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(共25张PPT)
第4讲 等腰三角形及其性质
第1课时　达标训练
期末提分练案
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1．如果等腰三角形的一个内角等于120°，则它的底角是(　　)
A．60° B．60°或30°
C．120° D．30°
D
2．满足下列条件的△ABC是等腰三角形的是(　　)
A．∠A＝50°，∠B＝70°
B．∠A＝70°，∠B＝40°
C．∠A＝30°，∠B＝90°
D．∠A＝80°，∠B＝60°
B
3．如图，∠BAC＝69°，BD＝AD＝AC，则∠DAC的度数为(　　)
A．32° B．40°
C．52° D．36°
A
4．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，下列结论不一定成立的是(　　)
A．△ABD≌△ACD
B．AD是△ABC的高线
C．AD是△ABC的角平分线
D．△ABC是等边三角形
D
···
5．已知a，b，c是三角形的三边长，且满足(a－b)2＋|b－c|＝0，那么这个三角形是(　　)
A．直角三角形 B．等边三角形
C．钝角三角形 D．等腰直角三角形
B
6．如图，已知等边三角形AEB和等边三角形BDC在线段AC同侧，则下列结论错误的是(　　)
A．△ABD≌△EBC
B．△NBC≌△MBD
C．DM＝DC
D．∠ABD＝∠EBC
C
7．如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM等于(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
C
8．如图，已知∠MON＝30°，点A1，A2，A3，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形．若OA1＝1，则△A6B6A7的边长为(　　)
A．6 B．12
C．32 D．64
C
　　　　
9．如图，在等边三角形ABC中，点D是边BC的中点，则∠BAD＝________．
30°
10.已知射线OM，以点O为圆心、任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心、AO长为半径画弧，与前弧交于点B，画射线OB，如图所示，则∠AOB＝________．
60°
11．如图，等边三角形ABC的边BC上的高为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC的中点，则EM＋CM的最小值为________．
　　　
6
12．如图，在平面直角坐标系中，坐标原点为O，等腰三角形OPQ的顶点P的坐标为(8，6)，且OP为腰，点Q位于y轴上，则符合要求的点Q有______个．
3
13．(12分)如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AC的垂直平分线交AB于点E，垂足为D，连接EC.
(1)求∠ECD的度数；
解：∵DE垂直平分AC，
∴AE＝CE.∴∠ECD＝∠A＝36°.
(2)若CE＝5，求BC的长．
解：∵∠A＝∠ECD＝36°，
∴∠BEC＝72°.
∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠B＝∠ACB＝(180°－36°)÷2＝72°.
∴∠B＝∠BEC.
∴BC＝CE＝5.
14．(12分)如图，已知等边三角形ABC，点D是AB的中点，过点D作DF⊥AC，垂足为F，过点F作FH⊥BC，垂足为H.若等边三角形ABC的边长为4，求BH的长．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠C＝60°.
∵DF⊥AC，FH⊥BC，∴∠DFA＝∠FHC＝90°.
在Rt△ADF中，∵∠A＝60°，∠DFA＝90°，∴∠ADF＝30°.
∵D是AB的中点，∴AD＝ AB＝2.∴AF＝ AD＝1.
∴CF＝AC－AF＝4－1＝3.
在Rt△FHC中，∵∠C＝60°，∠FHC＝90°，
∴∠HFC＝30°.
∴HC＝ FC＝ ×3＝1.5.
∴BH＝BC－HC＝4－1.5＝2.5.
15．(14分)如图所示的方格纸中，每个小方格的边长都是1，点A(－4，1)，B(－3，3)，C(－1，2)．
(1)作△ABC关于y轴对称的△A′B′C′；
解：如图所示．
(2)在x轴上找一点P，使PA＋PC最小，并直接写出点P的坐标．
解：如图，点P的坐标为(－3，0)．
16．(14分)如图，△ABC中，∠ABC＝45°，点D为BC上一点，CD＝2BD，∠ADC＝60°，AE⊥BC于点E，CF⊥AD于点F，AE，CF相交于点G.
(1)求证△AFG≌△CFD；
证明：如图，连接BF.
∵∠ADC＝60°，CF⊥AD，
∴∠DCF＝30°.∴CD＝2DF.
∵CD＝2BD，∴BD＝DF. ∴∠DBF＝∠DFB.
∵∠ADC＝∠DFB＋∠DBF＝60°，
∴∠DFB＝∠DBF＝30°.
∴∠DCF＝∠DBF＝30°. ∴BF＝CF.
∵∠ABC＝45°，∴∠ABF＝45°－30°＝15°.
∵∠ABF＋∠BAF＝∠BFD＝30°，
∴∠FAB＝15°，即∠BAF＝∠ABF.
∴BF＝AF. ∴AF＝CF.
∵AE⊥BC，∴∠AED＝90°.
∵∠ADC＝60°，
在△ AFG和△CFD中，
∴△AFG≌△CFD.
(2)若BC＝3，AF＝ ，求线段EG的长．
解：∵BC＝3，CD＝2BD，∴BD＝1，CD＝2.
∵DF＝BD，∴DF＝1.(共15张PPT)
第4讲 等腰三角形及其性质
第2课时　思想训练 分类讨论思想在等腰三角形中应用的六种常见类型
期末提分练案
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1．若等腰三角形中有一个角等于40°，求这个等腰三角形的顶角度数．
【点拨】分类讨论思想是一种常用的、重要的解题思想，它在解决叙述过程复杂或条件不确定的问题时使用，分类的标准是：不重复、不遗漏．分类一方面可将复杂问题分解成若干个简单问题来解决；另一方面，恰当的分类可以避免漏解，从而提高全面考虑问题的能力，培养周密严谨的数学素养．
解：分两种情况讨论：
(1)顶角为40°；
(2)若底角为40°，则顶角为180°－40°×2＝100°.
综上可知，这个等腰三角形的顶角度数为40°或100°.
2．若x，y满足|x－4|＋(y－8)2＝0，求以x，y的值为边长的等腰三角形的周长．
解：∵|x－4|＋(y－8)2＝0，∴x－4＝0，y－8＝0.
∴x＝4，y＝8.
下面分两种情况讨论：
(1)当腰长为4，底边长为8时，
∵4＋4＝8，∴此时不能构成三角形；
(2)当腰长为8，底边长为4时，
易知可以构成三角形，此时等腰三角形的周长为8＋8＋4＝20.
综上可知，等腰三角形的周长为20.
3．等腰三角形一腰上的高与另一边的夹角为25°，求这个三角形的各个内角的度数．
【点拨】由于题目中的“另一边”没有指明是“腰”还是“底边”，因此必须进行分类讨论，另外，还要结合图形，分高在三角形的内部和在三角形的外部．
解：设在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC于点D.
(1)若高与底边的夹角为25°，高一定在△ABC的内部，如图①所示．
∵∠DBC＝25°，
∴∠C＝90°－∠DBC＝90°－25°＝65°.
∴∠ABC＝∠C＝65°. ∴∠A＝180°－2×65°＝50°.
(2)若高与另一腰的夹角为25°，如图②，当高在△ABC的内部时，
∵∠ABD＝25°，∴∠A＝90°－∠ABD＝65°.
∴∠C＝∠ABC＝(180°－∠A)÷2＝57.5°.
如图③，当高在△ABC的外部时，∵∠ABD＝25°，
∴∠BAD＝90°－∠ABD＝90°－25°＝65°.
∴∠BAC＝180°－65°＝115°.
∴∠ABC＝∠C＝(180°－115°)÷2＝32.5°.
故三角形各个内角的度数为65°，65°，50°或65°，57.5°，57.5°或115°，32.5°，32.5°.
4．△ABC中，AB＝AC，AB边的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为40°.求∠B的度数．
解：此题分两种情况讨论：
(1)如图①，AB边的垂直平分线与AC边交于点D，∠ADE＝40°，则∠A＝50°.
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝(180°－50°)÷2＝65°.
(2)如图②，AB边的垂直平分线与CA的延长线交于点D，∠ADE＝40°，则∠DAE＝50°，∴∠BAC＝130°.
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝(180°－130°)÷2＝25°.
故∠B的度数为65°或25°.
5．等腰三角形ABC的底边BC长为5 cm，一腰上的中线BD把其周长分为差为3 cm的两部分，求腰长．
解：∵BD为△ABC的AC边上的中线，
∴AD＝CD.
(1)当(AB＋AD)－(BC＋CD)＝3 cm时，AB－BC＝3 cm.
∵BC＝5 cm，
∴AB＝5＋3＝8(cm)．
(2)当(BC＋CD)－(AB＋AD)＝3 cm时，BC－AB＝3 cm.
∵BC＝5 cm，
∴AB＝5－3＝2(cm)．
但是当AB＝2 cm时，三边长分别为
2 cm，2 cm，5 cm.而2＋2＜5，不合题意，应舍去．
故腰长为8 cm.
6．已知O为等边三角形ABD的边BD的中点，AB＝4，E，F分别为射线AB，DA上的动点，且∠EOF＝120°.若AF＝1，求BE的长．
解：分两种情况讨论：
(1)当点F在边DA上时，如图①，作OM∥AB交AD于点M.
∵△ABD为等边三角形，
∴∠A＝∠ABD＝∠D＝60°，AD＝BD＝AB＝4.
∵OM∥AB，
又∵∠OBE＝180°－60°＝120°，∴∠OBE＝∠OMF.
∴△OMF≌△OBE(ASA)． ∴BE＝MF.
∵AF＝1，∴FM＝1. ∴BE＝1.
(2)当点F在线段DA的延长线上时，如图②，作OM∥AB交AD于点M，同(1)可得△OMF≌△OBE，DM＝2，AD＝4，∴BE＝FM.
∵AF＝1，∴FM＝3.∴BE＝3.
综上所述，BE的长为1或3.(共13张PPT)
第4讲 等腰三角形及其性质
第3课时　提升训练 “三线合一”在等腰三角形中应用的六种常见题型
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1．(2019·重庆)如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分∠ABC，且BE交AC于点E，过点E作EF∥BC，且EF交AB于点F.
(1)若∠C＝36°，求∠BAD的度数；
解：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC.
∵∠C＝36°，∴∠ABC＝36°.
∵BD＝CD，AB＝AC，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°.
∴∠BAD＝90°－36°＝54°.
(2)求证FB＝FE.
证明：如图，过点F作FH⊥BE于点H，则∠FHB＝∠FHE＝90°.
∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE＝ ∠ABC.
∵EF∥BC，∴∠FEB＝∠CBE.
∴∠FBE＝∠FEB.
又∵FH＝FH，∠FHB＝∠FHE，∴△FHB≌△FHE.
∴FB＝FE.
2．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD＝DB，DE⊥AB于点E.若BC＝12，且△BDC的周长为36，求AE的长．
解：∵△BDC的周长为BD＋BC＋CD＝36，BC＝12，
∴BD＋DC＝24.
∵AD＝BD，∴AD＋DC＝24，即AC＝24.
∵AB＝AC，∴AB＝24.
又∵DE⊥AB，∴AE＝EB＝ AB＝12.
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在△ABC外，CE⊥AE于点E，CE＝ BC.求证∠ACE＝∠B.
∵CE⊥AE，∴∠AEC＝90°.
在Rt△ABD和Rt△ACE中，
∴Rt△ABD≌Rt△ACE(HL)．
∴∠ACE＝∠B.
4．如图，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且BE＝AF.
求证DE＝DF.
证明：连接AD.
∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD⊥BC. ∴∠ADB＝90°.
∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠C＝45°.
在△ABD中，∠BAD＝180°－∠B－∠ADB＝45°，
∴∠B＝∠BAD. ∴BD＝AD.
又∵BD＝CD，∴AD＝CD.
∴∠DAC＝∠C＝45°. ∴∠B＝∠DAC.
又∵BE＝AF，BD＝AD，
∴△BDE≌△ADF(SAS)．
∴DE＝DF.
5．如图，在△ABC中，AC＝2AB，AD平分∠BAC，E是AD上一点，且EA＝EC.求证EB⊥AB.
证明：如图，过点E作EF⊥AC于点F.
∵AE＝EC，∴AF＝ AC.
又∵2AB＝AC，∴AF＝AB.
∵AD平分∠BAC，∴∠FAE＝∠BAE.
又∵AE＝AE，∴△AEF≌△AEB(SAS)．
∴∠ABE＝∠AFE＝90°，即EB⊥AB.
6．如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且∠B＝2∠C.求证：CD＝AB＋BD.
证明：如图，以A为圆心，AB长为半径画弧交CD于点E，连接AE，则AE＝AB，∴∠AEB＝∠B.
∵AD⊥BC，∴AD是BE边上的中线，即DE＝BD.
∵∠B＝2∠C，∴∠AEB＝2∠C.
∵∠AEB＝∠CAE＋∠C，∴∠CAE＝∠C.
∴CE＝AE. ∴CE＝AB.
∴CD＝CE＋DE＝AB＋BD.

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