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2021年山东省菏泽市牡丹区中考数学一模试卷
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填在答题卡相应位置.）
1．（3分）在﹣1，0，π，这四个数中，最大的数是（　　）
A．﹣1 B．0 C．π D．
2．（3分）下列运算正确的是（　　）
A． B．（﹣xy2）3＝﹣x3y6
C．（﹣x）5÷（﹣x）2＝x3 D．＝﹣4
3．（3分）已知一个几何体如图所示，则该几何体的左视图是（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD，交DB的延长线于点F，则∠DFA等于（　　）
A．30° B．36° C．45° D．32°
5．（3分）为调动学生参与体育锻炼的积极性，某校组织了一分钟跳绳比赛活动，体育组随机抽取了10名参赛学生的成绩，将这组数据整理后制成统计表：
一分钟跳绳个数（个） 141 144 145 146
学生人数（名） 5 2 1 2
则关于这组数据的结论正确的是（　　）
A．平均数是144 B．众数是141
C．中位数是144.5 D．方差是5.4
6．（3分）如图，直线y＝﹣x+5与双曲线y＝（x＞0）相交于A，B两点，与x轴交于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，△BDC的面积是，则k的值为（　　）
A．3.5 B．4 C．5 D．6
7．（3分）定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7．若关于x的方程5☆x＝6﹣4x，则代数式3﹣2x+10x2的值为（　　）
A．﹣11 B．10 C．11 D．17
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣2，0）和B（4，0），点C为抛物线的顶点，则下列结论：
①abc＞0；
②关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集为﹣2＜x＜4；
③3a+c＜0；
④若△ABC是直角三角形，则点C的坐标为（1，﹣3）；
⑤若m为任意实数，则am2+bm＞a+b．
其中结论正确的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，请把最后结果填写在答题卡的相应区域内）
9．（3分）分解因式：4ax2﹣ay2＝　 　．
10．（3分）2021年1月中旬石家庄市出现新冠病毒疫情反复后，全市立即启用了核酸检测信息统一平台，满足常态化核酸检测和短时间、大规模核酸检测要求．目前，通过该平台累计采样超过1280000人次，数据1280000用科学记数法可以表示为　 　．
11．（3分）A、B两点的坐标分别为（1，0）、（0，2），若将线段AB平移至A1B1，点A1、B1的坐标分别为（2，a），（b，3），则a+b＝　 　．
12．（3分）若关于x的方程的解是非负数，则m的取值范围是　 　．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，将△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A'B′C'，其中点B的运动路径为，则图中阴影部分的面积为　 　．
14．（3分）如图，已知正方形ABCD，P是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AP＜AB，△CBE由△DAP平移得到，若过点E作EQ⊥AC，点Q为垂足，则有以下结论：①在点P运动过程中，四边形PECD可能为菱形；②无论点P运动到何处，都有DP＝PQ；③若∠DQC＝60°，则有2BE＝DP；④无论点P运动到何处，∠CQP一定大于135°．其中正确结论的序号为 　 　．
三、解答题（本大题共10个小题，共78分，请把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内）
15．（6分）计算：﹣|﹣2|+（1﹣cos45°）+（﹣）﹣2．
16．（6分）先化简，再求值：（﹣a+1）÷，其中a是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的根．
17．（6分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：AF＝BD．
（2）求证：四边形ADCF是菱形．
18．（6分）某校王老师组织九（1）班同学开展数学活动，某天带领同学们测量学校附近一电线杆的高．已知电线杆直立于地面上，在太阳光的照射下，电线杆的影子（折线BCD）恰好落在水平地面和斜坡上，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，在C处测得电线杆顶端A的仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD＝4m，请你根据这些数据求电线杆的高AB．（结果用根号表示）
19．（7分）如图，直线y＝﹣x+b分别与x轴，y轴相交于A，B，反比例函数y＝（x＞0）的图象与直线AB相交于C，D两点，且C点坐标是（2，n），tan∠BOC＝．
（1）求直线AB及反比例函数的表达式．
（2）若x轴上有一点P，使∠ODP＝90°，求P点的坐标．
20．（7分）2020年5月，全国两会召开以后，应势复苏的“地摊经济”带来了市场新活力，雅苑社区拟建A，B两类摊位以激活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米，建A类摊位每平方米的费用为50元，建B类摊位每平方米的费用为40元，用120平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的．
（1）求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？
（2）该社区拟建A，B两类摊位共100个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的4倍，求建造这100个摊位的最大费用．
21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC上一点，过B，C，D三点的⊙O交AB于点E，连接ED，EC，点F是线段AE上的一点，连接FD，其中∠FDE＝∠DCE．
（1）求证：DF是⊙O的切线．
（2）若D是AC的中点，∠A＝30°，BC＝4，求DF的长．
22．（10分）随着通讯技术的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选择一种），在全校随机调查了部分学生，将统计结果绘制成了如下两幅不完整的统计图，其中扇形统计图中，表示“钉钉”和“QQ”的扇形圆心角相等，请结合图中所给信息解答下列问题：
（1）这次统计共抽查了　 　名学生；在扇形统计图中，表示“钉钉”的扇形圆心角的度数为　 　；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校共有2000名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有多少名？
（4）某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“钉钉”、“QQ”、“电话”四种沟通方式中选择一种方式与对方联系，请用列表或树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的概率．
23．（10分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D是射线CB上一点（点D不与点B重合），以AD为斜边作等腰直角三角形ADE（点E和点C在AB的同侧），连接CE．
（1）如图①，当点D与点C重合时，直接写出CE与AB的位置关系；
（2）如图②，当点D与点C不重合时，（1）的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）当∠EAC＝15°时，请直接写出的值．
24．（10分）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点 C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）①若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN的最大值；
②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
2021年山东省菏泽市牡丹区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的，请把正确的选项填在答题卡相应位置.）
1．（3分）在﹣1，0，π，这四个数中，最大的数是（　　）
A．﹣1 B．0 C．π D．
【分析】实数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
【解答】解：根据实数比较大小的方法，可得
﹣1＜0＜＜π，
∴在这四个数中，最大的数是π．
故选：C．
2．（3分）下列运算正确的是（　　）
A． B．（﹣xy2）3＝﹣x3y6
C．（﹣x）5÷（﹣x）2＝x3 D．＝﹣4
【分析】直接利用积的乘方运算法则以及同底数幂的乘除运算法则、二次根式的加减运算法则分别化简得出答案．
【解答】解：A、+，无法计算，故此选项错误；
B、（﹣xy2）3＝﹣x3y6，故此选项错误；
C、（﹣x）5÷（﹣x）2＝﹣x3，故此选项错误；
D、＝﹣4，正确．
故选：D．
3．（3分）已知一个几何体如图所示，则该几何体的左视图是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】找到从左面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在左视图中．
【解答】解：从左面看易得是一个矩形，矩形的中间有一条横向的虚线，虚线与上沿之间有一个由虚线组成的圆．
故选：A．
4．（3分）如图，已知正五边形ABCDE，AF∥CD，交DB的延长线于点F，则∠DFA等于（　　）
A．30° B．36° C．45° D．32°
【分析】根据多边形的内角和公式求出∠C，再根据等腰三角形两底角相等求出∠CDB，然后根据两直线平行，内错角相等求解即可．
【解答】解：在正五边形ABCDE中，∠C＝×（5﹣2）×180°＝108°，
∵正五边形ABCDE的边BC＝CD，
∴∠CBD＝∠CDB，
∴∠CDB＝（180°﹣108°）＝36°，
∵AF∥CD，
∴∠DFA＝∠CDB＝36°．
故选：B．
5．（3分）为调动学生参与体育锻炼的积极性，某校组织了一分钟跳绳比赛活动，体育组随机抽取了10名参赛学生的成绩，将这组数据整理后制成统计表：
一分钟跳绳个数（个） 141 144 145 146
学生人数（名） 5 2 1 2
则关于这组数据的结论正确的是（　　）
A．平均数是144 B．众数是141
C．中位数是144.5 D．方差是5.4
【分析】根据平均数，众数，中位数，方差的性质分别计算出结果，然后判判断即可．
【解答】解：根据题目给出的数据，可得：
平均数为：，故A选项错误；
众数是：141，故B选项正确；
中位数是：，故C选项错误；
方差是：＝4.4，故D选项错误；
故选：B．
6．（3分）如图，直线y＝﹣x+5与双曲线y＝（x＞0）相交于A，B两点，与x轴交于点C，过点B作BD⊥x轴于点D，△BDC的面积是，则k的值为（　　）
A．3.5 B．4 C．5 D．6
【分析】令直线y＝﹣x+5与y轴的交点为点E，根据一次函数图象上点的坐标特征以及，△BDC的面积是，即可得出BD的长度，进而可找出点B的坐标，根据反比例函数图象上点的坐标特征即可得出反比例函数系数k的值．
【解答】解：令直线y＝﹣x+5与y轴的交点为点E，如图所示．
令直线y＝﹣x+5中y＝0，则0＝﹣x+5，解得：x＝5，令x＝0，则y＝5，
即OC＝5，OE＝5，
∴∠OCB＝45°，
∵BD⊥x轴于点D，
∴BD＝CD，
∵△BDC的面积是，
∴DC BD＝，
解得：BD＝1．
结合题意可知点B的纵坐标为1，
当y＝1时，有1＝﹣x+5，
解得：x＝4，
∴点B的坐标为（4，1），
∴k＝4×1＝4．
故选：B．
7．（3分）定义运算：m☆n＝mn2﹣mn﹣1．例如：4☆2＝4×22﹣4×2﹣1＝7．若关于x的方程5☆x＝6﹣4x，则代数式3﹣2x+10x2的值为（　　）
A．﹣11 B．10 C．11 D．17
【分析】根据m☆n＝mn2﹣mn﹣1，可以将方程5☆x＝6﹣4x化简，然后整理，再整体代入代数式3﹣2x+10x2即可解答本题．
【解答】解：∵m☆n＝mn2﹣mn﹣1，5☆x＝6﹣4x，
∴5x2﹣5x﹣1＝6﹣4x，
∴5x2﹣x＝7，
∴10x2﹣2x＝14，
∴3﹣2x+10x2
＝3+（10x2﹣2x）
＝3+14
＝17，
故选：D．
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过点A（﹣2，0）和B（4，0），点C为抛物线的顶点，则下列结论：
①abc＞0；
②关于x的不等式ax2+bx+c＜0的解集为﹣2＜x＜4；
③3a+c＜0；
④若△ABC是直角三角形，则点C的坐标为（1，﹣3）；
⑤若m为任意实数，则am2+bm＞a+b．
其中结论正确的个数是（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】根据二次函数的性质、方程与二次函数的关系、函数与不等式的关系一一判断即可．
【解答】解：①函数的对称轴在y轴右侧，则ab＜0，而c＜0，故abc＞0，故①正确，符合题意；
②从图象看，当抛物线在x轴下方时，y＜0，此时﹣2＜x＜4，故②正确，符合题意；
③函数的对称轴为直线x＝（4﹣2）＝1＝﹣，则b＝﹣2a，
由图象知，x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，即3a+c＜0，故③正确，符合题意；
④抛物线的对称轴为直线x＝1，当△ABC为直角三角形时，
因为AC＝BC，故△ABC为等腰直角三角形，则|yC|＝AB＝3，
故点C的坐标为（1，﹣3），故④正确，符合题意；
⑤因为当x＝1时，抛物线取得最小值，即a+b+c≤am2+bm+c，故⑤错误，不符合题意；
故选：C．
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分，请把最后结果填写在答题卡的相应区域内）
9．（3分）分解因式：4ax2﹣ay2＝　a（2x+y）（2x﹣y）　．
【分析】首先提取公因式a，再利用平方差进行分解即可．
【解答】解：原式＝a（4x2﹣y2）
＝a（2x+y）（2x﹣y），
故答案为：a（2x+y）（2x﹣y）．
10．（3分）2021年1月中旬石家庄市出现新冠病毒疫情反复后，全市立即启用了核酸检测信息统一平台，满足常态化核酸检测和短时间、大规模核酸检测要求．目前，通过该平台累计采样超过1280000人次，数据1280000用科学记数法可以表示为　1.28×106　．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值＜1时，n是负整数．
【解答】解：将数据1280000用科学记数表示为1.28×106．
故答案为：1.28×106．
11．（3分）A、B两点的坐标分别为（1，0）、（0，2），若将线段AB平移至A1B1，点A1、B1的坐标分别为（2，a），（b，3），则a+b＝　2　．
【分析】根据点A、B平移后横纵坐标的变化可得线段AB向右平移1个单位，向上平移了1个单位，然后再确定a、b的值，进而可得答案．
【解答】解：由题意可得线段AB向右平移1个单位，向上平移了1个单位，
∵A、B两点的坐标分别为（1，0）、（0，2），
∴点A1、B1的坐标分别为（2，1），（1，3），
∴a+b＝2，
故答案为：2．
12．（3分）若关于x的方程的解是非负数，则m的取值范围是　m≤7且m≠﹣2　．
【分析】方程去分母，移项合并，将x系数化为1，表示出解，根据解为非负数（分母不为0）求出m的范围即可．
【解答】解：方程去分母得：1﹣x﹣m＝2（x﹣3），
解得：x＝，
根据题意得：x≥0，即≥0，且≠3，
解得：m≤7且m≠﹣2．
故答案为：m≤7且m≠﹣2．
13．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，将△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A'B′C'，其中点B的运动路径为，则图中阴影部分的面积为　π﹣　．
【分析】先利用勾股定理求出DB′＝＝，A′B′＝＝2，再根据S阴＝S扇形BDB′﹣S△DBC﹣S△DB′C，计算即可．
【解答】解：连接DB′，BD．
∵△ABC绕AC的中点D逆时针旋转90°得到△A'B′C'，此时点A′在斜边AB上，CA′⊥AB，
DB′＝＝＝，
A′B′＝＝＝2，
∴S阴＝﹣×1×1﹣×1×2＝π﹣．
故答案为π﹣．
14．（3分）如图，已知正方形ABCD，P是边BA延长线上的动点（不与点A重合），且AP＜AB，△CBE由△DAP平移得到，若过点E作EQ⊥AC，点Q为垂足，则有以下结论：①在点P运动过程中，四边形PECD可能为菱形；②无论点P运动到何处，都有DP＝PQ；③若∠DQC＝60°，则有2BE＝DP；④无论点P运动到何处，∠CQP一定大于135°．其中正确结论的序号为 　②③④　．
【分析】由正方形的性质和平移的性质可得AB＝CD＝AD＝BC，∠DAC＝∠CAB＝45°，CD＝PE，AP＝BE，DP＝CE，由直角三角形的性质可得PD≠CD，可得四边形PECD不是菱形，可判断①；由“SAS”可证△PQE≌△DQA可得PQ＝DQ，∠DQA＝∠PQE，可判断②；由外角性质和等腰直角三角形的性质可求∠ADP＝30°，由直角三角形的性质可得DP＝2AP＝2BE，可判断③；由外角的性质和平角的性质可得∠CQP＞135°，可判断④；即可求解．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD＝AD＝BC，∠DAC＝∠CAB＝45°，
∵△CBE由△DAP平移得到，
∴CD＝PE，AP＝BE，DP＝CE，
∵在Rt△ADP中，DP＞AD，
∴PD≠CD，
∴四边形PECD不是菱形，故①错误；
∵QE⊥AC，∠CAB＝45°，
∴∠QAE＝∠QEA＝45°，
∴AQ＝QE，
又∵CD＝PE＝AD，∠DAQ＝∠PEQ＝45°，
∴△PQE≌△DQA（SAS），
∴PQ＝DQ，∠DQA＝∠PQE，
∴∠DQP＝∠AQE＝90°，
∴△DPQ为等腰直角三角形，
∴DP＝PQ，故②正确；
∵∠DQC＝60°＝∠ADQ+∠DAQ，
∴∠ADQ＝15°，
∵△DPQ为等腰直角三角形，
∴∠QDP＝45°，
∴∠ADP＝30°，
∴DP＝2AP，
∴2BE＝DP，故③正确；
∵∠CAB＝∠AQP+∠APQ＝45°，
∴∠AQP＜45°，
∵∠AQP+∠CQP＝180°，
∴∠CQP＞135°，故④正确，
故答案为：②③④．
三、解答题（本大题共10个小题，共78分，请把解答或证明过程写在答题卡的相应区域内）
15．（6分）计算：﹣|﹣2|+（1﹣cos45°）+（﹣）﹣2．
【分析】原式利用分母有理化法则，绝对值的代数意义，特殊角的三角函数值，以及负整数指数幂法则计算即可求出值．
【解答】解：原式＝﹣（2﹣）+1﹣+9
＝﹣2++1﹣+9
＝8+．
16．（6分）先化简，再求值：（﹣a+1）÷，其中a是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的根．
【分析】首先将括号里面通分，进而因式分解各项，化简求出即可．
【解答】解：原式＝[﹣]
＝
＝（a+1）2
＝a2+2a+1，
∵a是关于x的方程x2﹣2x﹣3＝0的根，
∴a2﹣2a﹣3＝0，
∴a＝3或a＝﹣1，
∵a2+a≠0，
∴a≠﹣1，
∴a＝3，
∴原式＝9+6+1＝16．
17．（6分）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F，连接CF．
（1）求证：AF＝BD．
（2）求证：四边形ADCF是菱形．
【分析】（1）由“AAS”可证△AFE≌△DBE，可得AF＝BD；
（2）由一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可得四边形ADCF是平行四边形，由直角三角形的性质可得AD＝CD，即可得四边形ADCF是菱形．
【解答】证明：（1）∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE
∵△ABC是直角三角形，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，
∴AE＝DE，BD＝CD
在△AFE和△DBE中，
，
∴△AFE≌△DBE（AAS））
∴AF＝BD
（2）由（1）知，AF＝BD，且BD＝CD，
∴AF＝CD，且AF∥BC，
∴四边形ADCF是平行四边形
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴
∴四边形ADCF是菱形
18．（6分）某校王老师组织九（1）班同学开展数学活动，某天带领同学们测量学校附近一电线杆的高．已知电线杆直立于地面上，在太阳光的照射下，电线杆的影子（折线BCD）恰好落在水平地面和斜坡上，在D处测得电线杆顶端A的仰角为30°，在C处测得电线杆顶端A的仰角为45°，斜坡与地面成60°角，CD＝4m，请你根据这些数据求电线杆的高AB．（结果用根号表示）
【分析】延长AD交BC的延长线于G，作DH⊥BG于H，根据正弦、余弦的定义求出CH、DH，根据正切的定义求出HG，设AB＝xm，根据正切的定义求出BG，结合图形列出方程，解方程即可．
【解答】解：延长AD交BC的延长线于G，作DH⊥BG于H，
在Rt△DHC中，∠DCH＝60°，CD＝4，
则CH＝CD cos∠DCH＝4×cos60°＝2，
DH＝CD sin∠DCH＝4×sin60°＝，
∵DH⊥BG，∠G＝30°，
∴HG＝＝＝6，
∴CG＝CH+HG＝2+6＝8，
设AB＝xm，
∵AB⊥BG，∠G＝30°，∠BCA＝45°，
∴BC＝x，BG＝＝x，
∵BG﹣BC＝CG，
∴x﹣x＝8，
解得：x＝＝4（+1）（m）
答：电线杆的高为x＝4（+1）m．
19．（7分）如图，直线y＝﹣x+b分别与x轴，y轴相交于A，B，反比例函数y＝（x＞0）的图象与直线AB相交于C，D两点，且C点坐标是（2，n），tan∠BOC＝．
（1）求直线AB及反比例函数的表达式．
（2）若x轴上有一点P，使∠ODP＝90°，求P点的坐标．
【分析】（1）用锐角三角函数求出OE，进而得出点C坐标，最后代入直线和反比例函数解析式中求解，即可得出结论；
（2）联立两函数关系式求出点D坐标，进而得出OF＝8，DF＝2，再判断出△OFD∽△DFP，得出比例式，求出PF，即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1，
过点C作CE⊥OB于E，
∴∠OEC＝90°，
∵C（2，n），
∴CE＝2，OE＝n，
∵tan∠BOC＝，
∴，
∴＝，
∴n＝4，
∴C（2，4），
将点C的坐标代入直线AB：y＝﹣x+b中，得4＝﹣×2+b，
∴b＝5，
∴直线AB的解析式为y＝﹣x+5，
将点C的坐标代入反比例函数y＝中，得k＝2×4＝8，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）如图2，由（1）知，直线AB的解析式为y＝﹣x+5①，
反比例函数的解析式为y＝②，
联立①②解得，或，
∴D（8，1），
过点D作DF⊥OA于F，
∴∠OFD＝90°，
∴∠DOF+∠ODF＝90°，
∵∠ODP＝90°，
∴∠ODF+∠PDF＝90°，
∴∠DOF＝∠PDF，
∴△OFD∽△DFP，
∴，
∵D（8，1），
∴OF＝8，DF＝1，
∴，
∴PF＝，
∴OP＝OF+PF＝8+＝，
∴P（，0）．
20．（7分）2020年5月，全国两会召开以后，应势复苏的“地摊经济”带来了市场新活力，雅苑社区拟建A，B两类摊位以激活“地摊经济”，每个A类摊位的占地面积比每个B类摊位的占地面积多2平方米，建A类摊位每平方米的费用为50元，建B类摊位每平方米的费用为40元，用120平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的．
（1）求每个A，B类摊位占地面积各为多少平方米？
（2）该社区拟建A，B两类摊位共100个，且B类摊位的数量不少于A类摊位数量的4倍，求建造这100个摊位的最大费用．
【分析】（1）设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为（x+2）平方米，根据用120平方米建A类摊位的个数恰好是用同样面积建B类摊位个数的，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；
（2）设建A类摊位a个，建造这100个摊位的费用为y元，则建B类摊位（100﹣a）个，利用总价＝单价×数量，即可得出y关于a的函数关系式，利用一次函数的性质可得出y随a的增大而增大，由建B类摊位的数量不少于A类摊位数量的4倍，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出a的取值范围，取其中的最大值即可得出结论．
【解答】解：（1）设每个B类摊位的占地面积为x平方米，则每个A类摊位占地面积为（x+2）平方米，
依题意得：＝×，
解得：x＝4，
经检验，x＝4是原方程的解，且符合题意，
∴x+2＝4+2＝6．
答：每个A类摊位占地面积为6平方米，每个B类摊位的占地面积为4平方米．
（2）设建A类摊位a个，建造这100个摊位的费用为y元，则建B类摊位（100﹣a）个，
依题意得：y＝6a×50+4×40（100﹣a）＝140a+16000，
∵140＞0，
∴y随a的增大而增大．
∵100﹣a≥4a，
解得：a≤20，
∴当a取20时，费用最大，最大费用为140×20+16000＝18800（元）．
答：建造这100个摊位的最大费用是18800元．
21．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D是AC上一点，过B，C，D三点的⊙O交AB于点E，连接ED，EC，点F是线段AE上的一点，连接FD，其中∠FDE＝∠DCE．
（1）求证：DF是⊙O的切线．
（2）若D是AC的中点，∠A＝30°，BC＝4，求DF的长．
【分析】（1）可证得BD是⊙O的直径，∠BCE＝∠BDE，则∠BDE+∠FDE＝90°，结论得证；
（2）连接BD，先求出AC长，再求DE长，在Rt△BCD中求出BD长，在Rt△BED中求出BE长，证得△FDE∽△DBE，由比例线段可求出DF长．
【解答】解：（1）∵∠ACB＝90°，点B，D在⊙O上，
∴BD是⊙O的直径，∠BCE＝∠BDE，
∵∠FDE＝∠DCE，∠BCE+∠DCE＝∠ACB＝90°，
∴∠BDE+∠FDE＝90°，
即∠BDF＝90°，
∴DF⊥BD，
又∵BD是⊙O的直径，
∴DF是⊙O的切线．
（2）连接BD，如图，∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，
∴AB＝2BC＝2×4＝8，
∴＝4，
∵点D是AC的中点，
∴，
∵BD是⊙O的直径，
∴∠DEB＝90°，
∴∠DEA＝180°﹣∠DEB＝90°，
∴，
在Rt△BCD中，＝＝2，
在Rt△BED中，BE＝＝＝5，
∵∠FDE＝∠DCE，∠DCE＝∠DBE，
∴∠FDE＝∠DBE，
∵∠DEF＝∠BED＝90°，
∴△FDE∽△DBE，
∴，即，
∴．
22．（10分）随着通讯技术的迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．某校数学兴趣小组设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选择一种），在全校随机调查了部分学生，将统计结果绘制成了如下两幅不完整的统计图，其中扇形统计图中，表示“钉钉”和“QQ”的扇形圆心角相等，请结合图中所给信息解答下列问题：
（1）这次统计共抽查了　100　名学生；在扇形统计图中，表示“钉钉”的扇形圆心角的度数为　54°　；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）该校共有2000名学生，请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有多少名？
（4）某天甲、乙两名同学都想从“微信”、“钉钉”、“QQ”、“电话”四种沟通方式中选择一种方式与对方联系，请用列表或树状图的方法求出甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的概率．
【分析】（1）根据喜欢电话沟通的人数与百分比即可求出共抽查人数，求出喜欢用“钉钉”沟通的人数即可求出表示“钉钉”的扇形圆心角度数；
（2）计算出喜欢用短信与微信的人数即可补全统计图；
（3）用样本中喜欢用微信进行沟通的百分比来估计2500名学生中喜欢用微信进行沟通的人数即可求出答案；
（4）列出树状图分别求出所有情况以及甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的情况后，利用概率公式即可求出甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率．
【解答】解：（1）喜欢用电话沟通的人数为20，所占百分比为20%，
∴此次共抽查了：20÷20%＝100（人），
∵表示“钉钉”和“QQ”的扇形圆心角相等，
∴喜欢用“钉钉”和“QQ”沟通的人数相等，
∴喜欢用“钉钉”沟通的人数为15人，
∴表示“钉钉”的扇形圆心角的度数为360°×＝54°；
故答案为：100；54°；
（2）∵抽查的100名学生中，喜欢用“短信”沟通的人数为：100×5%＝5（人），
∴喜欢用“微信”进行沟通的学生有：100﹣20﹣5﹣15﹣15﹣5＝40（人），
将条形统计图补充完整如图：
（3）2000×＝800（名），
即该校共有2000名学生，估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的学生有800名；
（4）画出树状图，如图所示：
所有情况共有16种情况，其中甲、乙两名同学恰好选择同一种沟通方式的共有4种情况，
故甲、乙两名同学恰好选中同一种沟通方式的概率为：＝．
23．（10分）如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，D是射线CB上一点（点D不与点B重合），以AD为斜边作等腰直角三角形ADE（点E和点C在AB的同侧），连接CE．
（1）如图①，当点D与点C重合时，直接写出CE与AB的位置关系；
（2）如图②，当点D与点C不重合时，（1）的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）当∠EAC＝15°时，请直接写出的值．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质、平行线的判定定理解答；
（2）在AF上截取AF＝CD，连接EF，证明△EAF≌△EDC，根据全等三角形的性质得到EF＝EC，∠AEF＝∠DEC，根据平行线的判定定理证明；
（3）分图②、图③两种情况，根据全等三角形的性质、等腰直角三角形的性质计算，得到答案．
【解答】解：（1）当点D与点C重合时，CE∥AB，
理由如下：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠CAB＝45°，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴∠ADE＝45°，
∴∠CAB＝∠ADE，
∴CE∥AB；
（2）当点D与点C不重合时，（1）的结论仍然成立，
理由如下：在AC上截取AF＝CD，连接EF，
∵∠AED＝∠ACB＝90°，
∴∠EAF＝∠EDC，
在△EAF和△EDC中，
，
∴△EAF≌△EDC（SAS），
∴EF＝EC，∠AEF＝∠DEC，
∵∠AED＝90°，
∴∠FEC＝90°，
∴∠ECA＝45°，
∴∠ECA＝∠CAB，
∴CE∥AB；
（3）如图②，∠EAC＝15°，
∴∠CAD＝30°，
∴AD＝2CD，AC＝CD，
∴FC＝（﹣1）CD，
∵△CEF为等腰直角三角形，
∴EC＝FC＝CD，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝AC＝CD，
∴＝＝，
如图③，∠EAC＝15°，
由（2）得，∠EDC＝∠EAC＝15°，
∴∠ADC＝30°，
∴CD＝AC，AB＝AC，
延长AC至G，使AG＝CD，
∴CG＝AG﹣AC＝DC﹣AC＝AC﹣AC，
在△EAG和△EDC中，
，
∴△EAG≌△EDC（SAS），
∴EG＝EC，∠AEG＝∠DEC，
∴∠CEG＝90°，
∴△CEG为等腰直角三角形，
∴EC＝CG＝AC，
∴＝，
综上所述，当∠EAC＝15°时，的值为或．
24．（10分）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象交x轴于点A（﹣3，0），B（1，0），交y轴于点 C．点P（m，0）是x轴上的一动点，PM⊥x轴，交直线AC于点M，交抛物线于点N．
（1）求这个二次函数的表达式；
（2）①若点P仅在线段AO上运动，如图，求线段MN的最大值；
②若点P在x轴上运动，则在y轴上是否存在点Q，使以M，N，C，Q为顶点的四边形为菱形．若存在，请直接写出所有满足条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c中，构建方程组解决问题即可．
（2）①构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题即可．
②分三种情形：如图2﹣1中，当点M在线段AC上，MN＝MC，四边形MNQC是菱形时．如图2﹣2中，当MC是菱形的对角线时，四边形MNCQ是正方形，如图2﹣3中，当点M在CA延长线上时，MN＝CM，四边形MNQC是菱形时，分别求解即可．
【解答】解：（1）把A（﹣3，0），B（1，0）代入y＝x2+bx+c中，得，
解得，
∴y＝x2+2x﹣3．
（2）①设直线AC的表达式为y＝kx+b，把A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入y＝kx+b′．得，
解得，
∴y＝﹣x﹣3，
∵点P（m，0）是x轴上的一动点，且PM⊥x轴．
∴M（m，﹣m﹣3），N（m，m2+2m﹣3），
∴MN＝（﹣m﹣3）﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣3m＝﹣（m+）2+，
∵a＝﹣1＜0，
∴此函数有最大值．
又∵点P在线段OA上运动，且﹣3＜﹣＜0，
∴当m＝﹣时，MN有最大值．
②如图2﹣1中，当点M在线段AC上，MN＝MC，四边形MNQC是菱形时．
∵MN＝﹣m2﹣3m，MC＝﹣m，
∴﹣m2﹣3m＝﹣m，
解得m＝﹣3+或0（舍弃）
∴MN＝3﹣2，
∴CQ＝MN＝3﹣2，
∴OQ＝3+1，
∴Q（0，﹣3﹣1）．
如图2﹣2中，当MC是菱形的对角线时，四边形MNCQ是正方形，此时CN＝MN＝CQ＝2，可得Q（0，﹣1）．
如图2﹣3中，当点M在CA延长线上时，MN＝CM，四边形MNQC是菱形时，
则有，m2+3m＝﹣m，
解得m＝﹣3﹣或0（舍弃），
∴MN＝CQ＝3+2，
∴OQ＝CQ﹣OC＝3﹣1，
∴Q（0，3﹣1）．
当点P在y轴的右侧时，显然MN＞CM，此时满足条件的菱形不存在．
综上所述，满足条件的点Q的坐标为（0，﹣3﹣1）或（0，﹣1）或（0，3﹣1）．
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