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第三十一讲 椭圆
一.自我诊断 知己知彼
1.已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )
A．2 B．6 C．4 D．12
【答案】C
【解析】设另一焦点为，由题在BC边上，所以的周长故选：C
2.已知椭圆，直线：，直线与椭圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定
【答案】B
【解析】直线：化为，可得直线恒过点，由可知该点在椭圆内部.所以直线与椭圆相交，故选：B.
3.“方程表示的曲线为椭圆”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由于方程表示的曲线为椭圆，所以，解得且.所以“方程表示的曲线为椭圆”是“”的充分不必要条件.故选：A
4．椭圆＋y2＝1的左.右焦点分别为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|等于(　　)
A. B.
C. D．4
【答案】　A
【解析】　F1(－，0)，∵PF1⊥x轴，∴，∴||＝，∴||＝4－＝.
5．已知椭圆E：的离心率为，点在E上。求E的方程。
【答案】
【解析】由题意得，所以，所以。又点在E上，所以,联立可得，所以椭圆E的方程为.
二.温故知新 夯实基础
1．椭圆的概念
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：
(1)若a>c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
图形
性质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a
对称性 对称轴：坐标轴　　对称中心：原点
顶点坐标 A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0)
轴 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距 |F1F2|＝2c
离心率 e＝∈(0,1)
a，b，c的关系 a2＝b2＋c2
三.典例剖析 举一反三
考点一 椭圆的定义
（一）典例剖析
例1.椭圆上的点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON| （O为坐标原点）的值为（ ）
A 2 B 4 C 8 D
【答案】B
【解析】显然，由椭圆定义得，．又因ON为三角形MF1F2的中位线，所以
故选B．
【易错点】椭圆定义不清晰
【方法点拨】本题考查椭圆的定义及中位线定理的应用.
（二）举一反三
1.已知椭圆的两个焦点为，且，弦过点，则的周长为（ ）
A．10 B．20 C． D．
【答案】D
【解析】, ,.
由椭圆定义知：,
的周长为.故选：
2.椭圆的两个焦点为，，过的直线交椭圆于A、B两点，若，则的值为　　
A．10 B．8 C．16 D．12
【答案】A
【解析】由椭圆的定义可得：，
，故选A．
3．已知椭圆 （a＞b＞0）的离心率为，则
A．a2=2b2 B．3a2=4b2
C．a=2b D．3a=4b
【答案】B
【解析】椭圆的离心率 , 化简得 。
故选B.
考点二 椭圆的方程
（一）典例剖析
例1 .若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为，焦距为，则椭圆的方程为（ ）
A． B．或
C． D．或
【答案】D
【解析】根据椭圆的几何意义知：，解得，焦点在轴是，或焦点在轴：
【易错点】 椭圆的几何意义不清晰
【方法点拨】本题考查椭圆的标准方程与椭圆的几何意义.根据题意求出a,b带入标准方程即可,最后要注意焦点在哪个轴.
（二）举一反三
1.椭圆的两个焦点是F1(－1, 0), F2(1, 0)，P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则该椭圆方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由题意可得：|PF1|+|PF2|=2|F1F2|=4,而结合椭圆的定义可知，|PF1|+|PF2|=2a,
∴2a=4，2c=2，由a2=b2+c2，∴b=3,∴椭圆的方程为，选B.
2.已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)
A.－＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.＋＝1
【答案】D
【解析】设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，
所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16，2c＝8，所以a＝8，c＝4，b＝＝4，
故所求的轨迹方程为＋＝1.
3．已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点．若，，则C的方程为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】法一：如图，由已知可设，则，
由椭圆的定义有．
在中，由余弦定理推论得．
在中，由余弦定理得，解得．
所求椭圆方程为，故选B．
法二：由已知可设，则，
由椭圆的定义有．
在和中，由余弦定理得，
又互补，，两式消去，得，解得．所求椭圆方程为，故选B．
法三：设，根据椭圆定义有，因为解得，因此易知，代入椭圆方程，解得
考点三 椭圆的几何性质
（一）典例剖析
例1.已知椭圆经过点A（0，4），离心率为；
（1）求椭圆C的方程；
（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．
【答案】（1） （2）
【解析】（1）因为椭圆经过点A，所以b=4．又因离心率为，所以
所以椭圆方程为：,依题意可得，直线方程为，并将其代入椭圆方程，得．
（2）设直线与椭圆的两个交点坐标为，则由韦达定理得，,
所以中点横坐标为，并将其代入直线方程得，
故所求中点坐标为．
【考点】求椭圆方程.直线与椭圆相交求弦的中点坐标．
【方法点拨】待定系数法求椭圆方程；
（2）先求出直线方程代入椭圆方程，然后由韦达定理求出两根之和，再求出中点横坐标，最后代入直线方程求出中点纵坐标即得结果．
（二）举一反三
1.已知点为椭圆的一个焦点，过点作圆的两条切线，若这两条切线互相垂直，则　　
A．2 B． C．
【答案】　C
【解析】如图，
由题意椭圆的右焦点为，过点作圆的切线，若两条切线互相垂直，可得，则，，则．故选：．
2. 已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为椭圆C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
【答案】　A
【解析】　由题意知，A(－a,0)，B(a,0)，F(－c,0)．设M(－c，m)，则，OE的中点为D，
则，又B，D，M三点共线，所以，即a＝3c，即e＝.
3 .已知椭圆的左、右顶点分别为，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】∵以为直径为圆与直线相切，∴圆心到直线距离等于半径，
∴,又∵，则上式可化简为,
∵，可得，即,∴，故选A
四.分层训练 能力进阶
【基础】
1. 已知椭圆＋＝1的长轴在x轴上，焦距为4，则m等于(　　)
A.8 B.7 C.6 D.5
【答案】A
【解析】因为椭圆＋＝1的长轴在x轴上，所以解得62.已知椭圆的左焦点为，上顶点为，右顶点为，若是直角三角形，则椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在直角三角形中，，由射影定理可得，
即，所以，整理可得，解得，因为，
所以，故选：．
3.已知椭圆（）的左焦点为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意得：，因为，所以，故选C．
4. 己知椭圆 的一个焦点为,则C的离心率为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由题意可知：
故选C.
5.如果椭圆的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是 ( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】设这条弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），斜率为k，则，两式相减、变形得又弦中点为（4，2），故k= ，故这条弦所在的直线方程y-2= （x-4），整理得x+2y-8=0；故选D．
【巩固】
1.椭圆x2＋4y2=16被直线y=x＋1截得的弦长为 。
【答案】
【解析】试题分析：由得，所以，故弦长为
2.直线不经过坐标原点O，且与椭圆交于A.B两点，M是线段AB的中点．那么，直线AB与直线OM的斜率之积为 （ ）
A. B.1 C. D.2
【答案】C
【解析】设，∵M是线段AB的中点，，
把代入椭圆，得，
两式相减，得，
∴，∴，
又，∴直线AB与直线OM的斜率之积：．故选C．
3．已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是___________．
【答案】
【解析】方法1：如图，设F1为椭圆右焦点.由题意可知，
由中位线定理可得，设，可得，
与方程联立，可解得（舍），
又点在椭圆上且在轴的上方，求得，所以.
方法2：（焦半径公式应用）由题意可知，
由中位线定理可得，即，
从而可求得，所以.
【拔高】
1.已知，是椭圆的左，右焦点，点在上，与轴垂直，，则的离心率为　　
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得右焦点，与轴垂直，所以，设在轴上方，代入椭圆可得，即，由，则，在三角形中，，
所以，整理可得，即，，解得：，
故选：．
2．设为椭圆C:的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则M的坐标为___________.
【答案】
【解析】由已知可得，
，∴．
设点的坐标为，则，
又，解得，
，解得（舍去），
的坐标为．
3.已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)，若椭圆上一点P与其中心及长轴一个端点构成等腰直角三角形.
(1)求椭圆E的离心率；
(2)如图，若直线l与椭圆相交于A，B，且AB是圆(x－1)2＋(y＋1)2＝5的一条直径，求椭圆E的标准方程.
【答案】见解析
【解析】(1)由题意不妨设椭圆上的点P的坐标为，代入椭圆方程可得＋＝1，即a2＝3b2，∴a2＝3b2＝3(a2－c2)，∴2a2＝3c2，∴e＝.
(2)由(1)得椭圆E的方程为＋＝1，易知直线l的斜率存在，设其方程为y＝k(x－1)－1，A(x1，y1)，B(x2，y2).
(3k2＋1)x2－6k(k＋1)x＋3(k＋1)2－3b2＝0.
∴x1＋x2＝，x1x2＝.
又x1＋x2＝2，∴k＝，∴x1x2＝，
则|AB|＝＝＝2，
∴b2＝，则a2＝10，∴椭圆E的标准方程为＋＝1.
4.已知椭圆C：的离心率为，且过点A（2，1）．
（1）求C的方程：
（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．
【解析】（1）由题设得，，解得，．
所以的方程为．
（2）设，．
若直线与轴不垂直，设直线的方程为，
代入得．
于是．①
由知，故，
可得．
将①代入上式可得．
整理得．
因为不在直线上，所以，故，．
于是的方程为.
所以直线过点.
若直线与轴垂直，可得.
由得.
又，可得.解得（舍去），.
此时直线过点.
令为的中点，即.
若与不重合，则由题设知是的斜边，故.
若与重合，则.
综上，存在点，使得为定值.
设椭圆的左焦点为，上顶点为．已知椭圆的短轴长为4，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上．若（为原点），且，求直线的斜率．
【答案】（1）；（2）或．
【解析】（1）设椭圆的半焦距为，依题意，，又，可得，．
所以，椭圆的方程为．
（2）由题意，设．设直线的斜率为，
又，则直线的方程为，
与椭圆方程联立整理得，
可得，代入得，进而直线的斜率．
在中，令，得．由题意得，所以直线的斜率为．
由，得，化简得，从而．
所以，直线的斜率为或．第三十一讲 椭圆
一.自我诊断 知己知彼
1.已知△ABC的顶点B、C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )
A．2 B．6 C．4 D．12
2.已知椭圆，直线：，直线与椭圆的位置关系是（ ）
A．相离 B．相交 C．相切 D．不确定
3.“方程表示的曲线为椭圆”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．椭圆＋y2＝1的左.右焦点分别为F1，F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|等于(　　)
A. B.
C. D．4
5．已知椭圆E：的离心率为，点在E上。求E的方程。
二.温故知新 夯实基础
1．椭圆的概念
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数：
(1)若a>c，则集合P为椭圆；
(2)若a＝c，则集合P为线段；
(3)若a2．椭圆的标准方程和几何性质
标准方程 ＋＝1 (a>b>0) ＋＝1(a>b>0)
图形
性质 范围 －a≤x≤a －b≤y≤b －b≤x≤b －a≤y≤a
对称性 对称轴：坐标轴　　对称中心：原点
顶点坐标 A1(－a,0)，A2(a,0) B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，a) B1(－b,0)，B2(b,0)
轴 长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距 |F1F2|＝2c
离心率 e＝∈(0,1)
a，b，c的关系 a2＝b2＋c2
三.典例剖析 举一反三
考点一 椭圆的定义
（一）典例剖析
例1.椭圆上的点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，则|ON| （O为坐标原点）的值为（ ）
A 2 B 4 C 8 D
（二）举一反三
1.已知椭圆的两个焦点为，且，弦过点，则的周长为（ ）
A．10 B．20 C． D．
2.椭圆的两个焦点为，，过的直线交椭圆于A、B两点，若，则的值为　　
A．10 B．8 C．16 D．12
3．已知椭圆 （a＞b＞0）的离心率为，则
A．a2=2b2 B．3a2=4b2
C．a=2b D．3a=4b
考点二 椭圆的方程
（一）典例剖析
例1 .若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为，焦距为，则椭圆的方程为（ ）
A． B．或
C． D．或
（二）举一反三
1.椭圆的两个焦点是F1(－1, 0), F2(1, 0)，P为椭圆上一点，且|F1F2|是|PF1|与|PF2|的等差中项，则该椭圆方程是（ ）
A． B．
C． D．
2.已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为(　　)
A.－＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.＋＝1
3．已知椭圆C的焦点为，过F2的直线与C交于A，B两点．若，，则C的方程为
A． B．
C． D．
考点三 椭圆的几何性质
（一）典例剖析
例1.已知椭圆经过点A（0，4），离心率为；
（1）求椭圆C的方程；
（2）求过点（3，0）且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．
（二）举一反三
1.已知点为椭圆的一个焦点，过点作圆的两条切线，若这两条切线互相垂直，则　　
A．2 B． C．
2. 已知O为坐标原点，F是椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点，A，B分别为椭圆C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴．过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为(　　)
A. B. C. D.
3 .已知椭圆的左、右顶点分别为，且以线段为直径的圆与直线相切，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
四.分层训练 能力进阶
【基础】
1. 已知椭圆＋＝1的长轴在x轴上，焦距为4，则m等于(　　)
A.8 B.7 C.6 D.5
2.已知椭圆的左焦点为，上顶点为，右顶点为，若是直角三角形，则椭圆的离心率为　　
A． B． C． D．
3.已知椭圆（）的左焦点为，则（ ）
A． B． C． D．
4. 己知椭圆 的一个焦点为,则C的离心率为
A. B. C. D.
5.如果椭圆的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是 ( )
A． B．
C． D．
【巩固】
1.椭圆x2＋4y2=16被直线y=x＋1截得的弦长为 。
2.直线不经过坐标原点O，且与椭圆交于A.B两点，M是线段AB的中点．那么，直线AB与直线OM的斜率之积为 （ ）
A. B.1 C. D.2
3．已知椭圆的左焦点为，点在椭圆上且在轴的上方，若线段的中点在以原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率是___________．
【拔高】
1.已知，是椭圆的左，右焦点，点在上，与轴垂直，，则的离心率为　　
A． B． C． D．
2．设为椭圆C:的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若为等腰三角形，则M的坐标为___________.
3.已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)，若椭圆上一点P与其中心及长轴一个端点构成等腰直角三角形.
(1)求椭圆E的离心率；
(2)如图，若直线l与椭圆相交于A，B，且AB是圆(x－1)2＋(y＋1)2＝5的一条直径，求椭圆E的标准方程.
4. 已知椭圆C：的离心率为，且过点A（2，1）．
（1）求C的方程：
（2）点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．
设椭圆的左焦点为，上顶点为．已知椭圆的短轴长为4，离心率为．
（1）求椭圆的方程；
（2）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上．若（为原点），且，求直线的斜率．

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