．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足cos2C－cos2A＝2sin
(1)求角A的大小；
(2)若a＝，且b≥a，求2b－c的取值范围．
（二）举一反三
1. 在△ABC中，a＝3，b－c＝2，cosB＝－.
(1)求b，c的值；(2)求sin(B－C)的值．
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状为(　　)
A．直角三角形　　　　　B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形
3．已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝，且b＝2acosB，c＝1，则△ABC的面积等于(　　)
A. B. C. D.
4. 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，AC＝4，cos∠CAB＝.点D在线段BC上，且BD＝CD，AD＝.
(1)求AB的长；(2)求△ABD的面积.
四、分层训练 举一反三
【基础】
1．已知△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2－bc，bc＝4，则△ABC的面积为(　　)
A. B．1 C. D．2
2.如图，为了测量河对岸电视塔CD的高度，小王在点A处测得塔顶D的仰角为30°，塔底C与A的连线同河岸成15°角，小王向前走了1 200 m到达M处，测得塔底C与M的连线同河岸成60°角，则电视塔CD的高度为________m.
3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为3，b－c＝2，cosA＝－，则a的值为________．
4．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若c－acosB＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状为(　　)
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
5．如图，在△ABC中，AB＝2，cosB＝，点D在线段BC上．
(1)若∠ADC＝，求AD的长；
(2)若BD＝2DC，△ACD的面积为，求的值．
【巩固】
在△ABC中，内角A，B，C所对边分别是a，b，c，若sin2 ＝，则△ABC的形状一定是________．
如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC＝15°，沿山坡前进50 m到达B处，又测得∠DBC＝45°，根据以上数据可得cos θ＝________.
3．若△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若sin(C－A)＝sinB，且b＝4，则c2－a2＝(　　)
A．10 B．8
C．7 D．4
4．在锐角三角形ABC中，若sinA＝2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是________．
5．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝2a，则角A的取值范围是________．
【拔高】
1．在△ABC中，AD是BC边上的中线，∠ABD＝.若AB＝BD，则∠CAD＝________；若AC＝2AD＝2，则△ABC的面积为________．
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB＝2a＋b.
(1)求角C的大小； (2)若△ABC的面积等于c，求ab的最小值．
3. 已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°.E是边BC上一点，线段DE交AC于点F.
(1)若△CDE的面积为，求DE的长；(2)若CF＝4DF，求sin∠DFC.
4．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．
（1）求A；
（2）若，求sinC．
5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．
（1）求B；
（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．

展开更多......

收起↑