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3.3二项式定理（新课）
知识梳理
二项式定理
基本概念的区分
（1）二项式展开式有 （2）二项式系数：
（3）项的系数：包括符号和前面的常数 （4）通项：
二项式系数的性质
（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等。即
（2）当时，二项式系数逐渐增大；当时，二项式系数逐渐减小。
（3）二项式系数的最大值
当是偶数时，中间一项（第项）的二项式系数最大，最大值；
当是奇数时，中间两项（第项和第项）的二项式系数相等，且同时取到最大值，最大值为或。
（4）各二项式系数的和
的展开式的各二项式系数的和等于，即；二项展开式中奇数项和偶数项的二项系数的和相等，为。
常用结论
（1）
（2）
（3）赋值法
（4）各项系数的问题：，则各项系数之和为。奇数项系数之和；偶数项系数之和。
典例解析
考点一：通项公式的应用
例1．设二项式的展开式中常数项为，则_____.
变式1.展开式中的系数？
变式2．的有理项共有（ ）项
A．4 B．5 C．6 D．8
考点二：二项式的性质
例2．已知的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为（ ）
A． B． C． D．
变式．已知关于(＋)n的展开式的二项式系数之和为32，常数项为80，则a的值为(　　)
A．1 B．±1 C．2 D．±2
变式2.设为正整数，展开式的二项式系数最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，若，则 .
考点三：赋值法的应用
例3．设二项式的展开式的各项系数和为，所有二项式系数和为，若，则=_____.
变式1. 若的展开式中各项系数之和为64，则展开式中的常数项为多少？
变式2．的展开式中的奇数次幂项的系数之和为，则a=_____。
例4. 若，则=_____.
变式1.,
.
变式2.若多项式________，
________.
考点三：含有三项的二项式
例5．求的展开式中的一次项系数？
变式1. 求的常数项？
变式2．的展开式中，的系数为（ ）
A．10 B．20 C．30 D．60
考点四：两个二项式相乘
例6．求展开式中的系数。
变式1．的展开式中的系数为_____. (用数字填写答案)
变式2．已知的展开式中的系数为5，则（ ）
A． B． C． D．
考点五：二项定理的逆用
例7.若能被7整除，则的值可能为 （ ）
A. B. C. D.
变式1．(2016·山东师大附中月考)设复数x＝(i为虚数单位)，则C2 0171x＋C2 0172x2＋C2 0173x3＋…＋C2 0172 017x2 017＝(　　)
A．i B．－I C．－1＋i D．1＋i
变式2. =_____.
考点六：杨辉三角
例8．杨辉是我国南宋末年的一位杰出的数学家.在他著的《详解九章算法》一书中，画了一张表示二项式展开后的系数构成的三角形数阵（如图所示），称做“开方做法本源”，现在简称为“杨辉三角”，它是杨辉的一大重要研究成果.它比西方的“帕斯卡三角形”早了393年.若用表示三角形数阵的第行第个数，则（ ）
A．5050 B．4851 C．4950 D．5000
变式1．我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的.以下关于杨辉三角的猜想中错误的是（ ）
A．由“与首末两端‘等距离’的两个二项式系数相等”猜想：Cnm＝Cnn－m
B．由“在相邻的两行中，除1以外的每一个数都等于它‘肩上’两个数的和”猜想：
C．由“第n行所有数之和为2n”猜想：Cn0＋Cn1＋Cn2＋…＋Cnn＝2n
D．由“111＝11，112＝121，113＝1331”猜想：115＝15101051
变式2．下图三角形数阵为杨辉三角：按照图中排列的规律，第行（）从左向右的第3个数为______（用含的多项式表示）．
巩固练习
1.若的二项展开式中第5项为常数项，则=_____.
2．已知的展开式中含的项的系数为30，则（ ）
A． B． C．6 D．-6
3．在的展开式中，的系数为_____.
4．的展开式中的系数是_____. (用数字作答)
5．的展开式中的系数为_____.（用数字作答）
6. 若二项式的展开式中的系数是84，则实数（ ）
A．2 B.． C． 1 D．
7．的展开式中的系数是（ ）
A． B． C．5 D．20
8．若的展开式中项的系数为20，则的最小值为_____.
9．若的展开式中的系数为，则实数_____.
10．展开式中的常数项为（ ）
A．80 B．－80 C．40 D．－40
11．求二项式的展开式中的常数项？
12．在二项式的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有的项的系数？
13．在的展开式中，含项的系数为（ ）
A． B． C． D．
14．已知的展开式中第6项与第8项的二项式系数相等，则含项的系数是____.
15．，则___________，___________.
16．二项展开式，则________；________．
17．已知，若，则________，________.
18．若，则______.
19．若，，则_____.
20．的展开式中的系数为_____________.
21．在展开式中，含的项的系数是__________.
22．展开式中的系数为________.
23．展开式中含的项的系数为_______．
24．的展开式中的系数是（ ）
A．56 B．84 C．112 D．168
25．多项式展开式的常数项为__________.（用数字作答）
26．的展开式中的项的系数是________.
27．展开式中的常数项为（ ）
A． B．15 C． D．66
3.3二项式定理讲义答案
例1．
变式1.
变式2．C
例2． D
变式1. C
变式2．6
例3． 4
变1.
变式2．
例4. 31
变式1.2004
变式2.,1040
例5． 240
变式1.
变式2．C
例6．
变式1．-20
变式2． D
例7.C
变式1．C
变式2.
例8．B
变式1．D
变式2．
巩固练习
1.6
2．D
3．
4．
5． 70
6. C
7． A
8． 2
9．
10． C
11．
12．210
13． C
14．
15．
16．
17．
18．
19．
20．
21．.
22．15
23．-100
24． D
25．6
26．1560
27．C7

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