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第二十八讲 数列综合
一、自我诊断 知己知彼
1．数列1，3，5，7，…，(2n－1)＋，…的前n项和Sn的值等于(　　)
A．n2＋1－ B．2n2－n＋1－ C．n2＋1－ D．n2－n＋1－
【答案】A
【解析】该数列的通项公式为an＝(2n－1)＋，
则Sn＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋(＋＋…＋)＝n2＋1－.
2．数列{an}中，an＝，若{an}的前n项和为，则项数n为(　　)
A.2 018 B.2 019
C.2 020 D.2 021
【答案】B
【解析】　an＝＝－，
Sn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝＝，所以n＝2019.
3．已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝1，a2＋a4＝10，b2b4＝a5.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求和：b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1.
【答案】(1)an＝2n－1. (2).
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为d.因为所以2a1＋4d＝10，
解得d＝2，所以an＝2n－1.
(2)设等比数列{bn}的公比为q.因为b1＝1，b2b4＝a5，所以b1q·b1q3＝9.解得q2＝3.
所以b2n－1＝b1q2n－2＝3n－1.从而b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1＝1＋3＋32＋…＋3n－1＝.
4.已知在等比数列{an}中，a1＝1，且a1，a2，a3－1成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn＝2n－1＋an(n∈N*)，数列{bn}的前n项和为Sn，试比较Sn与n2＋2n的大小.
【答案】见解析
【解析】　(1)设等比数列{an}的公比为q，
∵a1，a2，a3－1成等差数列，∴2a2＝a1＋(a3－1)＝a3，∴q＝＝2，∴an＝a1qn－1＝2n－1(n∈N*).
(2)由(1)知bn＝2n－1＋an＝2n－1＋2n－1，
∴Sn＝(1＋1)＋(3＋2)＋(5＋22)＋…＋(2n－1＋2n－1)＝[1＋3＋5＋…＋(2n－1)]＋(1＋2＋22＋…＋2n－1)
＝·n＋＝n2＋2n－1.
∵Sn－(n2＋2n)＝－1<0，∴Sn5.在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S＝an.
(1)求Sn的表达式；
(2)设bn＝，求{bn}的前n项和Tn.
【答案】(1)Sn＝. (2)Tn＝.
【解析】　(1)∵S＝an，an＝Sn－Sn－1 (n≥2)， ∴S＝(Sn－Sn－1)，
即2Sn－1Sn＝Sn－1－Sn，① 由题意得Sn－1·Sn≠0，
①式两边同除以Sn－1·Sn，得－＝2，∴数列是首项为＝＝1，公差为2的等差数列．
∴＝1＋2(n－1)＝2n－1，∴Sn＝.
(2)∵bn＝＝＝，
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝＝.
6．已知数列{an}中，a1＝3，a2＝5，且{an－1}是等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Tn.
【答案】(1)an＝2n＋1.(2)Tn＝(n－1)·2n＋1＋.
【解析】　(1)∵{an－1}是等比数列且a1－1＝2，a2－1＝4，＝2，
∴an－1＝2·2n－1＝2n，∴an＝2n＋1.
(2)bn＝nan＝n·2n＋n，
故Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝(2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n)＋(1＋2＋3＋…＋n)．
令T＝2＋2×22＋3×23＋…＋n·2n，
则2T＝22＋2×23＋3×24＋…＋n·2n＋1.
两式相减，得－T＝2＋22＋23＋…＋2n－n·2n＋1＝－n·2n＋1，
∴T＝2(1－2n)＋n·2n＋1＝2＋(n－1)·2n＋1.∵1＋2＋3＋…＋n＝，
∴Tn＝(n－1)·2n＋1＋.
二、温故知新 夯实基础
1.数列通项公式的求法
（1） 型
常规方法是将递推成,然后令消去递推公式中的项（n≥2）.但是在一些特殊情况下，将改写成后可消去项，先求，再求。
（2）
在数列的递推公式中，
(1)若型如,则应采用累加法；
(2)若型如,则应采用累乘法；
（3）
型如（p1，q0）(n）的递推式，两边同时加上x可构造出等比数列(n）,其中.
（4）
对于如（p0、1且q0、1）的数列求通项公式，有以下两种方法：
（1）两边同时除以,再累加求通项；
（2）两边同时加上,再构造成等比数列.
若p=q,则只能采用（1），而用（2）无法求解。
2.数列求和的常用方法
(1)公式法
等差、等比数列或可化为等差、等比数列的可直接使用公式求和．
(2)分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．
(3)裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．
常见的裂项公式
①＝－；
②＝；
③＝－.
(4)倒序相加法
把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．
(5)错位相减法
主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．
三、典例剖析 举一反三
考点一　数列通项公式
（一）典例剖析
例1.在数列中, ,,则该数列的通项公式= ．
【答案】
【解析】 因为,所以运用累加法即可得到：,
所以．
【易错点】没注意到原式可以裂项.
【方法点拨】(1)形如an＋1＝an＋f(n)的递推关系式利用累加法求通项公式，特别注意能消去多少项，保留多少项.
例2.设数列的前项和为，且，则通项_________
【答案】
【解析】 ,可得,即,
数列从第二项起是公比为3的等比数列, ,
【易错点】在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成an＝Sn－Sn－1的形式，但它只适用于n≥2的情形.
【方法点拨】1.数列的通项an与前n项和Sn的关系是an＝
①当n＝1时，a1若适合Sn－Sn－1，则n＝1的情况可并入n≥2时的通项an；
②当n＝1时，a1若不适合Sn－Sn－1，则用分段函数的形式表示.
例3.若a1＝1，nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，则数列{an}的通项公式an＝________.
【答案】an＝..
【解析】　由nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，得＝(n≥2).
所以an＝···…···a1＝···…···1＝，
又a1也满足上式，所以an＝.
【易错点】利用累乘法，易出现两个方面的问题：一是在连乘的式子中只写到，漏掉a1而导致错误；二是根据连乘求出an之后，不注意检验a1是否成立．
【方法点拨】形如an＋1＝an·f(n)的递推关系式可化为＝f(n)的形式，可用累乘法，也可用an＝··…··a1代入求出通项.
例4.若a1＝1，an＋1＝，则数列{an}的通项公式an＝________.
【答案】an＝(n∈N*)．
【解析】 因为an＋1＝，a1＝1，所以an≠0，
所以＝＋，即－＝. 又a1＝1，则＝1，
所以是以1为首项，为公差的等差数列.
所以＝＋(n－1)×＝＋.
所以an＝(n∈N*).
【易错点】没有发现此题的解决方法.
【方法点拨】形如an＋1＝(A，B，C为常数)的数列，可通过两边同时取倒数的方法构造新数列求解．
（二）举一反三
1．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝ .
【答案】 －
【解析】　∵an＋1＝Sn＋1－Sn，∴Sn＋1－Sn＝Sn＋1Sn，
又由a1＝－1，知Sn≠0，∴－＝1，
∴是等差数列，且公差为－1，而＝＝－1，
∴＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，∴Sn＝－.
2.设为数列的前项和，若，则＝________.
【答案】.
【解析】当时，，所以.
当时，， 得
是以-1为首项，2为公比的等比数列，.
3.在数列中，，，则通项公式＝________.
【答案】　.
【解析】　原递推公式可化为，
则,
4.已知数列满足，则数列的通项公式＝________.
【答案】.
【解析】 由，得，
数列是以为首项，2为公比的等比数列，，
时，
将以上各式累加得
，(当时，也满足).
5.已知数列{an}前n项和为Sn,满足Sn=2an-2n(n∈N*)．
（I）证明：{an+2}是等比数列,并求{an}的通项公式；
（Ⅱ）数列{bn}满足bn=log2(an+2),Tn为数列{}的前n项和,若对正整数a都成立,求a的
取值范围．
【答案】 (Ⅰ) （Ⅱ）.
【解析】 (Ⅰ) 由题设,
两式相减得, 即. 又,
所以是以为首项,为公比的等比数列
又,所以
（Ⅱ）因为,
所以,
依题意得：
考点二 数列求和
（一）典例剖析
例1.数列是各项均为正数的等比数列，且,.
（1）求数列的通项公式；
（2）设,求数列的前n项和。
【答案】见解析.
【解析】(1)设等比数列{an}的公比为q>0,∵=2，，
可得：，,即,，解得q=2,=1.∴=.
(2).
∴数列{bn}的前n项和
=
【易错点】解决此类问题的关键为选择正确的公式
【方法点拨】几类可以使用公式法求和的数列
(1)等差数列、等比数列以及由等差数列、等比数列通过加、减构成的数列，它们可以使用等差数列、等比数列的求和公式求解．
(2)奇数项和偶数项分别构成等差数列或等比数列的，可以分项数为奇数和偶数时，分别使用等差数列或等比数列的求和公式．
(3)等差数列各项加上绝对值，等差数列乘(－1)n等．
例2.已知{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1＝b1＝1，b2＋b3＝2a3，a5－3b2＝7.
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)设cn＝anbn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和.
【答案】(1) ，，（2）
【解析】（1）设数列的公比为q，数列的公差为d，由题意，由已知，有 消去d，整数得，又因为＞0，解得，所以的通项公式为，数列的通项公式为.
（2）解：由（Ⅰ）有 ,设的前n项和为，则
，
，
两式相减得，
所以．
【易错点】(1)两式相减时最后一项因为没有对应项而忘记变号．
(2)对相减后的和式的结构认识模糊，错把中间的n－1项和当作n项和．
【方法点拨】注意解题“3关键”
(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；
(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；
(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比q＝1和q≠1两种情况求解．
例3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＋a5＝25，S5＝55.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设anbn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
【答案】（1），（2）
【解析】（1），求得
（2）
【易错点】(1)裂项原则：一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止．
(2)消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项．
(3)将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.
【方法点拨】常见数列的裂项方法
数列(n为正整数) 裂项方法
(k为非零常数) ＝
＝
＝－
(a>0，a≠1) ＝loga(n＋1)－logan
（二）举一反三
1.已知数列{an}：，＋，＋＋，…，＋＋＋…＋，…，那么数列{bn}＝的前n项和Sn为(　　)
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】，
2.数列{an}的通项公式an＝(n∈N*)，若前n项和为Sn，则Sn为(　　)
A.－1 B.＋－－1
C.(－1) D.(＋－－1)
【答案】D
【解析】∵an＝=，
∴Sn=[( 1)+( )+( )+…+( )+(-)]
=(+ 1 ).
故选：D.
3．已知数列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝则数列{an}的前20项和为(　　)
A．1 121 B．1 122
C．1 123 D．1 124
【答案】C
【解析】　由题意可知，数列{a2n}是首项为1，公比为2的等比数列，数列{a2n－1}是首项为1，公差为2的等差数列，故数列{an}的前20项和为＋10×1＋×2＝1 123.选C.
4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a9＝a12＋6，a2＝4，则数列的前10项和为(　　)
A. B. C. D.
【答案】　B
【解析】：由a9＝a12＋6及等差数列通项公式得+5d=12,又=4=+d，
∴=2=d，∴=2n+×2=+n,∴=，
∴.
故选：B.
　
考点三 数列的综合应用
（一）典例剖析
例1.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)
A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块
【答案】C
【解析】设第n环天石心块数为，第一层共有n环，
则是以9为首项，9为公差的等差数列，，
设为的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分
别为，因为下层比中层多729块，
所以，
即
即，解得，
所以.
故选：C
【易错点】数列的性质.
【方法点拨】数列的应用一般是根据题意写出关系式，再根据数列性质求解.
例2．在等差数列中，，．记，则数列
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
【答案】B
【解析】由题意可知，等差数列的公差，
则其通项公式为：，
注意到，且由可知，
由可知数列不存在最小项，
由于，
故数列中的正项只有有限项：，.
故数列中存在最大项，且最大项为.
故选：B．
【易错点】本题的易错点在不会分类讨论.
【方法点拨】本题主要考查等差数列的通项公式，等差数列中项的符号问题，分类讨论的数学思想等知识
例3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差，且．记，，，下列等式不可能成立的是
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于A，因为数列为等差数列，所以根据等差数列的下标和性质，由可得，，A正确；
对于B，由题意可知，，，
∴，，，．
∴，．
根据等差数列的下标和性质，由可得，B正确；
对于C，，
当时，，C正确；
对于D，，，
．
当时，，∴即；
当时，，∴即，所以，D不正确．
故选：D.
【易错点】不会灵活利用数列的性质.
【方法点拨】考查等差数列的性质应用.
（二）举一反三
1.已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，其前n项和为Sn.若直线y＝a1x＋m与圆x2＋(y－1)2＝1的两个交点关于直线x＋2y－d＝0对称，则数列{}的前100项和为________．
【答案】
【解析】因为直线y＝a1x＋m与圆x2＋(y－1)2＝1的两个交点关于直线x＋2y－d＝0对称，所以两交点连线的斜率a1满足a1×(－)＝－1，所以a1＝2，并且圆心(0,1)在直线x＋2y－d＝0上，所以d＝2，
所以等差数列的通项为an＝a1＋(n－1)d＝2＋2(n－1)＝2n，
Sn＝(2＋2n)n＝n(n＋1)，＝＝－，设{}的前100项和为T100，
则T100＝1－＋－＋－＋…＋－＝1－＝.
2．已知数列{an}满足：a1＝2，且对任意n，m∈N*，都有am＋n＝am·an，Sn是数列{an}的前n项和，则＝(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【解析】因为am＋n＝am·an，则＝＝1＋＝1＋＝1＋a2＝1＋a＝5，故选D.
3.已知正项等比数列满足：，若存在两项使得，则的最小值为（　　）
A. B. C. D. 不存在
【答案】 A
【解析】 ， 或（舍去）
所以有．则
．
四、分层训练 能力进阶
【基础】
1．我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列就是二阶等差数列．数列的前3项和是_______．
【答案】
【解析】因为，所以．即．
故答案为：.
2.已知数列的前项和为满足，且成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
【答案】（1）（2）
【解析】（1）由得，由，
相减得，又成等差数列，所以，
即，解得，所以数列是以3为首项公比为3的等比数列，即.
（2）由，得,
于是
3.将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．
【答案】
【解析】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列，
数列是以1首项，以3为公差的等差数列，
所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列，
所以的前项和为，
故答案为：.
4.设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2 016，且an＋2an＋1＋an＋2＝0(n∈N*)，则S2 016等于(　　)
A．0 B．2 016 C．2 015 D．2 014
【答案】　A
【解析】　∵an＋2an＋1＋an＋2＝0(n∈N*)，∴an＋2anq＋anq2＝0，q为等比数列{an}的公比，
即q2＋2q＋1＝0，∴q＝－1.∴an＝(－1)n－1·2 016，∴S2 016＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2 015＋a2 016)＝0.
5.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝Sn(n＝1,2,3，…)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝时，求数列的前n项和Tn.
【答案】(1)an＝2n－1. (2).
【解析】　(1)由已知得得到an＋1＝an(n≥2)．
∴数列{an}是以a2为首项，以为公比的等比数列．
又a2＝S1＝a1＝，
∴an＝a2×n－2＝n－2(n≥2)．
又a1＝1不适合上式，∴an＝
(2)bn＝＝＝n.
∴＝＝－.
∴Tn＝＋＋＋…＋＝＋＋＋…＋
＝1－＝.
6．设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
（1）求的公比；
（2）若，求数列的前项和．
【解析】（1）设的公比为，由题设得 即.
所以 解得（舍去），.
故的公比为.
（2）设为的前n项和.由（1）及题设可得，.所以
，
.
可得
所以.
【巩固】
1．已知数列中，，，则
A． B． C． D．5051
【答案】D
【解析】由题意，数列中，，，
则，
各式相加，可得
，
所以.
故选：D．
2．已知数列{an}满足an＋1＋(－1)n＋1an＝2，则其前100项和为(　　)
A.250 B.200 C.150 D.100
【答案】D
【解析】　当n＝2k(k∈N*)时，a2k＋1－a2k＝2，当n＝2k－1(k∈N*)时，a2k＋a2k－1＝2，当n＝2k＋1(k∈N*)时，a2k＋2＋a2k＋1＝2，∴a2k＋1＋a2k－1＝4，a2k＋2＋a2k＝0，∴{an}的前100项和＝(a1＋a3)＋…＋(a97＋a99)＋(a2＋a4)＋…＋(a98＋a100)＝25×4＋25×0＝100.
3．若已知数列的前四项是，，，，则数列的前n项和为______________．
【答案】－.
【解析】由前四项知数列{an}的通项公式为an＝，
由＝(－)知，
Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an＝[1－＋－＋－＋…＋(－)＋(－)＋(－)]
＝[1＋－－]＝－.
4.记是正项数列的前项和，是和的等比中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
【答案】（1），（2）
【解析】（1）因为是和的等比中项，
所以①，当时，②，
由①②得：，
化简得，即或者（舍去），
故，数列为等差数列，
因为，解得，
所以数列是首项为、公差为的等差数列，.
（2）因为，
所以.
5．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且(t＋1)Sn＝a＋3an＋2(t∈R)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足b1＝1，bn＋1－bn＝an＋1，求数列的前n项和Tn.
【答案】见解析.
【解析】(1)因为a1＝1，且(t＋1)Sn＝a＋3an＋2，
所以(t＋1)S1＝a＋3a1＋2，所以t＝5.所以6Sn＝a＋3an＋2.①
当n≥2时，有6Sn－1＝a＋3an－1＋2，②
①－②得6an＝a＋3an－a－3an－1，所以(an＋an－1)(an－an－1－3)＝0，
因为an>0，所以an－an－1＝3，又因为a1＝1，
所以{an}是首项为1，公差为3的等差数列，所以an＝3n－2(n∈N*)．
(2)因为bn＋1－bn＝an＋1，b1＝1，所以bn－bn－1＝an(n≥2，n∈N*)，
所以当n≥2时，bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1＝an＋an－1＋…＋a2＋b1＝.
又b1＝1也适合上式，所以bn＝(n∈N*)．
所以＝＝·＝·，
所以Tn＝·＝·，＝.
【拔高】
1. 《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁“哀”得,,,个单位,递减的比例为,今共有粮石,按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”,已知丙衰分得石,乙、丁衰分所得的和为石,则“衰分比”与的值分别为
A．　 B．　
C．　 D．　
【答案】A
【解析】设“衰分比”为,甲衰分得石,由题意得,
解得,,．故选A．
2.等差数列的前项和为，，其中，，成等比数列，且数列为非常数数列.
（1）求数列通项；
（2）设，的前项和记为，求证：.
【答案】（1），（2）见解析
【解析】（1）因为，，成等比数列，由所以， 即，
解得得或（舍去），所以.
（2）由（1）知：，
，
.
3．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1－an≥2(n∈N*)，且Sn为{an}的前n项和，则(　　)
A.an≥2n＋1 B.Sn≥n2
C.an≥2n－1 D.Sn≥2n－1
【答案】B
【解析】由题意得a2－a1≥2，a3－a2≥2，a4－a3≥2，…，an－an－1≥2，
∴a2－a1＋a3－a2＋a4－a3＋…＋an－an－1≥2(n－1)，
∴an－a1≥2(n－1)，∴an≥2n－1，
∴a1≥1，a2≥3，a3≥5，…，an≥2n－1，
∴a1＋a2＋a3＋…＋an≥1＋3＋5＋…＋2n－1，
∴Sn≥＝n2.
4．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝5，nSn＋1－(n＋1)Sn＝n2＋n.
(1)求证：数列为等差数列；
(2)令bn＝2nan，求数列{bn}的前n项和Tn.
【答案】（1）见解析，（2）Tn＝(2n＋1)2n＋1－2
【解析】(1)证明　由nSn＋1－(n＋1)Sn＝n2＋n得－＝1，
又＝5，所以数列是首项为5，公差为1的等差数列.
(2)解　由(1)可知＝5＋(n－1)＝n＋4，所以Sn＝n2＋4n.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋4n－(n－1)2－4(n－1)＝2n＋3.
又a1＝5也符合上式，所以an＝2n＋3(n∈N*)，所以bn＝(2n＋3)2n，
所以Tn＝5×2＋7×22＋9×23＋…＋(2n＋3)2n，①
2Tn＝5×22＋7×23＋9×24＋…＋(2n＋1)2n＋(2n＋3)2n＋1，②
所以②－①得
Tn＝(2n＋3)2n＋1－10－(23＋24＋…＋2n＋1)
＝(2n＋3)2n＋1－10－
＝(2n＋3)2n＋1－10－(2n＋2－8)
＝(2n＋1)2n＋1－2.
5.设是等差数列，是等比数列．已知．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足其中．
（i）求数列的通项公式；
（ii）求．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（i）（ii）
【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为．依题意得解得故．
所以，的通项公式为的通项公式为．
（Ⅱ）（i）．
所以，数列的通项公式为．
（ii）
．第二十八讲 数列综合
一、自我诊断 知己知彼
1．数列1，3，5，7，…，(2n－1)＋，…的前n项和Sn的值等于(　　)
A．n2＋1－ B．2n2－n＋1－ C．n2＋1－ D．n2－n＋1－
2．数列{an}中，an＝，若{an}的前n项和为，则项数n为(　　)
A.2 018 B.2 019
C.2 020 D.2 021
3．已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝1，a2＋a4＝10，b2b4＝a5.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求和：b1＋b3＋b5＋…＋b2n－1.
4.已知在等比数列{an}中，a1＝1，且a1，a2，a3－1成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn＝2n－1＋an(n∈N*)，数列{bn}的前n项和为Sn，试比较Sn与n2＋2n的大小.
5.在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，其前n项和Sn满足S＝an.
(1)求Sn的表达式；
(2)设bn＝，求{bn}的前n项和Tn.
6．已知数列{an}中，a1＝3，a2＝5，且{an－1}是等比数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Tn.
二、温故知新 夯实基础
1.数列通项公式的求法
（1） 型
常规方法是将递推成,然后令消去递推公式中的项（n≥2）.但是在一些特殊情况下，将改写成后可消去项，先求，再求。
（2）
在数列的递推公式中，
(1)若型如,则应采用累加法；
(2)若型如,则应采用累乘法；
（3）
型如（p1，q0）(n）的递推式，两边同时加上x可构造出等比数列(n）,其中.
（4）
对于如（p0、1且q0、1）的数列求通项公式，有以下两种方法：
（1）两边同时除以,再累加求通项；
（2）两边同时加上,再构造成等比数列.
若p=q,则只能采用（1），而用（2）无法求解。
2.数列求和的常用方法
(1)公式法
等差、等比数列或可化为等差、等比数列的可直接使用公式求和．
(2)分组转化法
把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．
(3)裂项相消法
把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．
常见的裂项公式
①＝－；
②＝；
③＝－.
(4)倒序相加法
把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．
(5)错位相减法
主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广．
三、典例剖析 举一反三
考点一　数列通项公式
（一）典例剖析
例1.在数列中, ,,则该数列的通项公式= ．
例2.设数列的前项和为，且，则通项_________
例3.若a1＝1，nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，则数列{an}的通项公式an＝________.
例4.若a1＝1，an＋1＝，则数列{an}的通项公式an＝________.
（二）举一反三
1．设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝ .
2.设为数列的前项和，若，则＝________.
3.在数列中，，，则通项公式＝________.
4.已知数列满足，则数列的通项公式＝________.
5.已知数列{an}前n项和为Sn,满足Sn=2an-2n(n∈N*)．
（I）证明：{an+2}是等比数列,并求{an}的通项公式；
（Ⅱ）数列{bn}满足bn=log2(an+2),Tn为数列{}的前n项和,若对正整数a都成立,求a的取值范围．
考点二 数列求和
（一）典例剖析
例1.数列是各项均为正数的等比数列，且,.
（1）求数列的通项公式；
（2）设,求数列的前n项和。
例2.已知{an}是各项均为正数的等比数列，{bn}是等差数列，且a1＝b1＝1，b2＋b3＝2a3，a5－3b2＝7.
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)设cn＝anbn，n∈N*，求数列{cn}的前n项和.
例3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a2＋a5＝25，S5＝55.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设anbn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
（二）举一反三
1.已知数列{an}：，＋，＋＋，…，＋＋＋…＋，…，那么数列{bn}＝的前n项和Sn为(　　)
A. B. C. D.
2.数列{an}的通项公式an＝(n∈N*)，若前n项和为Sn，则Sn为(　　)
A.－1 B.＋－－1
C.(－1) D.(＋－－1)
3．已知数列{an}中，a1＝a2＝1，an＋2＝则数列{an}的前20项和为(　　)
A．1 121 B．1 122
C．1 123 D．1 124
4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a9＝a12＋6，a2＝4，则数列的前10项和为(　　)
A. B. C. D.　
考点三 数列的综合应用
（一）典例剖析
例1.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)
A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块
例2．在等差数列中，，．记，则数列
A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项
C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项
例3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，公差，且．记，，，下列等式不可能成立的是
A． B．
C． D．
（二）举一反三
1.已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，其前n项和为Sn.若直线y＝a1x＋m与圆x2＋(y－1)2＝1的两个交点关于直线x＋2y－d＝0对称，则数列{}的前100项和为________．
2．已知数列{an}满足：a1＝2，且对任意n，m∈N*，都有am＋n＝am·an，Sn是数列{an}的前n项和，则＝(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
3.已知正项等比数列满足：，若存在两项使得，则的最小值为（　　）
A. B. C. D. 不存在
四、分层训练 能力进阶
【基础】
1．我国古代数学家杨辉，朱世杰等研究过高阶等差数列的求和问题，如数列就是二阶等差数列．数列的前3项和是_______．
2.已知数列的前项和为满足，且成等差数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求数列的前项和.
3.将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________．
4.设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝2 016，且an＋2an＋1＋an＋2＝0(n∈N*)，则S2 016等于(　　)
A．0 B．2 016 C．2 015 D．2 014
5.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，an＋1＝Sn(n＝1,2,3，…)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝时，求数列的前n项和Tn.
6．设是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．
（1）求的公比；
（2）若，求数列的前项和．
【巩固】
1．已知数列中，，，则
A． B． C． D．5051
2．已知数列{an}满足an＋1＋(－1)n＋1an＝2，则其前100项和为(　　)
A.250 B.200 C.150 D.100
3．若已知数列的前四项是，，，，则数列的前n项和为______________．
4.记是正项数列的前项和，是和的等比中项.
（1）求数列的通项公式；
（2）记，求数列的前项和.
5．.已知正项数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，且(t＋1)Sn＝a＋3an＋2(t∈R)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足b1＝1，bn＋1－bn＝an＋1，求数列的前n项和Tn.
【拔高】
1. 《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题：“衰分”是按比例递减分配的意思,通常称递减的比例(百分比)为“衰分比”．如：甲、乙、丙、丁“哀”得,,,个单位,递减的比例为,今共有粮石,按甲、乙、丙、丁的顺序进行“衰分”,已知丙衰分得石,乙、丁衰分所得的和为石,则“衰分比”与的值分别为
A．　 B．　
C．　 D．　
2.等差数列的前项和为，，其中，，成等比数列，且数列为非常数数列.
（1）求数列通项；
（2）设，的前项和记为，求证：.
3．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1－an≥2(n∈N*)，且Sn为{an}的前n项和，则(　　)
A.an≥2n＋1 B.Sn≥n2
C.an≥2n－1 D.Sn≥2n－1
4．已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝5，nSn＋1－(n＋1)Sn＝n2＋n.
(1)求证：数列为等差数列；
(2)令bn＝2nan，求数列{bn}的前n项和Tn.
5.设是等差数列，是等比数列．已知．
（Ⅰ）求和的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足其中．
（i）求数列的通项公式；
（ii）求．

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